第9章 欧拉图和哈密顿图
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欧拉图与哈密顿图
哈密顿回路。
.
欧拉图与哈密顿图 1.2 哈密顿图及哈密顿通路
➢ 定义8.21
图G称为可2-着色（2-chromatic），
如果可用两种颜色给G的所有顶点着色， 使每个顶点着一种颜色，而同一边的两端点 必须着不同颜色。
.
欧拉图与哈密顿图 1.2 哈密顿图及哈密顿通路
✓ 定理8.16
设图G是可2-着色的。如果G是哈密顿 图，那么着两种颜色的顶点数目相等；如 果G有哈密顿通路，那么着两种颜色的顶点 数目之差至多为一。
✓定理8.14
设图G为具有n个顶点的简单无向图，如果G的 每一对顶点的度数之和都不小于n – 1 ，那么G中有 一条哈密顿通路；如果G的每一对顶点的度数之和 不小于n，且n≥3，那么G为一哈密顿图。
.
欧拉图与哈密顿图 1.2 哈密顿图及哈密顿通路
✓ 定理8.15
当n为不小于3的奇数时，
Kn上恰有 n 1 条互相均无任何公共边的 2
离散数学导论
.
欧拉图与哈密顿图 1.1欧拉图与欧拉路径
➢ 定义8.19
图G称为欧拉图（Euler graph），
如果图G上有一条经过G的所有顶点、所有
边的闭路径。图G称为欧拉路径（Euler
walk），如果图G上有一条经过G 所有顶点、所有边的路径。
.
欧拉图与哈密顿图 1.1欧拉图与欧拉路径
✓ 定理8.11
.
欧拉图与哈密顿图 1.2 哈密顿图及哈密顿通路
➢ 定义8.20
无向图G称为哈密顿图（Hamilton graph），
如果G上有一条经过所有顶点的回路
（也称这一回路为哈密顿回路）。称无向图有哈密顿 通路(非哈密顿图)，如果G上有一条经过所有顶点的
.
欧拉图与哈密顿图 1.2 哈密顿图及哈密顿通路
➢ 定义8.21
图G称为可2-着色（2-chromatic），
如果可用两种颜色给G的所有顶点着色， 使每个顶点着一种颜色，而同一边的两端点 必须着不同颜色。
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欧拉图与哈密顿图 1.2 哈密顿图及哈密顿通路
✓ 定理8.16
设图G是可2-着色的。如果G是哈密顿 图，那么着两种颜色的顶点数目相等；如 果G有哈密顿通路，那么着两种颜色的顶点 数目之差至多为一。
✓定理8.14
设图G为具有n个顶点的简单无向图，如果G的 每一对顶点的度数之和都不小于n – 1 ，那么G中有 一条哈密顿通路；如果G的每一对顶点的度数之和 不小于n，且n≥3，那么G为一哈密顿图。
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欧拉图与哈密顿图 1.2 哈密顿图及哈密顿通路
✓ 定理8.15
当n为不小于3的奇数时，
Kn上恰有 n 1 条互相均无任何公共边的 2
离散数学导论
.
欧拉图与哈密顿图 1.1欧拉图与欧拉路径
➢ 定义8.19
图G称为欧拉图（Euler graph），
如果图G上有一条经过G的所有顶点、所有
边的闭路径。图G称为欧拉路径（Euler
walk），如果图G上有一条经过G 所有顶点、所有边的路径。
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欧拉图与哈密顿图 1.1欧拉图与欧拉路径
✓ 定理8.11
.
