计数原理测试题
计数原理测试 高二数学
（考试时间90分钟，满分150分）
一．选择题（10×6=60）
1.某商场共有4个门，若从一个门进，另一个门出，不同走法的种数是（ ）.
.A 10 .B 11 .C 12 .D 13
2.有5本不同的中文书，4本不同的数学书，3本不同的英语书，每次取一本，不同的取法有（ ）种.
.A 3 .B 12 .C 60 .D 不同于以上的答案.
3.现有四件不同款式的上衣与三件不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的选法数为（ ）.
.A 7 .B 64 .C 12 .D 81
4.用1、2、3、4、5这5个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数有 ( )
A ．12个
B ．24个
C ．36个
D ．48个
5.用0、1、2、3、4这5个数字，组成无重复数字的五位数，其中偶数有 ( )
A ．36个
B ．72个
C ．48个
D ．60个
6.由1、2、3、4、5这5个数字组成无重复数字的五位数中，小于50000的偶数有 ( )
A ．60个
B ．48个
C ．36个
D ．24个
7.设集合{}54321，，，，=I ，选择I 的两个非空子集A 和B ，要使B 中最小的数大于A 中最大的数，则不同的选择方法共有（ ）
.A 50种 .B 49种 .C 48种 .D 47种
8.从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有
（ ） .A 300种 .B 240种 .C 144种 .D 96种
9.某银行储蓄卡的密码是一个4位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位、个位上的数字（如2816）的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选0.千位、百位上都不能取0.这样设计处理的密码共有 （ ）
.A 90个 .B 99个 .C 100个 .D 112个
10.同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有 （ ）
.A 23种 .B 11种 .C 9种 .D 6种
二．填空题（4×6=24）
11. 从1到200的自然数中,各个位数上都不含数字8的自然数共有 ----------个.
12.某座山，若从东侧通往山顶的道路有3条，从西侧通往山顶的道路有2条，那么游人从上山到下山共有 种不同的走法.
13.集合A=｛a,b,c,d,e ｝,集合B=｛1,2,3｝,问A 到B 的不同映射f 共有 个.B 到A 的映射g 共有 个.
14．在所有两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有 个.
三。解答题
15.（10分）在1～20共20个整数中取两个数相加,使其和为偶数的不同取法共有多少种?
16.（10分）在1～20共20个整数中取两个数相加,使其和大于20的不同取法共有多少种?
17.（10分）如下图,共有多少个不同的三角形?
18．（12分）一个口袋内装有5个小球，另一个口袋装有4个小球，所有
这些小球的颜色互不相同。（1）从两个口袋内任取12）从两个口袋内各取1个小球，有多少种不同的取法。
19．（12分）用0，1，2，3，4这五个数字。（1）组成比1000小的正整数有多少种不同的方法?（2）组成无重复数字的三位偶数有多少种不同的方法.
20．（12分）五封不同的信投入四个邮筒 （1）随便投完五封信，有多少种不同投法？（2）每个邮筒中
至少要有一封信，有多少种不同投法？
计数原理测试 高二数学 参考答案
1答案
C 2答案 B 3 C 4 C5
D 6 C 7 B 8答案 B
解析 能去巴黎的有4个人，依次能去伦敦、悉尼、莫斯科的有5个、4个、3个，∴不同的选择方案有：4×5×4×3=240种，∴选.B
9答案 C
解析 千位上数字的取法有10种，百位上数字的取法也有10种，共有设计方案10×10=100种，也即有100个密码.
10答案 C
解析 设4人为甲、乙、丙、丁分步进行，第一步，让甲拿，有三种方法，第二步，没拿到卡片的人去拿，有三种方法，剩余两人只有一种拿法，所以共有3×3=9种方法.
11答案 162
解析 根据题意可分三类：第一类：一位数中除8以外符合要求的数有8个；第二类：二位数中，十位数字除0、8以外有8种选法，个位数字除8外有9种填法（数字允许重复），所以二位数中有8×9=72（个）符合题意；第三类：百位数字为1，十位数字和个位数字除8以外均为9种填法.另外200这个数也满足题意，所以由分类计数原理，共有8+72+9×9+1=162个.
