信号与系统傅里叶变换
信号与系统第四章-傅里叶变换的性质
② X(ω)是ω的奇函数，因为sinωt是ω的奇函数。
如果f(t)是t的实奇函数，即偶分量fe(t)＝0，则
F( jω)＝R(ω)＋j X(ω)＝j X(ω)＝ 是ω的虚奇函数。
j f (t) sintdt 2 j f (t) sintdt
0
反之，如果F( jω)＝j X(ω)是ω的虚奇函数，则F( jω)对应的原函数f(t)一定是t实奇函 数。
② 尺度变换特性的特例——翻转特性
如果a＝－1，由尺度变换特性， 有：f(－t) ↔F(－jω) ——翻转特性
天津大学电子信息工程学
刘安
第四 连续系统的频域分析
例7 试求单位直流信号f(t)＝1，－∞< t <＋∞的频谱
解：不满足绝对可积
f(t)＝1＝ε(t)＋ε(－t)
ε(t)
↔
F1(
jω)＝πδ(ω)＋
证明：设a>0，
F f (at) f (at) e jtdt
f
j
( ) e a
d
1
a j f ( ) e a d
a
1 a
F
j
a
令at ，则 t ,dt d
a
a
t:-∞~+ ∞, :-∞~+ ∞
天津大学电子信息工程学
Байду номын сангаас
刘安
第四 连续系统的频域分析
类似地，若a<0，
第四 连续系统的频域分析
4、对称性
如果f(t) ↔F( jω)，则F( jt) ↔2π f(－ω) （注意变量代换，证明参见p144）
特殊情况：
如果f(t)是t的实偶函数，且f(t) ↔F(ω)（ω的实偶函数）， 则F(t) ↔2π f(－ω)＝2π f(ω)，或者 F1(t) ↔ f(ω)。
信号与系统7-1连续信号的傅里叶变换分析课件
t=linspace(-2,4,400); w=linspace(-15,15,400); f=sym('exp(-2*t)*Heaviside(t)') F=fourier(f); F=simple(F) f1=subs(f); Fv=subs(F); F1=abs(Fv); P1=angle(Fv)*180/pi; subplot(3,1,1),plot(t,f1,'linewidth',2); grid;ylabel('f(t)'); subplot(3,1,2),plot(w,F1,'linewidth',2); grid;ylabel('|F(j\omega)|'); subplot(3,1,3),plot(w,P1,'linewidth',2); grid;ylabel('\angleF(j\omega)(度)');xlabel('\omega (rad/sec)')
Fn
1 T0
T0
2 f (t) e jn0t dt
T0 2
F (
j)
lim
T0
FnT0
f (t) e jt dt
傅里叶变换
f (t) 1 F ( j)e jt d
2
傅里叶反变换
简记：F(j) =F [ f (t)] 称频谱函数；
f (t) = F -1[F(j)] 称为原函数。
或记为： f (t) F( j)
周期信号非周期信号 功率信号能量信号
傅里叶级数傅里叶变换 傅里叶级数是傅里叶变换的一个特例， 而傅里叶变换是傅里叶级数的推广。
2
拉普拉斯变换与傅里叶变换
信号与系统习题课（傅里叶变换
才有
F
(ω
)
=
(
1 jω
)2
F
⎡ d2
⎢ ⎣
dt
2
f
( t ) ⎤⎥
⎦
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7
强调
由
F
⎡d ⎢⎣ dt
f
( t )⎤⎥⎦
= Φ(ω)
得到
F
⎡⎣
f
(t )⎤⎦
=
1 jω
Φ (ω )
实际上是引用了FT的积分性质.
因此要考虑 f (−∞) = 0
法二，频移
F(ω) = F0(ω +ω0)+ F(ω −ω0)
求出f0(t)后,
1 F0(ω)
ω
−ω1 0 ω1
[ ] f (t) = f0(t) ejωt +e−jωt =2f0(t)cosω0t
如何求f0S(igt)na?ls
and
定义、对称性、查表。
Systems, Tsinghua University
−2
−1
1
( ) ejω −e−jω ejω +e−jω − ej2ω +e−j2ω
=2
+
jω
ω2
= ......
