05动态规划2
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第三章：动态规划3.1 动态规划的基本概念一、动态决策问题：决策过程具有阶段性和时序性(与时间有关)的决策问题。
即决策过程可划分为明显的阶段。
二、什么叫动态规划(D.P.–Dynamic Program)：多阶段决策问题最优化的一种方法。
广泛应用于工业技术、生产管理、企业管理、经济、军事等领域。
三、动态规划(D.P.)的起源：1951年,(美)数学家R.Bellman等提出最优化原理，从而建立动态规划，名著《动态规划》于1957年出版。
四、动态决策问题分类：1、按数据给出的形式分为：•离散型动态决策问题。
•连续型动态决策问题。
2、按决策过程演变的性质分为：•确定型动态决策问题。
•随机型动态决策问题。
五1、阶段(stage)n ：作出决策的若干轮次。
n = 1、2、3、4、5。
2、状态(state)S n ：每一阶段的出发位置。
构成状态集，记为S nS 1={A}，S 2={B 1,B 2,B 3}，S 3={C 1,C 2,C 3}，S 4={D 1,D 2,D 3}，S 5={E 1,E 2}。
阶段的起点。
3、决策(decision)X n ：从一个阶段某状态演变到下一个阶段某状态的选择。
构成决策集，记为D n (S n )。
阶段的终点。
D 1(S 1)={X 1(A)}={B 1,B 2,B 3}= S 2，D 2(S 2)={X 2(B 1),X 2(B 2),X 2(B 3)}={C 1,C 2,C 3}=S 3，D 3(S 3)={X 3(C 1),X 3(C 2),X 3(C 3)}={D 1,D 2,D 3}=S 4，D 4(S 4)={X 4(D 1),X 4(D 2),X 4(D 3)}={E 1,E 2}=S 5D 5(S 5)={X 5(E 1),X 5(E 2)}={F;F}={F}。
4、策略(policy)：全过程中各个阶段的决策Xn 组成的有序总体{Xn }。
如 A àB2àC1àD1àE2àF5、子策略(sub-policy)：剩下的n个阶段构成n子过程，相应的决策系列叫n子策略。
动态规划的基本原理和基本应用
动态规划的基本原理和基本应用动态规划（Dynamic Programming）是一种通过将一个问题分解为较小的子问题并存储子问题的解来解决复杂问题的方法。
动态规划的基本原理是通过记忆化或自底向上的迭代方式来求解问题，以减少不必要的重复计算。
它在计算机科学和数学中具有广泛的应用，尤其是在优化、组合数学和操作研究等领域。
1.确定最优子结构：将原问题分解为较小的子问题，并且子问题的最优解能够推导出原问题的最优解。
2.定义状态：确定存储子问题解的状态变量和状态方程。
3.确定边界条件：确定初始子问题的解，也称为边界状态。
4.递推计算：利用状态方程将子问题的解计算出来，并存储在状态变量中。
5.求解最优解：通过遍历状态变量找到最优解。
1.背包问题：背包问题是动态规划的经典应用之一、它有多种变体，其中最基本的是0/1背包问题，即在限定容量的背包中选择物品，使得所选物品的总价值最大。
可以使用动态规划的思想来解决背包问题，确定状态为背包容量和可选物品，递推计算每个状态下的最优解。
2. 最长递增子序列：最长递增子序列（Longest Increasing Subsequence）是一种常见的子序列问题。
给定一个序列，找到其中最长的递增子序列。
可以使用动态规划来解决这个问题，状态可以定义为以第i个元素为结尾的最长递增子序列的长度，并递推计算每个状态的解。
3.矩阵链乘法：矩阵链乘法是一种优化矩阵连乘计算的方法。
给定一系列矩阵，求解它们相乘的最小计算次数。
可以使用动态规划解决矩阵链乘法问题，状态可以定义为矩阵链的起始和结束位置，递推计算每个状态下最小计算次数。
4.最短路径问题：最短路径问题是在有向图或无向图中找到两个节点之间最短路径的问题。
可以使用动态规划解决最短路径问题，状态可以定义为起始节点到一些节点的最短距离，递推计算每个状态的最优解。
动态规划算法的详细原理及使用案例
