立体几何练习3
专题1 空间向量与立体几何练习(三)
专题1空间向量与立体几何练习（三）1．如图，一个结晶体的形状为平行六面体1111ABCD A B C D -，其中以顶点A 为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60︒.(1)求证：1AC DB ⊥；(2)求异面直线1BD 与AC 所成角的余弦值.2．如图四边形ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，//,3AF DE DE AF =.(1)求证：AC ⊥平面BDE ；(2)若BE 与平面ABCD 所成角为60︒，求二面角F BE D --的正弦值.3．已知()1,4,2a =- ，()2,2,4b =- .(1)若12c b = ，求cos ,a c <> 的值；(2)若()()3ka b a b +-∥ ，求实数k 的值.4．如图，平行六面体1111ABCD A B C D -的底面是菱形，且1160C CB C CD BCD ∠=∠=∠=︒，12CD CC ==．(1)求1AC 的长；(2)求异面直线1CA 与1DC 所成的角．5．已知向量()1,1,0a = ，()1,0,b c =- ，且a b += (1)求c 的值；(2)若ka b + 与2a b - 互相垂直，求实数k 的值．6．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1226AD AB AA ===，,E F 分别是1111,A D A B 的中点，CG GE = ，以点A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．(1)写出1,,,C D F G 四点的坐标；(2)求1cos ,CF D G <> ．7．如图所示，在棱长为2的正四面体ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，求：(1)EF ·BA ；(2)EF ·BD ；(3)AB ·CD .8．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，化简向量表达式：(1)AB CD BC DA +++ ；(2)1111AA B C D D ++ ；(3)1111AA B C D D CB +++ .9．已知空间三点()4,0,4A -，()2,2,4B -，()3,2,3C -，设a AB = ，b BC =r u u u r .(1)求a ，b ；(2)求a 与b 的夹角.10．如图所示，已知在三棱锥A BCD -中，向量AB a = ，AC b = ，AD c =uuu r r ，已知M 为BC 的中点，试用a 、b 、c 表示向量DM ．参考答案：1．(1)证明见解析【分析】（1）根据平面向量转化基底，以及加减运算和数量积的运算性质，得到10AC DB ⋅= ，即可证得1AC DB ⊥；（2）根据平面向量转化基底，求出1BD 、AC 、1AC BD ⋅ ，再利用夹角公式即可求解.【详解】（1）证明：∵以顶点A 为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60︒，∴11111cos602AA AB AA AD AD AB ⋅=⋅=⋅=⨯⨯︒= ，∴()()1111111()()AC DB AA A B B C AB AD AA AB AD AB AD ⋅=++⋅-=++⋅- 22110AA AB AA AD AB AB AD AD AB AD =⋅-⋅+-⋅+⋅-= ，∴1AC DB ⊥.（2）∵111BD AD DD AB AD AA AB ==+-+- ，AC AB BC AB AD =+=+ ，∴1BD ==||AC ==== ，()11()BD AC AD AA AB AB AD ⋅=+-⋅+ 12211111122AD AB AA AB AA AD =+⋅-++⋅=-+= ，∴111cos ,6BD AC BD AC BD AC⋅==⋅ ，∴异面直线1BD与AC 所成角的余弦值为6.2．(1)证明见解析【分析】（1）由已知可得DE AC ⊥且AC BD ⊥,由线面垂直的判定定理即可得到证明;（2）以D 为原点,DA 方向为x 轴,DC 方向为y 轴,DE 方向为z 轴建立空间直角坐标系,利用已知条件求出平面BDE 的一个法向量和平面BEF 的一个法向量,利用向量的夹角公式计算即可.【详解】（1）因为DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以DE AC⊥因为四边形ABCD 是正方形，所以AC BD⊥又因为BD DE D ⋂=，BD ⊂平面BDE ，DE ⊂平面BDE ，所以AC ⊥平面BDE（2）DE ⊥ 底面ABCD ，,⊂DA DC 平面ABCD ，,DE DA DE DC ∴⊥⊥，四边形ABCD 是正方形，DA DC∴⊥故DA ，DC ，DE 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，因为BE 与平面ABCD 所成角为60 ，DE ⊥ 平面ABCD ，且垂足为D ，故60DBE ∠=，所以DE DB=又3,3AD DE AF ==，所以BD DE AF ===所以(3,0,0)A ，(3,3,0)B，F，E ，(0,3,0)C ，所以(0,,(3,0,BF EF =-=- 设平面BEF 的一个法向量(),,m x y z = ，则3030m BF y m EF x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令z =(4,m = 因为AC ⊥平面BDE ，所以CA 为平面BDE 的一个法向量，()3,3,0CA =- .所以cos ,13m CA m CA m CA ⨯+-⨯+⋅〈〉===，所以sin ,m CA〈〉=所以二面角F BE D --3．(1)42-(2)13-【分析】(1)利用空间向量夹角公式的坐标运算直接求解；(2)根据两向量的共线定理，利用坐标运算求解.【详解】（1）由已知可得()11,1,22c b ==- ，()1,4,2a =- ，∴114122cos ,42a c a c a c⨯-+⨯+-⨯⋅<>==- .（2）()2,42,24ka b k k k +=-+-+ ，()37,2,14a b -=-- ，∵()()3ka b a b +-∥ ，∴存在实数m 使得()3ka b m a b +=- ，∴27k m -=，422k m +=-，2414k m -+=-，联立解得13k =-.4．(1)1AC =(2)90°．【分析】(1)因为1,,CD CB CC 三组不共线，则可以作为一组基底，用基底表示向量1AC uuu r ，平方即求得模长.(2)求出两条直线1CA 与1DC 的方向向量，用向量夹角余弦公式即可.【详解】（1）设CD a =uu u r r ，CB b =uu r r ，1CC c =uuu r r ，{},,a b c 构成空间的一个基底．因为()11()AC CC CD CB c a b =-+=-+ ，所以()22211AC AC c a b ⎡⎤==-+⎣⎦222222c a b a c b c a b=++-⋅-⋅+⋅ 12222cos608=-⨯⨯⨯︒=，所以1AC =（2）又1CA a b c =++ ，1DC c a =- ，所以()()11CA DC a b c c a ⋅=++⋅- 220c a b c a b =-+⋅-⋅= ∴11CA DC ⊥ ∴异面直线1CA 与1DC 所成的角为90°．5．(1)2c =±(2)75k =【分析】（1）求出()0,1,b a c += ，根据向量模长公式列出方程，求出2c =±；（2）分2c =与2c =-两种情况，根据向量垂直列出方程，求出实数k 的值.【详解】（1）()()()01,0,1,1,0,1,b c a c =-++= ，所以a b +== 2c =±；（2）当2c =时，()()()01,0,2,,1,,2k b k k k a k +=--=+ ，()()()2202,21,0,2,,23,a b -=-=-- ，因为ka b + 与2a b - 互相垂直，所以()231220k k -+-=，解得：75k =，当2c =-时，()()()210,1,2,,0,,ka k k k b k +=-+---= ，()()()2202,21,0,2,,23,a b -=-=-- 因为ka b + 与2a b - 互相垂直，所以()231220k k -+-=，解得：75k =，综上：75k =.6．