（1）计算量大；（2）一些函数积分不收敛。
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法二，利用FT的微积分性质
4 1 f(t)
思路：
f
(t
)
d
⎯⎯dt→δ
Φ(0) = 0
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信号与系统(郑君里第二版)讲义第三章 傅里叶变换
t0
⎧0 ⎪T cos(mω1t )cos(nω1t )dt = ⎨ 1 ⎪2 ⎩T1
m≠n m=n≠0 m=n=0
∫
∫
t0 +T1
t0
0 ⎧ ⎪T sin (mω1t )sin (nω1t )dt = ⎨ 1 ⎪ ⎩2
m≠n m=n≠0
t0 +T1
t0
sin (mω1t )cos(nω1t )dt = 0 ，对于所有的 m 和 n
n =1
⎧ ⎪d 0 = a 0 ⎪ 2 2 ⎨d n = a n + bn ⎪ an ⎪θ n = arctan bn ⎩
n = 1,2,3,L n = 1,2,3,L
三、虚指数形式的傅里叶级数 任何周期信号 f (t ) 可以分解为
f (t ) =
n =−∞
∑ Fe
n
∞
jnω1t
傅里叶系数：
Fn = 1 t0 +T1 f ( t ) e − jnω1t dt ∫ t 0 T1
f (t )
E 2
−
T1 2
0
T1 2
t
奇函数的傅里叶级数展开式的系数为： a0 = an = 0
4 bn = T1
Fn = −
∫ f (t )sin (nω t )dt
1
T1 2 0
1 π jbn ， ϕ n = − 2 2
6
奇函数的 Fn 为虚数。在奇函数的傅里叶级数中不会含有余弦项，只可能含 有正弦项。 3、奇谐函数（半波对称函数） 若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下反转， 此时波形并不发生变 化，即满足 ⎛ T ⎞ f (t ) = − f ⎜ t ± 1 ⎟ 2⎠ ⎝ 这样的函数称为半波对称函数或称为奇谐函数。 奇谐函数的傅里叶级数展开式的系数为： a0 = 0 an = bn = 0 （ n 为偶数） （ n 为奇数）
信号与系统(第四章)-离散傅里叶变换与快速傅里叶变换
反转，并取主值区间序列
周期延拓
反转后
向右平移1位 向右平移3位
向右平移2位
于是，由
y
(n)
3
x(k
)h((n
k
))
4
G4
(n)
，得
k 0
y(0) 1114 13 02 8
y(1) 1 2 1114 03 7
y(2) 1312 11 04 6
y(3) 14 1312 01 9
➢ 线卷积与圆周卷积
• 线卷积的移位是平移，圆周卷积的移位是周期位 移。
• 线卷积不要求两序列长度一致。若 x(n)与h(n)的长度分别为M和N，则 y(n)=x(n)*h(n)的长度为M+N-1。 圆周卷积要求两序列长度一致，否则短序列须补 零，使两序列等长后，才可进行圆周卷积。
DFT ax1(n) bx2(n) aDFT x1(n) bDFT x2(n)
（4.9）
当序列x1(n)和x2(n)长度不一致时，则可通过将较 短序列补零，使两序列长度一致，此时，式(4.9)成立。
2、圆周位移特性 圆周时移：圆周时移指长度为N的序列x(n)，以N 为周期做周期延拓生成xp(n)，位移m位后，得序 列xp(n-m)，在此基础上取其主值区间上序列。
于是
x(n)
x(t)
t nTs
k
X e jk1nTs k
X e X e
j
2 T1
knTs
k
j 2 nk N
k
（4.3）
k
k
式（4.3）两边同乘
e
j 2 N
nm
，再取合式
N 1
，得
n0
信号与系统 -第四章 傅里叶变换和系统的频域分析
A2cos(2 t+ 2)称为二次谐波，它的频率是基波的2倍； 一般而言，Ancos(n t+ n)称为n次谐波。
第4-13页
■
信号与系统电子教案
4.2 傅里叶级
例1：将图示方波信号f(t)展开为数傅里叶级数。
f (t)
1
T T 0 T T 3T
t
2 1 2
2
解：f (t)为T 3, 2 / T 2 / 3的周期信号，傅里叶系数为
号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使 得 信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组合。
第4-5页
■
信号与系统电子教案
y C2v
y
0
A
x C1v x
4.1 信号分解为正交函 数
y C2vy
0 C3v
zz
A C1vx x
第4-6页
■
信号与系统电子教案
4.1 信号分解为正交函
二、信号正交与正交函数数集
第四章 傅里叶变换和系统的频域分析