动态规划算法的详细原理及使用案例一、引言动态规划是一种求解最优化问题的算法，它具有广泛的应用领域，如机器学习、图像处理、自然语言处理等。
本文将详细介绍动态规划算法的原理，并提供一些使用案例，以帮助读者理解和应用这一算法的具体过程。
二、动态规划的基本原理动态规划算法通过将问题分解为多个子问题，并利用已解决子问题的解来求解更大规模的问题。
其核心思想是利用存储技术来避免重复计算，从而大大提高计算效率。
具体来说，动态规划算法通常包含以下步骤：1. 定义子问题：将原问题分解为若干个子问题，这些子问题具有相同的结构，但规模更小。
这种分解可以通过递归的方式进行。
2. 定义状态：确定每个子问题的独立变量，即问题的状态。
状态具有明确的定义和可计算的表达式。
3. 确定状态转移方程：根据子问题之间的关系，建立状态之间的转移方程。
这个方程可以是简单的递推关系式、递归方程或其他形式的方程。
4. 解决问题：使用递推或其他方法，根据状态转移方程求解每个子问题，直到获得最终解。
三、动态规划的使用案例1. 背包问题背包问题是动态规划算法的经典案例之一。
假设有一个背包，它能容纳一定重量的物品，每个物品有对应的价值。
目的是在不超过背包总重量的前提下，选取最有价值的物品装入背包。
这个问题可以通过动态规划算法来求解。
具体步骤如下：（1）定义问题：在不超过背包容量的限制下，选取物品使得总价值最大化。
（2）定义状态：令dp[i][j]表示将前i个物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值。
（3）状态转移方程：dp[i][j] = max(dp[i-1][j-w[i]]+v[i], dp[i-1][j])，其中w[i]为第i个物品的重量，v[i]为第i个物品的价值。
（4）解决问题：根据状态转移方程依次计算每个子问题的解，并记录最优解，直到获得最终答案。
2. 最长公共子序列最长公共子序列（Longest Common Subsequence，简称LCS）是一种经典的动态规划问题，它用于确定两个字符串中最长的共同子序列。
动态规划方法求解线性规划问题
动态规划方法求解线性规划问题引言概述：动态规划是一种常用的优化方法，可以用于求解各种复杂的问题。
在线性规划问题中，动态规划方法也可以发挥重要作用。
本文将介绍动态规划方法在求解线性规划问题中的应用，并分为四个部份进行详细阐述。
一、线性规划问题的定义和特点1.1 线性规划问题的定义线性规划是一种数学建模方法，用于求解一类特殊的优化问题。
它的目标函数和约束条件都是线性的。
1.2 线性规划问题的特点线性规划问题具有可行解的存在性、有界性和最优性。
同时，线性规划问题的解空间是一个凸多面体。
二、动态规划方法的基本思想2.1 动态规划的基本原理动态规划是一种将问题分解为子问题并保存子问题解的方法。
通过递归地求解子问题，最终得到原问题的解。
2.2 动态规划方法的三个基本步骤动态规划方法包括问题的划分、状态的定义和状态转移方程的建立。
通过这三个步骤，可以得到问题的最优解。
2.3 动态规划方法的优点动态规划方法具有时间和空间复杂度低的优点，可以有效地求解大规模的优化问题。
三、动态规划方法在线性规划问题中的应用3.1 线性规划问题的动态规划模型将线性规划问题转化为动态规划模型，可以通过动态规划方法求解。
其中，状态的定义和状态转移方程的建立是关键。
3.2 动态规划方法求解线性规划问题的步骤通过将线性规划问题转化为动态规划模型，可以按照动态规划方法的三个基本步骤求解线性规划问题。
3.3 动态规划方法求解线性规划问题的实例通过一个具体的实例，详细介绍动态规划方法在求解线性规划问题中的具体应用步骤和求解过程。
四、动态规划方法在线性规划问题中的局限性和改进方法4.1 动态规划方法的局限性动态规划方法在求解线性规划问题时，可能会面临状态空间过大、计算复杂度高等问题。
4.2 动态规划方法的改进方法为了解决动态规划方法的局限性，可以采用剪枝策略、状态压缩等方法来提高求解效率。
结论：动态规划方法在求解线性规划问题中具有重要的应用价值。
第10章 动态规划
