江苏省苏州市2019届高三上学期期中调研考试数学试题(WORD版)
2018—2019学年第一学期高三期中调研试卷
数
学（正题） 2018．11
注意事项：
1．本试卷共4页．满分160分，考试时间120分钟．
2．请将填空题的答案和解答题的解题过程写在答题卷上，在本试卷上答题无效．
3．答题前，务必将自己的姓名、学校、准考证号写在答题纸的密封线内．
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答卷纸．．．
相应的位置) 1．设全集{}=1,2,3,4,5U ，若集合{}3,4,5A =，则U A =ð ▲ ．
2．命题“2,210x R x x ≥∃∈-+”的否定是 ▲ ．
3．已知向量(2,)m =a ，(1,2)=-b ，且⊥a b ，则实数m 的值是 ▲ ．
4．函数()lg(2)2f x x x =-++的定义域是 ▲ ． 5．已知扇形的半径为6，圆心角为
3
π，则扇形的面积为 ▲ ． 6．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，424S S =，则84S S = ▲ ． 7.设函数()sin()f x A x ωϕ=+（,,A ωϕ为常数， 且0,0,0A ωϕ>><<π）的部分图象如图所示， 则ϕ的值为 ▲ ．
8．已知二次函数2()23f x x x =-++,不等式()f x m ≥的解集的区间长度为6(规定：闭区间[],a b 的长度为b a -)，则实数m 的值是 ▲ ．
9．某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为48003m ，深度为3m ．如果池底每12m 的造价为150元，池壁每12m 的造价为120元，要使水池总造价最低，那么水池底部的周长为 ▲ m ．
10．在ABC △中，sin 2sin cos 0A B C +=，则A 的最大值是 ▲ ．
11．已知函数()2,1,e ln ,1,x x f x x x x
≥+<=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，若()()()()123123f x f x f x x x x ==<<，则()13x f x 的取值范围是 ▲ ．
12．已知数列{}n a 的通项公式为51n a n =+，数列{}n b 的通项公式为2n b n =,若将数列{}n a ，{}n b 中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列{}n c ，则6c 的值为 ▲ ．
13．如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，60BCD ∠=︒，23CB CD ==. 若点
M 为边BC 上的动点，则AM DM u u u r u u u u r ⋅的最小值为 ▲ ．
14．函数()x f x e x a =-在(1,2)-上单调递增，则实数a 的取值范围是 ▲ ．
二、解答题(本大题共6个小题，共90分，请在答题卷区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本题满分14分)
已知(2cos23,2sin 2)αα=+m ，(sin ,cos )ββ=n ．
（1）若6
βπ=，且()f α=⋅m n ，求()f α在[0,]2π上的取值范围； （2）若//m n ，且αβ+、α的终边不在y 轴上，求tan()tan αβα+的值．
16．(本题满分14分)
已知等差数列{}n a 的前n 项和为n A ，
35a =，636A =．数列{}n b 的前n 项和为n B ，且21n n B b =-．
（1）求数列}{n a 和{}n b 的通项公式；
（2）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n S ．
C B A D
M
17 ．(本题满分14分)
某湿地公园围了一个半圆形荷花塘如图所示，为了提升荷花池的观赏性，现计划在池塘的中轴线OC 上设计一个观景台D （点D 与点O ，C 不重合），其中AD ，BD ，CD 段建设架空木栈道，已知2AB =km ，设建设的架空木栈道的总长为y km ．
（1）设(rad)DAO θ∠=，将y 表示成θ的函数关系式，并写出θ的取值范围；
（2）试确定观景台的位置，使三段木栈道的总长度最短．
18．(本题满分16分) 已知()x x a f x e e
=-是奇函数． （1）求实数a 的值；
（2）求函数222()x x y e e f x λ-=+-在),0[∞+∈x 上的值域；
（3）令()()2g x f x x =-，求不等式32(1)(13)0g x g x ++-<的解集．
19．(本题满分16分)
已知数列{}n a 的首项为1，定义：若对任意的*n N ∈，数列{}n a 满足13n n a a +->，则称数列{}
n a
为“M 数列”．
（1）已知等差数列{}n a 为“M 数列”， 其前n 项和S n 满足2S 22n n n <+()
*n N ∈，求数列{}n a 的公差d 的取值范围； （2）已知公比为正整数的等比数列{}n a 为“M 数列”，记数列{}n b 满足34
n n b a =，且数列{}n b 不为“M 数列，求数列{}n a 的通项公式．
20．(本题满分16分)
设函数()1ln f x ax x =--，a 为常数．
（1）当2a =时，求()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；
（2）若12,x x 为函数()f x 的两个零点，12x x >．
①求实数a 的取值范围；
②比较12x x +与
2a
的大小关系，并说明理由．
2018—2019学年第一学期高三期中调研试卷
数 学 (附加) 2018．11
注意事项：
1．本试卷共2页．满分40分，考试时间30分钟．
2．请在答题卡上的指定位置作答，在本试卷上作答无效．
3．答题前，请务必将自己的姓名、学校、考试证号填写在答题卡的规定位置．
21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，在答题卡上填涂选作标志，并在相．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．应的答题区域内作答．．．．．．．．．
．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A ．（本题满分10分）
已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，交BC 的延长线于点D ，延长DA 交△ABC 的外接圆于点F ，连结FB ，FC .
（1）求证：FB FC =；
（2）若AB 是△ABC 外接圆的直径，120EAC ︒∠=，6BC =，求AD 的长．
B ．（本题满分10分） 已知可逆矩阵A =27
3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的逆矩阵为127b a --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
A ，求1-A 的特征值．
C ．（本题满分10分） 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩
（α为参数），以点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求圆C 的极坐标方程；
（2）过极点O 作直线与圆C 交于点A ，求OA 的中点所在曲线的极坐标方程．
D ．（本题满分10分） 已知函数()36f x x =+，()14g x x =-，若存在实数x 使()g()f x x a +>成立，求实数a 的取值范围．
22．（本题满分10分）
如图，在四棱锥P ABCD -中， BC ⊥PB ，
AB BC ⊥，//AD BC ，3AD =，22PA BC AB ===，
3PB =．
(1)求二面角P CD A --的余弦值；
(2)若点E 在棱PA 上，且//BE 平面PCD ，求线段BE 的长．
23．（本题满分10分） 已知函数0cos ()(0)x f x x x
=>，设()n f x 是1()n f x -的导数，n ∈*N ． (1) 求12πππ2()()222
f f +的值； (2) 证明：对于任意n *N ∈，等式1πππ2()()4442
n n nf f -+=都成立．
E A C P B D。
苏州市2018-2019学年上学期高2019届高三期中调研数学答案
18．(本题满分 16 分) 解： （1）函数的定义域为 R ，因为 f ( x ) 为奇函数，由 f ( x) f ( x) 可知， f (0) 0 ， 所以 1 a 0 ，所以 a 1 ； ………………
1 1 e x x f ( x) ，此时 f ( x) 为奇函数． ……………… e x e 1 1 （2）令 e x x t （ t ≥ 0 ） ，所以 e 2 x 2 x t 2 2 e e
1 ,0) e2
5.
12. 256
6. 10
13.
3
21 4
14. a -1 或 a 3 二、解答题(本大题共 6 个小题，共 90 分，请在答题卷区域内作答，解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤) 15．(本题满分 14 分) 解： （1）因为
1 3 )． ，所以 n ( , 2 2 6
因为 [0, ] ，所以 2
2
（2）由 m / / n ，所以 (2cos 2 3)cos 2sin 2 sin 0 ， 所以 2cos(2 ) 3cos 0 ，
所以 2cos( )cos 2sin( )sin 3cos( )cos 3sin( )sin 0 ， 因为 、 的终边不在 y 轴上，所以 cos( ),cos 均不为 0， 所以 5cos( )cos sin( )sin 0 ， 因为所以 tan( ) tan 5 ． ………………12 分 ………………14 分
17. (本题满分 14 分)
解： （1）由 DAO ， OC AB ， OA OB 1 ，
苏州市2019～2020学年第一学期高三数学上学期期中调研试卷附答案解析
苏州市2019～2020学年第一学期高三上学期期中调研数学试卷(满分160分，考试时间120分钟) 2019．11一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A ＝{－2，－1，0，1，2}，B ＝{x|x ＞0}，则A∩B＝________．2. 已知复数z 满足z2＋i＝i(i 为虚数单位)，则复数z 的实部为________． 3. 已知向量a ＝(x ，2)，b ＝(2，－1)，且a⊥b ，则实数x 的值是________． 4. 函数y ＝lg （x －1）2－x的定义域为________．5. 在等比数列{a n }中，a 1＝1，a 4＝8，S n 是{a n }的前n 项和，则S 5＝________．6. 已知tan α＝2，则sin αcos α＋2sin α的值为________．7. “x ＞2”是“x＞1”的________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)8. 已知函数y ＝sin 2x 图象上的每个点向左平移φ(0＜φ＜π2)个单位长度得到函数y ＝sin(2x ＋π6)的图象，则φ的值为________．9. 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≥0，2x ＋1，x ＜0，则不等式f(x ＋2)＞f(x 2)的解集为________．10. 已知函数f(x)＝ln x －mx 的极小值大于0，则实数m 的取值范围是________．11. 在各项都为正数的等差数列{a n }中，已知a 5＝3，则a 3a 7的最大值为________．12. 已知菱形ABCD 的棱长为3，E 为棱CD 上一点且满足CE →＝2ED →.若AE →·EB →＝－6，则cos C ＝________． 13. 若方程cos(2x －π6)＝35在(0，π)上的解为x 1，x 2，则cos(x 1－x 2)＝________．14. 已知函数f(x)＝3x 2－x 3，g(x)＝e x －1－a －ln x ．若对于任意x 1∈(0，3)，总是存在两个不同的x 2，x 3∈(0，3)，使得f(x 1)＝g(x 2)＝g(x 3)，则实数a 的取值范围是________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，C ＝120°，c ＝7，a －b ＝2. (1) 求a ，b 的值； (2) 求sin(A ＋C)的值．16. (本小题满分14分)已知向量a ＝(cos x ，3cos x)，b ＝(cos x ，sin x)． (1) 若a∥b ，x ∈[0，π2]，求x 的值；(2) 若f(x)＝a·b，x∈[0，π2]，求f(x)的最大值及相应x的值．17. (本小题满分14分)已知等比数列{a n}满足a2＝2，且a2，a3＋1，a4成等差数列．(1) 求数列{a n}的通项公式；(2) 设b n＝|a n－2n＋1|，求数列{b n}的前n项和T n.18. (本小题满分16分)如图所示，某窑洞窗口形状上部是圆弧CD，下部是一个矩形ABCD，圆弧CD所在圆的圆心为O.经测量AB＝4m，BC＝33m，∠COD＝120°，现根据需要把此窑洞窗口形状改造为矩形EFGH，其中E，F在边AB上，G，H在圆弧CD上．设∠OGF＝θ，矩形EFGH的面积为S.(1) 求矩形EFGH的面积S关于变量θ的函数关系式；(2) 求cos θ为何值时，矩形EFGH的面积S最大？19. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝x－1x .(1) 求f(x)的图象在x＝1处的切线方程；(2) 求函数F(x)＝f(x)－x的极大值；(3) 若af(x)≤ln x对x∈(0，1]恒成立，求实数a的取值范围．