高中数学人教版必修基本不等式教案(系列三)
课题: 3.4基本不等式授课类型：习题课 教学目标12a b+≤；会用此不等式证明不等式,会应用此不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题；22a b+≤，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。
3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。
教学重点2a b+≤，会用此不等式证明不等式，会用此不等式求某些函数的最值 教学难点利用此不等式求函数的最大、最小值。
教学过程 1.课题导入1．基本不等式：如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab ba22a b+≤求最大（小）值的步骤。
2.讲授新课1）利用基本不等式证明不等式 例1 已知m>0,求证24624m m+≥。
[思维切入]因为m>0,所以可把24m和6m 分别看作基本不等式中的a 和b, 直接利用基本不等式。
[证明]因为 m>0,，由基本不等式得246221224m m +≥==⨯=当且仅当24m=6m ，即m=2时，取等号。
规律技巧总结 注意：m>0这一前提条件和246m m⨯=144为定值的前提条件。
3.随堂练习1[思维拓展1] 已知a,b,c,d 都是正数，求证()()4ab cd ac bd abcd ++≥.[思维拓展2] 求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+. 例2 求证:473a a +≥-. [思维切入] 由于不等式左边含有字母a,右边无字母,直接使用基本不等式,无法约掉字母a,而左边44(3)333a a a a +=+-+--.这样变形后,在用基本不等式即可得证.[证明]443(3)333733a a a +=+-+≥+==-- 当且仅当43a -=a3即a=5时,等号成立. 规律技巧总结 通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式. 2)利用不等式求最值例3 (1) 若x>0,求9()4f x x x=+的最小值 (2)若x<0,求9()4f x x x=+的最大值. [思维切入]本题(1)x>0和94x x⨯=36两个前提条件(2)中x<0,可以用x>0来转化. 解 1) 因为 x>0 由基本不等式得9()412f x x x =+≥==,当且仅当94x x =即x=32时, 9()4f x x x =+取最小值12.(2)因为 x<0, 所以 x>0, 由基本不等式得:99()(4)(4)()12f x x x x x -=-+=-+-≥==,所以 ()12f x ≤. 当且仅当94x x -=-即x=32时, 9()4f x x x=+取得最大12.规律技巧总结 利用基本不等式求最值时,个项必须为正数,若为负数,则添负号变正.随堂练习2[思维拓展1] 求9()45f x x x =+-(x>5)的最小值. [思维拓展2] 若x>0,y>0,且281x y+=,求xy 的最小值. 4.小结2a b+≤证明不等式和求函数的最大、最小值。
5.评价设计１．证明：22222a b a b ++≥+ ２．若1->x ，则x 为何值时11++x x 有最小值，最小值为几？ 课题: 《不等式》复习小结授课类型：复习课 教学目标1．会用不等式（组）表示不等关系；2．熟悉不等式的性质，能应用不等式的性质求解“范围问题”，会用作差法比较大小； 3．会解一元二次不等式，熟悉一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的关系； 4．会作二元一次不等式（组）表示的平面区域，会解简单的线性规划问题； 5．明确均值不等式及其成立条件，会灵活应用均值不等式证明或求解最值。
教学重点不等式性质的应用，一元二次不等式的解法，用二元一次不等式（组）表示平面区域，求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，基本不等式的应用。
教学难点利用不等式加法法则及乘法法则解题，求目标函数的最优解，基本不等式的应用。
教学过程 1.本章知识结构2.知识梳理（一）不等式与不等关系1、应用不等式（组）表示不等关系； 不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a <⇔> (2)传递性：c a c b b a >⇒>>,(3)加法法则：c b c a b a +>+⇒>；d b c a d c b a +>+⇒>>, (4)乘法法则：bc ac c b a >⇒>>0,；bc ac c b a <⇒<>0,bd ac d c b a >⇒>>>>0,0(5)倒数法则：ba ab b a 110,<⇒>> (6)乘方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a nn且 (7)开方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n且2、应用不等式的性质比较两个实数的大小； 作差法3、应用不等式性质证明 （二）一元二次不等式及其解法 