欧拉图与哈密顿图 1.2 哈密顿图及哈密顿通路
➢ 定义8.20
无向图G称为哈密顿图（Hamilton graph），
如果G上有一条经过所有顶点的回路
（也称这一回路为哈密顿回路）。称无向图有哈密顿 通路(非哈密顿图)，如果G上有一条经过所有顶点的
第九章 几类特殊图
(a0a1a2a5a10a4a9a3a6a13a11a7a15a14a12a8)
(这里ai表示边i，i＝0,1,2,…,15)，对 应的16个二进制数字序列为 0000101001101111，将序列两端闭 合，便得到16个二进制数字的一个 圆形排列，可以验证正好符合我们 的要求。
哈密顿通路、哈密顿回路: 无向图或有向图G中经过 每个顶点一次且仅一次的通路，称为哈密顿通路； 经过每个顶点一次且仅一次的初级回路，称为哈密 顿回路。
推论 无向图G为欧拉图当且仅当，G是连通图且无奇 度顶点。
判断下面图是否为欧拉图。
定理9.2 有向图D有欧拉通路当且仅当，D是连通图， 并且所有顶点的入度等于出度，或者除两个顶点外， 其余顶点的入度等于出度，而这两个顶点，一个入度 比出度大1，另一个入度比出度小1。
推论 有向图D是欧拉图当且仅当，D是连通图且所有 顶点的入度等于出度。
K3,3
X
Y
x1 y1
x2 y2
x3 y3
x4
证明 必要性 设G＝〈V1, V2,E〉为二部图，证明G中 无奇数长度的回路。若G中无回路，结论当然成立。
若G中有回路，设C＝u0u1u2…ut－1u0为G中的一条回 路，其长度为t 。不妨设u0∈V1，则对于每个小于t的 正奇数i，ui∈V2，而对于每个小于t的正偶数j，uj∈ V1 。因为G中存在边(ut－1, u0)，所以ut－1∈ V2 ，因而t －1必为奇数，即t
在判别一个二部图是否存在从V1到V2的匹配时，可 以先检查“t条件”是否满足，这是比较容易进行的。 如果“t条件”不满足，可再进一步用“相异性条件” 检查。
例 求图9.14(a)的最大匹配。 解 显然满足 “t条件”（t=2），所以存在从V1到V2的 匹配，也即最大匹配。
(这里ai表示边i，i＝0,1,2,…,15)，对 应的16个二进制数字序列为 0000101001101111，将序列两端闭 合，便得到16个二进制数字的一个 圆形排列，可以验证正好符合我们 的要求。
哈密顿通路、哈密顿回路: 无向图或有向图G中经过 每个顶点一次且仅一次的通路，称为哈密顿通路； 经过每个顶点一次且仅一次的初级回路，称为哈密 顿回路。
推论 无向图G为欧拉图当且仅当，G是连通图且无奇 度顶点。
判断下面图是否为欧拉图。
定理9.2 有向图D有欧拉通路当且仅当，D是连通图， 并且所有顶点的入度等于出度，或者除两个顶点外， 其余顶点的入度等于出度，而这两个顶点，一个入度 比出度大1，另一个入度比出度小1。
推论 有向图D是欧拉图当且仅当，D是连通图且所有 顶点的入度等于出度。
K3,3
X
Y
x1 y1
x2 y2
x3 y3
x4
证明 必要性 设G＝〈V1, V2,E〉为二部图，证明G中 无奇数长度的回路。若G中无回路，结论当然成立。
若G中有回路，设C＝u0u1u2…ut－1u0为G中的一条回 路，其长度为t 。不妨设u0∈V1，则对于每个小于t的 正奇数i，ui∈V2，而对于每个小于t的正偶数j，uj∈ V1 。因为G中存在边(ut－1, u0)，所以ut－1∈ V2 ，因而t －1必为奇数，即t
在判别一个二部图是否存在从V1到V2的匹配时，可 以先检查“t条件”是否满足，这是比较容易进行的。 如果“t条件”不满足，可再进一步用“相异性条件” 检查。
例 求图9.14(a)的最大匹配。 解 显然满足 “t条件”（t=2），所以存在从V1到V2的 匹配，也即最大匹配。
离散数学PPT课件 7欧拉图与汉密尔顿图(ppt文档)
00
0 1
1 0
11
此轮的设计:以两位二进制数
V={00,01,10,11}为结点,画带
权图(即边上标有数字--称为
边的权), 从任何a1∈V结点 画2条有向边,标权0(或1),
该边指向结点a2,于是构成 边a10, (或a11),这八条边分别 表示八个二进制数:
e0 =000
e1 =001 00 01 e5 =101 10
v2
v3
v4
v5
G2 v6
如何判定一个图中是否有 a
b
1
4
欧拉路,或有欧拉回路?
c
d
3
2
3.有欧拉路与有欧拉回路的判定: 定理8-5.1:无向图G具有欧拉路,当且仅当G是连通的,且有 零个或两个奇数度的结点. *证明:必要性, 设G有欧拉路.(自行尝试证明) 充分性,(证明的过程就是一个构造欧拉路的过程)
7. 欧拉图与汉密尔顿图
这里主要讨论图的遍历问题,一个是遍历过程中要求经过
的所有边都不同;一个是遍历过程中要求经过的所有结点
都不同.
欧拉在1736年发表了第一篇关于图论的论文, 就是就七
桥问题.
A
BDΒιβλιοθήκη CAe1 e2 e5
B e6 D
e3 e4
C
e7
一.欧拉图:
1.欧拉路:在无孤立结点的图G中,如果存在一条路,它经 过图中每条边一次且仅一次, 称此路为欧拉路.
e3 =011 e2 =010
11 1
e7 =111
000,001,010,011,100,101,110,111 从此图上取一个欧拉回路: e0e1e2e5 e3e7e6e4 将上述各边的末位数字写成序列:01011100, 于是就按照此序列将鼓轮进行加工,标0部分
欧拉图和哈密尔顿图ppt课件
有欧拉通路
全部结点为偶结点， 有欧拉回路
有欧拉通路
。a
a、b、c、e
。a
全部结点为
b。 。c 都为奇结点， 。 。 。 无欧拉通路
b。
。c
d
e
f 与欧拉回路 。 。 。
偶结点， 有欧拉回路
d e f 有欧拉通路
ppt课件
8
例7-8 如图街道，是否存在一条投递线路使 邮递员从邮局a出发通过所有街到一次在回 到邮局a?
