铅锤高求三角形面积法
三角形水平宽铅垂高面积公式
三角形水平宽铅垂高面积公式在我们学习数学的奇妙旅程中，三角形这个家伙可是个常客。
今天咱们就来聊聊三角形的水平宽铅垂高面积公式，这可是个相当有趣又实用的小知识！先来说说啥是三角形的水平宽和铅垂高。
想象一下，有一个三角形稳稳地躺在平面直角坐标系里。
水平宽呢，就是三角形底边在 x 轴上的投影长度；铅垂高呢，则是从三角形的顶点向 x 轴作垂线，垂线的长度就是铅垂高。
我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个小家伙瞪着大眼睛一脸懵地问我：“老师，这水平宽和铅垂高怎么就跟面积有关系啦？”我笑着告诉他：“别着急，咱们一起来探究探究。
”咱们来看个具体的例子。
假设有个三角形，三个顶点的坐标分别是A(1, 2)，B(3, 4)，C(5, 1)。
首先，咱们来找出底边，假设底边是线段BC，那它在 x 轴上的投影长度就是水平宽。
B 点和 C 点的横坐标分别是 3 和 5，所以水平宽就是 5 - 3 = 2。
接下来找铅垂高。
咱们从 A 点向 x 轴作垂线，与 x 轴交点设为 D，那 AD 的长度就是铅垂高。
A 点的纵坐标是 2，所以铅垂高就是 2。
这时候，根据三角形水平宽铅垂高面积公式，面积就等于水平宽乘以铅垂高的一半。
也就是 2×2÷2 = 2。
再比如，还有个三角形，顶点坐标是 E( -1, 3)，F(2, 5)，G(4, -1)。
同样的方法，先找底边 FG 在 x 轴上的投影，也就是水平宽，4 - 2 = 2。
再找顶点 E 到 x 轴的垂线长度，也就是铅垂高，是 3。
那这个三角形的面积就是 2×3÷2 = 3。
同学们在做这类题的时候，可一定要仔细看准坐标，别把数值弄混了。
有个同学就因为粗心，把横坐标看成纵坐标，算出的面积差了十万八千里，自己还纳闷怎么不对呢！其实啊，这个公式的妙处就在于，它能让我们在面对一些复杂的三角形时，不用费力地去分割或者转化，就能轻松算出面积。
在实际生活中，这个公式也有大用处。
水平宽铅垂高求三角形面积
水平宽铅垂高求三角形面积文档编制序号：[KK8UY-LL9IO69-TTO6M3-MTOL89-FTT688]作三角形铅垂高是解决三角形面积问题的一个好办法------------二次函数教学反思铅垂高如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=1\2 ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．最近教学二次函数遇到很多求三角形面积的问题，经过研究，我发现作三角形铅锤高是解决三角形面积问题的一个好办法。
在课堂上我还风趣地说遇到“歪歪三角形中间砍一刀”，同学们很快掌握了这种方法现总结如下：如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ahSABC21=∆，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.C铅垂hCByDBy例1．（2013深圳）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB.（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由.解：（1）B（1（2）设抛物线的解析式为y=ax(x+a)，代入点B（a=，因此2y=+（3）如图，抛物线的对称轴是直线x=—1，当点C位于对称轴与线段AB的交点时，△BOC的周长最小.设直线AB为y=kx+b.所以20.kk bk bb⎧=⎪⎧+=⎪⎪⎨⎨-+=⎪⎩⎪=⎪⎩解得，因此直线AB为y=+，当x=－1时，y=C的坐标为（－1）.（4）如图，过P作y轴的平行线交AB于D.2221()()2132********331932PAB PAD PBD D P B A S S S y y x x x x x x x x ∆∆∆=+=--⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=--+⎛⎫=-++⎪⎝⎭当x =－12时，△PAB 的面积的最大值为93，此时13,2P ⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭. 例2．(2014益阳) 如图2，抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0)，交y 轴于点B .(1)求抛物线和直线AB 的解析式；(2)点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S ∆；(3)是否存在一点P ，使S △PAB =89S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由. 