20. (本小题满分16分)已知数列{a n}满足(n－1)a n＋1＝na n－a1，n∈N*.(1) 求证：数列{a n}为等差数列；(2) 设数列{a n}的前n项和为S n.若a2－a1＝1，且对任意的正整数n，都有13＜1S1＋1S2＋1S3＋…＋1S n＜43，求整数a1的值；(3) 设数列{b n }满足b n ＝a n ＋310.若a 2－a 1＝15，且存在正整数s ，t ，使得a s ＋b t 是整数，求|a 1|的最小值.数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 从A ，B ，C 三小题中选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换) 已知二阶矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 13b 的特征值λ＝－1所对应的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3.(1) 求矩阵M ；(2) 设曲线C 在变换矩阵M 作用下得到的曲线C′的方程为y 2＝x ，求曲线C 的方程．B. (选修44：坐标系与参数方程)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos α＋23sin α(α为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋tcos β，y ＝tsin β(t为参数，0＜β＜π2)．若曲线C 被直线l 截得的弦长为13，求β的值．C. (选修45：不等式选讲)设正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求证：a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥32.【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 22. 某射击小组有甲、乙、丙三名射手，已知甲击中目标的概率是34，甲、丙二人都没有击中目标的概率是112，乙、丙二人都击中目标的概率是14.甲、乙、丙是否击中目标相互独立． (1) 求乙、丙二人各自击中目标的概率；(2) 设乙、丙二人中击中目标的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．23. 如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝a ，AA 1＝b ，点E ，F 分别在棱BB 1，CC 1上，且BE ＝13BB 1，C 1F ＝13CC 1.设λ＝b a.(1) 当λ＝3时，求异面直线AE 与A 1F 所成角的大小； (2) 当平面AEF⊥平面A 1EF 时，求λ的值．数学参考答案及评分标准1. {1，2}2. －13. 14. (1，2)5. 316. 257. 充分不必要8. π12 9. (－1，2)10. (－∞，－1e ) 11. 9 12. 13 13. －3514. [1，e 2－ln 3－4)15. 解：(1) 由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，且c ＝7，C ＝120°得a 2＋b 2＋ab ＝49.(3分)因为a －b ＝2，所以b 2＋2b －15＝0.(5分) 因为b ＞0，所以b ＝3，a ＝5. 综上：a ＝5，b ＝3.(7分)(2) 由(1)知a ＝5，b ＝3，c ＝7，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝1314.(10分)因为B 为△ABC 的内角，所以sin B ＝1－cos 2B ＝3314.(12分)因为sin(A ＋C)＝sin(π－B)＝sin B ＝3314， 所以sin(A ＋C)的值为3314.(14分)16. 解：(1) 因为a ＝(cos x ，3cos x)，b ＝(cos x ，sin x)，a ∥b ， 所以cos xsin x ＝3cos 2x ，所以cos x(sin x －3cos x)＝0，(2分)所以cos x ＝0或sin x －3cos x ＝0，即cos x ＝0或tan x ＝ 3.(4分) 因为x∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以x ＝π2或x ＝π3.(6分) (2) 因为a ＝(cos x ，3cos x)，b ＝(cos x ，sin x)， 所以f(x)＝a·b ＝cos 2x ＋3cos xsin x(8分) ＝1＋cos 2x 2＋32sin 2x ＝sin(2x ＋π6)＋12.(10分) 因为x∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， 所以sin(2x ＋π6)∈⎣⎡⎦⎤－12，1，所以f(x)∈⎣⎡⎦⎤0，32，(12分)所以f(x)的最大值为32，此时x ＝π6.(14分)17. 解：(1) 设等比数列{a n }的公比为q(不为0)，因为a 2 ，a 3＋1，a 4成等差数列，所以2(a 3＋1)＝a 2＋a 4.(1分) 因为a 2＝2，所以2(2q ＋1)＝2＋2q 2，解得q ＝2或q ＝0(舍去)，所以a 1＝a 2q ＝1，(3分)所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(5分)(2) 设c n ＝a n －2n ＋1＝2n －1－2n ＋1， 所以c n ＋1－c n ＝2n－2(n ＋1)＋1－(2n －1－2n ＋1)＝2n －1－2，所以n≥3，c n ＋1＞c n .(7分)因为c 4＝1＞0，所以n≥4时，c n ＞0，即n≥4时，b n ＝c n ＝2n －1－2n ＋1.因为c 1＝0，c 2＝－1，c 3＝－1，所以b 1＝0，b 2＝1，b 3＝1， 所以T 1＝0，T 2＝1，T 3＝2.(10分)当n≥4时，T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋…＋b n ＝(0＋1＋1)＋b 4＋b 5＋…＋b n ＝2＋(23＋24＋…＋2n －1)－(7＋9＋…＋2n －1)＝2＋23（1－2n －3）1－2－7＋2n －12·(n －3)＝2n －n 2＋3.(13分)综上，T n＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n ＝1，1，n ＝2，2，n ＝3，2n－n 2＋3，n ≥4.(14分)18. 解：(1) 如图，作OP⊥CD 分别交AB ，GH 于M ，N.由四边形ABCD ，EFGH 是矩形，O 为圆心，∠COD＝120°，所以OM⊥AB，ON⊥GH，点P，M，N分别为CD，AB，GH的中点，∠CON＝60°. 在Rt△COP中，CP＝2，∠COP＝60°，所以OC＝433，OP＝233，所以OM＝OP－PM＝OP－BC＝33.(3分)在Rt△ONG中，∠GON＝∠OGF＝θ，OG＝OC＝433，所以GN＝433sin θ，ON＝433cos θ，所以GH＝2GN＝833sin θ，GF＝MN＝ON－OM＝433cos θ－33，(6分)所以S＝GF·GH＝(433cos θ－33)·833sin θ＝83(4cos θ－1)sin θ，θ∈(0，π3)，所以S关于θ的函数关系式为S＝83(4cos θ－1)sin θ，θ∈(0，π3)．(8分)(2) S′＝83(4cos2θ－4sin2θ－cos θ)＝83(8cos2θ－cos θ－4)．(10分)因为θ∈(0，π3)，所以cos θ∈(12，1)，所以S′＝0，得cos θ＝1＋12916∈(12，1)．(12分)设θ0∈(0，π3)且cos θ0＝1＋12916，所以由S′＞0，得0＜θ＜θ0，即S在(0，θ0)上单调递增，由S′＜0，得θ0＜θ＜π3，即S在(θ0，π3)上单调递减，(14分)所以当θ＝θ0时，S取得最大值，所以当cos θ＝1＋12916时，矩形EFGH的面积S最大．(16分)19. 解：(1) 因为f(x)＝x－1x，所以f′(x)＝12x＋12x x，所以f′(1)＝1.(2分)因为y＝f(x)经过(1，0)，所以f(x)的图象在x＝1处的切线方程为y＝x－1.(4分)(2) 因为F(x)＝x－1x－x，x＞0，所以F′(x)＝12x＋12x x－1，F′(x)在(0，＋∞)上递减．又F′(1)＝0，(5分)所以当x∈(0，1)时，F′(x)＞0，即F(x)在x∈(0，1)上递增；当x∈(1，＋∞)时，F′(x)＜0，即F(x)在x∈(1，＋∞)上递减，(7分) 所以在x＝1处，F(x)的极大值为F(1)＝－1.(8分)(3) 设g(x)＝ln x－af(x)＝ln x－a(x－1x)，x∈(0，1]，所以g′(x)＝1x －a 2(1x ＋1x x )＝－a （x ）2＋2x －a2x x.①当a≤0时，g ′(x)＞0对x∈(0，1]恒成立，所以g(x)在(0，1]上递增．又g(1)＝0，所以∃x 0∈(0，1)时，g(x 0)＜0，这与af(x)≤ln x 对x∈(0，1]恒成立矛盾；(10分) ②当a≥1时，设φ(x)＝－a(x)2＋2x －a ，x ∈(0，1]，Δ＝4－4a 2≤0，所以φ(x)≤0，x ∈(0，1]，所以g′(x)≤0对(0，1]恒成立，所以g(x)在(0，1]上递减．又g(1)＝0，所以g(x)≥0对x∈(0，1]恒成立，所以a≥1成立；(12分)③当0＜a ＜1时，设φ(x)＝－a(x)2＋2x －a ，x ∈(0，1]，Δ＝4－4a 2＞0，解φ(x)＝0得两根为x 1，x 2，其中x 2＝1＋1－a 2a ＞1，x 1＝1－1－a 2a ＝a1＋1－a2∈(0，1)，所以0＜x 1＜1，x 2＞1，所以x∈(x 1，1)，φ(x)＞0，g ′(x)＞0，所以g(x)在(x 1，1)上递增．又g(1)＝0，所以g(x 1)＜0，这与af(x)≤ln x 对x∈(0，1]恒成立矛盾．(15分) 综上：a≥1.(16分)20. (1) 证明：因为(n －1)a n ＋1＝na n －a 1，n ∈N *①， 所以(n －2)a n ＝(n －1)a n －1－a 1，n ≥2且n∈N *②.①－②，得(n －1)a n ＋1－2(n －1)a n ＋(n －1)a n －1＝0，n ≥2且n∈N *，(2分) 所以a n ＋1－2a n ＋a n －1＝0，n ≥2且n∈N *， 所以a n ＋1－a n ＝a n －a n －1＝…＝a 2－a 1， 所以数列{a n }为等差数列．(4分)(2) 解：因为a 2－a 1＝1，所以{a n }的公差为1.因为对任意的正整数n ，都有13＜1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n ＜43，所以13＜1S 1＜43，所以34＜S 1＜3，即34＜a 1＜3，所以a 1＝1或2.(6分)当a 1＝1时，a 2＝2，S 1＝1，S 2＝3，所以1S 1＋1S 2＝1＋13＝43，这与题意矛盾，所以a 1≠1；(7分)当a 1＝2时，a n ＝n ＋1，S n ＝n （n ＋3）2＞0，1S 1＝12＞13，1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n ＞13恒成立．(8分) 因为1S n ＝23(1n －1n ＋3)，1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n ＝23(1－14＋12－15＋13－16＋…＋1n －2－1n ＋1＋1n －1－1n ＋2＋1n －1n ＋3)＝23(1＋12＋13－1n ＋1－1n ＋2－1n ＋3)＜119＜43. 综上，a 1的值为2.(10分)(3) 解：因为a 2－a 1＝15，所以{a n }的公差为15，所以a n ＝a 1＋15(n －1)，所以b n ＝a 1＋15n ＋110.(11分)由题意，设存在正整数s ，t ，使得a s ＋b t ＝l ，l ∈Z ，则a 1＋s 5－15＋a 1＋t 5＋110＝l ，即20a 1＝2(5l －s －t)＋1.因为5l －s －t∈Z ，所以2(5l －s －t)是偶数，所以|20a 1|≥1，所以|a 1|≥120.(14分)当a 1＝120时，b 4＝1920，所以存在a 1＋b 4＝1∈Z .综上，|a 1|的最小值为120.(16分)。
江苏省苏州市2019-2020学年高三上学期期中数学试题
