华东师大版九年级数学上册相似三角形判定
的夹角，那么这两个三角形还 相似吗？
三角形相似判定定理2：
如果一个三角形的两条边分别与另外一个三角形的两
条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形
相似．简称：两边对应成比例且夹角相等的两个三角
形相似. D 。
E
用数学符号表示：
F
A
∵
B
∠B=∠E
C ∴ △ ABC∽ △DEF
1、依据下列各组条件，证明△ABC和△A ′ B ′ C ′相似. ∠A＝40°，AB＝8，AC＝15， ∠A ′ ＝40°，A ′ B ′ ＝16，A ′ C ′ ＝30．
7. 若△ABC的三条边长的比为3cm、5cm、6cm,与其相似
的另一个△A′B′C′的最小边长为12 cm，那么A′B′C′的最大边 长是_____2_4c_m_。
8. 如图，在△ABC中，DG∥EH∥FI∥BC， （1）请找出图中所有的相似三角形；△ADG∽△AEH∽△AFI∽△ABC （2）如果AD=1，DB=3，那么DG：BC=___1_:_4 。
图 23.3.13
探究1
边 边
S
边S
S
AB
已知：A1B1
BC B1C1
AC .
A1C1
求证：△ABC∽△A1B1C1.
A1
A
B
C B1
C1
有效利用判定定理一去求证。
A
D
A1 E
B
C B1
C1
交DE证∥明于B：点1在EC根1线据段前AA面1C1的（B1 定或1 理它可的得延长线）上截取 A1.DA1DA，EB过∽点D作A1B1C1 ，
例3、如图已知，∠BAC＝90°，BD＝CD，DE⊥BC 交AC于E，交BA延长线于F. 求证：DA2＝DE·DF
证明：∵∠BAC＝90°, BD＝CD
∴ AD＝CD
∴∠C＝∠DAC
∵ DE⊥BC
∴∠B＋∠F＝90°
又∵∠B＋∠C＝90°
∴∠F＝∠C＝∠DAC
由于∠EDA为公共角
F
∴ △FDA∽△ADE
△ AED∽ △ABC
课堂小结
1. 相似图形---三角形的判定方法：
✓ 通过定义 （三边对应成比例，三角对应相等） ✓ 平行于三角形一边的直线 ✓ 三边对应成比例（SSS） ✓ 两边对应成比例且夹角相等 （SAS） ✓ 两角对应相等（AA） ✓ 两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例（HL）
4. 已知：如图，AB∥EF ∥CD，图中共有___3对相似三角形。
知识要点
边 边
S
√边 S
判定三角形相似的定理之一 S
如果两个三角形的三组对应边的比 相等三（边成对比应例成）比，例那，么两这三两角个形三相角似形。相
似。A
A1
B
C
即：
如果
AB BC AC , A1B1 B1C1 A1C1
那么 △ABC∽△A1B1C1.
B1
C1
小练习
已知： AB BC AC ， 求证：∠BAD=∠CAE。
做题时要注意题目隐含的条件：
对顶角相等、公共角.
师生互动
例2. 如图，△ABC中， DE∥BC，EF∥AB， 求证；△ADE∽△EFC.
证明 ∵ DE∥BC （已知）
∴ ∠ADE＝∠B ∠AED＝∠C 法二∵ DE∥BC （已知）
又∵ EF∥AB（已知）
∴△ADE∽△ABC
∴ ∠B＝∠EFC
还有其他 又∵ EF∥AB
已知在△ABC和△A′B′C′中.∠A=∠A′ ，∠ B=∠B′ 求证： △ABC∽△A′B′C′
A A′
D
E
B
C B′ C′
三角形相似判定定理1：
如果一个三角形的两个角分别与另外一个三角形的两
个角对应相等，那么这两个三角形相似．简称：两角
对应相等，两三角形相似。
B
E
用数学符号表示：
∵ ∠A=∠D， ∠B=∠E
3.如图，Rt△ABC中，CD⊥AB，DE⊥BC. C
则图中与△CDE相似的三角形一共有( )个.
E
A
B
4. 如图,在Rt△ABC中,∠B＝90°，
D
AB＝BE＝EF＝FC.
求证：△AEF∽△CEA.
5.如图, 已知DC∥AB, AC、BD 相交于点O, AO=BO, DF=FB . 求证：DE2=EC·EO
A1
A
B
C B1
C1 你能证明吗？
※
类比全等SAS
如果一个三角形的两条边分别与另一个三角 形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那 么它们相似吗？
已知在△ABC和△A′B′C′中A.B AC
A' B' A'C'
∠A=∠A′ ，
求证：
△ABC∽△A′B′C′
A A′
D
E
B
C B′ C′
如果相等的角不是成比例两边
∴ DF:DA＝DA:DE
∴ DA2＝DE·DF
C
D E
A
B
例4、如图,E是平行四边形ABCD的CD边上一 点,连结并延长AE交BC的延长线于点F. 求证: AD∙AB=FB∙ED
A
D
E
B
F C
观察图23．3．10，如果有一点E在边AC上移动， 那么点E应该在什么位置才能使△ADE与△ABC相似呢？
A
B
AB∥EF AB∥CD EF∥CD
△AOB∽ △FOE △AOB ∽△DOC △EOF∽△COD
O
E
F
C
D
5. 如果两个三角形的相似比为1，那么这两个三角形 ____全_等___。
6. 若△ABC与△A′B′C′相似，一组对应边的长为AB=3 cm， A′B′=4 cm，那么△A′B′C′与△ABC的相似比是___4_︰__3__。
图中两个三角形的一组对
应边AD与AB的长度的比
值为
1 3
．将点E由点A开
始在AC上移动，可以发
现当AE＝13AC时，△ADE
与△ABC似乎相似．此时
E
图 23.3.10
AD AB
=_____．
探究2
边 角
S
边A
S
已知：
AB A1B1
BC B1C1
k,
∠B =∠B1 .