解：(1)设抛物线的解析式为：4)1(21+-=x a y 把A（3,0）代入解析式求得1-=a 所以324)1(221++-=+--=x x x y 设直线AB 的解析式为：b kx y +=2由3221++-=x x y 求得B 点的坐标为)3,0( 把)0,3(A ，)3,0(B 代入b kx y +=2中解得：3,1=-=b k 所以32+-=x y(2)因为C 点坐标为(１,4)所以当x ＝１时，y 1＝4，y 2＝2所以CD ＝4-2＝232321=⨯⨯=∆CAB S (平方单位)(3)假设存在符合条件的点P ，设P 点的横坐标为x ，△PAB 的铅垂高为h ，则x x x x x y y h 3)3()32(2221+-=+--++-=-=由S △PAB =89S △CAB 得389)3(3212⨯=+-⨯⨯x x 化简得：091242=+-x x 解得，23=x 将23=x 代入3221++-=x x y 中，解得P 点坐标为)415,23( 图-2xC O yABD11例3．（2015江津）如图，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交于A(1,0),B(- 3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大，若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由.解：(1)将A(1，0)，B(－3，0)代2y x bx c =-++中得10930b c b c -++⎧⎨--+=⎩＝∴23b c =-⎧⎨=⎩∴抛物线解析式为：223y x x =--+(2)存在。
二次函数之“铅垂法”求三角形面积
二次函数之“铅垂法”求三角形面积求三角形面积往往用公式12S a h∆=或1sin2S ab C∆=进行计算。
在二次函数里，有时用公式求三角形面积有一定的难度，我们不妨考虑用“铅垂法”来解决。
图1 图2作法：1、作铅直线PM交线段AB于点M；2、分别过A、B两点作PM的垂线段。
计算：如图1：S△PAB= S△PMA+S△PMB=12×PM×h2+12×PM×h1=12×PM×(h2+h1)；①如图2：S△PAB= S△PMA﹣S△PMB=12×PM×h2－12×PM×h1=12×PM×(h2－h1)。
②理解：我们把公式中的PM称为三角形的“铅直高度”，把(h2+h1)或(h2－h1)称为三角形的“水平宽度”，则三角形的面积等于“铅直高度”与“水平宽度”积的一半。
特别地，在二次函数中，三角形的“铅直高度”就是动点P和铅直线PM与线段AB交点M的纵坐标之差（y P －y M），“水平宽度”就是两定点A与B的横坐标之差（x B－x A），即S△=12×（y P－y M）×（x B－x A）。
我们把这种求三角形面积的方法叫做“铅垂法”。
运用：例：如图，直线l:y=−x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2−2ax+a+4(a<0)经过点B。
（1）求该抛物线的函数表达式；（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M 的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值及此时动点M的坐标。
解答：（1）y=－x 2+2x+3；（2）过点M 作MC ⊥x 轴交直线AB 于点C 。
设M （t ，－t 2+2t+3），则C （t ，－t+3）。
∵A （3，0），B （0，3）∴S=12×〖（－t2+2t+3）－（－t+3）〗×（3－0）化简整理得：23327()224S t =--+。
水平宽铅垂高求三角形面积完整版
解：（1）将B、C两点的坐标代入得
解得： 所以二次函数的表达式为：
（2）存在点P，使四边形POP C为菱形．设P点坐标为（x， ），PP 交CO于E若四边形POP C是菱形，则有PC＝PO．
连结PP 则PE⊥CO于E，∴OE=EC= = ．
∴ = 解得 = ， = （不合题意，舍去）
∴P点的坐标为（ ， ）
（3）过点P作 轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x， ），易得，直线BC的解析式为 则Q点的坐标为（x，x－3）.
图① 图②
3.(2015年恩施) 如图11，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与x轴交于A、B
两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，
点P是直线BC下方的抛物线上一动点.
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP C，那么是否存在点P，使四边形POP C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
水平宽铅垂高求三角形面积
作三角形铅垂高是解决三角形面积问题的一个好办法
------------二次函数教学反思
铅垂高
如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=1\2 ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．
例1．（2013深圳）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB.（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由.