一元二次不等式的解法一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表：(让学生独立完成课本第86页的表格) 0>∆0=∆0<∆二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的图象c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2一元二次方程有两相异实根)(,2121x x x x < 有两相等实根ab x x 221-==无实根（三）线性规划1、用二元一次不等式（组）表示平面区域二元一次不等式AxByC ＞0在平面直角坐标系中表示直线AxByC =0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线） 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线AxByC =0同一侧的所有点(y x ,)，把它的坐标（y x ,)代入AxByC ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0By 0C 的正负即可判断AxByC ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点） 3、线性规划的有关概念：①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件．②线性目标函数：关于x 、y 的一次式z =2xy 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数．③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． ④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x ,y ）叫可行解． 由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解． 4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解2a b+≤1、如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab ba22a b+≤几何意义是“半径不小于半弦” 3.典型例题1、用不等式表示不等关系例1、某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装软件，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，写出满足上述不等关系的不等式。
例2、咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料用奶粉、咖啡、糖，分别为9g 、4g 、3g ；乙种饮料用奶粉、咖啡、糖，分别为4g 、5g 、5g.已知买天使用原料为奶粉3600g,咖啡2000g,糖3000g 。
写出配制两种饮料杯数说所满足的所有不等关系的不等式。
1、比较大小例3 (1)（3＋2）2 ６＋26； （2）（3－2）2 （6－1）2； （3；(4)当a ＞b ＞0时，log 21a log 21b (5) (a3)(a5) (a2)(a4) (6)22(1)x + 421x x ++ 2、利用不等式的性质求取值范围例4 如果3042x <<,1624y <<,则(1) x y +的取值范围是 , (2) 2x y -的取值范围是 , (3) xy 的取值范围是 , (4)xy的取值范围是 例5已知函数2()f x ax c =-,满足4(1)1f -≤≤-,1(2)5f -≤≤,那么(3)f 的取值范围是 .[思维拓展]已知15a b -≤+≤，13a b -≤-≤，求32a b -的取值范围。
（[2，0]） 3、解一元二次不等式例6 解不等式：（1）22740x x ++>；（2）2830x x -+->例7已知关于x 的方程(k1)x 2(k1)xk1=0有两个相异实根，求实数k 的取值范围 4、二元一次方程（组）与平面区域例8 画出不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤≥-≥-+53006x y y x y x 表示的平面区域。
5、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解例9已知x 、y 满足不等式⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+≥+0,01222y x y x y x ,求z =3xy 的最小值。
[思维拓展] 已知x 、y 满足不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0025023002y x y x y x ，试求z =300x 900y 的最大值时的整点的坐标，及相应的z 的最大值 6、利用基本不等式证明不等式例8 求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+ 7、利用基本不等式求最值例9若x>0,y>0,且281x y+=,求xy 的最小值 [思维拓展] 求9()45f x x x =+-(x>5)的最小值. 4.评价设计课本第115页复习参考题[A]组的第1、2、3、4、5、6、7、8题。