可达的：在图G中，结点u和结点v之间存在一
条路，则称结点u到结点v是可达的。
ppt课件
2
无向图的连通性
连通：在无向图G中，结点u和结点v之间存在一 条路，则称结点u与结点v是连通的。约定：任一 结点与自身总是连通的。 连通图：若图G中，任意两个结点均连通，则称G 是连通图，否则称非连通图。对非连通图可分成几
个无公共结点的连通分支。无向图中结点间的连通
关系是等价关系。 图是连通的判定法则：从图中任意一结点出发，
通过某些边一定能到达其它任意一结点，则称
图是连通的。
ppt课件
3
练习1：连通图的判定
指出下列各图是否连通
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
ppt课件 (7)
(8)
4
欧拉图
设G=<V，E>是连通无向图 欧拉通路：在图G中存在一条通路，经过图G 中每条边一次且仅一次。
第二节 图的连通性
通路和回路 无向图的连通性 有向图的连通性 欧拉图 哈密顿图
ppt课件
1
通路和回路 给定图G V , E
通路： G中前后相互关联的点边交替序列 w=v0e1v1e2…envn称为连接v0到vn的通路。 W中边的数目K称为通路W的长。
全部结点为偶结点， 有欧拉回路
有欧拉通路
。a
a、b、c、e
。a
全部结点为
b。 。c 都为奇结点， 。 。 。 无欧拉通路
b。
。c
d
e
f 与欧拉回路 。 。 。
偶结点， 有欧拉回路
d e f 有欧拉通路
ppt课件
8
例7-8 如图街道，是否存在一条投递线路使 邮递员从邮局a出发通过所有街到一次在回 到邮局a?
可达的：在图G中，结点u和结点v之间存在一
条路，则称结点u到结点v是可达的。
ppt课件
2
无向图的连通性
连通：在无向图G中，结点u和结点v之间存在一 条路，则称结点u与结点v是连通的。约定：任一 结点与自身总是连通的。 连通图：若图G中，任意两个结点均连通，则称G 是连通图，否则称非连通图。对非连通图可分成几
个无公共结点的连通分支。无向图中结点间的连通
关系是等价关系。 图是连通的判定法则：从图中任意一结点出发，
通过某些边一定能到达其它任意一结点，则称
图是连通的。
ppt课件
3
练习1：连通图的判定
指出下列各图是否连通
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
ppt课件 (7)
(8)
4
欧拉图
设G=<V，E>是连通无向图 欧拉通路：在图G中存在一条通路，经过图G 中每条边一次且仅一次。
第二节 图的连通性
通路和回路 无向图的连通性 有向图的连通性 欧拉图 哈密顿图
ppt课件
1
通路和回路 给定图G V , E
通路： G中前后相互关联的点边交替序列 w=v0e1v1e2…envn称为连接v0到vn的通路。 W中边的数目K称为通路W的长。
二部图欧拉图哈密尔顿图平面图教学课件
网络设计：用于设计网络拓扑结构，如路由器、交换机等设备的连接
电路设计：用于设计电路板布局，如PCB板、集成电路等
地图绘制：用于绘制地图，如城市地图、交通地图等
建筑设计：用于设计建筑布局，如房屋、办公楼等
物流规划：用于规划物流网络，如仓库、配送中心等
城市规划：用于规划城市布局，如道路、公园等
汇报人：
哈密尔顿图是平面图的一种特殊情况，即每个顶点的度数都是2
哈密尔顿图定义：每个顶点的度数等于图中的边数
哈密尔顿图的性质：哈密尔顿图是欧拉图
哈密尔顿图的判定方法：通过计算每个顶点的度数来判断
哈密尔顿图的应用：在图论、计算机科学等领域有广泛应用
PART FIVE
平面图是一种特殊的图，其顶点和边都在同一个平面上
哈密尔顿图是一种特殊的图，其每个顶点的度数都是2或0。
哈密尔顿图是一种特殊的欧拉图，其每个顶点的度数都是2。
哈密尔顿图是一种特殊的平面图，其顶点和边都可以在平面上表示出来。
哈密尔顿图是一种特殊的图，其每个顶点的度，即每个顶点的度数都是2
哈密尔顿图是二部图的一种特殊情况，即每个顶点的度数都是2
在数学中，哈密尔顿图可以用于研究图的性质，如图的连通性、图的色数等。
哈密尔顿图在图论中具有重要的应用价值，特别是在网络流、电路设计等领域。
在计算机科学中，哈密尔顿图可以用于解决一些NP-hard问题，如旅行商问题、背包问题等。
在物理学中，哈密尔顿图可以用于描述量子系统的状态空间，从而进行量子计算和量子信息处理。
汇报人：
,
CONTENTS
PART ONE
PART TWO
二部图是一种特殊的图，由两个部分组成，每个部分包含一组节点每个节点只能与另一部分的节点相连，不能与同一部分的节点相连二部图的节点可以分为两个集合，每个集合中的节点只能与另一个集合中的节点相连二部图的边可以分为两种类型，一种是连接两个不同集合的边，另一种是连接同一集合中的边二部图的性质包括：每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边