管理运筹学
7
缺点
①没有统一的处理方法，求解时要根据问题的 性质，结合多种数学技巧。因此实践经验及 创造性思维将起重要的引导作用；
②“维数障碍”，当变量个数太多时，由于计 算机内存和速度的限制导致问题无法解决。 有些问题由于涉及的函数没有理想的性质使 问题只能用动态规划描述，而不能用动态规 划方法求解。
盈利 工厂 设备台数
0 1 2
3 4 5
甲厂
0 3 7 9 12 13
乙厂
0 5 10 11 11 11
管理运筹学
29
第一阶段：只有1个始点A，终点有B1,B2,B3,B4 。对始点和终 点进行分析和讨论分别求A到B1,B2,B3,B4的最短路径问题：
表10-4
本阶段始 点(状态)
A
阶段1 本阶段各终点（决策）
B1
B2
B3
B4
4+12=16 3+13=16 3+14=17 2+12=14
到E的最 本阶段最优终 短距离 点(最优决策)
第四阶段：两个始点D1和D2，终点只有一个；
表10-1
阶段4
本阶段始点 本阶段各终点（决策） 到E的最短距离
（状态）
E
D1
10
10
D2
6
6
分析得知：从D1和D2到E的最短路径唯一。
本阶段最优终点 （最优决策)
E E
管理运筹学
27
第三阶段：有三个始点C1，C2，C3，终点有D1，D2，对始点
和终点进行分析和讨论分别求C1，C2，C3到D1，D2 的最短路
动态规划问题的基本要素和最优化原理ppt课件
选择变量既要能确切描述过程演变又要满足无后效性， 而且各阶段状态变量的取值能够确定。一般地，状态变量 的选择是从过程演变的特点中寻找。
3、确定决策变量及允许决策集合
通常选择所求解问题的关键变量作为决策变量，同时要 给出决策变量的取值范围，即确定允许决策集合。
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4、确定状态转移方程
根据k 阶段状态变量和决策变量，写出k+1阶段状态变 量，状态转移方程应当具有递推关系。
5、确定阶段指标函数和最优指标函数，建立动 态规划基本方程
阶段指标函数是指第k 阶段的收益，最优指标函数是指 从第k 阶段状态出发到第n 阶段末所获得收益的最优值， 最后写出动态规划基本方程。
f1(s1)
最优目标函数值
V 1 * ,n V 1 * ,n (s 1 * ,u 1 * 子, 从策略k ,的到s 最终n * 优点,u 目最n * 标优)函策数略值
fs ov ps tu s
, , ,
k k
k ,n k k
uu , ,
k
n
n 1
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§2.2 动态规划的基本思想
最优化原理：作为整个过程的最优策略具有这样 的性质：无论过去的状态和决策如何，相对于前面 的决策所形成的状态而言，余下的决策序列必然构 成最优子策略。”也就是说，一个最优策略的子策 略也是最优的。
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§2.3 建立动态规划模型的步骤
1、划分阶段
划分阶段是运用动态规划求解多阶段决策问题的第一步， 在确定多阶段特性后，按时间或空间先后顺序，将过程划 分为若干相互联系的阶段。对于静态问题要人为地赋予 “时间”概念，以便划分阶段。
动态规划及其应用(二)
前一颗珠子头标记为m，尾标记为r 后一颗珠子头标记为r，尾标记为n 聚合后的珠子头标记为m，尾标记为n
给定一个项链，求最大能释放多少能量 n <= 100 NOIP 2006 senior p1
能量项链
区间DP
先考虑链上的问题 区间[i,j]无论如何操作，最后聚合出的珠子的标记是固定的 枚举决策分界点k，区间[i,k]和区间[k+1,j]分别聚合成一颗 珠子后，两者再聚合 破环成链 等长复制一遍 DP一遍后取最值
除最后一位外，r的每一位严格小于它右边相邻的那一 位。
f[i][j]表示长度为i且最低位不超过j的数的个数 递推方程 f[i][j] = f[i][j-1] + f[i-1][j-1]
答案统计