新人教A版必修5高中数学学案教案：《3.4基本不等式 (三)》
数学必修五《3.4基本不等式 （三）》教案教学要求：进一步掌握基本不等式2a b ab +≤；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题教学重点：基本不等式2a b ab +≤的应用教学难点：利用基本不等式2a b ab +≤求最大值、最小值。
教学过程：一、复习准备：1. 讨论：重要不等式？基本不等式？2. 提问：ab ba ab b a ≥+≥+2222和成立的条件？二、讲授新课：1. 教学：最大值、最小值。
① 出示例1：（1）用篱笆围成一个面积为100m 2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。
最短的篱笆是多少？（2）段长为36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少? 分析：根据题意：→如何设长、宽？ 应用什么知识？ 怎样应用？→ 学生讲述解答过程。
→ 小结：解决应用问题，首先读懂题意，思考用什么方法去解决。
②练习：用绳子围成一块矩形场地，若绳长为20米，则围成最大矩形的面积是 ；若要围出一块100米2的场地，则绳子最短为 。
③出示例2：某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m 3,深为3m ，如果池底每1m 2的造价为150元，池壁每1m 2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：→如何由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式？→如何求函数的最值，用到了什么定理？→师生共同解答。
→小结：应注意数学语言的应用即函数解析式的建立和注意不等式性质的适用条件。
④练习：建造一个容积为18立方米，深为2米的长方体有盖水池。
如果池底和池壁每平方米的造价分别是200元和150元，那么如何建造，池的造价最低，为多少？2. 小结：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案.三、巩固练习：1. 练习：教材114页练习的第1题. 习题[A]组的第2题.2. 已知x ≠0，当x 取什么值时，x 2＋281x的值最小?最小值是多少? 3．已知矩形的周长为36，矩形绕它的一条边旋转成一个圆柱，矩形的长.宽各为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？3. 作业：教材114页习题[A]组的第4题。
高中数学不等式人教版教案
高中数学不等式人教版教案
教材版本：人教版高中数学
课时安排：2课时
教学目标：
1. 掌握不等式的基本概念和性质；
2. 能够运用不等式解决实际问题；
3. 提高学生的逻辑思维能力和数学解决问题的能力。
教学重点与难点：
重点：不等式的基本概念和性质。
难点：能够熟练运用不等式解决实际问题。
教学准备：
1. 教师准备教学课件、课堂活动设计、相关课外练习题；
2. 确保课堂的教学设备齐全。
教学过程：
第一课时：
1. 引言（5分钟）：介绍不等式的基本概念，引导学生了解不等式的形式和符号含义。
2. 直观理解不等式（10分钟）：通过绘制图形、实例分析等方式，让学生直观地感受不等式的意义。
3. 不等式的性质（15分钟）：讲解不等式的传递性、加减乘除不等式两边的数等方面的性质，让学生掌握不等式的基本规则。
第二课时：
1. 不等式的应用（15分钟）：结合生活中的实际问题，让学生通过不等式来解决实际应用问题。
2. 解题方法指导（10分钟）：讲解解不等式问题的具体步骤和方法，引导学生掌握解题技巧。
3. 练习与总结（15分钟）：进行一系列的练习，巩固学生对不等式的理解和运用，做好知识的总结和归纳。
教学反思：
本节课的教学目标主要是让学生掌握不等式的基本概念和性质，并能够运用不等式解决实际问题。
在课堂中，要重视引导学生体会不等式的实际意义，帮助他们建立正确的数学观念和解题思维。
同时，要注重练习环节，让学生通过实际操作来巩固知识，提高解决问题的能力。
高二人教A版必修5系列教案：3.4基本不等式3
3.4基本不等式2b a ab +≤ 一、三维目标： 1、知识与技能： 理解基本不等式的内容及其证明，能应用基本不等式解决求最值、证明不等式、比较大小、求取值范围等问题 2、过程与方法：能够理解并建立不等式的知识链3、情感、态度与价值观：通过运用基本不等式解答实际问题，提高用数学手段解答现实生活中的问题的能力和意识4、本节重点：应用数形结合的思想，理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程5、本节难点：应用基本不等式求最值二、课程引入：第24届世界数学家大会在北京召开，会标设计如图：四个以a ，b 为直角边的直角△ABC ，组成正方形ABCD则22b a DA CD BC AB +====22b a S ABCD += ab S ABE 21=∆ 如图可知：ABE ABCD S S ∆≥4 即ab b a 222≥+当且仅当小正方形EFGH 面积为0时取等号，即b a b a ==-,0时取得等号三、新课讲授：（一）基本不等式的推证：1、重要不等式与基本不等式由引入中提到的重要不等式ab b a 222≥+，将其中的b a ,用b a ,代换，得到基本不等式2b a ab +≤，当且仅当b a =时，即b a =时取得等号。