绝密★启用前江苏省苏州市2019-2020学年高三上学期期中数学试题试卷副标题xxx注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 一、填空题1．已知集合{2,1,0,1,2}A =--，{|0}B x x =>，则A B =__________.2．已知复数z 满足2zi i=+（i 为虚数单位），则复数z 的实部为___________. 3．已知向量(,2)a x =，(2,1)b =-，且a b ⊥，则实数x 的值是___________. 4．函数y =___________. 5．等比数列{}n a 中，11a =，48a =，n S 是{}n a 的前n 项和，则5S =_________. 6．已知tan 2α=，则sin cos 2sin ααα+的值为_________.7．“2x >”是“1x >”的 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中的某一个）8．已知函数sin 2y x =的图象上每个点向左平移(0)2πϕϕ<<个单位长度得到函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，则ϕ的值为_______.9．设函数,0()21,0x e x f x x x ⎧≥=⎨+<⎩，则不等式()2(2)f x f x +>的解集为_______.10．已知函数()ln mf x x =-的极小值大于0，则实数m 的取值范围为_________.11．已知各项都为正数的等差数列{}n a 中，53a =，则37a a 的最大值为_________. 12．已知菱形ABCD 的棱长为3，E 为棱CD 上一点且满足2CE ED =，若6AE EB ⋅=-，则cos C _________.13．若方程3cos 265x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭在(0,)π的解为1x ，2x ，则()12cos x x -=___________. 14．已知函数23()3f x x x =-，1()ln x g x e a x -=--，若对于任意1(0,3)x ∈，总是存在两个不同的2x ，3(0,3)x ∈，使得()()()123f x g x g x ==，则实数a 的取值范围为_____________. 二、解答题15．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120C ︒=，7c =，2a b -=. （1）求a ，b 的值； （2）求sin()A C +的值.16．已知向量(cos )a x x =，(cos ,sin )b x x =. （1）若//a b ，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求x 的值； （2）若()f x a b =⋅，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的最大值及相应x 的值. 17．已知等比数列{}n a 满足22a =，且2a ，31a +，4a 成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21n n b a n =-+，求数列{}n b 的前n 项和为n T .18．如下图所示，某窑洞窗口形状上部是圆弧CD ，下部是一个矩形ABCD ，圆弧CD 所在圆的圆心为O ，经测量4AB =米，BC =米，COD 120︒∠=，现根据需要把此窑洞窗口形状改造为矩形EFGH ，其中E ，F 在边AB 上，G ，H 在圆弧CD 上.设OGF θ∠=，矩形EFGH 的面积为S .…………○…………线…………○……考号：___________…………○…………线…………○……（1）求矩形EFGH 的面积S 关于变量θ的函数关系式； （2）求cos θ为何值时，矩形EFGH 的面积S 最大？ 19．已知函数()f x =（1）求()f x 的图像在1x =处的切线方程； （2）求函数()()F x f x x =-的极大值；（3）若()ln af x x ≤对(0,1]x ∈恒成立，求实数a 的取值范围.20．已知数列{}n a 满足*11(1),n n n a na a n N +-=-∈.（1）证明：数列{}n a 为等差数列；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若211a a -=，且对任意的正整数n ，都有12311111433n S S S S <++++<，求整数1a 的值； （3）设数列{}n b 满足310n n b a =+，若2115a a -=，且存在正整数s ，t ，使得s t ab +是整数，求1a 的最小值. 21．已知二阶矩阵13a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征值1λ=-所对应的一个特征向量为13-⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（1）求矩阵M ；…外…………○…………装……※※请※※不※※要※※在※…内…………○…………装……（2）设曲线C 在变换矩阵M 作用下得到的曲线C '的方程为2y x =，求曲线C 的方程. 22．已知曲线C 的极坐标方程为2cos ραα=+（α为参数），直线1的参数方程为1cos sin x t y t ββ=+⎧⎨=⎩（t 为参数，02πβ<<），若曲线C 被直线1求β的值.23．选修4-2：不等式选讲设正数,,a b c 满足1a b c ++=，求证：32a b c b c c a a b ++≥+++. 24．某射击小组有甲、乙、丙三名射手，已知甲击中目标的概率是34，甲、丙二人都没有击中目标的概率是112，乙、丙二人都击中目标的概率是14.甲乙丙是否击中目标相互独立.（1）求乙、丙二人各自击中目标的概率；（2）设乙、丙二人中击中目标的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.25．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ︒∠=，AB AC a ==，1AA b =，点E ，F 分别在1BB ，1CC ，且113BE BB =，1113C F CC =.设baλ=.（1）当3λ=时，求异面直线AE 与1A F 所成角的大小； （2）当平面AEF ⊥平面1A EF 时，求λ的值.参考答案1．{1,2} 【解析】 【分析】根据交集的运算可直接得出结果． 【详解】 解：集合{2,1,0,1,2}A =--，{|0}B x x =>，{1,2}A B ∴=，故答案为：{1,2}． 【点睛】本题考查集合交集的运算，是基础题． 2．1- 【解析】 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】 解：由2zi i=+，得(2)12z i i i =+=-+， ∴复数z 的实部为−1， 故答案为：−1． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 3．1 【解析】 【分析】由题意两个向量垂直，利用向量垂直的坐标运算，列方程求出x 的值． 【详解】解：∵向量(,2)a x =，(2,1)b =-，且a b ⊥， ∴220x -=，解得1x =， 故答案为：1．本题主要考查向量垂直的坐标运算，属于基础题． 4．(1,2) 【解析】 【分析】根据对数的真数大于零，分母不为零，被开方数不小于零，列不等式求解即可． 【详解】 解：由已知得1020x x ->⎧⎨->⎩，解得12x <<，函数的定义域为(1,2)， 故答案为：(1,2)． 【点睛】本题考查函数定义域的求法，是基础题． 5．31 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出． 【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，11a =，48a =，3418a q a ∴==，解得2q ，则前5项和55213121S -==-，故答案为：31． 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了学生的计算能力，属于基础题． 6．25【解析】分子分母同时除以cos α，可将目标式转化为用tan α来表示，再代入tan α的值即可求得结果． 【详解】解：sin sin cos cos 2si ta n cos 2sin 12o n t s an c αααααααααα==+++， 代入tan 2α=得，原式22145==+， 故答案为：25．【点睛】本题考查同角三角函数基本关系的运用，当目标式是分式且分子分母均为sin α，cos α的齐次式时，可分子分母同时除以cos α，达到变形的目的，本题是基础题． 7．充分不必要 【解析】试题分析：因为211,1x x x >>⇒>>时2x >不一定成立，所以“2x >”是“1x >”的充分不必要条件． 考点：充要关系 8．12π【解析】 【分析】将函数sin 2y x =平移后的解析式和函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭比较，列方程求解． 【详解】解：把函数sin 2y x =的图象上每个点向左平移(0)2πϕϕ<<个单位长度，得到函数sin 2sin(22)6y x x πϕ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭的图象， 26πϕ∴=，则12πϕ=，故答案为：12π．【点睛】本题主要考查函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，属于基础题． 9．(1,2)- 【解析】 【分析】对2x +分20x +<和20x +≥讨论，分别求出解集，再取并集，即得所求． 【详解】解：当20x +<时，由()2(2)f x f x+>得：22(2)1x x e++>，20x +<，2(2)11x ∴++<，又201x e e ≥=，22(2)1x x e ∴++>无解；当20x +≥时，由()2(2)f x f x+>得：22x x ee +>，22x x ∴+≥，解得：12x -<<，∴不等式()2(2)f x f x +>的解集为(1,2)-，故答案为：(1,2)-． 【点睛】本题考查分段函数的应用，指数不等式的解法，是基础题．10．1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】对()f x 求导，求出极小值点，然后判断()f x 的单调性求出极小值，再由()f x 的极小值大于0，建立关于m 的不等式，求出m 的范围． 【详解】解：由()ln m f x x x =-，得2()(0)x m f x x x '+=>， 令()0f x '=，则x m =-， 因为()ln mf x x x=-的极小值大于0， 必有极小值点0m ->，故0m <，所以当x m >-时，()0f x '>，当0x m <<-时，()0f x '<， 所以()f x 在(0,)m -上单调递减，在(,)m -+∞上单调递增， 所以()f x 极小值()ln()10f m m =-=-+>，所以1m e<-， 综上，m 的取值范围为1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，故答案为：1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值，考查了运算能力，属中档题． 11．9 【解析】 【分析】因为等差数列{}n a 各项都为正数，利用237372a a a a +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭可求其最大值． 【详解】解：依题意，等差数列{}n a 各项都为正数， 所以370,0a a >>，所以()223737592a a a a a +⎛⎫≤== ⎪⎝⎭． 当且仅当373a a ==时等号成立．故答案为：9． 【点睛】本题考查了等差中项的性质，考查了基本不等式，属于基础题． 12．13【解析】 【分析】利用E 为三等分点结合向量加减法把所给数量积转化为,CD CB 之间的关系即可解决． 【详解】 解：如图，2CE ED =，CE 2ED ∴=，由6AE EB ⋅=-得()()6DE DA CB CE -⋅-=-， 得6DE CB DE CE DA CB DA CE ⋅-⋅-⋅+⋅=-， 得296ED CB CB CE -⋅+-+⋅=-，得(1CE ED CB -⋅=），即1ED CB ⋅=，即113CD CB ⋅=133cos 13C ∴⨯⨯=， 1cos 3C ∴=，故答案为13． 【点睛】此题考查了向量数量积的定义，向量加减法法则，难度不大．13．35【解析】 【分析】由已知可得1276x x π+=，得到1276x x π=-，则()1227cos cos 26x x x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，结合已知得答案． 【详解】解：由方程3cos 265x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭在(0,)π的解为1x ，2x ， 得123cos 2cos 2665x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(0,),x π∈112,666x πππ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭， 1222662x x πππ-+-∴=，1276x x π∴=-， ()1227cos cos 26x x x π⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭，又23cos 265x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴()122273cos cos 2cos 2665x x x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故答案为：35． 【点睛】本题考查Acos()y x ωϕ=+型函数的图象与性质，特别是对称性的应用是关键，是中档题． 14．)21,ln34e ⎡--⎣【分析】利用导数求出23()3f x x x =-在(0,3)x ∈上的值域A ，利用导数求出1()ln x g x e a x -=--在(0,3)x ∈上不同的x 对应相同y 的y 的范围B ，根据题意可得A B ⊆，列不等式即可求得实数a 的取值范围． 【详解】解：23()3f x x x =-，(0,3)x ∈，2()633(2)f x x x x x '=-=-，可得：函数()f x 在(0,2]上单调递增，在(2,3)上单调递减． 而(0)(3)0,(2)4f f f ===．()(0,4]f x A ∴∈=．1()ln ,(0,3)x g x e a x x -=--∈，11()x g x e x'-=-在(0,3)x ∈上单调递增， 又(1)0g '=，∴函数()g x 在(0,1]上单调递减，在(1,3)上单调递增．0x +→时，2();(1)1,(3)ln 3g x g a g e a →+∞=-=--．令)21,ln3B a e a ⎡=---⎣．对于任意1(0,3)x ∈，总是存在两个不同的23,(0,3)x x ∈， 使得()()()123f x g x g x A B ==⇔⊆．10a ∴-≤，且24ln 3e a <--．解得214ln 3a e ≤<--． ∴实数a 的取值范围为)21,ln34e ⎡--⎣，故答案为：)21,ln34e ⎡--⎣．