反比例函数相似综合讲义

反比例知识点一：反比例函数的概念 1、解析式：()0≠=k xky 其他形式：①k xy = ②1-=kx y例1.当m 取什么值时，函数23)2(m x m y --=是反比例函数？例2．若函数22)12(--=mx m y 是反比例函数，且它的图像在第二、四象限，则m 的值是___________2.反比例函数图像上的点的坐标满足：k xy =例1．已知反比例函数的图象经过点（m ，2）和（-2，3）则m 的值为 例2．下列函数中，图像过点M （-2，1）的反比例函数解析式是( )x y A 2.=2.B y x =- x y C 21.= xy D 21.-=知识点二：反比例函数的图像与性质 1、基础知识0>k 时，图像在一、三象限，在每一个象限内，y 随着x 的增大而减小； 0<k 时，图像在二、四象限，在每一个象限内，y 随着x 的增大而增大； 例1.已知反比例函数y a x a =--()226，当x >0时，y 随x 的增大而增大，求函数关系式2、面积问题（1）三角形面积：k S AOB 21=∆ 例1.如图，过反比例函数xy 1=（x ＞0）的图象上任意两点A 、B 分别作x轴的垂线，垂足分别为C 、D ，连接OA 、OB ，设△AOC 和△BOD 的面积分别是S 1、S 2，比较它们的大小，可得（ ）（A ）S 1＞S 2 （B ）S 1＝S 2 （C ）S 1＜S 2 （D ）大小关系不能确定例2.如图，点P 是反比例函数x y 1=的图象上任一点，PA 垂直在x 轴，垂足为A ，设OAP ∆的面积为S ，则S 的值为 （2）矩形面积：k=OBACS 矩形例1．如图，P 是反比例函数(0)ky k x=<图象上的一点，由P 分别向x 轴和y轴引垂线，阴影部分面积为3，则k= 。

知识点三：利用图像比较大小问题 （1）比较点的坐标大小例1．已知点（－1，y 1）、（2，y 2）、（π，y 3）在双曲线xk y 12+-=上，则下列关系式正确的是（ ）（A ）y 1＞y 2＞y 3 （B ）y 1＞y 3＞y 2 （C ）y 2＞y 1＞y 3 （D ）y 3＞y 1＞y 2知识点四：反比例函数与一次函数的综合题 （1） 在同一坐标系中的图像问题 例1． 一次函数y kx k =-与反比例函数ky x=在同一直角坐标系内的大致图象是（ ）知识点五：反比例函数的应用例1．已知甲、乙两地相s （千米），汽车从甲地匀速行驶到达乙地，如果汽车每小时耗油量为a （升），那么从甲地到乙地汽车的总耗油量y （升）与汽车的行驶速度v （千米/时）的函数图象大致是（ ）例1图BACD E例2．一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案，如图所示，设小矩形的长和宽分别为x、y，剪去部分的面积为20，若210x≤≤，则y与x的函数图象是（）相似1、定理：“平行”出相似平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似. 几何表达式举例：∵DE∥BC∴ΔADE∽ΔABC2、定理：“AA”出相似如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.几何表达式举例：∵∠A=∠A又∵∠AED=∠ACB∴ΔADE∽ΔABC3、定理：“SAS”出相似如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.几何表达式举例：∵ACABAEAD又∵∠A=∠A∴ΔADE∽ΔABC4、“双垂”出相似及射影定理：AB CDEACDEBACDEB一、选择题1．矩形面积为4，它的长与宽之间的函数关系用图象大致可表示为 （ ）2．如图，F 是平行四边形ABCD 对角线BD 上的点，BF ∶FD=1∶3，则BE ∶EC=（ ）A ．21B ．31C ．32D ． 413．如图，小正方形的边长均为l ，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是( )4．如图，在△ABC 中，090=∠BAC ,AD ⊥BC 与D ，DE ⊥AB 与E ，若AD=3，DE=2，则AC=（ ） A ．221B ．215C ． 29D ．155．如图，点M 是△ABC 内一点,过点M 分别作直线平行于△ABC 的各边,所形成的三个小三角形1∆,2∆,3∆(图中阴影部分)的面积分别是4,9和49,则△ABC 的面积是( )A ．81B ．121C ．124D ．144 二、填空题6．反比例函数22)12(--=m x m y ，在每个象限内,y 随x 的增大而增大，则m 的值是 ．7．如图，已知双曲线)0k (xky ＞=经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若 △OBC 的面积为3，则k ＝____________．8．如图，将△ABC 沿EF 折叠，使点B 落在边AC 上的点B ’处,已知AB=AC=3,BC=4，若以点 B ’, F, C 为顶点的三角形与△ABC 相似,那么BF 的长是 ．