特别注意，重要不等式ab b a 222≥+的适用范围是全体实数，而基本不等式2b a ab +≤的使用需要0,0>>b a 2、基本不等式的几种表述方式平均数角度：两正数的算术平均数不小于它们的几何平均数（均值不等式定理） 数列角度：两正数的等差中项不小于它们的等比中项探究：基本不等式的几何表示：半径不小于半弦长3、分析法推证基本不等式要证2b a ab +≤，只需证明ab b a 2≥+（2）。
要证明（2）只需证明02≥-+ab b a （3）。
要证明（3）只需证明0)(2≥-b a （4）。
（4）式显然成立，故得证。
（二）基本不等式的应用与提高：1、你是设计师！（1）春天到了，学校决定用篱笆围一个面积为100平米的花圃种花。
高中数学基本不等式教案设计(优秀3篇)
高中数学基本不等式教案设计（优秀3篇）篇一：高中数学教学设计篇一教学目标1、明确等差数列的定义。
2、掌握等差数列的通项公式，会解决知道中的三个，求另外一个的问题3、培养学生观察、归纳能力。
教学重点1、等差数列的概念；2、等差数列的通项公式教学难点等差数列“等差”特点的理解、把握和应用教具准备投影片1张教学过程（I）复习回顾师：上两节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法通项公式和递推公式。
这两个公式从不同的角度反映数列的特点，下面看一些例子。
（放投影片）（Ⅱ）讲授新课师：看这些数列有什么共同的特点？1，2，3，4，5，6；①10，8，6，4，2，…；②生：积极思考，找上述数列共同特点。
对于数列①（1≤n≤6）；（2≤n≤6）对于数列②—2n（n≥1）（n≥2）对于数列③（n≥1）（n≥2）共同特点：从第2项起，第一项与它的前一项的差都等于同一个常数。
师：也就是说，这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点。
具有这种特点的数列，我们把它叫做等差数。
一、定义：等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与空的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。
如：上述3个数列都是等差数列，它们的公差依次是1，—2……二、等差数列的通项公式师：等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得。
若一等差数列的首项是，公差是d，则据其定义可得：若将这n—1个等式相加，则可得：即：即：即：……由此可得：师：看来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项和公差d，便可求得其通项。
如数列①（1≤n≤6）数列②：（n≥1）数列③：（n≥1）由上述关系还可得：即：则：=如：三、例题讲解例1：（1）求等差数列8，5，2…的第20项（2）—401是不是等差数列—5，—9，—13…的项？如果是，是第几项？解：（1）由n=20，得（2）由得数列通项公式为：由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得—401=—5—4（n—1）成立解之得n=100，即—401是这个数列的第100项。
人教A版高中数学必修5教案3.4.3基本不等式(三)
课型：新授课执行时间：年月日
教
学
目
标
1.知识与技能
1.熟练使用a2+b22ab和 .
2.会应用此定理求某些函数的最值；
3.能够解决一些简单的实际问题.
2.过程与方法：了解运用 的条件，熟练运用不等式中1的变换
3.情感、态度与价值观
通过掌握公式的结构特点，运用公式的适当变形，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的创新精神，进一步加强学生的实践能力
课堂小结：
五、作业布置：
板书设计：
教学后记：
教学重点
在运用 中要注意“一正”、“二定”、“三相等”
教学难点
的运用
教学过程：
批注
（1）复习：基本不等式
（2）举例分析
变形3：a,b是正数且2a+3b=4,求ab的最值和此时a、b的值
例2．a,b都是正数且2a+b=2,求a(1+b)的最值和此时a、b的值
。
证法1：直接用公式
证法2：对1进行变换
练习
人教A版高中数学必修5第三章 不等式3.4 基本不等式教案(3)
基本不等式目的要求： 复习与掌握基本不等式及其运用。
重点难点： 利用基本不等式的运用技巧。
教学设计： 一、引入：我们已经学习过重要不等式 a²+b²≥2ab ，下面将它以定理的形式给出. 二、定理1 如果a, b ∈R, 那么a²+b²≥2ab.当且仅当a=b 时等号成立。
让学生自己给出证明.探究： 你能从几何的角度解释定理1吗？分析：a²与b²的几何意义是正方形面积，ab 的几何意义是矩形面积，可考虑从图形的面积角度解释定理。