傅里叶简介
法国数学家、物理学家。1768年3月21日生 于 欧塞尔，1830年5月16日卒于巴黎。
1807年向巴黎科学院呈交《热的传播》论文，推导出著 名
的热传导方程，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数 构成的级数形式表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数 的无穷级数。
■
信号与系统电子教案
4.2 傅里叶级
A0
2
1 An
n1
e j n jn t
1数
2 An n1
e j n jn
t
令A0=A0
。
如三维空间中，以矢量 vx=（2，0，0）、vy=（0 ，2，0）、vz=（0，0，2) 所组成的集合就是一个 正交矢量集。
信号与系统傅里叶变换
n次谐波系数：
2
an T
T
2 T
2
f
(t) cos(n1t)dt
2 T
2 2
A cos(n1t )dt
4A
n1T
sin n1
2
An
其有效值为：
A~n
2 2
An
36
将 n 1 代入上式，得基波有效值为：
A1
2 4A sin 1 10 2 sin18 2 1T 2
45 °
图 3.3-1 (a)振幅谱； (b) 相位谱
30 ° 30 °
20 °
54
|F n |
2
1.5
1.5
1
1
1
0.4 0.2
0.4 0.2
－ 6－ 5 － 4－ 3－ 2 － o 2 3 4 5 6
(a)
n 45 °
45 °
30 ° 30 °
20 °
15° 10°
3
VxVyT VxiVyi 0
i 1
矢量正交集：指由两两正交的矢量组成的矢量集合。
如三维空间中，Vx (1, 0, 0) Vy (0,1, 0) Vz (0, 0,1) 所组成的集合就是矢量正交集，且完备。
矢量A (1, 2.5, 4) 表示为 A Vx 2.5Vy 4Vz
电子技术中的周期信号大都满足狄里赫利条件条件，当
f(t)满足狄里赫利条件时，an, bn, cn 才存在。
21
结论：周期信号可分解为各次谐波分量之和。
一般而言 An cos(n1t n ) n 称为 次谐波 ，An
是 n 次谐波的振幅， n是其初相角。
信号与系统课件-第三章离散傅立叶变换DFT
拓展延伸：其他相关变换方法简介
要点一
拉普拉斯变换
要点二
Z变换
用于分析线性时不变系统的稳定性及频率响应特性。
用于分析离散时间线性时不变系统的稳定性及频率响应特 性。
THANKS
感谢观看
高频谱利用率
OFDM技术通过采用正交子载 波的方式，实现了频谱资源的 有效利用，提高了系统的频谱 利用率。
03
抗多径干扰能力强 04
由于OFDM系统采用了多载波调 制方式，每个子载波上的符号周 期相对较长，因此具有一定的抗 多径干扰能力。
适用于高速数据传 输
OFDM技术通过将高速数据流分 解成多个低速子数据流进行传输 ，降低了对单个载波的传输速率 要求从而适用于高速数据传输 场景。
共轭对称性
若x[n]为实序列，则其DFT满足 X[k]=X*[N-k]，其中*表示共轭。
周期性与非周期性信号处理方法
周期性信号处理方法
对于周期性信号，可以通过截取一个周期的信号进行DFT分析，得到该信号的频谱特性。由于DFT具有周期性， 因此可以通过对截取信号的DFT结果进行周期延拓得到整个周期信号的频谱。
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
01
离散傅立叶变换（DFT）定义及性质
02
DFT是将连续时间信号在时域和频域上都进行离散化处理的一 种变换方法。
03
DFT具有线性性、时移性、频移性、共轭对称性等基本性质。
关键知识点总结回顾
直接计算法
根据DFT定义直接进行计算，但计算量大，不实用。
快速傅立叶变换（FFT）
仿真实验：不同窗函数对信号重构影响
实验目的
说明本实验的目的在于研究不同 窗函数对信号重构的影响，以便 在实际应用中选择合适的窗函数。
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实验四傅立叶变换和LTI系统的频域分析4.1实验目的1.熟悉信号的傅里叶变换及其逆变换；2.掌握信号和系统频域分析方法；3.了解快速傅里叶变换方法及其应用；4.学会使用MATLAB分析信号和系统的频域特性，绘制信号的频谱图以及滤波器的幅频、相频特性图。
4.2实验原理傅里叶变换在众多领域都有着广泛的应用。
在信号和系统中，通过傅里叶变换可将时域上的信号转换为频域上的频谱密度函数，还可将时域上的卷积运算转化为频域上较为简单的乘积运算。
另外值得一提的是，离散形式的傅里叶变换（Discrete Fourier Transfer，简称DFT）可通过快速傅里叶变换算法（Fast Fourier Transfer，简称FFT）用计算机快速地实现。