06铅垂法求三角形面积(原卷版)
铅垂法求三角形的面积最值一、方法突破求三角形的面积是几何题中常见问题之一，可用的方法也比较多，比如面积公式、割补、等积变形、三角函数甚至海伦公式，本文介绍的方法是在二次函数问题中常用的一种求面积的方法——铅垂法．【问题描述】在平面直角坐标系中，已知()1,1A 、()7,3B 、()4,7C ，求△ABC 的面积．【分析】显然对于这样一个位置的三角形，面积公式并不太好用，割补倒是可以一试，比如这样：构造矩形ADEF ，用矩形面积减去三个三角形面积即可得△ABC 面积． 这是在“补”，同样可以采用“割”：()111222ABCACDBCDSSSCD AE CD BF CD AE BF =+=⋅+⋅=+ 此处AE +AF 即为A 、B 两点之间的水平距离． 由题意得：AE +BF =6． 下求CD ：根据A 、B 两点坐标求得直线AB 解析式为：1233y x =+由点C 坐标（4,7）可得D 点横坐标为4， 将4代入直线AB 解析式得D 点纵坐标为2， 故D 点坐标为（4,2），CD =5,165152ABCS =⨯⨯=．【方法总结】 作以下定义：A 、B 两点之间的水平距离称为“水平宽”；过点C 作x 轴的垂线与AB 交点为D ，线段CD 即为AB 边的“铅垂高”．如图可得：=2ABC S⨯水平宽铅垂高【解题步骤】（1）求A 、B 两点水平距离，即水平宽；（2）过点C 作x 轴垂线与AB 交于点D ，可得点D 横坐标同点C ； （3）求直线AB 解析式并代入点D 横坐标，得点D 纵坐标； （4）根据C 、D 坐标求得铅垂高； （5）利用公式求得三角形面积．二、典例精析例一、如图，已知抛物线25y ax bx =++经过(5,0)A -，(4,3)B --两点，与x 轴的另一个交点为C ．（1）求该抛物线的表达式；（2）点P 为该抛物线上一动点（与点B 、C 不重合），设点P 的横坐标为m ．当点P 在直线BC 的下方运动时，求PBC ∆的面积的最大值．例二、在平面直角坐标系中，将二次函数2(0)y ax a =>的图像向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），1OA =，经过点A 的一次函数(0)y kx b k =+≠的图像与y 轴正半轴交于点C ，且与抛物线的另一个交点为D ，ABD ∆的面积为5． （1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）抛物线上的动点E 在一次函数的图像下方，求ACE ∆面积的最大值，并求出此时点E 的坐标．例三、已知抛物线24y ax bx =+-经过点(2,0)A 、(4,0)B -，与y 轴交于点C ． （1）求这条抛物线的解析式；（2）如图，点P 是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC 的面积最大时，求点P 的坐标．三、中考真题对决1.（2021•阜新）在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =+-交x 轴于点(1,0)A -，(3,0)B ，过点B 的直线223y x =-交抛物线于点C ． （1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点P 是直线BC 下方抛物线上的一个动点(P 不与点B ，C 重合），求PBC ∆面积的最大值；2．（2021•淄博）如图，在平面直角坐标系中，抛物线211(0)222m m y x x m -=-+⋅+>与x 轴交于(1,0)A -，(,0)B m 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ． （1）若2OC OA =，求抛物线对应的函数表达式；（2）在（1）的条件下，点P 位于直线BC 上方的抛物线上，当PBC ∆面积最大时，求点P 的坐标；3．（2021•哈尔滨）在平面直角坐标系中，点O 为坐标系的原点，抛物线2y ax bx =+经过(10,0)A ，5(2B ，6)两点，直线24y x =-与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，点P 为直线24y x =-上的一个动点，连接PA ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当点P 在第一象限时，设点P 的横坐标为t ，APC ∆的面积为S ，求S 关于t 的函数解析式（不要求写出自变量t 的取值范围）；4．（2021•赤峰）如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于(3,0)-、(1,0)B 两点，与y 轴交于点C ，对称轴l 与x 轴交于点F ，直线//m AC ，点E 是直线AC 上方抛物线上一动点，过点E 作EH m ⊥，垂足为H ，交AC 于点G ，连接AE 、EC 、CH 、AH ． （1）抛物线的解析式为 223y x x =--+ ； （2）当四边形AHCE 面积最大时，求点E 的坐标；5．（2021•齐齐哈尔）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线22(0)y ax x c a =++≠与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，连接BC ，1OA =，对称轴为直线2x =，点D 为此抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上C 、D 两点之间的距离是 22 ；（3）点E 是第一象限内抛物线上的动点，连接BE 和CE ，求BCE ∆面积的最大值；。
用铅垂高法计算三角形的面积
证明如下 ：
ｈ 。 Ｓ ￣Ｂ ｃ ＝ Ｓ △ ｃ ｓ 。－ １ － 一
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｝ ｎ ２