12答案 25
解析 完成从上山到下山这件事可分为四类：（1）从东侧上山，且从东侧下山，走法有3×3种；（2）从东侧上山，从西侧下山，走法有3×2种；（3）从西侧上山，从东侧下山，走法有2×3种；（4）从西侧上山，且从西侧下山，走法有2×2种，据分类计数原理知，符合条件的走法共有3×3+3×2+2×3+2×2=25种.
13. 35,53
14解法一：按个数数字是2，3，4，5，6，7，8，9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，则共有1+2+3+……+8=36个. 解法二：按十位数字是1，2，3，4，5，6，7，8，分成8 类，在每一类中满足条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个，则共有8+7+6……+1=36（个）.
15解:取b a +与取a b +是同一种取法.分类标准为两加数的奇偶性,第一类,偶偶相加,由分步计数原理
得(10×9)/2=45种取法,第二类,奇奇相加,也有(10×9)/2=45种取法.根据分类计数原理共有45+45=90种不同取法.
16解:分类标准一,固定小加数.小加数为1时,大加数只有20这1种取法;小加数为2时,大加数有19或20两种取法;小加数为3时,大加数为18,19或20共3种取法…小加数为10时,大加数为11,12,…,20共10种取法;小加数为11时,大加数有9种取法…小加数取19时,大加数有1种取法.由分类计数原理,得不同取法共有1+2+…+9+10+9+…+2+1=100种.
分类标准二:固定和的值.有和为21,22,…,39这几类,依次有取法10,9,9,8,8, …,2,2,1,1种.由分类计数原理得不同取法共有10+9+9+…+2+2+1+1=100种.
解:所有不同的三角形可分为三类”
第一类:其中有两条边是原五边形的边,这样的三角形共有5个
第二类:其中有且只有一条边是原五边形的边,这样的三角形共有5×4=20
第三类:没有一条边是原五边形的边,即由五条对角线围成的三角形,共
有5+5=10个
由分类计数原理得,不同的三角形共有5+20+10=35个.
18解：（1袋内任取1个小球，从5个小球中任取1个，有5种方法；第二类办法是从第二个口袋内任取1个，有4种方法，根据分类计数原理，得到不同的取法的种数是N=m1+m2=5+4=9(种)。
（2）从两个口袋内各取1个小球，可以分成两个步骤来完成：第一步从第一个口袋内取1个小球，有5种方法；第二步在第二个口袋内取1个小球，有4种方法。根据分步计数原理，得到不同的取法种数是N=m1×m2=5×4=20(种)。即：从两个口袋内任取1个小球，有9种不同的取法；从两个口袋内各取1个小球，有20种不同取法。点评：在用两个原理解决问题时，一定要分清完成这件事，是有n类办法还是需分成n个步骤。应用分类计数原理必须要求各类的每一种方法都保证了完成这件事；应用分步计数原理则是需各步均是完成这件事必须经由的若干彼此独立的步骤。解题时分清用分类计数原理还是分步计数原理的关键在于“分类完成”还是“分步完成”。19解：（1）解法一（直接法）：据题意，比1000小的正整数可以是一位数，两位或三位数三类。一位数的取法，从1，2，3，4中任取一个，即有4种。
两位数：十位从1，2，3，4中任取一个，有4种取法，接着取个位从0，1，2，3，4中任取一个有5种取法，即4×5=20种。
三位数：百位从1，2，3，4中取，有4种取法，个位，十位都可以从0，1，2，3，4中任取一个，各有5种取法，即三位数有4×5×5=100（种）。
∴共有4+20+100=124（种）不同的方法。
解法二（间接法）：
首先从0，1，2，3，4中任取一个数字分别作为百位，十位，个位，则有5×5×5=125（种）取法。
又∵百，十，个位都取0时，得到的不是正整数，则应有125-1=124（种）不同取法。
（2）解法一：要组成无重复数字的三位偶数，个位只能取0，2，4，百位不能取0，所以我们可以先从个位数看起。按个百十的顺序.个位取0时1×4×3=12（种）个位取2或4时2×3×3=18（种）
∴共有12+18=30（种）。
解法二：从百位看起：百个十百位取1或3时2×3×3=18（种）百位取2或4时2×2×3=12（种）
∴共有18+12=30（种）。
解法三：