几何意义：如图把实数a ，b 作为线段长度，以a ≥b 为例，在正方形ABCD 中，AB=a ；在正方形CEFG 中，EF=b.则 S 正方形ABCD+S 正方形CEFG=a ²+b ².2ab S S CEFG BCGH =+矩形矩形，其值等于图中有阴影部分的面积，它不大于正方形ABCD 与正方形CEFG 的面积和。
即a ²+b ²≥2ab.当且仅当a=b 时，两个矩形成为正方形，此时有 a ²+b ²=2ab 。
三、定理2：将定理1做简单变形即可得到定理2，如下：如果a,b>0，那么ab ba ≥+2，当且仅当a=b 时，等号成立.证明：因为 ()()ab b a b a b a 2222=≥+=+所以ab ba ≥+2， 上式当且仅当b a =，即a=b 时，等号成立。
其中2ba +为a,b 的算术平均，ab a,b 的几何平均，于是基本不等式可以表述为:两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。
几何意义为:如图在直角三角形中，CO 、CD 分C别是斜边上的中线和高，设AD=a ，DB=b ，则由图形可得到基本不等式的几何解释。
四、.教学例题例3 求证：（1）在所有周长相同的矩形中，正方形的面积最大；（2）在所有面积相同的矩形中，正方形的周长最短。
人教版高中必修53.4基本不等式教学设计
人教版高中必修5-3.4 基本不等式教学设计一、教学目标1.理解基本不等式的概念和性质，掌握基本不等式的证明方法。
2.领会基本不等式的应用，能够解决与基本不等式相关的实际问题。
二、教学重难点1.基本不等式的概念、性质和证明方法。
2.基本不等式的应用，特别是在解决实际问题中的应用。
三、教学过程1. 导入（5分钟）•出示几组不等式，让学生讨论它们的大小关系，并引出不等式的概念。
•引导讨论：如何比较两个式子的大小？如何证明一个不等式？2. 概念解释（10分钟）•讲解基本不等式的含义和特征，例如：等式左边是次数相同的若干个正数的积，等式右边是它们的算术平均数。
•比较若干个不等式，引导学生进一步理解基本不等式。
3. 性质讲解（10分钟）•讲解基本不等式的性质，如：等号成立的条件是什么？如何把一个不等式化成另一个等价的不等式？•强调基本不等式在数学证明中的重要性，并且说明它在实际问题中的作用。
4. 证明方法（20分钟）•讲解基本不等式的证明方法，包括：归纳法证明、换元法证明、逆证法证明等。
•强调证明方法的逻辑性和连续性，让学生理解证明过程中的思路和方法。
5. 应用实例（25分钟）•提供几组实际问题，让学生运用基本不等式解决问题。
•让学生在小组内讨论，并结合具体案例，演示基本不等式的应用过程。
6. 思考拓展（5分钟）•提出思考题：你能否思考出基本不等式的一些扩展形式？它们有什么应用场景？•让学生结合实际情况，思考基本不等式的推广和拓展，激发学生的创造性思维。
4. 总结反思（5分钟）•点评学生的表现，并对基本不等式的学习做一个简要总结，强调它在数学学习和实际生活中的重要性。
四、教学评价•采取小组讨论和集体评价方法，对学生进行综合评价。
•对学生在基本不等式的理解、应用和创造性思维等方面进行评价，以期提高学生数学思维和实际问题解决能力。
五、教学反馈•教师根据学生的反馈情况，及时调整教学方法和教学策略，以达到更好的教学效果。
最新人教版高中数学必修5第三章《基本不等式》教案
《基本不等式》教案(1)教学目标1．学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2．通过实例探究抽象基本不等式；3．通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣.教学重点难点12a b+的证明过程；22a b+≤等号成立条件.教法与学法1．教法选择：采用讲授法、演示法、引导启发法等.2．学法指导：自主探究法、分析归纳法.充分调动学生的眼、手、脑等多种感官参与学习，既培养了他们的学习兴趣，又使他们感受到了学习的乐趣.教学过程一、设置情境，激发学生探索的兴趣在右图中，AB是圆的直径，点BC=b.过点C作垂直于二、思维拓展，课堂交流三、归纳小结，课堂延展教学设计说明1．教材地位分析《课标》对于这一节的要求：一是探索并了解基本不等式的证明过程；二是会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.该教材内容很好的落实了这两点要求.在前面的学习中，同学们已经基本掌握了一些常见不等式及不等式证明方法，本节内容一定程度上是前面学习的运用，也是后面系统学习不等式证明的基础.基本不等式在证明不等式的过程中是一个很重要的桥梁，放缩法证明不等式会经常用到基本不等式.另一方面，基本不等式作为求极值的的一种方法，经常运用于实际问题，而且是高考常考的知识点，通过基本不等式，常常可以将一些较为复杂的求极值的问题化为简单问题，在化归方法中起着重要的惩承接作用.2．学生现实状况分析学生对不等式的知识有了一定的了解，但对基本不等式的理解运用能力不足.这一阶段的学生正处在由抽象思维到逻辑思维的过渡期，对图形的观察、分析、总结可能会感到比较困难.这都将成为组织教学的考虑因素.。
_高中数学第三章不等式4基本不等式3教案新人教版必修