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．15．（1）5a =，3b =（2）14【解析】 【分析】（1）由已知利用余弦定理可得2249a b ab ++=，结合2a b -=，即可解得a ，b 的值． （2）由（1）及余弦定理可求cos B ，根据同角三角函数基本关系式可求sin B 的值，利用两角和的正弦函数公式，诱导公式可求sin()A C +的值． 【详解】解：（1）由余弦定理得22222222cos 2cos 49120c a b ab C a b ab a b ab ︒=+-=+-=++=，2a b -=，22(2)(2)49b b b b ∴++++=整理得：22150b b +-=， 因为0b >，解得：3b =，5a =， 综上：5a =，3b =.（2）由（1）知5a =，3b =，7c =，所以22213cos 214a cb B ac +-==，因为B 为ABC ∆的内角，所以sin 14B ==，因为sin()sin()sin A C B B π+=-==所以sin()A C + 【点睛】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，诱导公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 16．（1）2x π=或3x π=.（2）最大值为32，此时6x π=. 【解析】 【分析】（1）根据向量平行的坐标运算，列方程求解；（2）根据数量积的坐标运算，利用三角公式，将()f x 变形为sin()A x ωϕ+的形式，利用三角函数的性质求最值． 【详解】解：（1）因为，(cos )a x x =，(cos ,sin )b x x =.，//a b ，所以2cos sin x x x =，所以cos (sin )0x x x -=，所以cos 0x =或sin 0x x -=，即cos 0x =或tan x =因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2x π=或3x π=；（2）因为(cos )a x x =，(cos ,sin )b x x =，所以2()cos sin f x a b x x x =⋅=1cos 21sin 2sin 22262x x x π+⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭， 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 所以1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以3()0,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以()f x 的最大值为32，此时6x π=． 【点睛】本题是向量背景下的三角运算问题，考查三角函数的恒等变换，以及三角函数的图像和性质，难度不大，但综合性较强．17．（1）12n na . （2）20,11,22,323,4n n n n T n n n =⎧⎪=⎪=⎨=⎪⎪-+≥⎩【解析】 【分析】（1）由已知列式求得等比数列的公比，进一步求得首项，则数列{}n a 的通项公式可求；（2）设121221n n n c a n n -=-+=-+，作差可得当4n ≥时，0n c >，即4n ≥时，1221n n n b c n -==-+，再求出数列{}n b 的前3项，然后分类利用数列的分组求和求数列{}n b 的前n 项和为nT．【详解】解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q （不为0），2a ，31a +，4a 成等差数列，()32421a a a ∴+=+，22a =，所以22(21)22q q +=+，解得2q 或0q =（舍），211a a q∴==， ∴数列{}n a 的通项公式为12n na ；（2）设121221n n n c a n n -=-+=-+，()11122(1)122122n n n n n c c n n --+∴-=-++--+=-，∴当3n ≥，1n n c c +>，又410c =>，所以4n ≥时，0n c >，即4n ≥时，1221n n n b c n -==-+，因为10c =，21c =-，31c =-，所以10b =，21b =，31b =， 所以10T =，21T =，32T =，当4n ≥时，123445(011)n n n T b b b b b b b b =+++++=++++++()3412222(7921)n n -=++++-+++-()3322127212(3)23122n n n n n --+-=+-⋅-=-+-，综上20,11,22,323,4n n n n T n n n =⎧⎪=⎪=⎨=⎪⎪-+≥⎩．【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式及前n 项和，考查数列的函数特性，是中档题． 18．（1）8(4cos 1)sin 3S θθ=-，πθ0,3（2）cos θ=【解析】 【分析】（1）结合几何图形计算的直角三角形勾股定理，找出矩形EFGH 的面积S 关于变量θ的函数关系式；（2）对S 关于变量θ的函数关系式进行求导分析，算出0S '=时的cos θ的值，三角计算即可得出结果． 【详解】解：（1）如图，作OP CD ⊥分别交AB ，GH 于M ，N ， 由四边形ABCD ，EFGH 是矩形，O 为圆心，120COD ︒∠=， 所以OMAB ⊥，ON GH ⊥，P ，M ，N 分别为CD ，AB ，GH 中点，60CON ︒∠=，在Rt COP ∆中，2CP =，60COP ︒∠=，所以OC =OP =所以OM OP PM OP BC =-=-=在Rt ONG ∆中，GON OGF θ∠=∠=，OG OC ==所以GN θ=，ON θ=，所以2GH GN θ==，3GF MN ON OM θ==-=-，所以8(4cos 1)sin 3S GF GH θθθθ=⋅==-⎭，πθ0,3， 所以S 关于θ的函数关系式为：8(4cos 1)sin 3S θθ=-，πθ0,3（2）由（1）得：()()222884cos 4sin cos 8cos cos 433S θθθθθ'=--=-- 因为πθ0,3， 所以1cos ,12θ⎛⎫∈⎪⎝⎭，令0S '=，得11cos ,1162θ+⎛⎫=⎪⎝⎭，设00,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且0cos θ=， 所以0S '>，得00θθ<<，即S 在()00,θ单调递增，0S '<，得03πθθ<<，即S 在0,3πθ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 所以当0θθ=时，S 取得最大值，所以当cos θ=EFGH 的面积S 最大． 【点睛】本题主要考查根据图形进行计算，掌握运用直角三角形勾股定理知识，三角函数的计算，函数的一阶导数分析能力，本题属难题． 19．（1）1y x =-.（2）-1；（3）1a ≥ 【解析】 【分析】（1）由函数()f x=，可得()f x '，求出(1)f '和切点坐标，利用点斜式即可得出切线方程．（2）由()()(0)F x f x x x x=-=->，求得()F x '，分析()F x '在(0,)+∞上单调性和零点，即可得出()F x 单调性与极值．（3）令()ln ()ln ,(0,1]g x x af x x a x=-=-∈，求出()g x '，对a 分类讨论，利用导数研究其单调性即可得出实数a 的取值范围． 【详解】解：（1）因为()f x=所以()f x '=(1)1f '=，因为()y f x =经过(1,0)，所以()f x 的图像在1x =处的切线方程为1y x =-；（2）因为()F x x=-，0x >， 所以()1F x '=， 又()F x '在(0,)+∞递减，(1)0F '=，所以在(0,1)x ∈，()0F x '>，即()F x 在(0,1)递增； 在(1,)x ∈+∞，()0F x '<，即()F x 在(1,)+∞递减， 所以在1x =处，()F x 取极大值，(1)1F =-；（3）设()ln ()ln g x x af x x a=-=-，(0,1]x ∈，所以21()2a g x x '=-= ①0a ≤时，()0g x '>对(0,1]x ∈恒成立， 所以()g x 在(0,1]递增， 又(1)0g =，所以0(0,1)x ∃∈时，()00g x <，这与()ln af x x ≤对(0,1]x ∈恒成立矛盾，舍去；②1a ≥时，设2()x a a ϕ=-+，(0,1]x ∈，2440a ∆=-≤， 所以()0x ϕ≤，(0,1]x ∈， 所以()0g x '≤对(0,1]恒成立， 所以()g x 在(0,1]递减， 又(1)0g =，所以()(1)0g x g ≥=对(0,1]x ∈恒成立， 所以1a ≥成立；③01a <<时，设2()x a a ϕ=-+，(0,1]x ∈，2440a ∆=->，解()0x ϕ=得两根为1x ，2x 11a=>，(0,1)==，所以101x <<，21>x ，所以()1,1x x ∈，()0x ϕ>，()0g x '>， 所以()g x 在()1,1x 递增， 又(1)0g =，所以()1()01x g g <=，这与()ln af x x ≤对(0,1]x ∈恒成立矛盾，舍去， 综上：1a ≥. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、方程与不等式的解法、方程的实数根与判别式的关系、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 20．（1）证明见解析；（2）2；（3）120【解析】 【分析】（1）令11(1)n n n a na a +-=-中的n 为1n -，又得一式，将两式做差变形，利用等差中项进行证明；（2）利用放缩法和裂项相消法在数列求和中的应用进行证明． （3）利用假设法的应用和存在性问题的应用求出最小值． 【详解】解：（1）因为11(1),n n n a na a +-=-①所以2n ≥时，11(2)(1),n n n a n a a --=-- ②①-②得11(1)2(1)(1)0n n n n a n a n a +----+-=，所以1120,n n n a a a +--+=即112,n n n a a a +-+=所以数列{}n a 为等差数列；（2）因为211a a -=，所以{}n a 的公差为1，因为对任意的正整数n ，都有12311111433n S S S S <++++<， 所以111433S <<，所以1334S <<，即1334a <<， 所以11a =或2，当11a =时，22a =，11S =，23S =，所以121114133S S +=+=，这与题意矛盾，所以11a ≠， 当12a =时，1n a n =+， (3)02n n n S +=>， 111123S =>，123111113n S S S S ++++>恒成立， 因为121133n S n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， 1231111211111111111134253621123n S S S S n n n n n n ⎛⎫∴++++=-+-+-++-+-+- ⎪-+-++⎝⎭211111114132312393n n n ⎛⎫=++---<< ⎪+++⎝⎭， 综上，1a 的值为2.（3）因为2115a a -=，所以{}n a 的公差为15， 所以11(1)5n a a n =+-， 所以111510n b a n =++， 由题意，设存在正整数s ，t ，使得s t a b l +=，l Z ∈， 则111155510s t a a l +-+++=，即1202(5)1a l s t =--+， 因为5l s t Z --∈，所以2(5)l s t --是偶数， 所以1201a ≥， 所以1120a ≥， 当1120a =时，41920b =， 所以存在141a b Z +=∈， 综上，1a 的最小值为120. 【点睛】本题考查的知识要点：等差数列的证明和通项公式的应用，裂项相消法在数列求和中的应用和放缩法的应用，假设法在数列的通项公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，难度较大．21．（1）2130M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（2）292y x x =- 【解析】【分析】（1）根据特征值和特征向量的定义式写出相应的矩阵等式，转化成线性方程组可得,a b 的值，即可得到矩阵M ；（2）根据矩阵对应的变换写出对应的矩阵恒等式，通过坐标转化计算可得出曲线C 的方程．【详解】解：（1）依题意得111333a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即31333a b -+=⎧⎨-+=-⎩，解得20a b =⎧⎨=⎩， 所以2130M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦； （2）设曲线C 上一点(,)P x y 在矩阵M 的作用下得到曲线2y x =上一点(),P x y '''， 则2130x x y y ''⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即23x x y y x ''=+⎧⎨=⎩， 因为2y x ''=，所以292x x y =+，所以曲线C 的方程为292y x x =-．【点睛】本题主要考查特征值和特征向量的定义计算的能力，以及矩阵对应的变换得出变换前的曲线方程，本题属中档题．22．3πβ=.【解析】【分析】首先利用转换关系式的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用点到直线的距离公式和垂径定理求出结果．