求证：△ABC∽△A1B1C1.
2、如图，D在△ABC的AB边上，
AD=1,BD=2, AC= 3.
问：△ACD与△ABC相似吗？
B
A D
C
3、如图所示，D是△ABC的边AB上的一点，根据下列
条件，可证明△ABC∽△ACD的是（ C ）
A
A. AC·AB=AC·CD C. AC2=AB·AD
B. BC·AD=CD·AC D. CD2=AD·BD
AD DE AE
A
解：∵ AB BC AC ，
E
AD DE AE
∴ΔABC∽ΔADE ∴∠BAC=∠DAE
D C
B
∴∠BAC－∠DAC =∠DAE－∠DAC
即∠BAD=∠CAE
1.如图，在边长为1个单位的方格纸，有两个△ABC 和△DEF,请问这两个三角形是否相似？为什么？
A
B
C
D
F
E
2. AD⊥BC于点D， CE⊥AB于点 E ，且交AD于F，你 能从中找出几对相似三角形？
D
B
C
勇于开始，才能找到成
功的路
4、如果AF·AC=AE·AB,那么相似三角形
A
有多少组？分别是？
E
F
D
B
C
1．如图，在▱ABCD中，点E是AD边上的中点，连接BE，并延
长BE交CD延长线于点F，则△EDF与△BCF的周长之比是( )
A. 1∶2
B．1∶3
C．1∶4
D．1∶5
2．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影 部分)与△ABC 相似的是( )
DE EF DF
※
1、让我们先从最常见的三角尺开始。
30°与60°的直角三角形
45°与45°的直角三角形
如果一个三角形的三个角分别与另一个三角 形的三个角对应相等，那么它们相似吗？
探究1
任意画两个三角形，使三对角分
别对应相等，再量一量对应边，
看看是否成比例.
A
82°
5
3
D
82°
10
6
B 47° 6
常用的相等的角： ∠A =∠DCB ；∠B =∠ACD勇功于的开路始，才能找到成 常用的成比例的线段：
AC2 AD AB BC2 BD AB
CD2 AD DB
练习2、如图1，要使△ABC∽△ACD，
只需要条件
；
3、如图2，要使△ABE∽△ACD，
只需要条件
；
A
D
A
D E
B
C
图1
C B
图2
对应角_相__等____, 对应边—成——比—例——的 两个三角形, 叫做相似三角形 . B
A C
∵∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F
DBC∽ △DEF
E
F
相似三角形的—对—应——角—相—等——, 各对应边—成—比——例——。
相似比: AB BC AC =k k=1 两三角形全等
A
∴ ΔABC ∽ ΔDEF
CD
F
※
小试牛刀
下列图形中两个三角形是否相似？
A
30°
A'
60°
B
C B'
C'
△ABC ∽ △A'B'C'
三角形相似判定定理2：
如果一个三角形的两条边分别与另外一个三角形的两
条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形
相似．简称：两边对应成比例且夹角相等的两个三角
形相似. D 。
E
用数学符号表示：
F
A
∵
B
∠B=∠E
C ∴ △ ABC∽ △DEF
1、依据下列各组条件，证明△ABC和△A ′ B ′ C ′相似. ∠A＝40°，AB＝8，AC＝15， ∠A ′ ＝40°，A ′ B ′ ＝16，A ′ C ′ ＝30．
7. 若△ABC的三条边长的比为3cm、5cm、6cm,与其相似
的另一个△A′B′C′的最小边长为12 cm，那么A′B′C′的最大边 长是_____2_4c_m_。
8. 如图，在△ABC中，DG∥EH∥FI∥BC， （1）请找出图中所有的相似三角形；△ADG∽△AEH∽△AFI∽△ABC （2）如果AD=1，DB=3，那么DG：BC=___1_:_4 。
图 23.3.13
探究1
边 边
S
边S
S
AB
已知：A1B1
BC B1C1
AC .
A1C1
求证：△ABC∽△A1B1C1.