离散数学欧拉图与哈密尔顿图ppt课件
例5 设G是非平凡的欧拉图，且v ∈V(G)。证明：G 的每条具有起点v的迹都能扩展成G的欧拉环游当且仅当 G-v是森林。
证明：“必要性”
若不然，则G-v有圈C。 考虑G1=G-E(G)的含有顶点v的分支H。
由于G是非平凡欧拉图，所以G1的每个顶点度数为偶数， 从而，H是欧拉图。
12
1
0.5 n 0
15
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
16
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
17
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
18
1
0.5 n 0
如果邮路图本身是非欧拉图，那么为得到行走环游，必须重 复行走一些街道。于是问题转化为如何重复行走街道？
25
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
2、管梅谷的结论
定理2 若W是图G中一条包含所有边的闭途径，则W在 这样的闭途径中具有最短的长度当且仅当下列两个条件被 满足：
在vi与vi+k间连新边ei得图G*（1≦i≦k).则G*是欧拉图， 因此，由Fleury算法得欧拉环游C.
在C中删去ei （1≦i≦k).得k条边不重的迹Qi （1≦i≦k):
E(G) E(Q1) E(Q2 )
E(Qk )
欧拉图及哈密顿
哈密顿路径是指一条遍历图的所有顶 点的路径，这条路径的起点和终点是 同一点，但路径上的边可以重复。
哈密顿图的性质
哈密顿图具有连通性，即任意两 个顶点之间都存在一条路径。
哈密顿图的顶点数必须大于等于 3，因为至少需要3个顶点才能 形成一条遍历所有顶点的路径。
哈密顿图的边数必须为奇数，因 为只有奇数条边才能形成一条闭
欧拉图及哈密顿
• 欧拉图 • 哈密顿图 • 欧拉图与哈密顿图的应用 • 欧拉回路与哈密顿回路 • 欧拉路径与哈密顿路径
目录
01
欧拉图
欧拉图的定义
总结词
欧拉图是指一个图中存在一条路径，这条路径可以遍历图中的每条边且每条边 只遍历一次。
详细描述
欧拉图是由数学家欧拉提出的一种特殊的图，它满足特定的连通性质。在欧拉 图中，存在一条路径，这条路径从图的一个顶点出发，经过每条边一次且仅一 次，最后回到起始顶点。
互作用网络的研究。
04
欧拉回路与哈密顿回路
欧拉回路的概念与性质
概念
欧拉回路是指一个图形中，从一点出 发，沿着一条路径，可以回到起始点 的路径。
性质
欧拉回路必须是连续的，不能中断， 也不能重复经过同一条边。此外，欧 拉回路必须是闭合的，起始点和终点 必须是同一点。
哈密顿回路的概念与性质
概念
哈密顿回路是指一个图形中，存在一 条路径，该路径经过了图中的每一条 边且每条边只经过一次。
随机构造法
通过随机选择边和顶点，不断扩展图，直到满足哈密顿图的条件。这种方法需要大量的计 算和随机性，但可以用于构造大规模的哈密顿图。
03
欧拉图与哈密顿图的应用
欧拉图在计算机科学中的应用
算法设计
欧拉图理论是算法设计的重要基础，特别是在图算法和动态规划 中，用于解决诸如最短路径、最小生成树等问题。
哈密顿图的性质
哈密顿图具有连通性，即任意两 个顶点之间都存在一条路径。
哈密顿图的顶点数必须大于等于 3，因为至少需要3个顶点才能 形成一条遍历所有顶点的路径。
哈密顿图的边数必须为奇数，因 为只有奇数条边才能形成一条闭
欧拉图及哈密顿
• 欧拉图 • 哈密顿图 • 欧拉图与哈密顿图的应用 • 欧拉回路与哈密顿回路 • 欧拉路径与哈密顿路径
目录
01
欧拉图
欧拉图的定义
总结词
欧拉图是指一个图中存在一条路径，这条路径可以遍历图中的每条边且每条边 只遍历一次。
详细描述
欧拉图是由数学家欧拉提出的一种特殊的图，它满足特定的连通性质。在欧拉 图中，存在一条路径，这条路径从图的一个顶点出发，经过每条边一次且仅一 次，最后回到起始顶点。
互作用网络的研究。
04
欧拉回路与哈密顿回路
欧拉回路的概念与性质
概念
欧拉回路是指一个图形中，从一点出 发，沿着一条路径，可以回到起始点 的路径。
性质
欧拉回路必须是连续的，不能中断， 也不能重复经过同一条边。此外，欧 拉回路必须是闭合的，起始点和终点 必须是同一点。
哈密顿回路的概念与性质
概念
哈密顿回路是指一个图形中，存在一 条路径，该路径经过了图中的每一条 边且每条边只经过一次。
随机构造法