(1)()3,6,0C ，()10,6,3D ，3,0,32F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，393,,222G ⎛⎫ ⎪⎝⎭21【分析】（1）根据线段长度、中点坐标公式可求得点对应的坐标；（2）利用向量夹角的坐标运算可直接求得结果.【详解】（1）1226AD AB AA === ，13AB AA ∴==，则()3,6,0C ，()10,6,3D ，3,0,32F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,3,3E ，CG GE = ，G ∴为CE 中点，393,,222G ⎛⎫∴ ⎝⎭.（2）由（1）得：3,6,32CF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，1333,,222D G ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，1119999424cos ,22CF D G CF D G CF D G -+-⋅∴<>=⋅⨯ .7．(1)1(2)2(3)0【分析】分别将EF ，BD ，CD 转化为AB ，AC ，AD 后根据数量积定义计算即可.【详解】（1）在正四面体ABCD 中，||||2,cos ,60BD BA BD BA ==〈〉=111||||cos ,22cos 601222EF BA BD BA BD BA BD BA ⋅=⋅=⋅〈〉=⨯⨯︒= （2）211||222EF BD BD BD BD ⋅=⋅== （3）()AB CD AB AD AC AB AD AB AC ⋅=⋅-=⋅-⋅=||||cos ,||||cos ,AB AD AB AD AB AC AB AC ⋅⋅〈〉-⋅〈〉在正四面体ABCD 中，||||||AB AD AC == ，cos ,cos ,AB AD AB AC 〈〉=〈〉故0AB CD ⋅=8．(1)0(2)AD(3)0【分析】（1）（2）（3）结合图形，根据空间向量的线性运算直接化简可得.【详解】（1）0AB CD BC DA AB BC CD DA AC CD DA AD AD +++=+++=++=-= （2）由图知，1111B C A D = 所以1111111111AA B C D D AA A D D D AD D D AD++=++=+= （3）由图知，CB DA =所以由（2）可得11110AA B C D D CB AD DA AD AD +++=+=-= 9．(1)(2)2π3【分析】（1）（2）由空间向量的坐标运算求解，【详解】（1）由题意得所以()2,2,0a AB == ，所以a == 因为()2,2,4B -，()3,2,3C -，所以()1,0,1b BC ==--r u u u r ，所以b ==r （2）由（1）可知1cos ,2a b a b a b⋅==-⋅ ，又[],0,πa b ∈ ，所以2π,3a b = ，即a 与b 的夹角为2π3.10．()122DM a b c =+- 【分析】利用空间向量的线性运算的几何表示运算即得.【详解】∵M 为BC 的中点，∴()12AM AB AC =+uuu r uu u r uuu r ，∴()()11222DM AM AD AB AC AD a b c =-=+-=+- .。
2023-2024学年北京市西城区高中数学人教B版 必修四-立体几何初步-强化训练-3-含解析
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年北京市西城区高中数学人教B 版 必修四-立体几何初步-强化训练(3)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）1. 若圆锥的轴截面是顶角为120°的等腰三角形，且圆锥的母线长为2，则该圆锥的侧面积为（ ）A. B. C. D. 若，， ，则若 ，，则若 ，，， ，则若 ，，则2.已知 ，表示两个平面，m，n 表示两条直线，以下命题中正确的选项是（）.A. B.C.D. 若 ，，则若直线 与 相交， ， ，则与相交若，，则若，，，，，则3. 设、是空间两个不同平面，、、是空间三条不同直线，下列命题为真命题的是（ ）A. B. C. D. 如果 ， ，，那么 如果 ， ，那么 如果 ， ， ，那么 如果 ， ， ，那么4. ， 是两个平面，， 是两条直线，则下列命题中错误的是（ ）A. B. C. D.5. 已知圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的体积为（ ）A. B. C. D. 26. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3、圆心角为的扇形，则该圆锥的高是（ ）A. B. C. D.4217. 六棱锥底面为正六边形，且内接于球，已知为球的一条直径，球的表面积为，，则六棱锥的体积为（ ）A. B. C. D. 8. 通用技术结业课程上，老师带领大家设计一个圆台状的器皿材料的厚度忽略不计，该器皿下底面半径为3cm ，上底面半径为18cm ，容积为 ， 则该器皿的高为（ ）A. B. C. D.若，，则若，，则若，，则若，，则9. 设是一条直线，，是两个平面，下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. ①②③④②③①④10. 若关于直线与平面， 有下列四个命题：①若 ，， 且， 则；②若 ，， 且， 则；③若 ，， 且， 则；④若 ，， 且， 则；其中真命题的序号（ ）A. B. C. D. 若，，则若，，则若，，则若，，则11. 设l 是直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）A. B. C. D. 12. 已知空间四边形ABCD 中，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，则判断：；；其中正确的是A. B. C. D.13. 所谓正三棱锥，指的是底面为正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形中心的三棱锥，在正三棱锥中，AM 是PC的中点，且，底面边长，则正三棱锥的外接球的表面积为；AM与底面AB C所成角的正弦值为．14. 已知△ABC的顶点都在球O的球面上，AB=6，BC=8，AC=10，三棱锥O﹣ABC的体积为40 ，则该球的表面积等于．15. 正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为，点S、A、B、C、D都在同一个球面上，则该球的体积为．16. 两个平面将空间分成个部分.17. 设三棱锥的每个顶点都在球O的球面上，是面积为的等边三角形，，，且平面平面 .(1) 确定O的位置（需要说明理由），并证明：平面平面 .(2) 与侧面平行的平面与棱，，分别交于D，E，F，求四面体的体积的最大值.18. 如图，在直角梯形中，，，，，，点E在上，且，将沿折起，使得平面平面（如图），G为中点.(1) 求证：平面；(2) 求直线与平面所成的角的正弦值.(3) 在线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.19. 如图1，在△ABC中，， DE是△ABC的中位线，沿DE将△ADE进行翻折，使得△ACE是等边三角形（如图2），记AB的中点为F．(1) 证明：平面ABC．(2) 若，二面角D-AC-E为，求直线AB与平面ACD所成角的正弦值．20. 如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，．(1) 证明：A1C⊥平面BB1D1D；(2) 求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小．21. 已知正方体AC1的棱长为a，过B1作B1E⊥BD1于点E，过点E作EF⊥BD于F．（1）证明EF∥平面ABB1A1；（2）求A，E两点之间的距离．答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.(1)(2)(1)(2)(3)19.(1)(2)20.(1)(2)21.。
专题3：立体几何中平行关系的证明基础练习题
（1）连接 ，则 也为 的中点，由 可证 平面 ；
（2）存在， 为 的中点时，平面 平面 ，利用平面与平面平行的判定定理可证结论.