【详解】解：以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，则曲线C 的极坐标方程化为直角坐标系下的方程为22(1)(4x y -+-=，直线l 的参数方程1cos ,sin x t y t ββ=+⎧⎨=⎩（t 为参数，02πβ<<）在直角坐标系下的方程为(1)(tan )y k x k β=-=，因为圆C 被直线1d ==，2=，k ∴= 因为02πβ<<，所以tan k β==所以3πβ=．【点睛】本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．23．见证明【解析】【分析】 把不等式左边化为1113b c c a a b++-+++，再利用柯西不等式得到11192b c c a a b ++≥+++，从而不等式得到证明. 【详解】因为,,0a b c >，1a b c ++=，所以a b c b c c a a b+++++ 1111113b c c a a b b c c a a b b c c a a b------=++=++-++++++ 由[]2=2()=()+()+()a b c a b b c c a +++++，由柯西不等式，得[]111()()()b c c a a b b c c a a b ⎛⎫+++++⋅++ ⎪+++⎝⎭ 29≥+= 所以11192b c a c a b ++≥+++，即93322a b c b c a c a b ++≥-=+++. 【点睛】多变量不等式的证明，可根据不等式的特点选择均值不等式或柯西不等式等来证明，如果不等式是和与积的形式，可考虑前者，如果是平方和与对应乘积和的关系，则考虑后者，必要时需对原有不等式变形化简，使之产生需要的结构形式.24．（1）38，23.（2）分布列见解析，数学期望2524. 【解析】【分析】（1）设甲、乙、丙击中目标分别记为事件,,A B C ，则3()4P A =，且1()()121()()4P A P C P B P C ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由此能求出乙、丙二人各自击中目标的概率．（2）由题意X 的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和E （X ）．【详解】解：（1）设甲、乙、丙击中目标分别记为事件A 、B 、C ，则3()4P A =，且有 1()(),121()(),4P A P C P B P C ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即311[1()],4121()().4P C P B P C ⎧⎛⎫--= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩解得3()8P B =，2()3P C =， 所以乙、丙二人各自击中目标的概率分别为38，23； （2）由题意，X 的可能取值为0，1，2，1(2)4P X ==， 515(0)()()8324P X P B P C ===⨯=， 13(1)1(0)(2)24P X P X P X ==-=-==. 所以随机变量X 的分布列为513125()0122424424E X =⨯+⨯+⨯= 所以X 的数学期望为2524. 【点睛】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查对立事件概率计算公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．25．（1）60°（2）32λ=【解析】【分析】（1）推导出1AA ⊥平面ABC ，11,AB AA AA ⊥⊥AC ，建立分别以AB ，AC ，1AA 为,,x y z 轴的空间直角坐标系，利用法向量能求出异面直线AE 与1A F 所成角．（2）推导出平面AEF 的法向量和平面1A EF 的一个法向量，由平面AEF ⊥平面1A EF ，能求出λ的值．【详解】解：因为直三棱柱111ABC A B C -，所以1AA ⊥平面ABC ，因为,AB AC ⊂平面ABC ，所以1AA AB ⊥，1AA AC ⊥，又因为90BAC ︒∠=，所以建立分别以AB ，AC ，1AA 为,,x y z 轴的空间直角坐标系A xyz -.（1）设1a =，则1AB AC ==，13AA =，各点的坐标为(0,0,0)A ，(1,0,1)E ，1(0,0,3)A ，(0,1,2)F .(1,0,1)AE =，1(0,1,1)A F =-. 因为1||||2AE A F ==11AE A F ⋅=-， 所以1111cos ,2||||2AE A F AE A F AE A F ⋅〈〉===-. 所以向量AE 和1A F 所成的角为120°，所以异面直线AE 与1A F 所成角为60°； （2）因为,0,3b E a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，20,,3b F a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ,0,3b AE a ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，20,,3b AF a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 设平面AEF 的法向量为1(,,)n x y z =，则10AE n ⋅=，且10AF n ⋅=.即03bz ax +=，且203bz ay +=. 令1z =，则3b x a =-，23b y a =-. 所以122,,1,,13333b b a a n λλ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是平面AEF 的一个法向量.同理，222,,1,,13333b b n a a λλ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是平面1A EF 的一个法向量. 因为平面AEF ⊥平面1A EF ，所以120n n ⋅=，22221099λλ∴--+=， 解得32λ=. 所以当平面AEF ⊥平面1A EF 时，32λ=. 【点睛】本题考查异面直线所成角的大小、实数值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．。
江苏省苏州市2019届高三上学期期中学考试试数学
实用文档2018—2019学年苏州市第一学期高三期中调研试卷学（正题）数112018．一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答卷纸相应的位置) ．．．????3,4,5?A1,2,3,4,5U=，则，若集合1．设全集▲．?Ae U2”的否定是▲．2．命题“01≥2x?x?R,x??a?(2,m)b?(1,?2)m b?a的值是，▲．，则实数，且3．已知向量函数的定义域是x2???lg(2?x)f(x)．▲4．?6．5，圆心角为已知扇形的半径为▲．，则扇形的面积为3 SS??84a4?S?n，则，6．已知等比数列．的前▲项和为n n SS 24????????0,?)A,?,0,0?f(x)Asin(Ax??）（且的部分图象如图所示，7.设函数则为常数，?的值为▲．??2b,a3??x??2xf(x)m?f(x)的的解集的区间长度为,8．已知二次函数不等式6(规定：闭区间b?am 的值是▲．)，则实数长度为321，深度为39．某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4800．如果池底每mmm2的造价为120元，要使水池总造价最低，1那么水池底部的周长为▲的造价为150元，池壁每m．m sinA?2sinBcosC?0ABC △A的最大值是▲，则．在10．中，2?x?,x?1,??e????????????xfxf?fxx??xf?xxx?xf的取值范围是，则，若11．已知函数?31223113xln?1,,x≥??x．▲????????2bbaa15?an?nb?中,若将数列，的通项公式为数列的通项公式为．12已知数列，nnnn n n实用文档??cc．▲，则相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列的值为n63?2CB?CD ABCD?BCAD?CD60BCD??AB?若点，中，，. 13．如图，在平面四边形，ruuuuuuur C BCM上的动点，则的最小值为▲．为边DM?AM MBDAa x1,2)?(a?(x)?exf．在14的取值范围是▲．函数上单调递增，则实数分，请在答题卷区域内作答，解答时应写出文字说明、证明90本大题共6个小题，共二、解答题() 过程或演算步骤)分(本题满分1415．????),cos3,2sin2n)?m?(2cos2(sin?，．已知????)f(?m?f(n)?][0,?在，求，且（1）若上的取值范围；26???)tantan(????nm//y?、轴上，求，且的终边不在的值．2（）若)分(本题满分1416．????a5?ab nn36?ABA，且的前项和为，已知等差数列．数列项和为的前，??}a{b和的通项公式；）求数列（1nn??c nb?ca?S项和）设（2．，求数列的前6nn3nn1?bB?2．nnnnnnn实用文档17 ．(本题满分14分)某湿地公园围了一个半圆形荷花塘如图所示，为了提升荷花池的观赏性，现计划在池塘的中轴AB?2CDBDDDO，CADOC km与点，，段建设架空木栈道，不重合），其中已知线，上设计一个观景台（点y km．设建设的架空木栈道的总长为??y?(rad)?DAO?的取值范围；（1）设，将的函数关系式，并写出表示成（2）试确定观景台的位置，使三段木栈道的总长度最短．18．(本题满分16分)a x?ex)?f(已知是奇函数．x e）求实数的值；（1a2x?2x?f(x2y?e??e)x?[0,??)上的值域；在）求函数（232)?3x0gg(x?1)?(1?x2)(?xg()fx?的解集．（，求不等式3）令实用文档19．(本题满分16分)*Nn?，数列满足的首项为1，定义：若对任意的，则称数列已知数列}{a{a?3a}}a?a{nnn?1nn M数列”．为“??2*M n?S2n2?的，项和满足“求数列数列”，其前为（1）已知等差数列N n?n}{aa{}S n nnn d的取值范围；公差3M数列”，记数列满足为“2）已知公比为正整数的等比数列，且数列不（a?b}{{}b}b{a nn nnn4M数列，求数列的通项公式．为“}a{n20．(本题满分16分)a xln1?x)?ax?f(为常数．，设函数a?2(1,f(1)))f(x处的切线方程；时，求1）当在点（f(x)的两个零点，为函数（2）若．xx?x,x2121a的取值范围；①求实数2的大小关系，并说明理由．与②比较x?x21a实用文档学年第一学期高三期中调研试卷—20192018数学(附加) 2018．11注意事项：1．本试卷共2页．满分40分，考试时间30分钟．2．请在答题卡上的指定位置作答，在本试卷上作答无效．3．答题前，请务必将自己的姓名、学校、考试证号填写在答题卡的规定位置．21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，在答题卡上填涂选作标志，并在相．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演．．．．．．．．．算步骤．A．（本题满分10分）ADABCEACBCDDAABC的外接圆于点，的外角∠延长的平分线，交已知交△是△的延长线于点FFBFC.，连结，FB?FC；）求证：（1?ADABCAB6?BC的长．外接圆的直径，，（2）若，求是△120??EAC10分）B．（本题满分b?22a????1?1?A?AA已知可逆矩阵的特征值．=的逆矩阵为，求????a?773????C 10分）．（本题满分?,2?2cosx???xxOyOC为极点，（的参数方程为以点为参数）在平面直角坐标系，中，圆??2siny??轴的正半轴为极轴建立极坐标系．C的极坐标方程；1（）求圆OACAO交于点的中点所在曲线的极坐标方程．（2）过极点作直线与圆，求D分）．（本题满分10 axx14???)x?3xg6(x)(fa)?x?xf()g(的取，若存在实数，已知函数使成立，求实数实用文档值范围．分）．（本题满分10222?2ABPA?3?BC?ABP?ABCDBC?BCAD//BCAD，，，中，如图，在四棱锥⊥，，PB3?PB．A??CDP (1)求二面角的余弦值；BEPAE PCD//BE (2)若点平面在棱的长．上，且，求线段PECBDA10分）23．（本题满分xcos*的导数，．已知函数是，设Nn?0)x)(x??(f)(fx)(fx01nn?xπππ求的值；(1) )f(?2f()212222πππ*N n? (2) 证明：对于任意都成立．，等式??fnf())(n1n?4442实用文档实用文档实用文档实用文档实用文档实用文档实用文档实用文档。
苏州市2019-2020学年第一学期高三期中调研试卷数学试题含附加题配答案
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（2）由（1）知 a 5,b 3, c 7 ，所以 cos B a2 c2 b2 13 ，................................. 10 分
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因为 B 为 ABC 的内角，所以 sin B 1 cos2 B 3 3 ，................................................12 分 14
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江苏省苏州市2019届高三上学期期中调研测试数学试卷 PDF版缺答案
AB=2km,设 建设 的架 空 木栈 道 的总 长 为 ykm。 (1)设 ZDA0=ε (rad〉 ,将 y表 示 成 ε的 函数关 系式 ,并 写 出 ε的取 值 范 围
(2)试 确 定 观景 台的位 置 ,使 三段 木 栈 道 的总长 度 最短
.