A1
A
B
C B1
C1
有效利用判定定理一去求证。
A
D
A1 E
B
C B1
C1
交DE证∥明于B：点1在EC根1线据段前AA面1C1的（B1 定或1 理它可的得延长线）上截取 A1.DA1DA，EB过∽点D作A1B1C1 ，
例3、如图已知，∠BAC＝90°，BD＝CD，DE⊥BC 交AC于E，交BA延长线于F. 求证：DA2＝DE·DF
证明：∵∠BAC＝90°, BD＝CD
∴ AD＝CD
∴∠C＝∠DAC
∵ DE⊥BC
∴∠B＋∠F＝90°
又∵∠B＋∠C＝90°
∴∠F＝∠C＝∠DAC
由于∠EDA为公共角
F
∴ △FDA∽△ADE
△ AED∽ △ABC
课堂小结
1. 相似图形---三角形的判定方法：
✓ 通过定义 （三边对应成比例，三角对应相等） ✓ 平行于三角形一边的直线 ✓ 三边对应成比例（SSS） ✓ 两边对应成比例且夹角相等 （SAS） ✓ 两角对应相等（AA） ✓ 两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例（HL）
4. 已知：如图，AB∥EF ∥CD，图中共有___3对相似三角形。
知识要点
边 边
S
√边 S
判定三角形相似的定理之一 S
如果两个三角形的三组对应边的比 相等三（边成对比应例成）比，例那，么两这三两角个形三相角似形。相
似。A
A1
B
C
即：
如果
AB BC AC , A1B1 B1C1 A1C1
那么 △ABC∽△A1B1C1.
B1
C1
小练习
已知： AB BC AC ， 求证：∠BAD=∠CAE。
做题时要注意题目隐含的条件：
对顶角相等、公共角.
师生互动
例2. 如图，△ABC中， DE∥BC，EF∥AB， 求证；△ADE∽△EFC.
证明 ∵ DE∥BC （已知）
∴ ∠ADE＝∠B ∠AED＝∠C 法二∵ DE∥BC （已知）
又∵ EF∥AB（已知）
∴△ADE∽△ABC
∴ ∠B＝∠EFC
还有其他 又∵ EF∥AB
已知在△ABC和△A′B′C′中.∠A=∠A′ ，∠ B=∠B′ 求证： △ABC∽△A′B′C′
A A′
D
E
B
C B′ C′
三角形相似判定定理1：
如果一个三角形的两个角分别与另外一个三角形的两
个角对应相等，那么这两个三角形相似．简称：两角
对应相等，两三角形相似。
B
E
用数学符号表示：
∵ ∠A=∠D， ∠B=∠E
3.如图，Rt△ABC中，CD⊥AB，DE⊥BC. C
则图中与△CDE相似的三角形一共有( )个.
E
A
B
4. 如图,在Rt△ABC中,∠B＝90°，
D
AB＝BE＝EF＝FC.
求证：△AEF∽△CEA.
5.如图, 已知DC∥AB, AC、BD 相交于点O, AO=BO, DF=FB . 求证：DE2=EC·EO
A1
A
B
C B1
C1 你能证明吗？
※
类比全等SAS
如果一个三角形的两条边分别与另一个三角 形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那 么它们相似吗？
已知在△ABC和△A′B′C′中A.B AC
A' B' A'C'
∠A=∠A′ ，
求证：
△ABC∽△A′B′C′
A A′
D
E
B
C B′ C′
如果相等的角不是成比例两边
∴ DF:DA＝DA:DE
∴ DA2＝DE·DF
C
D E
A
B
例4、如图,E是平行四边形ABCD的CD边上一 点,连结并延长AE交BC的延长线于点F. 求证: AD∙AB=FB∙ED
A
D
E
B
F C
观察图23．3．10，如果有一点E在边AC上移动， 那么点E应该在什么位置才能使△ADE与△ABC相似呢？
A
B
AB∥EF AB∥CD EF∥CD
△AOB∽ △FOE △AOB ∽△DOC △EOF∽△COD
O
E
F
C
D
5. 如果两个三角形的相似比为1，那么这两个三角形 ____全_等___。
6. 若△ABC与△A′B′C′相似，一组对应边的长为AB=3 cm， A′B′=4 cm，那么△A′B′C′与△ABC的相似比是___4_︰__3__。
图中两个三角形的一组对
应边AD与AB的长度的比
值为
1 3
．将点E由点A开
始在AC上移动，可以发
现当AE＝13AC时，△ADE
与△ABC似乎相似．此时
E
图 23.3.10
AD AB
=_____．
探究2
边 角
S
边A
S
已知：
AB A1B1
BC B1C1
k,
∠B =∠B1 .
求证：△ABC∽△A1B1C1.
2、如图，D在△ABC的AB边上，
AD=1,BD=2, AC= 3.