Σ f[i][2^k - 1]，i∈[1, w/k ] （下取整） 枚举最高位x，Σ f[w/k][2^k – 1 - x]
条件 A：对于所有的i，g2������ > g2������ −1，且g2������ > g2������ +1； 条件 B：对于所有的i，g2������ < g2������ −1，且g2������ < g2������ +1。
请问，栋栋最多能将多少株花留在原地 1 <= n <= 100,000, 0 <= hi <= 1,000,000 NOIP 2013 senior day2 p2
游戏中，乌龟棋子自动获得起点格子的分数，并且在后续 的爬行中每到达一个格子，就得到该格子相应的分数。 求小明最多能得到多少分 N <= 350， M <= 120 NOIP2010 senior p2
NOIP2005提高组复赛第二题_过河分析
过河【问题描述】在河上有一座独木桥，一只青蛙想沿着独木桥从河的一侧跳到另一侧。
在桥上有一些石子，青蛙很讨厌踩在这些石子上。
由于桥的长度和青蛙一次跳过的距离都是正整数，我们可以把独木桥上青蛙可能到达的点看成数轴上的一串整点：0，1，……，L （其中L 是桥的长度）。
坐标为0的点表示桥的起点，坐标为L 的点表示桥的终点。
青蛙从桥的起点开始，不停的向终点方向跳跃。
一次跳跃的距离是S 到T 之间的任意正整数（包括S,T ）。
当青蛙跳到或跳过坐标为L 的点时，就算青蛙已经跳出了独木桥。
题目给出独木桥的长度L ，青蛙跳跃的距离范围S,T ，桥上石子的位置。
你的任务是确定青蛙要想过河，最少需要踩到的石子数。
【输入文件】输入文件river.in 的第一行有一个正整数L （1 ≤ L ≤ 109），表示独木桥的长度。
第二行有三个正整数S ，T ，M ，分别表示青蛙一次跳跃的最小距离，最大距离，及桥上石子的个数，其中1≤S≤T≤10，1≤M≤ 100。
第三行有M 个不同的正整数分别表示这M 个石子在数轴上的位置（数据保证桥的起点和终点处没有石子）。
所有相邻的整数之间用一个空格隔开。
【输出文件】输出文件river.out 只包括一个整数，表示青蛙过河最少需要踩到的石子数。
方法1：搜索•直叙式搜索不行：搜索桥有困难（桥的长度1..109）；搜索石子更困难,（石头的分布是没有任何规律）•优化：以桥的长度为对象搜索+巧妙的剪枝•分析：从桥的一侧到另一侧，中间最多只有100个石子。
假设桥长为最大值(109)，石头数也为最大值(100)，则中间一定会有很多“空长条” (两个石子中的空地)，关键是如何在处理时把这些“空长条”跳过，使得运算次数降到M 次。
先求出青蛙可能跳到的所有位置，然后就可以在忽略“空长条”的前提下，计算青蛙过河最少需要踩到的石子数了。
算法的时间复杂度为O(m2)方法2、动态规划设opt[n]为青蛙到达n 位置最少需要踩到的石子数。
哈尔滨工业大学运筹学教案教案_动态规划2
x (1) 1
* 2
8
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s2 2
f 2 (2) max {g 2 ( x2 ) f 3 ( s3 )}
0 x2 s 2 * x2 (2) 2
3
例1 工业部拟将5台某种设备分配给所属的甲、乙、丙 三个工厂，各工厂若获得这种设备，可以为公司 提供的盈利如表。 问：这五台设备如何分配给各工厂，才能使 公司得到的盈利最大。 解：将问题按工厂分为三 个阶段，甲、乙、丙分别 编号为1，2，3。
工厂 盈利 设备台数 0 1 2 3 4 5 甲 0 3 7 9 12 13 乙 0 5 10 11 11 11 丙 0 4 6 11 12 12
0 x2 s 2 * x2 (0) 0 f 2 (1) max { g 2 ( x2 ) f 3 ( s3 )}
0 x2 s 2
s
2
1
g 2 (0) f 3 (1) 0 4 max max 5 x2 0,1 g 2 (1) f 3 (0) x2 0,15 0
动态规划应用举例 资源分配问题 生产与存贮问题 设备更新问题
2014-9-4
管理运筹学课程组 ftp://211.71.69.239
