九年级数学难题精选(有答案)

一、

如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．

（1）抛物线及直线AC的函数关系式；

（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；

（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF ∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E 的坐标；若不能，请说明理由；

（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．

解：（1）由抛物线y=﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0）及C（2，3）得，

，解得，

故抛物线为y=﹣x2+2x+3

又设直线为y=kx+n过点A（﹣1，0）及C（2，3）得

，解得

故直线AC为y=x+1；

（2）作N点关于直线x=3的对称点N'，则N'（6，3），

由（1）得D（1，4），

故直线DN'的函数关系式为y=﹣x+，

当M（3，m）在直线DN'上时，

MN+MD的值最小，则m=﹣×=；

（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2）

∵点E在直线AC上，设E（x，x+1），

①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x+3），∵F在抛物线上，

∴x+3=﹣x2+2x+3，

解得，x=0或x=1（舍去）

∴E（0，1）；

②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x﹣1）

由F在抛物线上∴x﹣1=﹣x2+2x+3

解得x=或x=

∴E（，）或（，）

综上，满足条件的点E为E（0，1）、（，）或（，）；（4）方法一：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q；

过点C作CG⊥x轴于点G，如图1设Q（x，x+1），

则P（x，-x2+2x+3）

∴PQ=（-x2+2x+3）-（x﹣1）=-x2+x+2

又∵S△APC=S△APQ+S△CPQ=PQ·AG=（-x2+x+2）×3=-（x﹣）2+

∴面积的最大值为．

二、

已知：直角梯形OABC中，BC∥OA，∠AOC=90°，以AB为直径的圆M

交OC于D、E，连结AD、BD、BE。

（1）在不添加其他字母和线的前提下，直接写出图1中的两对相似三角形。

_____________________,______________________

（2）直角梯形OABC中，以O为坐标原点，A在x轴正半轴上建立直角坐标系（如图2），若抛物线y=ax2-2ax-3a（a<0）经过点A、B、D，且B为抛物线的顶点。

①写出顶点B的坐标（用a的代数式表示）___________。

②求抛物线的解析式。

③在x轴下方的抛物线上是否存在这样的点P：过点P做PN⊥x轴于N，

使得⊿PAN与⊿OAD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。

图1 图2

1）△OAD∽△CDB. △ADB∽△ECB

（2）①（1，-4a）

②∵△OAD∽△CDB

∴

∵ax2-2ax-3a=0，可得A（3，0）

又OC=-4a,OD=-3a,CD=-a,CB=1,

∴∴∵∴

故抛物线的解析式为：

③存在，

设P（x,-x2+2x+3）

∵△PAN与△OAD相似,且△OAD为等腰三角形∴PN=AN 当x<0（x< -1）时，-x+3=-(-x2+2x+3),x1=-2,x2=3(舍去)，∴P（-2，-5）当x>0（x>3）时，x-3= -(-x2+2x+3), x1=0,x2=3(都不合题意舍去)

符合条件的点P为（-2，-5）

三、

如图，在平面直角坐标系中，点C在x轴上，∠OCD=∠D=90°，AO=OC=10cm，CD=6cm．

（1）请求出点A的坐标．

（2）如图2，动点P、Q以每秒1cm的速度分别从点O和点C同时出发，点P沿OA、AD、DC运动到点C停止，点Q沿CO运动到点O停止．设P、Q同时出发t秒．

①是否存在某个时间t（秒），使得△OPQ为直角三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

②若记△POQ的面积为y（cm2），求y（cm2）关于t（秒）的函数关系式．

解：（1）如图1，作AE⊥OC于E．

∴AE∥CD,

∵∠OCD=∠D=90°，

∴AD∥OC，

∵CD=6cm，

∴AE=DC=6cm，

∵OA=OC=10cm，

∴OE=8cm，

∴A（8，6）；

（2）作AN⊥OA，设与OC的延长线交于N点，延长DA，与y轴交于点M．

①如图2，

∵AD∥OC，

∴AM⊥OM，

∴DM∥OC，

∵A（8，6），

∴AM=8cm，OM=CD=6cm，

∴∠AON=∠MAO，

∵∠AMO=∠OAN=90°，

∴△OMA∽△NAO，

∴

OM

AN

=

MA

AO

=

OA

ON

，

∵OM=6cm，AM=8cm，OA=10cm，

∴AN=

15

2

cm，ON=

25

2

cm，

如图，若∠OPQ=90°，则△OPQ为直角三角形，∴PQ∥AN，

∴

OP

OA

=

OQ