问：△ACD与△ABC相似吗？
B
A D
C
3、如图所示，D是△ABC的边AB上的一点，根据下列
条件，可证明△ABC∽△ACD的是（ C ）
A
A. AC·AB=AC·CD C. AC2=AB·AD
B. BC·AD=CD·AC D. CD2=AD·BD
AD DE AE
A
解：∵ AB BC AC ，
E
AD DE AE
∴ΔABC∽ΔADE ∴∠BAC=∠DAE
D C
B
∴∠BAC－∠DAC =∠DAE－∠DAC
即∠BAD=∠CAE
1.如图，在边长为1个单位的方格纸，有两个△ABC 和△DEF,请问这两个三角形是否相似？为什么？
A
B
C
D
F
E
2. AD⊥BC于点D， CE⊥AB于点 E ，且交AD于F，你 能从中找出几对相似三角形？
D
B
C
勇于开始，才能找到成
功的路
4、如果AF·AC=AE·AB,那么相似三角形
A
有多少组？分别是？
E
F
D
B
C
1．如图，在▱ABCD中，点E是AD边上的中点，连接BE，并延
长BE交CD延长线于点F，则△EDF与△BCF的周长之比是( )
A. 1∶2
B．1∶3
C．1∶4
D．1∶5
2．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影 部分)与△ABC 相似的是( )
DE EF DF
※
1、让我们先从最常见的三角尺开始。
30°与60°的直角三角形
45°与45°的直角三角形
如果一个三角形的三个角分别与另一个三角 形的三个角对应相等，那么它们相似吗？
探究1
任意画两个三角形，使三对角分
别对应相等，再量一量对应边，
看看是否成比例.
A
82°
5
3
D
82°
10
6
B 47° 6
常用的相等的角： ∠A =∠DCB ；∠B =∠ACD勇功于的开路始，才能找到成 常用的成比例的线段：
AC2 AD AB BC2 BD AB
CD2 AD DB
练习2、如图1，要使△ABC∽△ACD，
只需要条件
；
3、如图2，要使△ABE∽△ACD，
只需要条件
；
A
D
A
D E
B
C
图1
C B
图2
对应角_相__等____, 对应边—成——比—例——的 两个三角形, 叫做相似三角形 . B
A C
∵∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F
DBC∽ △DEF
E
F
相似三角形的—对—应——角—相—等——, 各对应边—成—比——例——。
相似比: AB BC AC =k k=1 两三角形全等
A
∴ ΔABC ∽ ΔDEF
CD
F
※
小试牛刀
下列图形中两个三角形是否相似？
A
30°
A'
60°
B
C B'
C'
△ABC ∽ △A'B'C'
合集下载
2相似三角形判定1-华东师大版九年级数学上册课件
求证：△ABC ∽△ A1B1C1
分析： 在ΔABC中截一个三角形与ΔABC
类似 ，如何截？
作平行线 D
这样, △ADE∽ △ABC
B
A
A1
E
B1
C1
C
下面就只须证明：
ADE ≌ A1B1C1
文字叙述证明 题步骤：先画图；
写出已知、求证； 再证明。
【证明】
在AB上截取AD= A1B1 ，过D点作
DE∥BC交AC于点E,则
②DE是BC的一半。 ③△ADE≌△CEF
结论：过三角形一边
中点作另一边的平行 线一定平分第三边。
课堂练习
1、（课本67页）如图DG∥EH∥FI∥BC，找出图中所 有的类似三角形．
【解】 △ADG∽△AEH ∽△AFI ∽△ABC
2． （课本67页）找出图中所有的类似三角形， 并说明理由。
【解】 △ACD∽△BCD ∽△ABC
△ADE∽ △ABC ∵DE∥BC
A
A1
∴∠ADE=∠B
又∠B=∠ B1
∴∠ADE=∠ B1
D
B
E
B1
C1
C
在△ADE和△ A1B1C1 中，
∵∠A=∠ A,1 AD= A1B, 1 ∠ADE=∠ B1 .
∴△ADE≌△ A1B1C1
∴△ABC ∽△ A1B1C1
例题解析
例1 如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，
理由： 两角分别相等的两个三角形类似
3、判断下列说法是否正确：
（1）、两个等边三角形类似 （ ） （2）、两个直角三角形类似 （ ） （3）、两个等腰直角三角形都类似（ ） （4）、有一个角为50°的两个等腰三角形类似（ ） （5）、有一个角为100°的两个等腰三角形类似（ ）
分析： 在ΔABC中截一个三角形与ΔABC
类似 ，如何截？
作平行线 D
这样, △ADE∽ △ABC
B
A
A1
E
B1
C1
C
下面就只须证明：
ADE ≌ A1B1C1
文字叙述证明 题步骤：先画图；
写出已知、求证； 再证明。
【证明】
在AB上截取AD= A1B1 ，过D点作
DE∥BC交AC于点E,则
②DE是BC的一半。 ③△ADE≌△CEF
结论：过三角形一边
中点作另一边的平行 线一定平分第三边。
课堂练习
1、（课本67页）如图DG∥EH∥FI∥BC，找出图中所 有的类似三角形．
【解】 △ADG∽△AEH ∽△AFI ∽△ABC
2． （课本67页）找出图中所有的类似三角形， 并说明理由。
【解】 △ACD∽△BCD ∽△ABC
△ADE∽ △ABC ∵DE∥BC
A
A1
∴∠ADE=∠B
又∠B=∠ B1
∴∠ADE=∠ B1
D
B
E
B1
C1
C
在△ADE和△ A1B1C1 中，
∵∠A=∠ A,1 AD= A1B, 1 ∠ADE=∠ B1 .