＝
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利 用 茎 三 嘉 角 形 面 积 等 于 水 平 宽 与 铅 垂 Ｌ 函
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高乘积的一半的方法去求三角形 的面积会有三种方法 ， 这三种方 法中的铅垂高有一种是在三角形的里面 ， 有两种是在三角形的外
样ｓ “ １
。
此 时 ， 点 Ｅ 坐 标 为（ 一 孚， 孚）
【 小结 】 对 于不规则 四边形 面积的求法 ， 我们常规 的方法是
把它化成规则 的图形去解决。但 是在平面直角坐标系 中求图形 的面积 ， 涉及 到坐标 与线段的转化 ， 是很麻烦的 。如果把四边形 分 割成一个斜三角形和一个 固定 的三角形 ， 斜三角形用“ 铅垂 高 法” 就会很 方便 。 三、 体 会
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ｆ ｓ 。 ＼
｛
Ｐ Ｅ＝ 一 ａ ２ — ２ 。 ＋ ３ 一 （ 口 ＋ ３＝ － ａ ２ — ３ ａ
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Ｓ 口 ∞ 忸 ＝ ｓ ｓ △ ∞ ｝ Ｄ 曰 ‘ Ｏ Ｃ ＋ ｝Ｏ Ｂ ‘ 船
＝ 一×３ ×３ ＋ — １× ３ ・ （ 一 ６ ２ — ３ ａ ）
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手 一 ９ 叶 ９ ３ ） ＋ 譬（ 一 ３ ＜ 。 ＜ ０ ）
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直线之间的距离 叫做 ＡＡ Ｂ Ｃ的“ 水平宽（ ｎ ） ， 过点 Ｂ的直线与 鲋
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当 一 孚 时 ， Ｓ 踟最 大 ， 且 最 大 值 为 ６ ３ ．
与 的延长线之间线段 的长度 叫 ＡＡ Ｂ Ｃ的“ 铅垂 高 Ｂ Ｄ（ Ａ ） ， 同
１
水平宽铅垂高求三角形面积
利用三角形铅垂高、水平宽 求三角形面积 （专题）1． 三角形面积公式的推广：过△ABC 三个顶点分别作与水平线垂直的三条直线，外侧两条 直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”（a ），中间的这条直线在 △ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高”（h ）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S △ABC =21ah 即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半例1.（全品探究题）如图，直线343+-=x y 与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，抛物线c x ax y ++=432经过B 、C 两点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点，当△BEC 面积最大时，请求出点E 的坐标和△BEC 面积的最大值？（3）在（2）的结论下，过点E 作y 轴的平行线交直线BC 于点M ，连接AM ，点Q 是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使得以P 、Q 、A 、M 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．例2．（2013深圳）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB.（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△P AB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△P AB的最大面积；若没有，请说明理由.解：例3．如图2，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.(1)求抛物线和直线AB的解析式；(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结P A，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及CABS；(3)是否存在一点P，使S△P AB=89S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.解：图1图-2xCOyABD11例4．（2015江津）如图，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交于A(1,0),B(- 3，0)两点。
铅垂高水平宽求三角形面积
铅垂高水平宽求三角形面积
S△ABC＝1\2ah。
过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的水平宽(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的铅垂高(h)，我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC＝1\2ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。
铅垂高法是解决与二次函数相关的三角形面积问题的一个特殊的方法。
铅垂高
任何物件如铅垂一样的与地成正垂直，就是铅垂方向，沿铅垂方向的高度就是铅垂高，即在铅垂方向的投影；