通过随机选择边和顶点，不断扩展图，直到满足哈密顿图的条件。这种方法需要大量的计 算和随机性，但可以用于构造大规模的哈密顿图。
03
欧拉图与哈密顿图的应用
欧拉图在计算机科学中的应用
算法设计
欧拉图理论是算法设计的重要基础，特别是在图算法和动态规划 中，用于解决诸如最短路径、最小生成树等问题。
欧拉图和哈密而顿图
15.1 欧拉图 欧拉(1707-1783)：瑞士著名的数学家。13岁进入 欧拉 ：瑞士著名的数学家。 岁进入 巴塞尔大学， 岁取得哲学硕士学位 岁取得哲学硕士学位。 巴塞尔大学，16岁取得哲学硕士学位。1736年， 年 他证明了欧拉定理， 他证明了欧拉定理，并解决了哥尼斯堡桥的问 从而成为图论的创始人。 题，从而成为图论的创始人。 定义15.1 通过图（无向图或有向图）中每一条边 通过图（无向图或有向图） 定义 一次且仅一次行遍图中所有顶点的通路称为欧 拉通路。通过图（无向图或有向图） 拉通路。通过图（无向图或有向图）中每一条 边一次且仅一次行遍图中所有顶点的回路称为 欧拉回路。具有欧拉回路的图称为欧拉图， 欧拉回路。具有欧拉回路的图称为欧拉图，具 有欧拉通路而无欧拉回路的图称为半欧拉图。 有欧拉通路而无欧拉回路的图称为半欧拉图。
16
15.欧拉图与哈密顿图 欧拉图与哈密顿图
15.2 哈密顿图
到目前为止， 到目前为止，还没有找到哈密尔顿通路存在的充 分必要条件。下面介绍一个必要定理。 分必要条件。下面介绍一个必要定理。 定理15.6：设无向图 Ｇ＝＜Ｖ ， Ｅ＞ 是哈密尔顿 Ｇ＝＜Ｖ， 定理 ： 设无向图Ｇ＝＜Ｖ Ｅ＞是哈密尔顿 图，则对V的每个非空真子集 均成立： 则对 的每个非空真子集S均成立： 的每个非空真子集 均成立 w(G-S) ≤|S| 其中， 中的顶点数， 表示G删去 其中， |S| 是S中的顶点数， w(G-S)表示 删去 中的顶点数 表示 删去S 顶点集后得到的图的连通分图的个数。 顶点集后得到的图的连通分图的个数。
9
15.欧拉图与哈密顿图 欧拉图与哈密顿图
例：用定理解决哥尼斯堡桥的问题
15.1 欧拉图
个结点为奇次数， 有４个结点为奇次数， ∴不存在欧拉回路，也不存在欧拉路径。 不存在欧拉回路，也不存在欧拉路径。 故要从一点出发经过桥一次且仅一次的路径， 故要从一点出发经过桥一次且仅一次的路径 ， 再回到出发点是不可能的。 再回到出发点是不可能的。
16
15.欧拉图与哈密顿图 欧拉图与哈密顿图
15.2 哈密顿图
到目前为止， 到目前为止，还没有找到哈密尔顿通路存在的充 分必要条件。下面介绍一个必要定理。 分必要条件。下面介绍一个必要定理。 定理15.6：设无向图 Ｇ＝＜Ｖ ， Ｅ＞ 是哈密尔顿 Ｇ＝＜Ｖ， 定理 ： 设无向图Ｇ＝＜Ｖ Ｅ＞是哈密尔顿 图，则对V的每个非空真子集 均成立： 则对 的每个非空真子集S均成立： 的每个非空真子集 均成立 w(G-S) ≤|S| 其中， 中的顶点数， 表示G删去 其中， |S| 是S中的顶点数， w(G-S)表示 删去 中的顶点数 表示 删去S 顶点集后得到的图的连通分图的个数。 顶点集后得到的图的连通分图的个数。
9
15.欧拉图与哈密顿图 欧拉图与哈密顿图
例：用定理解决哥尼斯堡桥的问题
15.1 欧拉图
个结点为奇次数， 有４个结点为奇次数， ∴不存在欧拉回路，也不存在欧拉路径。 不存在欧拉回路，也不存在欧拉路径。 故要从一点出发经过桥一次且仅一次的路径， 故要从一点出发经过桥一次且仅一次的路径 ， 再回到出发点是不可能的。 再回到出发点是不可能的。
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例如，由定理可知，下图 (a)图为欧拉图，本图 既v成圈8 可圈画v6之v以在1并(看vc2)(成v中为3 圈v)清。4 vv晰1将5v起v2(6av见v)87分v，v1解8，将v成1v与42若个v圈3干圈vv42个画vv24边在，v6不(vb4v)8重v中5v2的v)之6，圈v并也4，的(可两v并6看个v7 不是(a)图特有性质，任何欧拉图都有这个性质。
9
定理9.1.2 设G=<V, E>是有向弱连通图，则 （1）当且仅当G的每个顶点的入度等于出度时， G是欧拉图。 （2）当且仅当G除两个顶点外，其它顶点的入度 等于出度，而除外的两个顶点，一个的入度比出度 多1，另一个的入度比出度少1时，G有欧拉通路。
定理9.1.1和定理9.1.2提供了欧拉通路与欧拉回 路的十分简便的判别准则。
v1
v2
v3
v8
v4
v1 v2 v2 v3
v8
v4
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v2
v8 v8
v4 v4
v6
v7
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（a）