∴△ADE≌△ A1B1C1
∴△ABC ∽△ A1B1C1
例题解析
例1 如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，
理由： 两角分别相等的两个三角形类似
3、判断下列说法是否正确：
（1）、两个等边三角形类似 （ ） （2）、两个直角三角形类似 （ ） （3）、两个等腰直角三角形都类似（ ） （4）、有一个角为50°的两个等腰三角形类似（ ） （5）、有一个角为100°的两个等腰三角形类似（ ）
华东师大版九年级数学上册第23章相似三角形的判定和性质复习课件
例1
如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD于E 点，F为AE上的一点，且∠BFE=∠C.
（1）求证：∆ABF∽ ∆EAD;
（2）若AB=5，AD=3，AE=2BE，求BF的长.
【证明】（1）∵ABCD是平行四边形， A
B
∴AB∥CD，AD∥BC.
∴∠D+ ∠C=180⁰
F
∟
又∵∠AFB+ ∠BFC=180⁰ 且∠BFE=∠C.
则△ ADE和△ ABC 的面积比为＿4＿:2＿5 . B
C
3. 已知三角形甲各边的比为3:4:6， 和它类似的三角形乙 的最大边
为10cm， 则三角形乙的最短边为___5___cm.
4. 如图，△ADE∽ △ACB,
A
2 D
3
则DE:BC=_1_:_3__ 。
7
E
3
5. 如图，D是△ABC一边BC
D
EC
∴ ∠AFB=∠D
又∵ AB∥CD
∴ ∠BAF=∠AED
∴∆ABF∽ ∆EAD
（2）若AB=5，AD=3，AE=2BE，
A
B
求BF的长
分析： 由（1）知∆ABF∽ ∆EAD
F
∟
BF:AD=AB:A 只需求AE D
EC
【解】（2）∵ AEB∥CD， BE⊥CD，
∴BE⊥AB, ∴ ∆ABE是直角三角形.
的三角形．
练习题:
1. △ ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且∠AED=
∠ B，那么△ AED ∽ △ ABC，从而
AD (AC)
DE =BC
△ ABC中，AB的中点为D，AC的中点为E，连结DE，
则△ ADE与△ ABC的周长比为__1_:_2__.
23.第1课时相似三角形的判定课件初中数学华师大版九年级上册
教学反思
本课时从学生所熟悉的特殊三角板入手，通 过学生动手操作探究类似三角形的判定定理 1， 从中感受学习几何的乐趣，从而激发学生学习兴 趣，培养学生的几何推理能力.
பைடு நூலகம்
E
又∵ EF∥AB，
∴∠EFC =∠B ， ∴∠ADE =∠EFC，
B
F
C
∴△ADE∽△EFC （两角分别相等
的两个三角形类似）.
想一想
在例3 中，如果点 D 恰好在
边AB 的中点，那么点 E 是边 AC
D
的中点吗？此时，DE 和 BC 有什 D
么关系？△ADE 与 △EFC 又有
什么特殊关系呢？
解 ∵ ∠C =∠C′ = 90°， ∠A =∠A′ ，
∴ △ABC ∽△A′B′C′ （两角分 别相等的两个三角形类似）.
两个直角三角形，若有一对锐 角对应相等，则它们一定类似.
例3 如图，在△ABC 中，DE∥BC，
EF∥AB，求证：△ADE ∽ △EFC.
A
证明 ∵ DE∥BC ，
∴ ∠ADE = ∠B，∠AED = ∠C， D
复习导入
如何判断两个三角形是否类似？ 根据定义：对应角相等，对应边成比例.
是否存在判定两个三角 形类似的简便方法？
回顾
推动新课
在判定两个三角形全等时，我们得到了SSS， SAS，ASA，AAS的简便方法.