9、A ，B 两城相距600千米，甲、乙两车同时从A 城出发驶向B 城，甲车到达B 城后立即返回．如图是它们离A 城的距离y （千米）与行驶时间 x （小时）之间的函数图象．（1）求甲车行驶过程中y 与x 之间的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围； （2）当它们行驶了7小时时，两车相遇，求乙车速度． （1）①当0≤x ≤6时，x y 100=；②当6＜x ≤14时， 设b kx y +=，∵图象过（6，600），（14，0）两点， ∴⎩⎨⎧=+=+.014,6006b k b k 解得⎩⎨⎧=-=.1050,75b k∴105075+-=x y ． ∴⎩⎨⎧≤<+-≤≤=).146(105075)60(100x x x x y（2） 当7=x 时，5251050775=+⨯-=y ，757525==乙v （千米/小时）．CABEB'Fx/小y /千600146 OFEC DOADBCE4、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点O 作OE ∥AD 交AB 于点E ，若AD=6cm ，BC=12cm ，△AOD 的面积为6cm 2， （1）求△BOC 和△DOC 的面积； （2）求OE 的长. （1） BC AD //Θ∴△AOD ∽△COB2⎪⎭⎫⎝⎛=∴∆∆BC AD S S BOC AOD)(2 246412112,622分cm S cm S S S BC AD cmBC cm AD BOC AOD BOC AOD =∴==∴=∴==∆∆∆∆ΘΘΘ△AOD ∽△COB)(2 1221212分cm S S S BC AD OC OA DOC DOC AOD =∴=∴==∴∆∆∆（2）Θ△AOD ∽△COBADOE BD OB AD BCDO OB //322Θ=∴==∴(1分) ∴△BOE ∽△BDA (1分))(1 4632分cm OE cmAD OD OB AD OE =∴===∴Θ5、如图，已知A(-4，2)、B(n ，-4)是一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=的图象的两个交点.（1）求此反比例函数和一次函数的解析式； （2）求△AOB 的面积；（3）根据图象写出使一次函数的值小于反比 例函数的值的x 的取值范围. (1)(2)(3)224><<-x x 或选择题：1、 如图，在矩形ABCD 中，AB =4，BC=3，点P 从起点B 出发， 沿BC 、CD 逆时针方向向终点D 匀速运动.设点P 所走过 路程为x ，则线段AP 、AD 与矩形的边所围成的图形面积为y ， 则下列图象中能大致反映y 与x 函数关系的是（ ）)(2 8842)2,4(分得代入把xy m m xm y A -=∴-=∴-==-)(2 )4,2(2848)4,(分得代入把-∴=∴-=--=-B n nxy n B )(2 2212442)4,2(),2,4(分解得得代入把--=∴⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧+=-+-=+=--x y b k bk b k b kx y B A )(2 642202分），（，则轴交于点与设=∴==∴=∴-∆∆∆AOB BOC AOC S S S OC C C x AB2、 如图，一次函数y x b =+与反比例函数ky x =在第一象限的图象交于点B ，且点B 的横坐标为1，过点B 作y 轴的垂线，C 为垂足，若32BCOS ∆=，求一次函数和反比例函数的解析式. 解：∵一次函数y x b =+过点B ，且点B 的横坐标为1， ∴1y b =+，即11B b +（，）BC y ⊥Q 轴，且32BCO S ∆=，1131(1)222OC BC b ∴⨯⨯=⨯⨯+=，解得2b =， ∴()13B ，∴一次函数的解析式为2y x =+. 又∵ky x=过点B ， 3 3.1kk ∴==，∴反比例函数的解析式为3.y x=3、如图，一次函数2y kx =+的图象与反比例函数my x=的图象交于点P ，点P 在第一象限．PA ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y 轴于点B ．一次函数的图象分别交x 轴、y 轴于点C 、D ，且S △PBD =4，12OC OA=． （1）求点D 的坐标；（2）求一次函数与反比例函数的解析式；（3）根据图象写出当0x >时，一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围. 解：（1）在2y kx =+中，令0x =得2y =∴点D 的坐标为（0，2）………2分 （2）∵ AP ∥OD∴Rt △PAC ∽ Rt △DOC ……………………1分 ∵ 12OC OA= ∴13OD OC APAC==y xPBD A O C。