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18.(本 题 满分 16分 )
已 知
r(=)=召
'|=一
口 |在 (-1,2)上 单 调 递增 ,则 实数 四的取值 范 围是
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取 值 范 围
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高 三 数学 (正 题
)
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共 4页
12.已 知 数 列 (四 ″ )的 通 项 公 式 为 色
2019届江苏省苏州市高三上学期期初调研考试数学(文)试题(word版)
EDCBA2019届江苏省苏州市高三上学期期初调研考试数学(文)试题（正卷）2018．9注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分．本试卷满分160分，考试时间120分钟． 2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的指定位置． 3．答题时，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的指定位置，在其它位置作答一律无效． 4．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔． 方差公式：2222121[()()()]n s x x x x x x n =-+-++-，其中121()n x x x x n=+++.锥体体积公式：1=3V Sh 锥体(S 为锥体底面面积，h 为锥体的高).一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{1,0,1}A =-，集合{|0}B x x =>，则AB = ▲ ．2．若复数12i z =+，22i z a =-(i 为虚数单位)，且12z z 为实数，则实数a = ▲ ．3．一组数据1，2，3，4，a 的平均数为2，则该组数据的方差等于 ▲ ． 4．如图是某一算法的伪代码，则输出值n 等于 ▲ ．5．一只口袋中装有5个大小相同的球，其中3个黑球，2个白球，从中一次 摸出2只球，则摸出1个黑球和1个白球的概率等于 ▲ ．6．已知函数222(0)()(0)x x x f x x ax x ⎧-⎪=⎨-+<⎪⎩≥为奇函数，则实数a 的值等于 ▲ ．7．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+(0ϕπ<≤)的一条对称轴是512x π=-，则ϕ= ▲ ．8．已知等比数列{}n a 的前 项和为n S ，若264,,S S S 成等差数列，则246a a a +的值为 ▲ ．9．已知△ABC 的三边上高的长度分别为2，3，4，则△ABC 最大内角的余弦值等于 ▲ ． 101(cm)的圆形纸片按如图所示的实线裁剪，并按虚线折叠为各棱长均相等的四棱锥，则折叠所成的四棱锥的体积为 ▲ cm 3．11．如图，已知AC 与BD 交于点E ，AB ∥CD ，AC =26AB CD ==，则当tan 3A =时，BE CD ⋅= ▲ ．(第4题)(第11题)12．已知函数f (x )＝|x 2－6|，若0a b >>，且f (a )＝f (b )，则a 2b 的最大值是 ▲ ． 13．在斜三角形ABC 中，已知11tan 0tan tan C A B++=，则tan C 的最大值等于 ▲ ． 14．已知⊙C 的方程为：222(3)(2)(0)x y r r -+-=>，若直线33x y +=上存在一点P ，在⊙C 总存在不同的两点M ，N ，使得点M 是线段PN 的中点，则⊙C 的半径r 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）已知πcos (0,)2αα=∈． （1）求πsin()4α+的值；（2）若()11πcos ,(0,)142αββ+=∈，求β的值．16．（本题满分14分）如图，已知矩形CDEF 和直角梯形ABCD ，AB ∥CD ，90ADC ∠=︒，DE =DA ， M 为AE 的中点．(1)求证：AC ∥平面DMF ； (2)求证：BE ⊥DM ．MFE DCBA (第16题)17．（本题满分14分）如图，有一块半圆形的空地，政府计划在空地上建一个矩形的市民活动广场ABCD 及矩形的停车场EFGH ，剩余的地方进行绿化．其中半圆的圆心为O ，半径为r ，矩形的一边AB 在直径上，点C ，D ，G ，H 在圆周上，E ，F 在边CD 上，且∠BOG =60︒，设BOC θ∠=．(1)记市民活动广场及停车场的占地总面积为()f θ，求()f θ的表达式； (2)当cos θ为何值时，可使市民活动广场及停车场的占地总面积最大．18．（本题满分16分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点分别为A ，B ，离心率为12，点P (1,32)为椭圆上一点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图，过点(0,1)C 且斜率大于1的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，记直线AM 的斜率为1k ，直线BN 的斜率为2k ，若122k k =，求直线l 斜率的值．FEGH C DOBA(第17题)19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列，数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足34S a =，523a a a =+．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若12m m m a a a ++=，求正整数m 的值； (3)是否存在正整数m ，使得221mm S S -恰好为数列{}n a 中的一项？若存在，求出所有满足条件的m 值，若不存在，说明理由.20．（本小题满分16分）若对任意的实数k ，b ，函数()y f x kx b =++与直线y kx b =+总相切，则称函数()f x 为“恒切函数”．(1)判断函数2()f x x =是否为“恒切函数”；(2)若函数()ln f x m x nx =+(0m ≠)是“恒切函数”，求实数m ，n 满足的关系式； (3)若函数()(e 1)e x x f x x m =--+是“恒切函数”，求证：104m -<≤．2018~2019学年第一学期期初教学质量调研卷 高三数学（正卷）参考解答与评分标准一、填空题：（每题5分，满分70分） 1．{1}2．43．24．45．356．−2 7．3π 8．2 9．1124-1011．1212．1613．-14．)+∞ 二、解答题（共6小题，满分90分） 15．（本题满分14分） 解：(1)由πcos (0,)2αα=∈，得1sin 7α=，············································· 2分 所以πππsin()sin cos cos sin 444ααα+=+ ·············································· 4分17=+=． ································ 6分 (2)因为π,(0,)2αβ∈，所以(0,π)αβ+∈．又()11cos 14αβ+=，则()sin αβ+== 8分所以()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα=+-=+-+ ·············· 10分11111472=-⨯=． ············································· 12分 因为π(0,)2β∈，所以π6β=． ······················································ 14分16．（本题满分14分）证明：(1)连接EC 交DE 于N ，连接MN ．∵矩形CDEF ，∴EC ，DF 相互平分，∴N 为EC 中点． ·· 2分 又∵M 为EA 中点，∴MN ∥AC ． ··································· 4分 又∵AC ⊄平面DMF ，且MN ⊂平面DMF ．∴AC ∥平面DMF ． ·················································· 7分 (2)∵矩形CDEF ，∴CD ⊥DE ．又∵AB ∥CD ，∴AB ⊥DE ． ·························································· 8分 又∵直角梯形ABCD ，AB ∥CD 且90ADC ∠=︒，∴AB ⊥AD ． ∵DEAD =D ，∴AB ⊥平面ADE ． ··············································· 10分又∵DM ⊂平面ADE ，∴AB ⊥DM ．∵AD DE =，M 为AE 的中点，∴AE ⊥DM ． ·································· 11分 又∵AB AE A =，∴MD ⊥平面A BE ． ·········································· 13分∵BE ⊂平面ABE ，∴BE ⊥MD ． ··················································· 14分 17．（本题满分14分）解：(1)∵半圆的半径为r ，BOC θ∠=，∠OBC =90°．∴在直角三角形OBC 中，cos OB r θ=，sin BC r θ=，∴2cos AB r θ=．∴22sin cos ABCD S AB BC r θθ=⋅=矩形． ················································ 2分 又∵∠BOG =60︒，由半圆的对称性可知，∠HOA =60︒，∴∠HOG =60︒． ∴△HOG 为等边三角形，∴HG =r ，HEsin r θ-=sin )r θ．∴2sin )EFGH S EF EH r θ=⋅=-矩形． ·············································· 4分 ∴()ABCD EFGH f S S θ=+=矩形矩形2(2sin cos sin r θθθ-+，其中(0,)3πθ∈． ································································································· 7分(2) ∵222()(2cos 2sin cos )f r θθθθ'=--=22(4cos cos 2)r θθ--． ··········· 9分 令()0f θ'=，即24cos cos 20θθ--=，解得：cos θ=cos θ=(舍去)． ·································· 11分令0cos θ=0(0,)3πθ∈． 1︒当0(0,)θθ∈时，()0f θ'>，()f θ单调递增；2︒当0(,)3πθθ∈时，()0f θ'<，()f θ单调递减．∴当0θθ=时，()f θ取得最大值． ···················································· 13分答：当cos θ= · 14分18．（本题满分16分）解：(1)∵椭圆的离心率为12，∴2a c =．又∵222a b c =+，∴b =．∴椭圆的标准方程为：2222143x y c c+=． ··············· 3分ABODC H GEF又∵点P (1,32)为椭圆上一点，∴22914143c c +=，解得：1c =． ··············· 5分∴椭圆的标准方程为：22143x y +=． ················································· 6分 (2)由椭圆的对称性可知直线l 的斜率一定存在，设其方程为1y kx =+． 设1122(,),(,)M x y N x y ．联列方程组：221431x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 可得：22(34)880k x kx ++-=． ∴由韦达定理可知：122834k x x k +=-+，122834x x k =-+． ····················· 8分 ∵1112y k x =+，2212yk x =-，且122k k =，∴1212222y y x x =+-． ·················· 10分即221222124(2)(2)y y x x =+-．①又∵1122(,),(,)M x y N x y 在椭圆上， ∴22113(4)4y x =-，22223(4)4y x =-．②将②代入①可得：121224(2)22x x x x -+=+-，即1212310()120x x x x +++=． ······· 12分 ∴22883()10()1203434k k k-+-+=++，即2122030k k -+=． ················· 14分 解得：16k =或32k =．又∵k >1，∴32k =． ······································ 16分 19．（本小题满分16分）解：(1)设奇数项的等差数列公差为d ，偶数项的等比数列公比为q ． ∴数列{}n a 的前5项依次为：1，2，1+d ，2q ，1+2d ．∵34523S a a a a =⎧⎨=+⎩，∴42123d q d d +=⎧⎨+=+⎩，解得：23d q =⎧⎨=⎩． ···························· 2分∴12()23()nn n n a n -⎧⎪=⎨⎪⋅⎩为奇数为偶数． ······························································ 4分 (2) ∵12m m m a a a ++=．1︒若2m k =(N*k ∈)则22122k k k a a a ++=，∴123(21)23k k k -⋅⨯+=⋅，即213k +=，∴1k =，即2m =． ································································································· 6分2︒若21m k =-(N*k ∈)则21221k k k a a a -+=，∴1(21)2321k k k --⨯⋅=+，∴12122312121k k k k -+⋅==+--． ∵123k -⋅为整数，∴221k -必为整数，∴211k -=，∴1k =，此时0233⋅≠． 不合题意． ················································································· 8分 综上可知：m =2． ········································································ 9分 (3)∵21321242()()m m m S a a a a a a -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=(121)2m m +-+2(13)13m --=231m m +-． ································· 10分21122122312331m m m m m m S S a m m ---=-=+--⋅=+-． ··························· 11分∴221m m S S -=2123131m m m m -+-+-=2122(1)3331m m m ---+-≤． ······································ 12分 若221mm S S -为数列{}n a 中的项，则只能为123,,a a a ． 1︒2211m m S S -=，则2122(1)3131m m m ---=+-，∴130m -=，m 无解． ··················· 13分 2︒2212m m S S -=，则2122(1)3231m m m ---=+-，∴12310m m -+-=． 当1m =时，等式不成立； 当2m =时，等式成立；当3m ≥时，令1221()31313x x f x x x -=+-=⋅+-．∴ln3()323xf x x '=⋅-，2ln 3()323x f x ''=⋅-． 当3x ≥时，()0f x ''>，∴()f x '在[3,)+∞上单调递增． 又∵(3)9ln 360f '=->，∴()0f x '>在[3,)+∞上恒成立， ∴()f x 在[3,)+∞上单调递增．∵(3)10f =>，∴当3m ≥时，方程12310m m -+-=无解． ···················· 14分3︒2213m m S S -=，则2122(1)3331m m m ---=+-，∴210m -=，即1m =． ·············· 15分 综上可知：1m =或2m =． ···························································· 16分 20．（本小题满分16分）解：(1)函数()f x 为“恒切函数”，设切点为00(,)x y ．则0000()()f x kx b kx b f x k k ++=+⎧⎨'+=⎩，∴00()0()0f x f x =⎧⎨'=⎩． ······································· 2分对于函数2()f x x =，()2f x x '=．设切点为00(,)x y ，∴20020x x ⎧=⎪⎨=⎪⎩， ······················································· 3分解得：00x =．