那么，对于类似三角形的判定，是否也存在 类似的分类与判定方法呢？
直角三角尺
从直观来看，一个三角形的三个角分别 与另一个三角形的三个角对应相等时，它们 就“应该”类似了.确实是这样吗？
2.类似三角形的判定
第1课时 类似三角形的判定（1）
华东师大版九年级上册
相似三角形的判定课件(华师大版九年级上)
相似比
相似三角形对应边的比值称为相 似比。
相似三角形的性质
对应角相等
相似三角形对应的角相等，即$angle A_1 = angle A_2, angle B_1 = angle B_2, angle C_1 = angle C_2$ 。
对应边成比例
周长和面积比值相等
相似三角形的周长和面积的比值相等 ，即$frac{P_1}{P_2} = left(frac{a_1}{a_2}right)^2$。
04 相似三角形与全等三角形的关系
CHAPTER
全等三角形与相似三角形的联系
01
全等三角形是相似三角形的一种 特殊情况，即当两个相似比为1时 ，它们就是全等三角形。
02
全等三角形一定是相似三角形， 但相似三角形不一定是全等三角 形。
全等三角形与相似三角形的区别
全等三角形的对应边和对应角都相等，而相似三角形的对 应角相等，对应边成比例。
角边判定定理
如果两个三角形有一个对 应的角相等，并且这个角 所对的两边成比例，则这 两个三角形相似。
02 相似三角形的判定方法
CHAPTER
角角判定法
总结词
通过比较两个三角形的对应角是否相 等来判断三角形是否相似。
详细描述
如果两个三角形的两个对应角相等， 则这两个三角形相似。这是相似三角 形的一种基本判定方法。
CHAPTER
基础练习题
基础判定定理的直接应用
这类题目主要考察学生对相似三角形判 定定理的基本理解和应用能力，难度较 低。
VS
简单的角度和边长关系
这类题目会涉及到一些简单的角度和边长 的关系，需要学生根据这些条件判断两个 三角形是否相似。
提高练习题
综合应用判定定理
相似三角形对应边的比值称为相 似比。
相似三角形的性质
对应角相等
相似三角形对应的角相等，即$angle A_1 = angle A_2, angle B_1 = angle B_2, angle C_1 = angle C_2$ 。
对应边成比例
周长和面积比值相等
相似三角形的周长和面积的比值相等 ，即$frac{P_1}{P_2} = left(frac{a_1}{a_2}right)^2$。
04 相似三角形与全等三角形的关系
CHAPTER
全等三角形与相似三角形的联系
01
全等三角形是相似三角形的一种 特殊情况，即当两个相似比为1时 ，它们就是全等三角形。
02
全等三角形一定是相似三角形， 但相似三角形不一定是全等三角 形。
全等三角形与相似三角形的区别
全等三角形的对应边和对应角都相等，而相似三角形的对 应角相等，对应边成比例。
角边判定定理
如果两个三角形有一个对 应的角相等，并且这个角 所对的两边成比例，则这 两个三角形相似。
02 相似三角形的判定方法
CHAPTER
角角判定法
总结词
通过比较两个三角形的对应角是否相 等来判断三角形是否相似。
详细描述
如果两个三角形的两个对应角相等， 则这两个三角形相似。这是相似三角 形的一种基本判定方法。
CHAPTER
基础练习题
基础判定定理的直接应用
这类题目主要考察学生对相似三角形判 定定理的基本理解和应用能力，难度较 低。
VS
简单的角度和边长关系
这类题目会涉及到一些简单的角度和边长 的关系，需要学生根据这些条件判断两个 三角形是否相似。
提高练习题
综合应用判定定理
初中数学华东师大九年级上册图形的相似相似三角形判定定理PPT
3、平行定理（相似三角形判定
的预备定理）,并结合图形用字母
表示出该定理。
平行于三角形一边的直线，和其它两边（或两边的 延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似。
A
E
D
A
D
E
B
∵ DE∥BC
CC
B
∴ △ADE∽ABC
二、探求新知
从平行定理出发，观察下图，你能得出什 么新结论？（在图形变化过程中，始终满足 DE∥BC）
E
C B′ C′
五、得出新知
我们可以得到：相似三角形的判定定理1
如果一个三角形的两个角分别与另一个三角
形的两个角对应相等.那么这两个三角形相似.
可简单说成：两个角对应相等的两个三角形相似
符号语言表示
A A'
为：
∵ ∠A=∠A′ ∠ B=∠B′
B
C B' C'
∴ △ABC∽△ A’B’C’
六、应用新知
思路：在运动变 化中找不变性
在图根只形据运要三动两中角个，形三由的于角内D形E角∥的B和C三，等个因于角此1在对80° 可相D变测应似、知 等出，相 。E而什只，的等角么变那要，的结化么两大论那过个两小？程么始三个中两终，角三个不△形角变三A的形D。角E你就两的形能边相个就大长似角胆相在。对猜 应
动手实践
Байду номын сангаас
条件。怎样创造呢？
规范推理
证明：
在△ABC的边AB上截取
AD=A’ B’ ，过点D作DE∥BC，
D
交AC于点E.则
△ADE∽△ABC
B
∴∠ADE=∠B ∵ ∠B=∠B’ ∴∠ADE=∠B’
又∵ AD=A’B’∠ A=∠A’
23.3.2相似三角形的判定定理(23)课件华东师大版九年级数学上册
BC B' C'
8 12.8
5， 8
∴△ABC∽△A′B′C′.
5.如图△ABC为锐角三角形，BD，CE分别为AC，AB边上的高.
求证：△ADE∽ △ABC.
证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
E
A D
∴∠ABD+∠A=90°，∠ACE+∠A= 90°.
O
∴ ∠ABD= ∠ACE.
又∵ ∠A= ∠A，∴△ ABD ∽ △ ACE. B
A
两边成比例且夹角相等
如果相等的角不是成比 例的两边的夹角，那么 这两个三角形还相似吗？
4 cm 3.2 cm
A′
如图，4∶2=3.2∶1.6，∠B=∠B′，
B 50°C
2 cm B′ 50°
1.6 cm 但两个三角形不相似.
C′
例4 证明图中的△AEB∽△FEC相似.
1. 如图，D是△ABC一边BC上一点，连接AD，使
相似比
已知△ABC和 △DEF，根据下列条件判断它们是否相似.
(1)AB=3，BC=4，AC=6. DE=6，EF=8，DF=9.