与铅垂方向垂直的方向就是水平方向，物体沿水平方向的宽度就是水平宽。
把三角形沿水平方向分割成上下两部分，上部分面积＝水平宽×h1×1/2，下部分面积＝水平宽×h2×1/2，h1+h2＝铅垂高，结论得证。
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作三角形铅锤高是解决三角形面积问题的一个好办法------------二次函数教学反思最近教学二次函数遇到很多求三角形面积的问题，经过研究，我发现作三角形铅锤高是解决三角形面积问题的一个好办法。
在课堂上我还风趣地说遇到“歪歪三角形中间砍一刀”，同学们很快掌握了这种方法现总结如下：如图1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h )”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 21=∆，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.例1．（2013深圳）如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（－2，0），连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB .（1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△PAB 是否有最大面积若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由. 解：（1）B （1（2）设抛物线的解析式为y =ax (x+a )，代入点B （1, ，得a ，因此2y =+ （3）如图，抛物线的对称轴是直线x =—1，当点C 位于对称轴与线段AB 的交点时，△BOC 的周长最小.设直线AB 为y =kx +b .所以20.k k b k b b ⎧=⎪⎧+=⎪⎪⎨⎨-+=⎪⎩⎪=⎪⎩解得，因此直线AB 为y +，当x =－1时，y =，因此点C 的坐标为（－13）.（4）如图，过P 作y 轴的平行线交AB 于D .B 图12221()()2132********331932PAB PAD PBD D P B A S S S y y x x x x x x x x ∆∆∆=+=--⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=--+⎛⎫=-++⎪⎝⎭当x =－12时，△PAB 的面积的最大值为93，此时13,2P ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭. 例2．(2014益阳) 如图2，抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0)，交y 轴于点B .(1)求抛物线和直线AB 的解析式；(2)点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S ∆；(3)是否存在一点P ，使S △PAB =89S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)设抛物线的解析式为：4)1(21+-=x a y 把A （3,0）代入解析式求得1-=a 所以324)1(221++-=+--=x x x y 设直线AB 的解析式为：b kx y +=2由3221++-=x x y 求得B 点的坐标为)3,0( 把)0,3(A ，)3,0(B 代入b kx y +=2中解得：3,1=-=b k 所以32+-=x y(2)因为C 点坐标为(１,4)所以当x ＝１时，y 1＝4，y 2＝2所以CD ＝4-2＝232321=⨯⨯=∆CAB S (平方单位) (3)假设存在符合条件的点P ，设P 点的横坐标为x ，△PAB 的铅垂高为h ，则x x x x x y y h 3)3()32(2221+-=+--++-=-=由S △PAB =89S △CAB 得389)3(3212⨯=+-⨯⨯x x 化简得：091242=+-x x 解得，23=x 将23=x 代入3221++-=x x y 中，解得P 点坐标为)415,23(例3．（2015江津）如图，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交于A(1,0),B(- 3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大，若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由.图-2xCOy ABD 1 1解：(1)将A(1，0)，B(－3，0)代2y x bx c =-++中得10930b c b c -++⎧⎨--+=⎩＝∴23b c =-⎧⎨=⎩∴抛物线解析式为：223y x x =--+(2)存在。
理由如下：由题知A 、B 两点关于抛物线的对称轴1x =-对称∴直线BC 与1x =-的交点即为Q 点， 此时△AQC 周长最小 ∵223y x x =--+ ∴C 的坐标为：(0，3) 直线BC 解析式为：3y x =+ Q 点坐标即为13x y x =-⎧⎨=+⎩的解∴12x y =-⎧⎨=⎩∴Q(－1，2) （3）答：存在。
理由如下：设P 点2(23) (30)x x x x --+-<<，∵92BPC BOC BPCO BPCO S S S S ∆∆=-=-四边形四边形若BPCO S 四边形有最大值，则BPC S ∆就最大，∴BPE BPCO PEOC S S S ∆+Rt 四边形直角梯形＝11()22BE PE OE PE OC =⋅++ ＝2211(3)(23)()(233)22x x x x x x +--++---++＝233927()2228x -+++ 当32x =-时，BPCO S 四边形最大值＝92728+ ∴BPC S ∆最大＝9279272828+-=当32x =-时，215234x x --+=∴点P 坐标为315( )24-，同学们可以做以下练习：1．（2015浙江湖州）已知如图，矩形OABC 的长3，宽OC=1，将△AOC 沿AC 翻折得△APC 。