【详解】
（1）连接 ，则 也为 的中点，
因为 为 的中点，所以 为△ 的中位线，
所以 ，又 平面 ， 平面 ，
所以 平
∴ 是 的中点，
又 是 的中点，
∴ ，
又 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .
4．(1) 见解析；(2) 见解析；(3)见解析.
【分析】
（1）取BB1的中点M，连接HM、MC1，四边则HMC1D1是平行四边形，即可证明BF∥HD1；（2）取B1D1的中点O，易证四边形BEGO为平行四边形，故有OB∥GE，从而证明EG∥平面BB1D1D．（3）由正方体得BD∥B1D1，由四边形HBFD1是平行四边形，可得HD1∥BF，可证平面BDF∥平面B1D1H．
7．证明详见解析．
【解析】
【分析】
利用中位线，分别证明 ，由此证得平面内两条相交直线和另一个平面平行，从而证得两个平面平行.
【详解】
因为EF是△PAB的中位线，所以EF∥PA．
又EF 平面PAC，PA 平面PAC，所以EF∥平面PAC．
同理得EG∥平面PAC．
又EF 平面EFG，EG 平面EFG，EF∩EG＝E，
5．（1）证明见解析；（2）
【分析】
（1）连接 ，通过证明 平面 与 平面 ，可得平面 平面 ；
（2）找到 为异面直线 和 所成角，求 即可.
【详解】
证明：（1）由题意可得，点 分别是 和 的中点，连接 ，
，
又 平面 平面 ，
平面 ，
同理： ，则 平面 ，
又 平面 平面 ，
高中数学《立体几何》专题复习 (3)
高中数学《立体几何》专题复习 三1．(2017·唐山模拟)正三棱锥的高和底面边长都等于6，则其外接球的表面积为( ) A ．64π B ．32π C ．16π D ．8π答案 A解析 如图，作PM ⊥平面ABC 于点M ，则球心O 在PM 上，PM ＝6，连接AM ，AO ，则OP ＝OA ＝R(R 为外接球半径)，在Rt △OAM 中，OM ＝6－R ，OA ＝R ，又AB ＝6，且△ABC 为等边三角形，故AM ＝2362－32＝23，则R 2－(6－R)2＝(23)2，则R ＝4，所以球的表面积S ＝4πR 2＝64π.2．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是( ) A ．16π B ．20π C ．24π D ．32π答案 C解析 由V ＝Sh ，得S ＝4，得正四棱柱底面边长为2.画出球的轴截面可得，该正四棱柱的对角线即为球的直径，所以球的半径为R ＝1222＋22＋42＝ 6.所以球的表面积为S ＝4πR 2＝24π.故选C.3．若一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是( ) A ．8π B ．6π C ．4π D ．π答案 C解析 设正方体的棱长为a ，则a 3＝8.因此内切球直径为2，∴S 表＝4πr 2＝4π.4．(2017·课标全国Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径长为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( ) A ．π B.3π4 C.π2 D.π4 答案 B解析 根据已知球的半径长是1，圆柱的高是1，如图，所以圆柱的底面半径r ＝22－122＝32，所以圆柱的体积V ＝πr 2h ＝π×(32)2×1＝34π.故选B. 5．(2018·安徽合肥模拟)已知球的直径SC ＝6，A ，B 是该球球面上的两点，且AB ＝SA ＝SB ＝3，则三棱锥S －ABC 的体积为( ) A.324B.924 C.322 D.922答案 D解析 设该球球心为O ，因为球的直径SC ＝6，A ，B 是该球球面上的两点，且AB ＝SA ＝SB ＝3，所以三棱锥S －OAB 是棱长为3的正四面体，其体积V S －OAB ＝13×12×3×332×6＝924，同理V O －ABC ＝924，故三棱锥S －ABC 的体积V S －ABC ＝V S －OAB ＋V O －ABC ＝922，故选D.6．已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( ) A.3172B ．210 C.132 D ．310 答案 C解析 如图，由球心作平面ABC 的垂线，则垂足为BC 的中点M. 又AM ＝12BC ＝52，OM ＝12AA 1＝6，所以球O 的半径R ＝OA ＝（52）2＋62＝132. 7．(2018·广东惠州一模)已知一个水平放置的各棱长均为4的三棱锥形容器内有一小球O(质量忽略不计)，现从该三棱锥形容器的顶端向内注水，小球慢慢上浮，当注入的水的体积是该三棱锥体积的78时，小球与该三棱锥各侧面均相切(与水面也相切)，则小球的表面积等于( ) A.76π B.43πC.23π D.12π 答案 C解析 由题知，没有水的部分的体积是三棱锥形容器的体积的18，三棱锥形容器的体积为13·34·42·63·4＝1623，所以没有水的部分的体积为223.设其棱长为a ，则其体积为13×34a 2×63a ＝223，∴a ＝2，设小球的半径为r ，则4×13×3×r ＝223，解得r ＝66，∴球的表面积为4π×16＝23π，故选C.8.如图，ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为1的正方体，S －ABCD 是高为1的正四棱锥，若点S ，A 1，B 1，C 1，D 1在同一个球面上，则该球的体积为( ) A.25π16 B.49π16 C.81π16 D.243π128答案 C解析 如图所示，O 为球心，设OG 1＝x ，则OB 1＝SO ＝2－x ，同时由正方体的性质可知B 1G 1＝22，则在Rt △OB 1G 1中，OB 12＝G 1B 12＋OG 12，即(2－x)2＝x 2＋(22)2，解得x ＝78，所以球的半径R ＝OB 1＝98，所以球的表面积S ＝4πR 2＝81π16，故选C. 9．(2018·郑州质检)四棱锥P －ABCD 的五个顶点都在一个球面上，该四棱锥的三视图如图所示，E ，F 分别是棱AB ，CD 的中点，直线EF 被球面所截得的线段长为22，则该球的表面积为( )A ．9πB ．3πC ．22πD ．12π答案 D解析 该几何体的直观图如图所示，该几何体可看作由正方体截得，则正方体外接球的直径即为PC.由直线EF 被球面所截得的线段长为22，可知正方形ABCD 对角线AC 的长为22，可得正方形ABCD 的边长a ＝2，在△PAC 中，PC ＝22＋（22）2＝23，球的半径R ＝3，∴S 表＝4πR 2＝4π×(3)2＝12π.10．(2014·湖南)一块石材表示的几何体的三视图如图所示．将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 此几何体为一直三棱柱，底面是边长为6，8，10的直角三角形，侧棱为12，故其最大球的半径为底面直角三角形内切圆的半径，故其半径为r ＝12×(6＋8－10)＝2，故选B.11．(2017·天津)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________． 答案 92π解析 设正方体的棱长为a ，则6a 2＝18，得a ＝3，设该正方体外接球的半径为R ，则2R ＝3a ＝3，得R ＝32，所以该球的体积为43πR 3＝43π(32)3＝92π.12．若一个正四面体的表面积为S 1，其内切球的表面积为S 2，则S 1S 2＝________．答案63π解析 设正四面体的棱长为a ，则正四面体的表面积为S 1＝4·34·a 2＝3a 2，其内切球半径为正四面体高的14，即r ＝14·63a ＝612a ，因此内切球表面积为S 2＝4πr 2＝πa 26，则S 1S 2＝3a 2π6a 2＝63π. 13．