不相似
(2)AB=4，BC=8，AC=10. DE=20，EF=16，DF=8.
相似
(3)AB=12，BC=15，AC=24. DE=16，EF=20，DF=30.
不相似
使得由点B，O，C组成的三角形与△AOB相似(不包括全等)．
4. 已知 AB = 10，BC = 8 ，AC = 16，A′B′ = 16，B′C′ = 12.8， C′A′ = 25.6，试说明△ABC∽△A′B′C′.
解：∵
AB A' B'
10 16
华东师大版九年级上册《相似三角形的判定》 课件
和 △ A′B′C′ 中 ， ∠ B ＝ ∠ B′
＝90°，∠A＝∠A′。
求证： △ABC∽△A′B′C′
B'
B
∵ 证明： ∠B＝∠B′＝90°（已知） ∠A＝∠A′（已知）
∴ △ABC∽△A′B′C′（两组对应角分别 相等的两个三角形相似）
C'
C
四、应用新知
下列图形中两个三角形是否相似？
（3）判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似。
2、温馨提示：
在利用判定定理1证明两三角形相似时，注意图中 隐含的相等角，如图形中的公共角、对顶角、直角， 及两直线平行所构成的同位角、内错角等。
作业：
1.课内：课本P75页 习题 第1、4（1）题。 2.课外：学习检测P53-54第1-5题。
9、 人的价值，在招收诱惑的一瞬间被决定 。21.4.221.4.2F riday, April 02, 2021
E
C
图3
4．在△ABC与△A′B′C′中,
（1）∠A＝∠A′＝50°，∠B＝70°，∠B′＝70°，这两 个三角形相似吗？ （2） ∠A＝∠A′＝50°，∠B＝70°，∠B′＝60° 这两三角形仍然相似吗？
A A′
B
C B′
C′
六、课堂小结
1.相似三角形的判定方法：
（1）定义
（2）平行于三角形一边的直线，和其它两边（或两 边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似。
16、业余生活要有意义，不要越轨。2021年4月2日 星期五1时40分 2秒13:40:022 April 2021
17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。下 午1时40分2秒 下午1时 40分13:40:0221.4.2
＝90°，∠A＝∠A′。
求证： △ABC∽△A′B′C′
B'
B
∵ 证明： ∠B＝∠B′＝90°（已知） ∠A＝∠A′（已知）
∴ △ABC∽△A′B′C′（两组对应角分别 相等的两个三角形相似）
C'
C
四、应用新知
下列图形中两个三角形是否相似？
（3）判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似。
2、温馨提示：
在利用判定定理1证明两三角形相似时，注意图中 隐含的相等角，如图形中的公共角、对顶角、直角， 及两直线平行所构成的同位角、内错角等。
作业：
1.课内：课本P75页 习题 第1、4（1）题。 2.课外：学习检测P53-54第1-5题。
9、 人的价值，在招收诱惑的一瞬间被决定 。21.4.221.4.2F riday, April 02, 2021
E
C
图3
4．在△ABC与△A′B′C′中,
（1）∠A＝∠A′＝50°，∠B＝70°，∠B′＝70°，这两 个三角形相似吗？ （2） ∠A＝∠A′＝50°，∠B＝70°，∠B′＝60° 这两三角形仍然相似吗？
A A′
B
C B′
C′
六、课堂小结
1.相似三角形的判定方法：
（1）定义
（2）平行于三角形一边的直线，和其它两边（或两 边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似。
16、业余生活要有意义，不要越轨。2021年4月2日 星期五1时40分 2秒13:40:022 April 2021
17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。下 午1时40分2秒 下午1时 40分13:40:0221.4.2
2相似三角形平行线判定三角形相似-华东师大版九年级数学上册课件
D
E
DE∥BC
【解】 ∵点D是边AB三等分点
B
C
AD 1
AB 3
∵DE∥BC
∴△ADE∽ △ABC（ 平行于三角形一边的直线， 和其他两边相交所构成的三角形和原三角形类似）
DE AD 1， BC AB 3
∴BC=3DE=15
对应练习1 课本P64练习
如图，在△ABC中，点D是边AB四等分 点，DE∥AC,DF ∥ BC,AC=8，BC=12. 求四边形DECF的周长。
平行于三角形一边的直线，和其他两边
（或两边的延长线）相交所构成的三角形与
原三角形类似．
A
ED
A
D
E
B “A”字形 C
B
C
“X”字形
∵DE∥BC, ∴△ADE∽ △ABC
∵DE∥BC, ∴△ADE∽ △ABC
例题解析
例1
如图，在△ABC中，点D是边AB三等分点，
DE∥BC,DE=5，求BC的长。
A
分析：点D是边AB三等分点
§23.3 类似三角形（1）
——平行线判定类似
知识回顾
1、两个边数相同的多边形,如果各边对应__成__比__例___, 各角对应__相__等___,那么这两个多边形类似。