基本不等式授课类型：习题课【教学目标】12a b +≤；会用此不等式证明不等式,会应用此不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题；22a b +≤，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。
3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。
【教学重点】2a b +≤，会用此不等式证明不等式，会用此不等式求某些函数的最值 【教学难点】利用此不等式求函数的最大、最小值。
【教学过程】 1.课题导入1．基本不等式：如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab b a22a b +≤求最大（小）值的步骤。
2.讲授新课1）利用基本不等式证明不等式例1 已知m>0,求证24624m m+≥。
[思维切入]因为m>0,所以可把24m 和6m 分别看作基本不等式中的a 和b, 直接利用基本不等式。
[证明]因为 m>0,，由基本不等式得246221224m m +≥==⨯= 当且仅当24m=6m ，即m=2时，取等号。
规律技巧总结 注意：m>0这一前提条件和246m m ⨯=144为定值的前提条件。
3.随堂练习1 [思维拓展1] 已知a,b,c,d 都是正数，求证()()4ab cd ac bd abcd ++≥.[思维拓展2] 求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+.例2 求证:473a a +≥-. [思维切入] 由于不等式左边含有字母a,右边无字母,直接使用基本不等式,无法约掉字母a,而左边44(3)333a a a a +=+-+--.这样变形后,在用基本不等式即可得证. [证明]4443(3)32(3)32437333a a a a a +=+-+≥-+=+=--- 当且仅当43a -=a-3即a=5时,等号成立. 规律技巧总结 通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式.2)利用不等式求最值例3 (1) 若x>0,求9()4f x x x =+的最小值; (2)若x<0,求9()4f x x x =+的最大值. [思维切入]本题(1)x>0和94x x⨯=36两个前提条件;(2)中x<0,可以用-x>0来转化. 解1) 因为 x>0 由基本不等式得99()42423612f x x x x x=+≥+==,当且仅当94x x =即x=32时, 9()4f x x x =+取最小值12. (2)因为 x<0, 所以 -x>0, 由基本不等式得:999()(4)(4)()2(4)()23612f x x x x x x x-=-+=-+-≥-⋅-==, 所以 ()12f x ≤.当且仅当94x x -=-即x=-32时, 9()4f x x x=+取得最大-12.规律技巧总结 利用基本不等式求最值时,个项必须为正数,若为负数,则添负号变正. 随堂练习2[思维拓展1] 求9()45f x x x =+-(x>5)的最小值. [思维拓展2] 若x>0,y>0,且281x y+=,求xy 的最小值. 4.课时小结2a b +≤证明不等式和求函数的最大、最小值。
高中数学教案《基本不等式》
教学计划：《基本不等式》一、教学目标1.知识与技能：学生能够理解并掌握算术平均数与几何平均数之间的关系，理解并掌握基本不等式（如均值不等式、平方和不等式等）的概念、性质及证明方法，能够熟练运用基本不等式解决简单问题。
2.过程与方法：通过观察、比较、归纳等数学活动，引导学生发现基本不等式的规律，培养学生的探究能力和逻辑推理能力；通过例题讲解和练习，提高学生应用基本不等式解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的数学审美意识和严谨的科学态度，让学生认识到数学在解决实际问题中的重要作用。
二、教学重点和难点●教学重点：基本不等式的概念、性质及证明方法；算术平均数与几何平均数之间的关系。
●教学难点：理解基本不等式的本质，掌握其证明过程，并能灵活运用基本不等式解决实际问题。
三、教学过程1. 引入新课（约5分钟）●生活实例引入：通过生活中常见的分配问题（如分苹果、分蛋糕等），引导学生思考如何公平分配，从而引出算术平均数与几何平均数的概念，为学习基本不等式做好铺垫。
●提出问题：设问“算术平均数总是大于或等于几何平均数吗？”引发学生思考，激发学生探索的兴趣。
●明确目标：介绍本节课的学习目标，即掌握基本不等式的概念、性质及证明方法，并能运用其解决实际问题。
2. 讲授新知（约15分钟）●概念讲解：详细讲解算术平均数与几何平均数的定义，通过具体例子说明两者的区别与联系。
●不等式呈现：给出基本不等式的数学表达式，结合实例解释其含义，让学生初步感受不等式的性质。
●证明过程：通过代数方法或几何直观证明基本不等式，注重证明过程的逻辑性和条理性，让学生理解不等式的来源和依据。
3. 深入探究（约10分钟）●性质探讨：引导学生探讨基本不等式的性质，如对称性、传递性等，加深对不等式的理解。
●案例分析：选取典型例题，分析如何运用基本不等式解决问题，强调解题思路和步骤。
●学生讨论：组织学生进行小组讨论，分享自己对基本不等式的理解和应用心得，促进思维的碰撞和融合。