已知一圆柱内接于球O ，且圆柱的底面圆的直径与母线长均为2，则球O 的表面积为________． 答案 8π解析 圆柱的底面圆的直径与母线长均为2，所以球的直径为22＋22＝8＝22，即球半径为2，所以球的表面积为4π×(2)2＝8π.14．(2017·衡水中学调研卷)已知正三棱锥P －ABC ，点P ，A ，B ，C 都在半径为3的球面上，若PA ，PB ，PC 两两相互垂直，则球心到截面ABC 的距离为________． 答案33解析 方法一：先在一个正方体中找一个满足条件的正三棱锥，再利用正方体的性质解题．如图，满足题意的正三棱锥P －ABC 可以是正方体的一部分，其外接球的直径是正方体的体对角线，且面ABC 与体对角线的交点是体对角线的一个三等分点，所以球心到平面ABC 的距离等于体对角线长的16，故球心到截面ABC 的距离为16×23＝33.方法二：用等体积法：V P －ABC ＝V A －PBC 求解)．15．(2018·四川成都诊断)已知一个多面体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是直角边长为1的等腰直角三角形，俯视图是边长为1的正方形，若该多面体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为________．答案3π解析由三视图知几何体为四棱锥，且四棱锥的一条侧棱垂直于底面，高等于1，其底面是边长为1的正方形，∴四棱锥的外接球即是边长为1的正方体的外接球，∴外接球的直径为3，∴外接球的表面积S＝4π×(32)2＝3π.16．(2018·河北唐山模拟)已知矩形ABEF所在的平面与矩形ABCD所在平面互相垂直，AD＝2，AB＝3，AF＝332，M为EF的中点，则多面体M－ABCD的外接球的表面积为________．答案16π解析记多面体M－ABCD的外接球的球心为O，如图，过点O分别作平面ABCD和平面ABEF的垂线，垂足分别为Q，H，连接MH并延长，交AB于点N，连接OM，NQ，AQ，设球O的半径为R，球心到平面ABCD的距离为d，即OQ＝d，∵矩形ABEF所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，AF＝332，M为EF的中点，∴MN＝332，∴AN＝NB＝32，NQ＝1，∴R2＝(4＋92)2＋d2＝12＋(332－d)2，∴d＝32，R2＝4，∴多面体M－ABCD的外接球的表面积为4πR2＝16π.1．(2017·课标全国Ⅱ，文)长方体的长，宽，高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为________．答案14π解析依题意得，长方体的体对角线长为32＋22＋12＝14，记长方体的外接球的半径为R，则有2R＝14，R＝142，因此球O的表面积等于4πR2＝14π.2．(2018·湖南长沙一中模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为()A ．8π B.25π2C ．12π D.41π4答案 D解析 根据三视图得出，几何体是正方体中的一个四棱锥O －ABCD ，正方体的棱长为2，A ，D 为所在棱的中点．根据几何体可以判断，球心应该在过A ，D 的平行于正方体底面的中截面上，设球心到平面BCO的距离为x ，则到AD 的距离为2－x ，所以R 2＝x 2＋(2)2，R 2＝12＋(2－x)2，解得x ＝34，R＝414，该多面体外接球的表面积为4πR 2＝414π，故选D. 3．(2014·陕西，理)已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为( ) A.32π3B ．4πC ．2π D.4π3答案 D解析 因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半，所以半径r ＝1212＋12＋（2）2＝1，所以V 球＝4π3×13＝4π3.故选D.4．(2018·洛阳统一考试)如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为( )A ．200πB ．150πC ．100πD ．50π答案 D解析 由三视图知，该几何体可以由一个长方体截去3个角后得到，该长方体的长、宽、高分别为5、4、3，所以其外接球半径R 满足2R ＝42＋32＋52＝52，所以该几何体的外接球的表面积为S ＝4πR 2＝4π×(522)2＝50π，故选D.5．(2018·广东清远三中月考)某一简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积是( )A ．13πB ．16πC ．25πD ．27π答案 C解析 由三视图可知该几何体是底面为正方形的长方体，底面对角线为4，高为3，设外接球半径为r ，则2r ＝（22）2＋（22）2＋32＝5，∴r ＝52，∴长方体外接球的表面积S ＝4πr 2＝25π.6．(2018·福建厦门模拟)已知球O 的半径为R ，A ，B ，C 三点在球O 的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为32R ，AB ＝AC ＝BC ＝23，则球O 的表面积为( ) A.163π B ．16π C.643π D ．64π答案 D解析 因为AB ＝AC ＝BC ＝23，所以△ABC 为正三角形，其外接圆的半径r ＝232sin60°＝2，设△ABC 外接圆的圆心为O 1，则OO 1⊥平面ABC ，所以OA 2＝OO 12＋r 2，所以R 2＝(32R)2＋22，解得R 2＝16，所以球O 的表面积为4πR 2＝64π，故选D.7．(2018·四川广元模拟)如图，边长为2的正方形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点，将△ADE ，△EBF ，△FCD 分别沿DE ，EF ，FD 折起，使得A ，B ，C 三点重合于点A ′，若四面体A ′EFD 的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为________．答案62解析 由题意可知△A ′EF 是等腰直角三角形，且A ′D ⊥平面A ′EF.由于△A ′EF 可以补全为边长为1的正方形，则该四面体必能补全为长、宽、高分别为1，1，2的正四棱柱，三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球，易知正四棱柱的外接球的直径为12＋12＋22＝ 6.故球的半径为62. 8．(2017·德州模拟)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，该几何体的体积是________；若该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的表面积是________．答案 133π解析 由三视图知该几何体是底面为1的正方形，高为1的四棱锥，故体积V ＝13×1×1×1＝13，该几何体与棱长为1的正方体具有相同的外接球，外接球直径为3，该球表面积S ＝4π×(32)2＝3π，正方体、长方体的体对角线即为外接球的直径．。
3立体几何及平面解析几何练习(含答案)