∴2()f x x =是“恒切函数”． ······································· 4分 (2)若函数()ln f x m x nx =+(0m ≠)是“恒切函数”，设切点为00(,)x y ．∵()mf x n x '=+，∴000ln 00m x nx m n x +=⎧⎪⎨+=⎪⎩， ·············································· 5分解得：0ln 1x =，即0x e =． ···························································· 7分 ∴实数m ，n 满足的关系式为：0m ne +=． ······································· 8分 (3) 函数()(1)x x f x e x e m =--+是“恒切函数”，设切点为00(,)x y ． ∵()(22)xxf x e x e '=--，∴000000(1)0(22)0x x x x e x e m e x e ⎧--+=⎪⎨--=⎪⎩， ∴0000(1)22x x x m e x e e x ⎧=---⎪⎨=+⎪⎩． ······························································· 10分考查方程22x e x =+的解，设()22x g x e x =--． ∵()21x g x e '=-，令()0g x '=，解得：ln 2x =-． ∴当(,ln 2)x ∈-∞-时，()0g x '<，()g x 单调递减； 当(ln 2,)x ∈-+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增．∴min ()(ln 2)ln 210g x g =-=-<． ··················································· 12分1︒当(,ln 2)x ∈-∞-时∵24(2)0g e -=>，2(1)10g e-=-<． ∴()22x g x e x =--在(,ln 2)-∞-上有唯一零点0(2,1)x ∈--．又∵00(1)x x m e x e =---=001(2)4x x +，∴1(,0)4m ∈-． ························ 14分2︒当(ln 2,)x ∈-+∞时∵(0)0g =，∴()22x g x e x =--在(ln 2,)-+∞上有唯一零点0，∴0m =．································································································15分综上可知：14m-<≤．································································16分。
江苏省苏州市2019届高三期期调研数学试卷
End While
5．一只口袋中装有 5 个大小相同的球，其中 3 个黑球， 2 个白球，从中一次
Print n
摸出 2 只球，则摸出 1 个黑球和 1 个白球的概率等于 ▲ ．
6．已知函数 f (x)
2
x
2x
( x≥0)
为奇函数，则实数 a 的值等于
2
x ax ( x 0)
▲ M ，N，使得点 M 是线段 PN 的中点，则⊙ C 的半径 r 的取值范 围是 ▲ ．
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答．题．卡．指．定．区．域． 内作答，解答时应写出必 要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题满分 14 分）
已知 cos
4 3, 7
(第 11 题 )
12．已知函数 f (x)＝ |x2－ 6|，若 a b 0 ，且 f (a)＝ f (b)，则 a2b 的最大值是
▲ ．
13．在斜三角形 ABC 中，已知 1
1 tanC 0 ，则 tanC 的最大值等于
tan A tanB
▲ ．
14．已知⊙ C 的方程为： ( x 3)2 ( y 2)2 r 2 (r 0) ，若直线 3x y 3 上存在一点 P，在
2018~2019 学年第一学期期初教学质量调研卷
高三数学（正卷）
2018． 9
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共 4 页，包括填空题 （第 1 题～第 14 题）、解答题（第 15 题～第 20 题）两部分． 本 试卷满分 160 分，考试时间 120 分钟．
2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用 指定位置．
0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的
解析江苏省苏州市高三上学期期中调研考试数学试题含解析
苏州市2019届上学期高三期中调研试卷2018.11.12数学（正题）一、填空题(请把答案直接填写在答题卡．．．相应位置上) 1.设全集{}=1,2,3,4,5U ，若集合{}3,4,5A =，则U A =ð__________. 【答案】{}1,2 【解析】 【分析】利用补集定义直接求解即可．【详解】∵全集{}=1,2,3,4,5U ，集合{}3,4,5A =，∴{}12U A =，ð， 故答案为{}1,2．【点睛】本题考查补集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意补集定义的合理运用．2.命题“2,210x R x x ≥∃∈-+”的否定是__________. 【答案】2210x R x x ∀∈-+<， 【解析】 【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可． 【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“2,210x R x x ≥∃∈-+”的否定命题：2210x R x x ∀∈-+<，， 故答案为：2210x R x x ∀∈-+<，．【点睛】本题主要考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题．3.已知向量(2,)a m =r ，(1,2)b =-r ，且a b ⊥r r，则实数m 的值是__________.【答案】1 【解析】 【分析】根据a b ⊥r r即可得出 220a b m ⋅=-=r r ，从而求出m 的值． 【详解】∵a b ⊥r r，∴ 220a b m ⋅=-=r r ；∴1m =，故答案为1．【点睛】本题主要考查向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算，属于基础题.4.函数()lg(2)f x x =-+__________. 【答案】[)2,2- 【解析】 【分析】由偶次根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0联立不等式组求解． 【详解】由2020x x ->⎧⎨+≥⎩，得22x -≤<．∴函数()lg(2)f x x =-+[)2,2-． 故答案为[)2,2-．【点睛】本题主要考查了具体函数的定义域问题，属于基础题；常见的形式有：1、分式函数分母不能为0；2、偶次根式下大于等于0；3、对数函数的真数部分大于0；4、0的0次方无意义；5、对于正切函数tan y x =，需满足,2x k k Z ππ≠+∈等等，当同时出现时，取其交集.5.已知扇形的半径为6，圆心角为3π，则扇形的面积为__________. 【答案】6π 【解析】 【分析】先计算扇形的弧长，再利用扇形的面积公式可求扇形的面积． 【详解】根据扇形的弧长公式可得362l ππαr ==⨯=， 根据扇形的面积公式可得1126622S lr ππ==⋅⋅=，故答案为6π．【点睛】本题主要考查扇形的弧长与面积公式，正确运用公式是解题的关键，属于基础题．6.已知等比数列{}n a的前n项和为n S，424S S =，则84SS的值是__________.【答案】10【解析】【分析】根据等比数列前n项和公式，由424SS=可得23q=，通过化简可得884411S qS q-=-，代入2q的值即可得结果.【详解】∵424SS=，∴424S S=，显然1q≠，∴()()241111411a q a qq q--=--，∴214q+=，∴23q=，∴()()818484441111110111a qS qqqS qa qq---===+=---，故答案为10．【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和公式，本题解题的关键是看出数列的公比的值，属于基础题．7.设函数()sin()f x A xωϕ=+（,,Aωϕ为常数，且0,0,0Aωϕ>><<π）的部分图象如图所示，则ϕ的值是________.【答案】3π【解析】【分析】先由周期求出ω，再由五点法作图求出φ的值．【详解】根据函数f （x ）=Asin （ωx +φ）（A ，ω，φ为常数，且A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象，可得34•2πω=712π+6π，∴ω=2． 再根据五点法作图可得2×（﹣6π）+φ=0，∴φ=3π，故答案为：3π．【点睛】本题主要考查由函数y=Asin （ωx +φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法求出φ的值，属于基础题．8.已知二次函数2()23f x x x =-++，不等式()f x m ≥的解集的区间长度为6(规定：闭区间[],a b 的长度为b a -)，则实数m 的值是_______.【答案】5- 【解析】 【分析】根据题意223x x m -++≥的解集为[],a b ，分析可得x a =和x b =是方程2230x x m -+-=的两根，将二次函数根与系数的关系与6b a -=相结合，可得m 的值．【详解】根据题意223x x m -++≥的解集为[],a b ，则x a =和x b =是方程223x x m -++=即2230x x m -+-=的两根， 则2a b +=，3ab m =-，不等式()f x m ≥的解集的区间长度为6，即6b a -=， 则有()()2444336a b ab m +-=--=，解可得5m =-， 故答案为5-．【点睛】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，涉及一元二次不等式的解法，属于基础题．9.某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为34800m ，深度为3m .如果池底每21m 的造价为150元，池壁每21m 的造价为120元，要使水池总造价最低，那么水池底部的周长为______m . 【答案】160 【解析】 【分析】设水池底面一边的长度为xm ，则另一边的长度为48003m x，由题意可得水池总造价()f x ，然后利用基本不等式求最值，可得水池总造价最低时的水池底部的周长． 【详解】设水池底面一边的长度为xm ，则另一边的长度为48003m x， 由题意可得水池总造价()48004800150120232333f x x x ⎛⎫=⨯+⨯+⨯⨯ ⎪⎝⎭()16002400007200x x x ⎛⎫=++> ⎪⎝⎭，则()1600720240000720240000f x x x ⎛⎫=++≥⨯ ⎪⎝⎭ 720240240000297600=⨯⨯+=，， 当且仅当1600x x=，即40x =时，()f x 有最小值297600， 此时另一边的长度为4800403m x=， 因此，当水池的底面周长为160m 时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元， 故答案为160．【点睛】本题考查函数模型的构建，考查利用基本不等式求最值，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题．10.在ABC △中，sin 2sin cos 0A B C +=，则A 最大值是______.【答案】6π 【解析】 【分析】利用三角形内角和定理与诱导公式化简可得3sin cos cos sin 0B C B C +=，即3tan tan B C =-，可得B 为锐角，C 为钝角，()tan tan A B C =-+展开代入利用基本不等式的性质即可得出tan A 的最大值，结合A 的范围即可得解． 【详解】∵sin 2sin cos 0A B C +=， ∴()sin 2sin cos 0B C B C ++=， ∴3sin cos cos sin 0B C B C +=， ∵cos 0C ≠，cos 0B ≠，∴3tan tan B C =-，可得B 为锐角，C 为钝角． ∴()()2tan 3tan tan tan tan tan 1tan tan 13tan B B B C A B C B C B --+=-+=-=-+213tan tan B B=≤=+，当且仅当tan B =时取等号， ∴tan A的最大值是3， ∵A 为锐角，∴A 的最大值是6π，故答案为6π． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、诱导公式、和差公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.已知函数()2,1ln ,1x x ef x x x x⎧+<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩，若()()()()123123f x f x f x x x x ==<<，则()13x f x 的取值范围是______. 【答案】21,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】求得1x ≥时()f x 的导数，可得单调性和极值，画出()y f x =的图象，可得112e x e--<<，再由二次函数的单调性，可得所求范围． 【详解】由ln x yx =的导数为21ln xy x-'=， 当x e ≥，函数递减；当1x e ≤<时，可得函数递增， 即有x e =处函数取得极大值1e， 作出函数()2,1ln ,1x x ef x x x x⎧+<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩的图象，可得112e x e --<<，由()()()()123123f x f x f x x x x ==<<，可得()()2213111112211x f x x f x x x x e e e ⎛⎫==+=+- ⎪⎝⎭，且在21,e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭递减，即有11x e =-时，()1321x f x e =-；12x e =-时，()130x f x =，可得()13x f x 的取值范围是21,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭．故答案为21,0e ⎛⎫-⎪⎝⎭．【点睛】本题考查分段函数的图象和应用：求范围，考查导数的运用：求单调性和极值，以及二次函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．12.已知数列{}n a 的通项公式为51n a n =+，数列{}n b 的通项公式为2n b n =，若将数列{}n a ，{}n b 中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列{}n c ，则6c 的值为_______.【答案】256 【解析】 【分析】利用数列的通项公式列举数列的项，进一步利用共性求出结果． 【详解】数列{}n a 的通项公式为51n a n =+，数列的数据符合平方的数有：16，36，81，121，169，256．数列{}n b 的通项公式为2n b n =，当4n =，6，9，11，13，16时符合上面各个数．数列{}n a ，{}n b 中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列{}n c ， 则6c 的值为256，故答案为256.【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的应用，列举法的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．13.如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，60BCD ∠=︒，23CB CD ==.若点M 为边BC 上的动点，则AM DM uuu r uuu u r⋅的最小值为_______.【答案】214【解析】 【分析】如图所示，以B 为原点，以BA 所在直线为x 轴，以BC 所在的直线为y 轴，求出A ，D ，C 的坐标，根据向量的数量积和二次函数的性质即可求出．【详解】如图所示：以B 为原点，以BA 所在的直线为x 轴，以BC 所在的直线为y 轴， 过点D 作DP x ⊥轴，过点D 作DQ y ⊥轴，∵AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，23CB CD ==∴()00B ，，()20A ，，(0,23C ，(3D ， 设()0,M a ，则()2,AM a =-u u u u r，( 3,3DM a =-u u u u r ， 故(232121 63244AM DM a a a ⎛⎫=+=-+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⋅u u u u r u u u u r ，故答案为214． 【点睛】本题考查了向量在几何中的应用，考查了运算能力和数形结合的能力，属于中档题．14.函数()xf x e x a =-在(1,2)-上单调递增，则实数a 的取值范围是________.