（b） v7 v6 v6 v5
v7 （vc6 ） v5
定理9.1.3 G是非平凡的欧拉图当且仅当G是连 通的且为若干个边不重的圈的并。
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❖ 9.1.3 欧拉图的难点 对于欧拉图，需要大家注意以下几点： 1．仅有欧拉通路而无欧拉回路的图不是欧拉图。 2. 图中是否存在欧拉通路、欧拉回路的判定非常简单，
第四篇 图 论
1
第九章 欧拉图和哈密顿图
❖ 9.1 欧拉图 ❖ 9.2 哈密顿图
2
9.1 欧拉图
9.1.1 欧拉图的引入和定义 18世纪中叶，在东普鲁士哥尼斯堡城，有一条
贯穿全城的普雷格尔河，河中有两个岛，通过七座 桥彼此相连，如图9.1.1(a)所示。
（a）
b1 A
b3
图 9.1.1
D
b5
b2 b6
只要数一下图中节点的度数即可。
❖ 9.1.4 欧拉图的应用 一笔画问题 所谓“一笔画问题”就是画一个图形，笔不离纸，每条 边只画一次而不许重复地画完该图。“一笔画问题”本质上 就是一个无向图是否存在欧拉通路（回路）的问题。如果该 图为欧拉图，则能够一笔画完该图，并且笔又回到出发点； 如果该图只存在欧拉通路，则能够一笔画完该图，但笔回不 到出发点；如果该图中不存在欧拉通路，则不能一笔画完该 图。
此时仍有四条边不在圈C中，边(4, 6)不在C中 且与节点4相关联，由节点4出发经过边(4, 6)又可得 到一个简单圈C ’ ’ ：(4, 6, 5, 2, 4)，将C ’ ’并入C得 到一个更长的简单圈C：(1, 2, 3, 4, 6, 5, 2, 4, 5, 3, 1)。 可以看到，G中所有的边已全在C中了，故知此圈C 即为G中的一条欧拉圈。
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将这个问题加以推广，即在任意连通图中是否 存在一条包含图中所有节点的基本通路或基本回路。
定义9.2.1 通过图中每个顶点一次且仅一次的 通路（回路）称为哈密顿通路（回路）。一个具有 哈密顿回路的图称为哈密顿图。
规定：平凡图为哈密顿图。
另外，以上定义既适合无向图，又适合有向图。
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❖ 9.2.2 哈密顿图的判定
C
b4
b7
B（b）
3
定义9.1.1 设G是无孤立节点的图，若存 在一条通路(回路)，经过图中每边一次且仅一 次，则称此通路(回路)为该图的一条欧拉通路 (回路)。若存在一个圈，此圈通过G中每条边 一次且仅一次，则此圈成为欧拉圈。具有欧 拉回路的图称为欧拉图，具有欧拉通路但无 欧拉回路的图称为半欧拉图。
解：在6个图中，图 (a)和(d)是欧拉图；图 (b) 和(e)不是欧拉图，但存在欧拉通路；图 (c)和(f)不 存在欧拉通路。
6
9.1.2 欧拉图的判定 判断一个图（无向图或有向图）是否有欧拉通
路（回路），要考察所有边的所有全排列，几乎是 不可能的，所幸已有简单的判别法。
定理9.1.1 设无向图G=<V, E>是连通的，则 （1）当且仅当G的每个顶点都是偶顶点时，G是 欧拉图。 （2）当且仅当G除两个顶点是奇顶点外，其它 顶点都是偶顶点时，G有欧拉通路。
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图 9.1.5
例9.1.2 图G如图9.1.5所示。问图G是否 为欧拉图？若是，求出其欧拉圈。
由于G中的六个节点均为偶顶点且G连通， 根据欧拉定理可知G为欧拉图。
8
在图9.1.5中任意找一简单圈C：(1, 2, 3, 1)；发 现还有七条边不在此圈中，边(3, 4)不在C中且在圈 中的节点3相关联，由节点3出发经过边(3, 4)可得到 一简单圈C ’(3, 4, 5, 3)，将C ’并入C得到了一个新的 更长的简单圈C：(1, 2, 3, 4, 5, 3, 1)。
尽管讨论哈密顿通路和哈密顿回路在形式上与欧
拉通路和欧拉回路非常相似，但遗憾的是到目前为止， 仍然没有找到一个合适的条件来作为判断哈密顿通路 或哈密顿回路存在的充要条件。不过，可以给出哈密 顿通路和哈密顿回路存在的充分条件或必要条件。
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9.2 哈密顿图
❖ 9.2.1 哈密顿图的引入和定义
1859年威廉哈密顿爵士发明了一个小玩具，这 个小玩具是一个木刻的正十二面体，每面系正五角 形，三面交于一角，共有20个角，每角标有世界上 一个重要城市，如图9.2.1所示。他提出一个问题： 要求沿正十二面体的边寻找一条路通过20个城市， 而每个城市只通过一次，最后返回原地。哈密顿将 此问题称为周游世界问题。