以FFT为基础的频域方法是现代数字信号和图像处理、通信、控制等众多领域的最基本的技术手段之一。
连续时间信号的傅里叶变换连续时间信号的傅里叶变换（CFT）为X(jω)=∫∞−∞x(t)e−jωt dt,其逆变换为x(t)=12π∫∞−∞X(jω)e jωt dω.4.2实验原理实验四傅立叶变换和L TI系统的频域分析x(t)和X(jω)都是连续函数。
离散时间信号的傅里叶变换离散时间信号的傅里叶变换（DTFT）为X (e jω)=∞∑n=−∞x[n]e−jωn,其逆变换为x[n]=12π∫2πX(e jω)e jωn dω.X(e jω)是周期为2π的连续函数。
离散时间信号的傅里叶变换也是连续的。
离散傅里叶变换由于数字系统一般都只能处理有限长的离散信号，所以必须将连续信号和它的频域变换函数都离散化，并且建立有限长离散序列间相对应的傅里叶变换关系，才能用数字系统（如用计算机）对信号进行处理。
为达到这一目的，我们需要定义离散傅里叶变换。
离散傅里叶变换的另一个好处是可用快速傅里叶变换算法来快速地计算。
对于一长度为N的有限长离散时间序列，其离散傅里叶变换（DFT）定义为X[k]=N∑n=1x[n]W(n−1)(k−1)N,逆变换为x[n]=1NN∑k=1X(k)W−(n−1)(k−1)N,其中常数W N=e−j2πN。
从形式上来看，DFT处理的信号在时域和频域上都是有限长的离散序列，且长度相等。
如果将其与DTFT做比较，可发现DFT实际上就是周期延拓的有限长离散时间序列的傅里叶级数，因此DFT变换前后的两组离散序列都应看作是离散周期信号的主值序列。
DFT变换序列X[k]的值也可以理解为有限长离散序列的傅里实验四傅立叶变换和L TI系统的频域分析 4.2实验原理叶变换X (e jω)=N∑n=1x[n]e−jω(n−1)的频域采样，X[k]=X (e jω)ω=2πN(k−1).而对于连续时间信号x(t)，DFT可以理解为先将信号在时域离散化得到x[n]，求得其傅里叶变换X(e jω)后，再在频域离散化的结果，即时域采样的傅立叶变换的频域采样。
总之DFT可以看成是连续时间傅里叶变换的一种近似，但是要注意以下的问题：1.连续信号必须是时限的；2.连续信号的时域采样须满足采样定理；3.DFT得到的频谱是N个频点上的离散频谱值，存在栅栏效应，即N个频点之外频谱值是未知的。
如需得到更多频点的信息，可对x[n]进行补零扩展，增大N的数量。
DFT在众多领域都有重要应用，而在实际应用中DFT及其逆变换都依赖于快速算法，即快速傅里叶变换FFT。
按照DFT的定义计算一个长为n的序列的DFT的计算复杂度为O(n2)，而同样长度FFT的计算复杂度仅为O(n log n)。
正是FFT算法的提出，使DFT在数字信号处理中得到了广泛的应用。
MATLAB提供了fft和ifft函数，可分别实现DFT及其逆变换的快速算法。
连续时间信号的频谱分析前面我们已经知道，DFT是连续傅里叶变换的近似。
因此我们可以通过连续时间信号x(t)进行均匀采样并截断得到有限长离散序列x[n]，对序列作FFT，就可以得到x(t)频谱的采样值，分析其频谱的的性质。
X(jω)一般为复函数，其模和相位可表示为X(jω)=X(jω)e jϕ(ω),其中X(jω)反映信号各频率分量的幅度随频率ω的变化情况，称为信号的幅度频谱；phi(ω)反映信号各频率分量的相位随频率ω的变化情况，称为信号的相位频谱。
4.2实验原理实验四傅立叶变换和L TI系统的频域分析连续时间系统的频域分析根据傅里叶变换的卷积性质，某一LTI系统输出信号的频谱满足Y(jω)=X(jω)H(jω),式中X(jω)是输入信号x(t)的傅里叶变换，H(jω)是系统单位冲激响应h(t)的傅里叶变换。
H(jω)称为系统的频率响应（也称为系统系统传递函数、系统函数等），反映了系统内在的固有的特性，是描述稳定LTI系统特性的一个重要参数，其模和相位表示为H(jω)=H(jω)e jϕ(ω),其中H(jω)称为系统的幅频特性，ϕ(ω)称为系统的相频特性。
MATLAB应用示例对于连续时间信号，在MATLAB中我们虽然可以根据傅里叶变换的定义式，用数值方法求出信号的傅里叶变换，但是如前所述，算法上的效率远远不及用FFT来求解。
例1求矩形脉冲x(t)=u (t+12)−u(t−12)的傅里叶变换。