立体几何练习1．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a 3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．垂直 D ．不能确定2．在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB=2，A A 1=1，则点A 到平面A 1BC 的距离为（ ） A ．43 B ．23 C ．433 D ．33．在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB=2BB 1,则AB 1与C 1B 所成的角的大小为 （ ）A.60ºB. 90ºC.105ºD. 75º4. 如图四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，PG ⊥平面ABCD ，垂足为G ，G 在AD 上，且PG ＝4，GD AG 31=，BG ⊥GC ，GB ＝GC ＝2，E 是BC 的中点． (1)求异面直线GE 与PC 所成的角的余弦值；(2)求点D 到平面PBG 的距离；(3)若F 点是棱PC 上一点，且DF ⊥GC ，求FCPF 的值．5.已知四棱锥S －ABCD 的底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，E 是SC 上的任意一点．(1)求证：平面EBD ⊥平面SAC ；(2)设SA ＝4，AB ＝2，求点A 到平面SBD 的距离；6如图，四面体PABC 的六条边均相等，D E F 、、分别是AB BC CA 、、的中点，则下列四个结论中不成立．．．的是 ( )A ．平面PDE ⊥平面ABCB ．D F ⊥平面PAEC ．BC //平面PDFD ．平面PAE ⊥平面ABC 7已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为1的正方形，侧棱垂直底边ABCD 四棱柱，12AA =，E 是侧棱AA 1的中点，求（1）求异面直线BD 与B 1E 所成角的大小；（2）求四棱柱1111ABCD A B C D -的体积PA GB CD FE P A DF E C B.E A 1D 1C 1B 1AD CB平面解析几何（1）1a =“”是“直线x+y =0和直线0x ay -=互相垂直”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件（2）设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且||||PB PA =，若直线PA 的方程为01=+-y x ，则直线PB 的方程是 （ ）A ．05=-+y xB ．012=--y xC ．042=--y xD ．072=-+y x（3）直线1y x =-上的点到圆C ：224240x y x y ++-+=的最近距离为（ ）A. 1B. 22C. 2－1D. 22－1（4）直线30x y m -+=与圆22220x y x +--=相切，则实数m 等于（ ）A ．3或3-B ．3-或33C ．33-或3D ．33-或33（5）若圆22680x y x y +--=的过点(3 5)，的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．106B ．206C ．306D ．4066、已知圆C ：012822=+-+y y x ，直线l ：02=++a y ax . (I) 当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(Ⅱ) 当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且22=AB 时，求直线l 的方程.1、答案B2、B3、B5解析：(1)∵SA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴SA ⊥BD ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，∴BD ⊥ 平面SAC ，∵BD ⊂平面EBD ，∴平面EBD ⊥平面SAC .(2)设AC ∩BD ＝F ，连结SF ，则SF ⊥BD ，∵AB ＝2，SA ＝4，∴BD ＝22，SF ＝SA 2＋AF 2＝42＋(2)2＝32，∴S △SBD ＝12BD ·SF ＝12·22·32＝6， 设点A 到平面SBD 的距离为h ，∵SA ⊥平面ABCD ，∴13·S △SBD ·h ＝13·S △ABD ·SA ，∴6·h ＝12·2·2·4，∴h ＝43， 即点A 到平面SBD 的距离为43. 6、A7 (1)解：连接B 1D 1 ED 1四棱柱中BD// B 1D 1，所以∠EB 1D 1或其补角为所求因为AA 1=2 AB=1 所以B 1D 1=ED 1=B 1E=2 ∠EB 1D 1=600因此异面直线BD 与B 1E 成600角 ……6分（2）因为21121=⨯⨯=-C A V 柱平面解析几何1——5 CADCB6解：将圆C 的方程012822=+-+y y x 配方得标准方程为4)4(22=-+y x ， 则此圆的圆心为（0 , 4），半径为2.(Ⅰ) 若直线l 与圆C 相切，则有21|24|2=++a a . 解得43-=a . ………………6分 (Ⅱ) 解：过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧====+++=.221,2,1|24|22222AB DA AC DA CD a a CD 解得1,7--=a . ∴直线l 的方程是0147=+-y x 和02=+-y x . ………………12分。
2015届高考数学 立体几何3(基础及能力训练)
2015届高考数学 立体几何3（基础及能力训练）131．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．8－2πB ．8－πC ．8－π2D ．8－π42．直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为( )A.110B.25C.3010D.223．已知二面角α-l -β为60°，AB ⊂α，AB ⊥l ，A 为垂足，CD ⊂β，C ∈l ，∠ACD ＝135°，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为( ) A.14 B.24 C.34 D.124．如图，在正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，点O 为线段BD 的中点，设点P 在线段CC 1上，直线OP 与平面A 1BD 所成的角为α则sin α的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，1B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤63，1C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤63，223D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤223，1 5．一个几何体的三视图如右图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.6．如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练．已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小．若AB ＝15 m ，AC ＝25m ，∠BCM ＝30°，则tan θ的最大值是________．(仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成角)7．如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A 为PD 的中点．(1)证明：PB ∥平面AEC ； (2)设二面角D -AE -C 为60°，AP ＝1求三棱锥E -ACD 的体积．8．如图所示，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB＝60°，AB＝2CD＝2，M是线段AB的中点．(1)求证：C1M∥平面A1ADD1；(2)若CD1垂直于平面ABCD且CD1＝3，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值．9．如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC 于点F，FE∥CD，交PD于点E.(1)证明：CF⊥平面ADF；(2)求二面角D -AF -E的余弦值．10．如图所示，四棱柱ABCD -A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．(1)证明：O1O⊥底面ABCD；(2)若∠CBA＝60°，求二面角C1OB1D的余弦值．。
数学：立体几何经典基础600题(3)有详细答案
201. ．已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=AC=2，求球的体积。
解析：过A 、B 、C 三点截面的小圆的半径就是正△ABC 的外接圆的半径332， 它是Ｒｔ△中060所对的边，其斜边为34，即球的半径为34，∴π81256=V ； 202. 正四面体棱长为a ，求其内切球与外接球的表面积。
解析：设正四面体的面BCD 和面ACD 的中心分别为21,O O ，连结2AO 与1BO 并延长，必交于CD 的中点E ，又a BE 23=，a E O 632=，连接2BO ，在Rt △E BO 2中，,362=BO 连结1AO 与2BO 交于3O ，由Rt △≅32O AO Ｒｔ△21O BO ，∴B O A O O O O O 331332,==，同理可证3333,O A O D O C O ==到另二面的距离也等13O O ，∴3O 为四面体外接球与内接球的球心，由△31O BO ∽△E BO 2，∴a O O 12631=，∴2261,126,23,46a S a r a S a R ππ====内内外外 203. 在Rt ΔABC 中，AB ＝BC ，E 、F 分别是AC 和AB 的中点，以EF 为棱把它折成大小为β的二面角A—EF —B 后，设∠AEC ＝α， 求证：2cos α-cos β＝-1.解析：∠AFB ＝β.可证：BC ⊥AB ，然后利用AC 2＝BC 2+AB 2即可证得.204. 如图：D 、E 是是等腰直角三角形ABC 中斜边BC 的两个三等分点，沿AD 和AE 将△ABD 和△ACE 折起，使AB 和AC 重合，求证：平面ABD ⊥平面ABE.解析：过D 作DF ⊥AB 交AB 于F ，连结EF ，计算DF 、EF 的长，又DE 为已知，三边长满足勾股定理，∴∠DFE ＝090；205. 已知正三棱柱ABC —111C B A 的底面边长为８，侧棱长为６，D 为AC 中点， （１）求证：AB 1∥平面C 1DB ；（２）求异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值.(1) 解析：连Ｂ１Ｃ交BC １于E ，连结ED ，则AB １∥DE ，由线面平行定理得AB １∥平面BDC １；（２）∵AB １∥ＤＥ，∴DE 与BC １所成锐角就是异面直线AB １与BC １所成的角，又BD ⊥DC ，在Rt △BDC １中，易知BE ＝21BC １＝５，DE ＝５，BD ＝34，在△BDE 中，cos ∠BED ＝251，∴异面直线AB １与BC １所成角的余弦值为251206. 已知（如图）：三棱锥P —ABC 中，异面直线PA 与BC 所成的角为090，二面角P —BC —A 为060，△PBC 和△ABC 的面积分别为16和10，BC ＝４.ＥＤＢＡＥ Ｄ ＣＢ Ａ Ｐ求：（１）PA 的长；（２）三棱柱P —ABC 的体积ABC P V - 解析：(1)作AD ⊥BC 于D ，连PD ，由已知PA ⊥BC ，∴BC ⊥面PAD ，∴BC ⊥PD ，∴∠PDA 为二面角的平面角，∴∠PDF ＝060，可算出PD ＝８，AD ＝５，∴PA ＝７;(2)Ｖ＝3340 207. 如图2－33：线段PQ 分别交两个平行平面α、β于A 、B 两点，线段PD 分别交α、β于C 、D 两点，线段QF 分别交α、β于F 、E 两点，若PA ＝9，AB ＝12，BQ ＝12，∆ACF 的面积为72，求∆BDE 的面积。
立体几何基础训练题3(20101208)
A 立体几何基础训练题3一、选择题1．下列四个结论：⑴两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行。
⑵两条直线没有公共点，则这两条直线平行。
⑶两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行。
⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行。
其中正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．32．下面列举的图形一定是平面图形的是（ ）A ．有一个角是直角的四边形B ．有两个角是直角的四边形C ．有三个角是直角的四边形D ．有四个角是直角的四边形3．垂直于同一条直线的两条直线一定（ ）A ．平行B ．相交C ．异面D ．以上都有可能4．如右图所示，正三棱锥V ABC -（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中，,,D E F 分别是 ,,VC VA AC 的中点，P 为VB 上任意一点，则直线DE 与PF 所成的角的大小是（ ） A ．030 B ． 090 C ． 060 D ．随P 点的变化而变化。
5．互不重合的三个平面最多可以把空间分成（ ）个部分A ．4B ．5C ．7D ．8 6．下列命题中：（1）、平行于同一直线的两个平面平行；（2）、平行于同一平面的两个平面平行；（3）、垂直于同一直线的两直线平行；（4）、垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有_____________。