1
6.3Байду номын сангаас
资源分配问题
将数量一定的一种或若干种资源，恰当地分配 给若干个使用者，使目标函数为最优。 6.3.1一维离散资源分配问题 设有某种原料，总数量为 a ，用于生产 n 种产品。 若分配数量xi用于生产第i 种产品，其收益为gi(xi) 问应如何分配，才能使生产 n 种产品的总收入最大？ MAX =g1(x1)+ g2(x2)+‥ ‥+ gn(xn) s.t. x1+x2+…+ xn=a xi≥0 i=1,2, …,n
动态规划讲解大全(含例题及答案)
多阶段决策过程的最优化问题。 在现实生活中，有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将过程分成若干个互相联系的阶段，在 它的每一阶段都需要作出决策，从而使整个过程达到最好的活动效果。当然，各个阶段决策的选取不 是任意确定的，它依赖于当前面临的状态，又影响以后的发展，当各个阶段决策确定后，就组成一个 决策序列，因而也就确定了整个过程的一条活动路线，如图所示：（看词条图） 这种把一个问题看作是一个前后关联具有链状结构的多阶段过程就称为多阶段决策过程，这种问 题就称为多阶段决策问题。
在前面的例子中，第一个阶段就是点 A，而第二个阶段就是点 A 到点 B，第三个阶段是点 B 到点 C，而第四个阶段是点 C 到点 D。
状态：状态表示每个阶段开始面临的自然状况或客观条件，它不以人们的主观意志为转移，也称 为不可控因素。在上面的例子中状态就是某阶段的出发位置，它既是该阶段某路的起点，同时又是前 一阶段某支路的终点。
fout.close(); return 0; }
USACO 2.3 Longest Prefix
题目如下： 在生物学中，一些生物的结构是用包含其要素的大写字母序列来表示的。生物学家对于把长的序 列分解成较短的（称之为元素的）序列很感兴趣。 如果一个集合 P 中的元素可以通过串联（允许重复；串联，相当于 Pascal 中的 “+” 运算符） 组成一个序列 S ，那么我们认为序列 S 可以分解为 P 中的元素。并不是所有的元素都必须出现。 举个例子，序列 ABABACABAAB 可以分解为下面集合中的元素： {A, AB, BA, CA, BBC} 序列 S 的前面 K 个字符称作 S 中长度为 K 的前缀。设计一个程序，输入一个元素集合以及一 个大写字母序列，计算这个序列最长的前缀的长度。 PROGRAM NAME: prefix INPUT FORMAT 输入数据的开头包括 1..200 个元素（长度为 1..10 ）组成的集合，用连续的以空格分开的字 符串表示。字母全部是大写，数据可能不止一行。元素集合结束的标志是一个只包含一个 “.” 的行。 集合中的元素没有重复。接着是大写字母序列 S ，长度为 1..200,000 ，用一行或者多行的字符串 来表示，每行不超过 76 个字符。换行符并不是序列 S 的一部分。 SAMPLE INPUT (file prefix.in) A AB BA CA BBC . ABABACABAABC OUTPUT FORMAT 只有一行，输出一个整数，表示 S 能够分解成 P 中元素的最长前缀的长度。 SAMPLE OUTPUT (file prefix.out) 11 示例程序如下： #include <stdio.h>
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• 动态规划方法只适用于求解具有无后效性状态的多阶 段决策问题。
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三. 投资分配问题
现有数量为a（万元）的资金，计划分配给n 个工厂,用 于扩大再生产。 假设：xi 为分配给第i 个工厂的资金数量（万元）；gi(xi) 为第i 个工厂得到资金后提供的利润值（万元）。 问题：如何确定各工厂的资金数，使得总的利润为最大。
23
例2：设国家拨给60万元投资，供四个工厂扩建使用，每 个工厂扩建后的利润与投资额的大小有关，投资后的利润函 数如下表所示。
