数学分析4.2连续函数的性质(习题)

第四章函数的连续性

2 连续函数的性质(练习)

1、讨论复合函数f(g(x))与g(f(x))的连续性，设

(1)f(x)=sgn x，g(x)=1+x2；(2) f(x)=sgn x，g(x)=(1-x2)x.

解：(1)∵f(g(x))=sgn (1+x2)≡1，∴f(g(x))是连续函数.

又g(f(x))=1+(sgn x)2=，∴x=0是g(f(x))的可去间断点，其余点处处连续.

(2)∵f(g(x))=sgn [(1-x2)x]=

或

或

或

，

∴x=0和x=±1是f(g(x))的跳跃间断点.

又g(f(x))=[1-(sgn x)2]x≡0，∴g(f(x))是连续函数.

2、设f,g在点x0连续，证明：

(1)若f(x0)>g(x0)，则存在U(x0,δ)，使在其内有f(x)>g(x)；

(2)若在某U⁰(x0)内有f(x)>g(x)，则f(x0)≥g(x0).

证：(1)∵f(x0)>g(x0)，设ε0=>0，∵f在点x0连续，∴=f(x0)，

即对ε0，有δ1>0，使当|x-x0|<δ1时，就有|f(x)-f(x0)|<ε0=，

同理对ε0，有δ2>0，使当|x-x0|<δ2时，就有|g(x)-g(x0)|<ε0=，

取δ=min(δ1,δ2)，则当|x-x0|<δ时，就有|f(x)-f(x0)|+|g(x)-g(x0)|< f(x0)-g(x0)，又f(x0)-f(x)+g(x)-g(x0)≤|f(x)-f(x0)|+|g(x)-g(x0)|，∴f(x0)-f(x)+g(x)-g(x0)< f(x0)-g(x0)，化简得f(x)>g(x)，x∈U(x0,δ).

(2)若f(x0)g(x)矛盾；∴f(x0)≥g(x0).

3、设 f,g在区间I上连续，记F(x)=max{f(x),g(x)}，G(x)=min{f(x),g(x)}.

证明F和G也都在I上连续.

证：F(x)=max{f(x),g(x)}=[f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|]；

G(x)=min{f(x),g(x)} =[f(x)+g(x)-|f(x)-g(x)|].

∵f,g在区间I上连续，∴|f(x)-g(x)|在区间I上连续，∴F和G也都在I上连续.

4、设f为R上的连续函数，常数c>0，记F(x)=当

当

当

.

证明：F在R上连续.

证1：函数F等价于F(x)=max{-c,min{c,f(x)}}，

∵f(x)和y=c在R上连续，∴min{c,f(x)}在R上连续；

又y=-c在R上连续，∴F(x)=max{-c,min{c,f(x)}}在R上连续.

证2：函数F等价于F(x)=[|c+f(x)|-|c-f(x)|]，

∵f(x)在R上连续，∴|f(x)±c|在R上连续；∴F(x)在R上连续.

5、设f(x)=sinx, g(x)=证明：复合函数f(g(x))在x=0连续，但g在x=0不连续.

证：f(g(x))=. ∴f(g(x))=-sinx在x=0连续.

又= -π，=π，∴g在x=0不连续.

6、设f在[a,+∞)上连续，且存在. 证明：f在[a,+∞)上有界，又问f在[a,+∞)必有最大值或最小值吗？

证：设=A，对任给的正数ε，有正数b，使x>b时，有|f(x)-A|<ε，

即A-ε

若b≤a，则[a,+∞)⊆[b,+∞)，∴f在[a,+∞)上有界.

若b>a,则[a,b]⊂[a,+∞)，∵f在[a,+∞)上连续,∴f在[a,b]上连续,∴f在[a,b]上有界. ∴f在[a,b]∪[b,+∞)=[a,+∞)上有界.

f在[a,+∞)一定有最大值或最小值。

f在闭区间[a,b]⊂[a,+∞)上连续, ∴f在[a,b]上有最大值M和最小值m.

若M≥A+ε，则M为f在[a,+∞)上的最大值；

若m≤A-ε，则m为f在[a,+∞)上的最小值；

若MA-ε，则M>A-ε且m

取εM =M-(A-ε)=M-A+ε>0，有正数c，使x>c时，有

|f(x)-A|<εM=M-A+ε，即A-(M-A+ε)

由ε的任意性可知f(x)≤M，又f在[b,c]上有最大值N，

取x M=max(M,N)，则x M为f在[a,+∞)上的最大值；

取εm =A+ε-m>0，有正数d，使x>d时，有

|f(x)-A|<εm= A+ε-m，即A+( A+ε-m)>f(x)>A-( A+ε-m)=m-ε.

由ε的任意性可知f(x)≥m，又f在[b,d]上有最小值n，

取x m=min(m,n)，则x m为f在[a,+∞)上的最小值.

若M>m≥A+ε，则f在[a,+∞)上有最大值，不一定有最小值.

若A-ε≥M>m，则f在[a,+∞)上有最小值，不一定有最大值.

∴f在[a,+∞)一定有最大值或最小值。

7、若对任何充分小的ε>0，f在[a+ε,b-ε]上连续，能否推出f在(a,b)内连续. 解：能. 若f在(a,b)内不连续，则必存在间断点x0∈(a,b).

记x0=a+m=b-n，∵ε>0充分小，∴a+m≥a+ε, b-n≤b-ε，即x0∈[a+ε,b-ε]，∴f在[a+ε,b-ε]上不连续，这与题设矛盾，∴f在(a,b)内连续.

8、求极限：(1)tan x；(2).

解：(1)tan x=·tan x=.

(2)==.

9、证明：若f在[a,b]上连续，且对任何x∈[a,b]，f(x)≠0，则f在[a,b]上恒正或恒负.

证：若f在[a,b]上不恒正或不恒负，则必存在x1,x2∈[a,b]，使f(x1)>0，f(x2)<0，又f在[a,b]上连续，∴必有x∈(x1,x2)，使f(x)=0与题设矛盾.