4
规定：平凡图是欧拉图。 以上定义既适合无向图，又适合有向图。 例9.1.1 判断下图的6个图中，是否是欧拉图？是否存在欧拉通路。
v1
v4
v1
v4
v1
v4
v2
v3
(a)
v1
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v2
v3
(b)
v1
v4
v2
v3
(c)
v1Biblioteka v4v2 (d) v3v2 (e) v3
v2 (f) v3
5
分析：如果说图中存在欧拉通路（回路）， 具体找出一条经过图中每边一次且仅一次的通路 (回路)即可；如果说图中不存在欧拉通路(回路)， 则要试遍了边的所有全排列，它们都不能构成通 路（回路）。
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2
20 13 12 19 18 14 15 11
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17 7
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8
10 9
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图 9.2.1
上述周游世界问题可用图论语言描述为：能否在图9.2.1所 示的图中找到一条包含所有节点的基本回路。按照图中所给城 市的编号，容易找到一条从节点1到2，再到3，到4，……， 最后到达20，再回到1的包含图中每个节点的基本回路，即周 游世界是可行的。
例如，由定理可知，下图 (a)图为欧拉图，本图 既v成圈8 可圈画v6之v以在1并(看vc2)(成v中为3 圈v)清。4 vv晰1将5v起v2(6av见v)87分v，v1解8，将v成1v与42若个v圈3干圈vv42个画vv24边在，v6不(vb4v)8重v中5v2的v)之6，圈v并也4，的(可两v并6看个v7 不是(a)图特有性质，任何欧拉图都有这个性质。
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定理9.1.2 设G=<V, E>是有向弱连通图，则 （1）当且仅当G的每个顶点的入度等于出度时， G是欧拉图。 （2）当且仅当G除两个顶点外，其它顶点的入度 等于出度，而除外的两个顶点，一个的入度比出度 多1，另一个的入度比出度少1时，G有欧拉通路。
定理9.1.1和定理9.1.2提供了欧拉通路与欧拉回 路的十分简便的判别准则。
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定理9.1.3 G是非平凡的欧拉图当且仅当G是连 通的且为若干个边不重的圈的并。
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❖ 9.1.3 欧拉图的难点 对于欧拉图，需要大家注意以下几点： 1．仅有欧拉通路而无欧拉回路的图不是欧拉图。 2. 图中是否存在欧拉通路、欧拉回路的判定非常简单，
第四篇 图 论
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第九章 欧拉图和哈密顿图
❖ 9.1 欧拉图 ❖ 9.2 哈密顿图
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9.1 欧拉图
9.1.1 欧拉图的引入和定义 18世纪中叶，在东普鲁士哥尼斯堡城，有一条
贯穿全城的普雷格尔河，河中有两个岛，通过七座 桥彼此相连，如图9.1.1(a)所示。
（a）
b1 A
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图 9.1.1
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b2 b6
只要数一下图中节点的度数即可。
❖ 9.1.4 欧拉图的应用 一笔画问题 所谓“一笔画问题”就是画一个图形，笔不离纸，每条 边只画一次而不许重复地画完该图。“一笔画问题”本质上 就是一个无向图是否存在欧拉通路（回路）的问题。如果该 图为欧拉图，则能够一笔画完该图，并且笔又回到出发点； 如果该图只存在欧拉通路，则能够一笔画完该图，但笔回不 到出发点；如果该图中不存在欧拉通路，则不能一笔画完该 图。