2、类似多边形的____对__应__边______成比例， __对_应__角___相等。
知识点 1 类似三角形的概念
在类似多边形中，最简单的是类似三角形。
A
A'
则类似比k=
AB (或 A'B'
BC 或 B 'C '
AC A'C
) '
B
C
C'
九年级数学上册 24.3(第三课时)相似三角形判定定理两角课件 华东师大版
（√ ）
⑷所有的直角三角形都相似。
（× ）
⑸有一个角是120°的两个等腰三角形相似。（√ ）
⑹有一个角是80 °的两个等腰三角形相似 (× )
2、下列图形中两个三角形是否相似？
C
D
A’
E
A
B
C B’
A A’
A C’
B
C B’
C’
B
B
A D
E C
3、找出下图中所有的相似三角形 。Leabharlann △ABC∽△CBD∽△ACD
三个内角对应相等。
相 似
三个内角对应相等的两个三角 形一定相似吗？
探索：
如果一个三角形的三个角与另一个三角形 的三个角对应相等，那么它们相似吗？
试一试：
任意画两个三角形，使其三对角对应相等．用刻 度尺量两个三角形的对应边，看看两个三角形的 对应边是否成比例．
与你的同伴交流，你所画 的三角形相似吗？
第24章 图形的相似 §24.3 相似三角形
第三课时
相似三角形的判定定理（1）
1、你还记得什么叫相似三角形吗
对应角相等，对应边成比例的三角形 叫相似三角形。
2、两个三角形相似，必须满足什么条件？
∠A = ∠A’,∠B =∠B’,∠C = ∠C’
图18.3.3
AB AC BC
A'B' A'C' B'C'
新的识别方法
方法3：如果一个三角形的两角分别与另一个三
角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似 。
（也称判定定理1）
若∠A = ∠A’,∠B =∠B’
图18.3.3
∴△ABC∽△ A'B'C'
23.3.2 相似三角形的判定 第1课时 相似三角形的判定(一) 课件 数学华东师大版九年级上册
＝ ＋ ＝ ，△ ABB '是等腰直角三角形，∴∠
ABB '＝45°.又∵ DF ⊥ AB ，∴∠ FDB ＝45°，∴ DF ＝
BF . ∵ S△ ADB ＝ BC × AD ＝ DF × AB ，∴ AD ＝
DF . ∵∠ C ＝∠ AFD ＝90°，
∠ CAB ＝∠ FAD ，∴△ AFD ∽△ ACB ，
AM 的中点， EF ⊥ AM ，垂足为 F ，交 AD 的延长线于
点 E ，交 DC 于点 N .
（1）求证：△ ABM ∽△ EFA ；
（第5题）
典例导思
（1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴ AB ＝ AD ，∠ B ＝90°，
AD ∥ BC ，
∴∠ AMB ＝∠ EAF .
又∵ EF ⊥ AM ，
典例导思
4. （2023·内蒙古）如图，在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝
90°， AC ＝3， BC ＝1，将△ ABC 绕点 A 按逆时针方向
旋转90°，得到△AB'C'，连结BB'交 AC 于点 D ，则
的值为 5 .
（第4题）
典例导思
解析：如图，过点 D 作 DF ⊥ AB 于点 F . 易知 AB ＝ AB '
典例导思
1. 如图， AB 、 CD 相交于点 O ，添加一个条件 ∠ A ＝
∠ C 或∠ B ＝∠ D （答案不唯一） ，可以使△ AOD
∽△ COB .
（第1题）
典例导思
2. （2023·凉山州）如图，在▱ ABCD 中，对角线 AC 与
BD 相交于点 O ，∠ CAB ＝∠ ACB ，过点 B 作 BE ⊥ AB
ABB '＝45°.又∵ DF ⊥ AB ，∴∠ FDB ＝45°，∴ DF ＝
BF . ∵ S△ ADB ＝ BC × AD ＝ DF × AB ，∴ AD ＝
DF . ∵∠ C ＝∠ AFD ＝90°，
∠ CAB ＝∠ FAD ，∴△ AFD ∽△ ACB ，
AM 的中点， EF ⊥ AM ，垂足为 F ，交 AD 的延长线于
点 E ，交 DC 于点 N .
（1）求证：△ ABM ∽△ EFA ；
（第5题）
典例导思
（1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴ AB ＝ AD ，∠ B ＝90°，
AD ∥ BC ，
∴∠ AMB ＝∠ EAF .
又∵ EF ⊥ AM ，
典例导思
4. （2023·内蒙古）如图，在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝
90°， AC ＝3， BC ＝1，将△ ABC 绕点 A 按逆时针方向
旋转90°，得到△AB'C'，连结BB'交 AC 于点 D ，则
的值为 5 .
（第4题）
典例导思
解析：如图，过点 D 作 DF ⊥ AB 于点 F . 易知 AB ＝ AB '
典例导思
1. 如图， AB 、 CD 相交于点 O ，添加一个条件 ∠ A ＝
∠ C 或∠ B ＝∠ D （答案不唯一） ，可以使△ AOD
∽△ COB .
（第1题）
典例导思
2. （2023·凉山州）如图，在▱ ABCD 中，对角线 AC 与
BD 相交于点 O ，∠ CAB ＝∠ ACB ，过点 B 作 BE ⊥ AB