投资 利润
0 0 0
10 20 20
(最短路线为 B2 C1 D1 E )
14
B1
2
12
14 10
10 6
C1
9 6
3
D1 D2
10
5 2
A
5 1
B2 B3
4 13
C2 C3
5 8
E
12 11
考虑经过 B3 的3条路线
d ( B3 , C1 ) f 3 (C1 ) 13 8 f 2 ( B3 ) m ind ( B3 , C 2 ) f 3 (C 2 ) m in12 7 19 d ( B , C ) f (C ) 11 12 3 3 3 3
7
二. 最短路径问题
例1、从A 地到E 地要铺设一条煤气管道,其中需经过三级 中间站，两点之间的连线上的数字表示距离，如图所示。 问应该选择什么路线，使总距离最短？
B1
2
12
14 10
10 6
C1
9 6
3
D1 D2
10
5 2
A
5 1
B2 B3
4 13
C2
C3
5 8
E
12 11
8
B1
2
12
14
10 6
19
动态规划求解的多阶段问题的特点： • 每个阶段的最优决策过程只与本阶段的初始状态有关， 而与以前各阶段的决策（即为了到达本阶段的初始状 态而采用哪组决策路线无关）。换言之，本阶段之前 的状态与决策，只是通过系统在本阶段所处的初始状 态来影响本阶段及以后各个阶段的决策。或者说，系 统过程的历史只能通过系统现阶段的状态去影响系统 的未来。 • 具有这种性质的状态称为无后效性（即马尔科夫性） 状态。
(最短路线为 B1 C1 D1 E )
13
B1
2
12
14 10
10 6
C1
9 6
3
D1 D2
10
5 2
A
5 1
B2 B3
4 13
C2 C3
5 8
E
12 11
考虑经过 B2 的3条路线
d ( B2 , C1 ) f 4 (C1 ) 6 8 f 2 ( B2 ) m ind ( B2 , C 2 ) f 4 (C 2 ) m in10 7 14 d ( B , C ) f (C ) 4 12 2 3 4 3
(最短路线为 B3 C 2 D2 E )
15
B1
2
12
14 10
10 6
C1
9 6
3
D1 D2
10
5 2
A
5 1
B2 B3
4 13
C2 C3
5 8
E
12 11
第一阶段（A →B）： A 到B 有 3 条路线。
d ( A, B1 ) f 2 ( B1 ) 2 20 f1 ( A) m ind ( A, B2 ) f 2 ( B2 ) m in5 14 19 d ( A, B ) f ( B ) 1 19 3 2 3
C2
5
5
2
F1
3
4
G
3
4 D3
3
3 4 E3
6
6
F2
5
6
3
背包问题 有一个徒步旅行者，其可携带物品重量的限度 为a 公斤，设有n 种物品可供他选择装入包中。已知每种 物品的重量及使用价值（作用），问此人应如何选择携带 的物品（各几件），使所起作用（使用价值）最大？ 物品 重量（公斤/件） 每件使用价值 1 a1 c1 2 a2 c2 … … … j aj cj … … … n an cn
(最短路线为 A B2 C1 D1 E )
（最短距离为19）
16
动态规划是用来解决多阶段决策过程最优化的一种数量 方法。其特点在于，它可以把一个n 维决策问题变换为几个 一维最优化问题，从而一个一个地去解决。 需指出：动态规划是求解某类问题的一种方法，是考察 问题的一种途径，而不是一种算法。必须对具体问题进行具 体分析，运用动态规划的原理和方法，建立相应的模型，然 后再用动态规划方法去求解。 动态决策问题的特点：
10
5 2
A
5 1
B2 B3
4 13
C2 C3
5 8
E
12 11
第三阶段（C →D）： C 到D 有 6 条路线。 首先考虑经过 C1 的两条路线
d (C1 , D1 ) f 4 ( D1 ) 3 5 f 3 (C1 ) min min 8 9 2 d (C1 , D2 ) f 4 ( D2 )
C1
9 6
3
D1 D2
10
5 2
A
5
1
B2 B3
10
4 13
C2 C3
5
E
12 11
8