此时仍有四条边不在圈C中，边(4, 6)不在C中 且与节点4相关联，由节点4出发经过边(4, 6)又可得 到一个简单圈C ’ ’ ：(4, 6, 5, 2, 4)，将C ’ ’并入C得 到一个更长的简单圈C：(1, 2, 3, 4, 6, 5, 2, 4, 5, 3, 1)。 可以看到，G中所有的边已全在C中了，故知此圈C 即为G中的一条欧拉圈。
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将这个问题加以推广，即在任意连通图中是否 存在一条包含图中所有节点的基本通路或基本回路。
定义9.2.1 通过图中每个顶点一次且仅一次的 通路（回路）称为哈密顿通路（回路）。一个具有 哈密顿回路的图称为哈密顿图。
规定：平凡图为哈密顿图。
另外，以上定义既适合无向图，又适合有向图。
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❖ 9.2.2 哈密顿图的判定
C
b4
b7
B（b）
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定义9.1.1 设G是无孤立节点的图，若存 在一条通路(回路)，经过图中每边一次且仅一 次，则称此通路(回路)为该图的一条欧拉通路 (回路)。若存在一个圈，此圈通过G中每条边 一次且仅一次，则此圈成为欧拉圈。具有欧 拉回路的图称为欧拉图，具有欧拉通路但无 欧拉回路的图称为半欧拉图。
解：在6个图中，图 (a)和(d)是欧拉图；图 (b) 和(e)不是欧拉图，但存在欧拉通路；图 (c)和(f)不 存在欧拉通路。
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9.1.2 欧拉图的判定 判断一个图（无向图或有向图）是否有欧拉通
路（回路），要考察所有边的所有全排列，几乎是 不可能的，所幸已有简单的判别法。
定理9.1.1 设无向图G=<V, E>是连通的，则 （1）当且仅当G的每个顶点都是偶顶点时，G是 欧拉图。 （2）当且仅当G除两个顶点是奇顶点外，其它 顶点都是偶顶点时，G有欧拉通路。
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图 9.1.5
例9.1.2 图G如图9.1.5所示。问图G是否 为欧拉图？若是，求出其欧拉圈。
由于G中的六个节点均为偶顶点且G连通， 根据欧拉定理可知G为欧拉图。
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在图9.1.5中任意找一简单圈C：(1, 2, 3, 1)；发 现还有七条边不在此圈中，边(3, 4)不在C中且在圈 中的节点3相关联，由节点3出发经过边(3, 4)可得到 一简单圈C ’(3, 4, 5, 3)，将C ’并入C得到了一个新的 更长的简单圈C：(1, 2, 3, 4, 5, 3, 1)。
尽管讨论哈密顿通路和哈密顿回路在形式上与欧
拉通路和欧拉回路非常相似，但遗憾的是到目前为止， 仍然没有找到一个合适的条件来作为判断哈密顿通路 或哈密顿回路存在的充要条件。不过，可以给出哈密 顿通路和哈密顿回路存在的充分条件或必要条件。
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9.2 哈密顿图
❖ 9.2.1 哈密顿图的引入和定义
1859年威廉哈密顿爵士发明了一个小玩具，这 个小玩具是一个木刻的正十二面体，每面系正五角 形，三面交于一角，共有20个角，每角标有世界上 一个重要城市，如图9.2.1所示。他提出一个问题： 要求沿正十二面体的边寻找一条路通过20个城市， 而每个城市只通过一次，最后返回原地。哈密顿将 此问题称为周游世界问题。
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规定：平凡图是欧拉图。 以上定义既适合无向图，又适合有向图。 例9.1.1 判断下图的6个图中，是否是欧拉图？是否存在欧拉通路。
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分析：如果说图中存在欧拉通路（回路）， 具体找出一条经过图中每边一次且仅一次的通路 (回路)即可；如果说图中不存在欧拉通路(回路)， 则要试遍了边的所有全排列，它们都不能构成通 路（回路）。
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图 9.2.1
上述周游世界问题可用图论语言描述为：能否在图9.2.1所 示的图中找到一条包含所有节点的基本回路。按照图中所给城 市的编号，容易找到一条从节点1到2，再到3，到4，……， 最后到达20，再回到1的包含图中每个节点的基本回路，即周 游世界是可行的。