7．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且侧棱垂直于底面）高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ）Ａ．16π Ｂ．20π Ｃ．24π Ｄ．32π8．下列说法不正确的．．．．是（ ） A ．空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形；B ．同一平面的两条垂线一定共面；C ．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；D ．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直.9．下列说法不正确的．．．．是（ ） A ．空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形；B ．同一平面的两条垂线一定共面；C ．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；D ．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直.二．解答题：10．已知,,,E F G H 为空间四边形ABCD 的边,,,AB BC CD DA 上的点， 且//EH FG ．求证：//EH BD .HGF E DBA C11． 如图：S 是平行四边形ABCD 平面外一点，,M N 分别是,SA BD 上的点，且SM AM =NDBN ， 求证：//MN 面SBC12.如图所示，已知正四棱锥S —ABCD 侧棱长为2，面边长为3，E 是SA 的中点，则异面直线BE 与SC 所成角的大小为多少度呢？13. 已知正三棱柱ABC —A1B1C1中，A 1B ⊥CB 1，则A 1B 与AC 1所成的角为多少度呢？附加题：已知直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，，F 为棱BB 1的中点，M 为线段AC 1的中点. （1）求证：直线MF //平面ABCD ；（2）求证：平面AFC 1⊥平面ACC 1A 1；A BA11。
高三数学专项训练：立体几何解答题（三）（文科）
中，CA CB =，1AB AA =，160BAA Ð=。
（Ⅰ）证明：1AB A C ^；（Ⅱ）若2AB CB ==，16A C =高三数学专项训练：立体几何解答题（三）（文科）1．如图，在．如图，在四棱锥四棱锥A-BCDE 中，侧面∆ADE 是等边三角形，底面BCDE 是等腰是等腰梯形梯形，且CD ∥BE,DE=2BE,DE=2，，CD=4,60CDE Ð=° ,M 是DE 的中点，F 是AC 的中点，且AC=4AC=4，，求证：（1）平面ADE ADE⊥平面⊥平面BCD;BCD;(2)FB (2)FB∥平面∥平面ADE. ADE.2．（本小题满分12分）如图，分）如图，三棱柱三棱柱111ABC A B C -，求三棱柱111ABC A B C -的体积。
45．．如图，三棱锥P ABC -中，90ABC °Ð=，PA ABC ^底面（Ⅰ）求证：PAC PBC ^平面平面；（Ⅱ）若AC BC PA ==，M 是PB 的中点，求AM 3．如图，在．如图，在四棱锥四棱锥P －ABCD 中，中，PD PD PD⊥⊥平面ABCD ABCD，，AB AB∥∥DC DC，已知，已知BD BD＝＝2AD 2AD＝＝2PD 2PD＝＝8，AB ＝2DC 2DC＝＝（Ⅰ）设M 是PC 上一点，证明：平面MBD MBD⊥平面⊥平面PAD PAD；；（Ⅱ）若M 是PC 的中点，求棱锥P －DMB 的体积．4与平面PBC 所成角的所成角的正切正切值5中，CB DA 、是梯形的高，2AE BF ==，22AB =，现将梯形沿CB DA 、折起，使//EF AB ，且2E F A B =如图所示，已知M N P 、、（1）求证：//MN6^PA 底面ABCD ，F E ,分别是PB AC ,的中点的中点. . .PFEDC B A（1）求证：//EF 平面PCD ；（2）求证：平面^PBD 平面PAC ；（3）若AB PA =，求PD 与平面PAC 所成的角的大小所成的角的大小. . .．如图，在等腰．如图，在等腰梯形梯形CDEF ，得一简单，得一简单组合组合体ABCDEF 分别为,,AF BD EF 的中点平面BCF ；（2）求证：AP ^平面DAE .．如图，．如图，四棱锥四棱锥ABCD P -的底面ABCD 为正方形，7中，2AB BC =，点M 在边CD 上，点F 在边AB 上，且DF AM^，垂足为E ，若将ADM D 沿AM 折起，使点ABCM D -¢．（Ⅰ）求证：F D AM p ，求直线D8．如图，在四棱锥-P ．如图，在．如图，在矩形矩形ABCD D 位于D ¢位置，连接B D ¢，C D ¢得四棱锥¢^；（Ⅱ）若3p =¢ÐEF D ，直线F D ¢与平面ABCM 所成角的大小为3A ¢与平面ABCM 所成角的所成角的正弦正弦值．值．ABCD 中，四边形ABCD 是菱形，PA PC =,E 为PB 的中点．（Ⅰ）求证：PD ∥平面AEC ；（Ⅱ）求证：平面AEC ^平面PBD .-的中点，E 为PA 的中点．的中点．ADO C PBEMNC C 1B 1A 1BA9．如图，在直．如图，在直三棱柱三棱柱ABC ABC－－A 1B 1C 1中，点M 是A 1B 的中点，点N 是B 1C 的中点，连接MN MN（Ⅰ）证明：（Ⅰ）证明：MN//MN//MN//平面平面ABC ABC；； （Ⅱ）若AB=1AB=1，，AC=AA 1=3，BC=2BC=2，求二面角，求二面角A —A 1C —B 的余弦值的大小值的大小1010．．如图，四棱锥P ABCD 的底面是直角的底面是直角梯形梯形，//AB CD ，AB AD ^，PAB D 和PADD 是两个边长为2的正三角形，4DC =，O 为BD (Ⅰ)求证：PO ^平面ABCD ；(Ⅱ)求证：//OE 平面PDC ；(Ⅲ)求(Ⅲ)求直线直线CB 与平面PDC 所成角的所成角的正弦正弦值．11中，底面ABED 、090ADC Ð=，12BC CD AD ==，PA PD =，,EF .A B C -中，点D 是BC 的中点的中点..（Ⅰ）求证（Ⅰ）求证: : AD ^平面11BCC B ；（Ⅱ）求证（Ⅱ）求证: : 1A C 平面1AB D .A BCDA 1B 1C 1．在．在四棱锥四棱锥P ABCD -为直角为直角梯形梯形，//BC AD 为,AD PC 的中点．（1）求证：//PA 平面BEF ；（2）求证：AD PB ^1212．如图，正．如图，正．如图，正三棱柱三棱柱111ABC13．如图，在多面体ABCDFE 中，四边形ABCD 是矩形，AB ∥EF ， 902=Ð=EAB EF AB，（1）若G 点是DC ）求证：BAF DAF 面面^.（3）若,2,1===AB AD AE ，平面ABCD ABFE 平面^.中点，求证：AED FG 面//.（2求的体积三棱锥AFC D -.∴,3AM DE AM ^=,∵在∆DMC 中，中，DM=1DM=1DM=1，，60CDE Ð=°,CD=4,CD=4，，∴22241241cos6013MC =+-´´×°= ，即MC=13.在∆AMC 中，222222(3)(13)4AM MC AC +=+==∴AM AM⊥⊥MC,MC,又∵,AM DE ^MC DE M = , , ∴∴AM ^平面BCD,BCD,∵AM Í平面ADE, ADE, ∴平面∴平面ADE ADE⊥平面⊥平面BCD.BCD.（2）取DC 的中点N ，连结FN,NB,FN,NB,∵F,N 分别是AC AC，，DC 的中点，∴的中点，∴FN FN FN∥∥AD,AD,由因为由因为FN Ë平面ADE,AD Í平面ADE, ADE, ∴∴FN FN∥平面∥平面ADE,ADE,∵N 是DC 的中点，∴的中点，∴BC=NC=2BC=NC=2BC=NC=2，又，又60CDE Ð=°，∴∆BCN 是等边三角形，∴是等边三角形，∴BN BN BN∥∥DE,DE, 由BN Ë平面ADE,ED Í平面ADE, ADE, ∴∴BN BN∥平面∥平面ADE,ADE,∵FN BN N = , , ∴平面∴平面ADE ADE∥平面∥平面FNB,FNB,∵FB Í平面FNB, FNB, ∴∴FB FB∥平面∥平面ADE.ADE.考点：考点：1.1. 1.直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的判定；2.2.2.平面一平面垂直的判定；平面一平面垂直的判定；平面一平面垂直的判定；3.3.3.直线与平面平行的判定直线与平面平行的判定直线与平面平行的判定..2．