解：整个计算过程分四个阶段，从最后一个阶段开始。 第四阶段（D →E）： D 有两条路线到终点E 。 显然有
f 4 ( D1 ) 5;
f 4 ( D2 ) 2
9
B1
2
12
14 10
10 6
C1
9 6
3
D1 D2
(最短路线为 C 3 D2 E )
12
B1
2
12
14 10
10 6
C1
9 6
3
D1 D2
10
5 2
A
5 1
B2 B3
4 13
C2 C3
5 8
E
12 11
第二阶段（B →C）： B 到C 有 9 条路线。 首先考虑经过 B1 的3条路线
d ( B1 , C1 ) f 3 (C1 ) 12 8 f 2 ( B1 ) m ind ( B1 , C 2 ) f 3 (C 2 ) m in14 7 20 d ( B , C ) f (C ) 10 12 1 3 3 3
航天飞机飞行控制问题：由于航天飞机的运动的环境是不
断变化的，因此就要根据航天飞机飞行在不同环境中的情
况，不断地决定航天飞机的飞行方向和速度（状态），使 之能最省燃料和完成飞行任务（如软着陆）。
5
多阶段决策过程的特点：
• 根据过程的特性可以将过程按空间、时间等标志分为
若干个互相联系又互相区别的阶段。
第十讲 动态规划
(Dynamic Programming)
动态规划的基本概念和思想 最短路径问题 投资分配问题 背包问题 排序问题
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动态规划是运筹学的一个分支，是求解多阶段决策过 程最优化问题的数学方法。
动态规划在经济管理、工程技术、工农业生产及军事 部门中都有着广泛的应用，并且获得了显著的效果。
• 在每一个阶段都需要做出决策，从而使整个过程达到
最好的效果。
• 各个阶段决策的选取不是任意确定的，它依赖于当前
面临的状态，又影响以后的发展。
• 当各个阶段的决策确定后，就组成了一个决策序列，
因而也就决定了整个过程的一条活动路线，这样的一 个前后关联具有链状结构的多阶段过程就称为多阶段 决策问题。
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据此，有下式：
m ax z
g (x )
i i i 1
n
n xi a i 1 x 0 i 1 .2 . . n i
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令：fk(x) 表示 以数量为 x 的资金分配给前k 个工厂，所 得到的最大利润值。
用动态规划求解，就是求 fn(a) 的问题。 当 k=1 时， f1(x) = g1(x) （因为只给一个工厂）
(最短路线为 C1 D1 E )
10
B1
2
12
14 10
10 6
C1
9 6
3
D1 D2
10
5 2
A
5 1
B2 B3
4 13
C2 C3
5 8
E
12 11
考虑经过 C 2 的两条路线
d (C 2 , D1 ) f 4 ( D1 ) 6 5 f 3 (C 2 ) min min 7 5 2 d (C 2 , D2 ) f 4 ( D2 )
函数，从而把一个大问题转化成一组同类型的子问题，然
后逐个求解。 即从边界条件开始，逐段递推寻优，在每一个子问题 的求解中，均利用了它前面的子问题的最优化结果，依次 进行，最后一个子问题所得的最优解，就是整个问题的最
优解。
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2、在多阶段决策过程中，动态规划方法是既把当前一 段和未来一段分开，又把当前效益和未来效益结合起来考 虑的一种最优化方法。因此，每段决策的选取是从全局来 考虑的，与该段的最优选择答案一般是不同的. 3、在求整个问题的最优策略时，由于初始状态是已知 的，而每段的决策都是该段状态的函数，故最优策略所 经过的各段状态便可逐段变换得到，从而确定了最优路 线。 最优化原理：作为整个过程的最优策略具有这样的性质： 无论过去的状态和决策如何，相对于前面的决策所形成的 状态而言，余下的决策序列必然构成最优子策略。也就是 说，一个最优策略的子策略也是最优的。