解：用FFT近似求解，脚本程序如下：Fs=1000;%Sampling frequency2T=1/Fs;%Sample timeL=50001;%Length of signal4t=(-(L-1)/2:(L-1)/2)*T;%Time vectorx=+(t>=-0.5&t<0.5);%Signal-rectangular pulse6NFFT=2^nextpow2(L);%Next power of2from length of ytime=cputime;8y=fft(x,NFFT)*T;%FFTy=fftshift(y);%Shift the spectrum10cputime-time%Display the time used by the FFT operation f=((0:NFFT-1)/NFFT-0.5)*Fs;%The corresponding frequency vector12subplot(2,1,1);plot(t,x);xlabel('Time␣(s)');ylabel('Amplitude');14axis([-1.5 1.5-0.1 1.1]);实验四傅立叶变换和L TI系统的频域分析 4.2实验原理subplot(2,1,2);plot(f,abs(y));16xlabel('Frequency␣(Hz)');ylabel('Amplitude');axis([-5.5 5.50 1.1]);得到的图形如图4.1所示。
我们知道CFT的解析解是X(jω)=S a (ω2)=sin(ω/2)ω/2。
从图中可以看出，FFT数值解和解析解的结果是一致的。
请特别注意并根据傅立叶变换的定义式理解脚本第8行求得的傅立叶变换的数值大小、以及第11行确定的频率范围，和采样间隔（或频率）之间的关系。
程序中的第7行和第10行用来计算和显示MATLAB计算FFT所花费的时间。
在用FFT函数时我们使用了参数NFFT。
NFFT（见第6行）是一个大于信号长度、以2为基数的整数。
FFT(x,NFFT)会在输入序列x之后补零，使之长度为NFFT。
这样做的原因是当输入序列长度为2的整数次方时，FFT的算法更简单，效率更高。
序列补零后并不会影响计算得到的频谱，反而可增加频谱的采样点数，更有利于描绘信号的连续频谱。
另外第9行中fftshift函数的作用是将零频（直流）分量移到频谱的中心，因此相应的角频率ω的范围应变为[−πf s,πf s]。
图4.1矩形脉冲信号及其傅里叶变换例2求连续时间信号傅里叶变换的逆变换。
已知信号x(t)的傅里叶变换为X(jω)=4e−j2ω4+ω2，试画出信号的时域波形和相应的频谱图。
4.3实验内容实验四傅立叶变换和L TI系统的频域分析解：程序如下：Fs=100;2T=1/Fs;L=10000;4NFFT=2^nextpow2(L);f=((0:NFFT-1)/NFFT*2*pi-pi)*Fs;6t=(0:NFFT-1)*T;y=4*exp(-1j*2.*f)./(4+f.*f);8x=ifft(fftshift(y),NFFT)*Fs;x=fftshift(x);10t=t-NFFT*T/2;subplot(3,1,1);plot(t,real(x));12xlabel('Time␣(s)');ylabel('Amplitude');axis([-150 1.1]);14subplot(3,1,2);plot(f,abs(y));xlabel('Frequency␣(rad/s)');ylabel('Amplitude');16axis([-5.5 5.50 1.1]);subplot(3,1,3);plot(f,angle(y)*180/pi);18xlabel('Frequency(rad/s)');ylabel('Phase␣(degrees)');axis([-5.5 5.5-180180]);输出如图4.2所示。
至于离散时间信号，由于DFT求得的离散序列就是离散时间信号傅里叶变换的采样值，因此只需直接用FFT求其傅里叶变换离散采样值即可，这里不再赘述。
另外MATLAB提供了freqs函数，可用来计算系统函数H(jω)=N∑k=0b k(jω)k M∑k=0a k(jω)k在给定频点上频率响应的值，或者给定频点的数量N，返回自动选择的N个频点及相应的频率响应的值。
如果在调用时无输出参数，该函数将以波特图的形式画出系统的幅频特性和相频特性曲线。
在对系统进行频域分析时，可利用该函数求得系统频率响应的数值解。
实验四傅立叶变换和L TI系统的频域分析 4.3实验内容图4.24.3实验内容1.离散时间信号x[n]=2n(u[n+8]−u[n−9])，(a)试直接由离散时间傅里叶变换的定义式，求信号的傅里叶变换X(e jω)；提示：求解过程需要对求解范围内ω进行离散化，通过计算得到各离散频点的函数值，得到X(e jω)的近似表示。
计算过程可利用MATLAB矩阵运算的特点，例如n=-8:8;x=2.^n;2N=500;w=(0:N-1)/N*4*pi-2*pi;y=x*exp(-j*n'*w);不需要任何循环控制语句，只要第3行的一条命令即可完成所有离散点上的求和过程（请仔细体会）。