（1）取AB 的中点O ，连接1OC O 、1OA O 、1A B ，因为CA=CB CA=CB，所以，所以OC AB ^，由于AB=AA 1，∠，∠BA A BA A 1=600，所以1OA AB ^，所以AB ^平面1OAC ，因为1A C Ì平面1OAC ，所以AB AB⊥⊥A 1C ；（2）因为221A C OC =因为ABC D 为等边三角形，所以3CO =，底面积1232232S =´´=高三数学专项训练：立体几何解答题（三）（文科）参考答案1．（1）证明详见解析；（2）证明详见解析 【解析】【解析】试题分析：（1）首先根据直线与平民啊垂直的）首先根据直线与平民啊垂直的判定定理判定定理证明AM ^平面BCD,BCD,然后再根据平面垂直的判定定理证明平面ADE ADE⊥平面⊥平面BCD BCD；；（2），取DC 的中点N ，首先证FN ∥平面ADE,ADE,然后再证∴然后再证∴然后再证∴BN BN BN∥平面∥平面ADE,ADE,再根据平面与平民啊平行的判定定理证明∴平面再根据平面与平民啊平行的判定定理证明∴平面ADE ∥平面FNB,FNB,最后由面面平行的性质即可最后由面面平行的性质即可最后由面面平行的性质即可..试题解析：（1）∵∆ADE 是等边三角形，,M 是DE 的中点，的中点，，所以，所以体积体积123323V =´´=（Ⅱ）163P DMB V -=． 【解析】【解析】试题分析：试题解析：（I ）证明：在ABD D 中，由于4,8,45A D B D A B ===，所以222AD BD AB +=．故AD BD ^。
2019-2020年高考数学大题专题练习——立体几何(三)
2019-2020年高考数学大题专题练习——立体几何（三）53.如图，在四棱锥E ﹣ABCD 中，平面CDE ⊥平面ABCD ，∠DAB =∠ABC =90°，AB =BC =1，AD =ED =3，EC =2．（1）证明：AB ⊥平面BCE ；（2）求直线AE 与平面CDE 所成角的正弦值．54.如图1，2，已知ABCD 是矩形，M ，N 分别为边AD ，BC 的中点，MN 与AC 交于点O ，沿MN 将矩形MNCD 折起，设AB =2，BC =4，二面角B ﹣MN ﹣C 的大小为θ．（1）当θ=90°时，求cos ∠AOC 的值；（2）点θ=60°时，点P 是线段MD 上一点，直线AP 与平面AOC 所成角为α．若sin α=，求714线段MP 的长．55.在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，∠CDA =∠BAD =90°，AD =DC =，AB =PA =2，且E 为线段PB 上的一动点．22（1）若E 为线段PB 的中点，求证：CE ∥平面PAD ；（2）当直线CE 与平面PAC 所成角小于，求PE 长度的3π取值范围．56.如图，在几何体中，平面底面，四边形是正方111ABC A B C -11A ACC ⊥ABC 11A ACC 形，，是的中点，且11B C BC ∥Q 1A B 112AC BC B C ==，． 2π3ACB ∠=(Ⅰ) 证明：平面；1B Q ∥11A ACC (Ⅱ) 求直线与平面所成角的正弦值．AB 11A BB57.如图，已知和所在平面互相垂直，且，ABC V BCD V 090BAC BCD ∠=∠=，点分别在线段,AB AC =CB CD =,E F ,BD CD上，沿直线将向上翻折使得与重EF EFD V D A 合（Ⅰ）求证：；AB CF ⊥（Ⅱ）求直线与平面所成角。
AE ABC 58.如图，四边形是圆台的轴截面，，点在底面圆周上，且ABCD 1OO 24AB CD ==M ，．2π=∠AOM DM AC ⊥（Ⅰ）求圆台的体积；1OO （Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值．A DMO--59.如图，已知菱形与等腰所在平面相互垂直..ABCD PAB ∆120PAB BAD ∠=∠=为PB 中点 ．E （Ⅰ）求证：平面ACE ；//PD （Ⅱ）求二面角的余弦值B CE D --60.如图，在四面体中，平面⊥平面，， ，ABCD ACD BCD 90BCA ∠=︒1AC =，为等边三角形.2AB =BCD ∆（Ⅰ）求证：⊥平面AC BCD（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.CDABD61.已知：平行四边形ABCD 中，∠DAB =45°，AB =AD =2，平面AED ⊥平面ABCD ，△22AED 为等边三角形，EF ∥AB ，EF =，M 为线段BC 的中点。
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立体几何
1、 空间想象能力；
（1）两两相交的三个平面将空间分成 个部分； （2）长方体12条棱所在的直线中，两两成异面直线的对数 （3）与正方体各面成相等的角且过正方体三个顶点的截面个数
（4）三棱锥的三条侧棱两两垂直，侧面积分别为123,,,S S S 则三棱锥的体积 2、空间向量：
（1）已知,,a b c 中每两个向量的夹角都等于3
π
，且4,6,2,a b c === 求a b c ++ 的值
（2）平行六面体1111ABCD A BC D -，1,,,AB a AD b AA c === 试用,,a b c
表示1BD
（3）求证：如果两条直线同垂直于同一个平面，则这两条直线平行
（4）在正方体1111ABCD A BC D -中，E 为对角线,AC BD 的交点，M 为棱1CC 的中点，求证：1A E ⊥平面ABD
（5）求角和点到平面的距离
1、正四棱柱1111ABCD A BC D -中，124AA AB ==，点E 在1CC 上且EC E C 31=．求求二面角1A DE B --的大小．
2、在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，P 是侧棱1CC 上的一点，m CP =. 试确定m ，使得直线AP 与平面11B BDD 所成角的正切值为23；
A B
C
D E A 1
B 1
C 1
D
1
3、在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=
，AC BC a ==，D E ，分别为棱AB BC ，的中点，M 为棱1AA 上的点，二面角M DE A --为30
．
（I ）证明：111A B C D ⊥；
（II ）求MA 的长，并求点C 到平面MDE 的距离．
4、正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，
D 为1CC 中点．求点C 到平面1A BD 的距离．
（6）面积和体积：
1、设棱长为4的平行六面体1111D C B A ABCD -的体积为,,,V E F G 分别是棱1,,AB AD AA 上的点，1,2,3AE AF AG ===，则三棱锥A EFG -的体积
2、已知三棱柱111ABC A B C -的体积为,V P 为棱1CC 上的点，则11P ABB A V -= （7）旋转体：
1、设,M N 是球心O 的半径OP 上的两点，且NP MN OM ==，分别过,,N M O 作垂线于OP 的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为：
2、长方体1111D C B A ABCD -的8个顶点在同一球面上，且
则顶点A 、B 间的球面距离是
3、直角三角形两条直角边的长度分别为3,4,cm cm 绕斜边旋转所成的几何体体积
4、已知圆柱的侧面展开图是边长分别为4，8的矩形，则圆柱的体积
1
A 1
C 1
B C
B
A
M D
E
A
B
C
D
1
A
1
C
1
B。