（1）填空：∠PCB=____度，P 点坐标为（ ， ）； （2）若P ，A 两点在抛物线y=－43x 2+bx+c 上，求b ，c 的值，并说明点C 在此抛物线上； （3）在（2）中的抛物线CP 段（不包括C ，P 点）上，是否存在一点M ，使得四边形MCAP 的面积最大若存在，求出这个最大值及此时M 点的坐标；若不存在，请说明理由。
2．（湖北省十堰市2014）如图①， 已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ．(1) 求抛物线的解析式；(2) 设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．(3) 如图②，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．图① 图②3.(2015年恩施) 如图11，在平面直角坐标系中，二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），与y 轴交于C （0，-3）点， 点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点. （1）求这个二次函数的表达式．（2）连结PO 、PC ，并把△POC 沿CO 翻折，得到四边形POP /C ， 那么是否存在点P ，使四边形POP /C 为菱形若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P 运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面积最大并求出此时P 点的坐标和四边形ABPC 的最大面积. 解：（1）将B 、C 两点的坐标代入得⎩⎨⎧-==+303c c b解得：⎩⎨⎧-=-=32c b 所以二次函数的表达式为：322--=x x y（2）存在点P ，使四边形POP /C 为菱形．设P 点坐标为（x ，322--x x ），PP /交CO 于E 若四边形POP /C 是菱形，则有PC ＝PO ．连结PP /则PE ⊥CO 于E ，∴OE=EC =23y =23-．∴322--x x =23- 解得1x =2102+，2x =2102-（不合题意，舍去） ∴P 点的坐标为（2102+，23-） （3）过点P 作y 轴的平行线与BC 交于点Q ，与OB 交于点F ，设P （x ，322--x x ），易得，直线BC 的解析式为3-=x y 则Q 点的坐标为（x ，x －3）.EB QP OE QP OC AB S S S S CPQ BPQ ABC ABPC ⋅+⋅+⋅=++=∆∆∆212121四边形 3)3(2134212⨯+-+⨯⨯=x x =87523232+⎪⎭⎫ ⎝⎛--x当23=x 时，四边形ABPC 的面积最大 此时P 点的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-415,23，四边形ABPC 的面积875的最大值为．图1125．（2015绵阳）如图，抛物线y = ax 2 + bx + 4与x 轴的两个交点分别为A （－4，0）、B （2，0），与y 轴交于点C ，顶点为D ．E （1，2）为线段BC 的中点，BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于F 、G ．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D 的坐标；（2）在直线EF 上求一点H ，使△CDH 的周长最小，并求出最小周长； （3）若点K 在x 轴上方的抛物线上运动，当K 运动到什么位置时，△EFK的面积最大并求出最大面积．【解析】（1）由题意，得 ⎩⎨⎧=++=+-,0424,04416b a b a 解得21-=a ，b =－1．所以抛物线的解析式为4212+--=x x y ，顶点D 的坐标为（－1，29）． （2）设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ．因为EF 垂直平分BC ，即C 关于直线EG 的对称点为B ，连结BD 交于EF 于一点，则这一点为所求点H ，使DH + CH 最小，即最小为DH + CH = DH + HB = BD =132322=+DM BM ． 而 25)429(122=-+=CD ． ∴ △CDH 的周长最小值为CD + DR + CH =21335+． 设直线BD 的解析式为y = k1x + b ，则 ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+,29,021111b k b k 解得 231-=k ，b1 = 3． 所以直线BD 的解析式为y =23-x + 3．由于BC = 25，CE = BC ∕2 =5，Rt △CEG ∽△COB ， 得 CE : CO = CG : CB ，所以 CG = ，GO = ．G （0，）．同理可求得直线EF 的解析式为y =21x +23．联立直线BD 与EF 的方程，解得使△CDH 的周长最小的点H （43，815）．（3）如图所示，设K （t ，4212+--t t ），xF ＜t ＜xE ．过K 作x 轴的垂线交EF 于N ．则 KN = yK －yN =4212+--t t －（21t +23）=2523212+--t t ．所以 S △EFK = S △KFN + S △KNE =21KN （t + 3）+21KN （1－t ）= 2KN = －t 2－3t + 5 =－（t +23）2 +429．即当t =－23时，△EFK 的面积最大，最大面积为429，此时K （－23，835）．。