【答案】-1a ≤或3a ≥ 【解析】 【分析】首先根据单调性及最值可得()1,2a ∉-，分为1a ≤-和2a ≥两种情形，求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于a 的不等式，解出取并集即可. 【详解】由题意得()()110a f x f e-->-=≥，()()01,2f a a =⇒∉-，①1a ≤-时，()()xf x ex a =-，()()10x f x e x a -+'=≥即()1,2x ∀∈-，()()10100g x x a g a a =-+≥⇒-=-≥⇒≤， 因此1a ≤-； ②2a ≥时，()()xf x ea x =-，()()10x f x e a x --'=≥即()1,2x ∀∈-，()()102303h x x a h a a =-+-≥⇒=-≥⇔≥ 因此3a ≥，综上可得(][),13,a ∈-∞-⋃+∞， 故答案为(][),13,-∞-+∞U .【点睛】本题主要考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，分类讨论的数学思想，是一道综合题．二、解答题：请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.已知(2cos23,2sin2)αα=+m ，(sin ,cos )ββ=n . （1）若6πβ=，且()f α=⋅m n ，求()f α在[0,]2π上的取值范围； （2）若//m n ，且αβ+、α的终边不在y 轴上，求tan()tan αβα+的值. 【答案】（1）()17,22f α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；（2）5-【解析】 【分析】（1）首先利用向量的数量积，对三角函数关系式进行变换，进一步利用函数的定义域求出值域；（2）利用向量的共线，建立等量关系，再利用角的恒等变换求出结果．【详解】（1）已知()2cos232sin 2ααm =+u r ，，() sin ,cos βn β=r ，由于6πβ=， ()()2cos23sin 2sin 2cos f αm n αβαβ=⋅=++⋅u r r3cos 222αα=++32262πsin α⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由于0,2απ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，所以2]766[6πππα+∈，，故()17,22f α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．（2）若 //m n u r r，且αβ+、α的终边不在y 轴上，故()2cos23cos 2sin 2sin 0αβαβ+⋅-⋅=， 即()2cos 23cos 0αββ++=，整理得()][()2cos 3cos []0αβααβα++++-=，化简为()5tan tan 0αβα++=，即()tan tan 5αβα+=-．【点睛】本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型.16.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n A ，35a =，636A =. 数列{}n b 的前n 项和为n B ，且21n n B b =-.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n S . 【答案】（1）21n a n =-，12n n b -=；（2）()2323nn S n =⋅-+【解析】 【分析】（1）利用已知条件建立方程组，进一步求出数列的通项公式；（2）利用（1）的结论，进一步利用乘公比错位相减法求出数列的和．【详解】（1）等差数列{}n a 的前n 项和为n A ，35a =，636A =，设数列的首项为1a ，公差为d ，则316125656362a a d A a d =+=⎧⎪⎨⨯=+⋅=⎪⎩， 解得11a =，2d =，故21n a n =-． 由于数列{}n b 前n 项和为n B ，且21n n B b =-．所以当2n ≥时，1121n n B b --=-， 整理得12n n b b -=，所以数列{}n b 是以11b =为首项，2为公比的等比数列． 故12n nb -=，首项符合通项，则12=n n b -．（2）由（1）得：()1212n n n n c a b n -=⋅=-⋅，所以()0111232212n n S n -⋅+⋅+⋅⋯+-=①，()1221232212n n S n ⋅+⋅+⋯+⋅-=②，①-②得：()()1112222212n nn S n --+⋅+⋯+⋅-=⋅-，所以()22121221n nn S n ⎛--+---⎫=⋅ ⎪⎝⎭，整理得()2323nn S n =⋅-+．【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型17.某湿地公园围了一个半圆形荷花塘如图所示，为了提升荷花池的观赏性，现计划在池塘的中轴线OC 上设计一个观景台D （D 与,O C 不重合），其中,,AD BD CD 段建设架空木栈道，已知2AB km =，设建设的架空木栈道的总长为ykm .（1）设(rad)DAO θ∠=，将y 表示成θ的函数关系式，并写出θ的取值范围； （2）试确定观景台的位置，使三段木栈道的总长度最短. 【答案】（1）21tan 0,cos 4πy θθθ⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭，；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）由2AB =，得1AO BO CO ===，可得1cos cos AO AD BD θθ===，进一步得到tan tan DO AO θθ==，1tan CD OC OD θ=-=-，则函数解析式可求；（2）求出原函数的导函数，得到函数的单调性，可得当6πθ=时，三段木栈道的总长度最短，由此得到观景台的位置．【详解】（1）由2AB =，则1AO BO CO ===， 由题意知：CO 为AB 的中垂线，可得1cos cos AO AD BD θθ===，tan tan DO AO θθ==， 则1tan CD OC OD θ=-=-，得21tan 0,cos 4πy θθθ⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭，； （2）22sin 10,cos 4θπy θθ-⎛⎫'=∈ ⎪⎝⎭，， ∴当0,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0y '<，21sin cos y θθ=+-单调递减， 当,64ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，0y '>，21sin cos y θθ=+-单调递增，∴当6πθ=时，即OD =时，三段木栈道的总长度最短． 【点睛】本题主要考查根据实际问题选择函数模型，训练了利用导数求最值，是中档题．18.已知()x x af x e e=-是奇函数，其中a 为常数. （1）求实数a 的值；（2）求函数222()x xy e e f x λ-=+-在[0,)x ∈+∞上的值域；（3）令()()2g x f x x =-，求不等式32(1)(13)0g x g x ++-<的解集.【答案】（1）1；（2）见解析；（3）{|111x x x <<< 【解析】 【分析】（1）由题意可得()()f x f x -=-，代入可求a ；（2）令1x xt e e =-，然后转化为二次函数的值域求解；（3）结合()g x 为奇函数，及单调性可求不等式的解集．【详解】（1）由题意可得()()f x f x -=-，1x xx xa ae e e e =--+， 整理可得，()110xxa e e ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭， ∴1a =； （2）令1xxt e e =-， ∵[)0x ∈+∞，，∴[)1xe ∈+∞，， ∴0t ≥， ∴2222212222xx x x x xy ee λf x e e λe t λt e --⎛⎫=+-=+--=-+ ⎪⎝⎭（），0t ≥（），对称轴t λ=， ①0λ<时，222y t λt =-+在[)0+∞，上单调递增，∴2y ≥，值域为[)2,+∞； ②0λ≥时，222y t λt =-+在[)0+∞，上先减后增，当x λ=时函数有最小值22λ-，值域为)22,λ⎡-+∞⎣；（3）∵()()()()22g x f x x f x x g x -=-+=-+=-，x ∈R ， ∴()g x 为奇函数， ∵()()321130g x g x++-<，∴()()()32211313g x g x g x +<--=-+，∵()120xx g x e e'+-≥=， ∴()g x 单调递增，∴32113x x +<-+， 即()()322321220x x x x x -+=---<，当1x >时，2220x x --<，解可得11x <<，当1x <时，2220x x -->，解可得1x <综上可得，不等式解集{|111x x x <-<<+．【点睛】本题主要综合考查了函数单调性，奇偶性等函数性质的综合应用，解题的关键是函数知识的熟练应用，属于中档题.19.已知数列{}n a 的首项为1，定义：若对任意的*n N ∈，数列{}n a 满足13n n a a +->，则称数列{}n a 为“M 数列”.（1）已知等差数列{}n a 为“M 数列”， 其前n 项和n S ，满足()2*S 22n n n n N <+∈，求数列{}n a 的公差d 的取值范围；（2）已知公比为正整数的等比数列{}n a 为“M 数列”，记数列{}n b 满足34n n b a =，且数列{}n b 不为“M 数列，求数列{}n a 的通项公式.【答案】（1）34d <≤；（2）15n n a -=，*n N ∈【解析】 【分析】（1）设公差为d 的等差数列{}n a 为“M 数列”，可得3d >，由等差数列的求和公式，解不等式可得d 的范围；（2）首先通过11(1)3n n n a a q q -+-=->得到q 至少为大于等于2的正整数，接着判断数列1{}--n n a a 单调递增，即可得213a a ->，所以4q >，同理可得213b b -≤，即5q ≤，即5q =，即可得到所求通项．【详解】（1）设公差为d 的等差数列{}n a 为“M 数列”，可得3d >，()21122n S n n n d n n =++<+， 即有412d d n -<+恒成立，即为402d d -≤+，解得34d <≤； （2）设数列{}n a 的公比为q ，则111n n n a a q q --==，因为公比为正整数的等比数列{}n a 为“M 数列”，所以1111(1)(1)3n n n n a a a q q q q --+-=-=->，所以q 至少为大于等于2的正整数；又112n nn n a a q a a +--=-≥，所以数列1{}--n n a a 单调递增， 所以在数列1{}--n n a a 中，21a a -为最小项，由{}n a 为“M 数列”，可知只需213a a ->，即13q ->，所以4q > 同理，在1{}n n b b --中，“21b b -”为最小项， 因为{}n b 不是“M 数列”，所以存在13m m b b --≤，又“21b b -”为最小项，所以213b b -≤， 即1(1)4a q -≤，所以5q ≤因为*q N ∈，所以5q =，15n n a -=．【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查等差数列的求和公式和等比数列的通项公式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．20.设函数()1ln f x ax x =--，其中a 为常数.（1）当2a =时，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）若12,x x 为函数()f x 的两个零点，且12x x >. ①求实数a 的取值范围； ②比较12x x +与2a的大小关系，并说明理由. 【答案】（1）y x =；（2）①()0,1，②见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，计算()1f ，()1f '的值，求出切线方程即可；（2）①求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，结合函数的零点的个数确定a 的范围即可；②求出1212ln ln x x a x x -=-，得到()121211221221ln 2x x x x x f x x x x x -⎛⎫+⎛⎫'=- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭，设12 1x m x =>，则()()21ln 1m g m m m -=-+，根据函数的单调性证明即可．【详解】（1）2a =时，()21ln f x x x =--，()21f xx '=-， 故()()111f f ='=，故切线方程是y x =. （2）①()1f x a x'=-，当0a ≤时，()0f x <′恒成立，即()f x 单调递减，不可能有2个零点， 故0a ≤不合题意；当0a >时，令()0f x '=，解得：1x=，列表如下：故()1min f x f lna a ⎛⎫==⎪⎝⎭， ∵()f x 有2个零点，∴ln 0a <，解得：01a <<， 故10a f e e ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，且 11e a <， 故存在211,x e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()20f x =，244212ln f a aa ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，设()22a t =∈+∞，，则()()24212ln 2h t f t t t a ⎛⎫==--> ⎪⎝⎭，()220h t t'=->，故()h t 在()2,+∞递增， 故()()232ln 20h t h >=->， ∵2 41a a >，故存在1214,x a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()10f x =， 综上，()01a ∈，；②∵()()120f x f x ==，故11221ln 1ln ax x ax x --=--， 即1212ln ln x x a x x -=-，()121211221221ln 2x x x x x f x x x x x -⎛⎫+⎛⎫'=- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭，设12 1x m x =>，则()()21ln 1m g m m m -=-+， 则()()()22101m g m m m -'=>+，故()g m 递增，()()10g m g >=，∵120x x ->，∴()1212021x x f g m x x +⎛⎫'=> ⎪-⎝⎭， 即1212x x a +>，故122x x a+>． 【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查不等式的证明，属于难题． 21.如图，已知AD 是ABC ∆的外角EAC ∠的平分线，交BC 的延长线于点D ，延长DA 交ABC ∆的外接圆于点F ，连结,FB FC .（1）求证：FB FC =；（2）若AB 是ABC ∆外接圆的直径，120EAC ∠=︒，6BC =，求AD 的长. 【答案】（1）见解析；（2）3【解析】 【分析】（1）由已知得EAD DAC ∠=∠，DAC FBC ∠=∠，从而FBC FCB ∠=∠，由此能证明FB FC =；（2）由已知得90ACB ∠=︒，从而30ABC ∠=︒，1602DAC EAC ∠=∠=︒，由此能求出AD ．【详解】证明：（1）因为AD 平分EAC ∠， 所以EAD DAC ∠=∠． 因为四边形AFBC 内接于圆，所以DAC FBC ∠=∠， 因为EAD FAB FCB ∠=∠=∠， 所以FBC FCB ∠=∠，所以FB FC =．（2）因为AB 是圆的直径，所以90ACB ∠=︒， 又120EAC ∠=︒，所以30ABC ∠=︒，1602DAC EAC ∠=∠=︒， 因为6BC =，所以tan 23AC BC ABC =∠= 所以)43cos ACAD cm DAC==∠.【点睛】本题考查两线段长相等的证明，考查线段的求法，解题时要认真审题，注意圆的简单性质的合理运用，是中档题． 22.已知可逆矩阵273a A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵为127b a --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，求1A -的特征值. 【答案】1415λ=2415λ= 【解析】 【分析】由110•01A A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求出5a =，3b =，从而13275A --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，进而()281f λλλ=-+，由()0f λ=，能求出1A -的特征值． 【详解】∵可逆矩阵273a A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵为127b a --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ， ∴12210 73701a b A A a --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，∴14172101431ab b a -=⎧⎪-=⎨⎪-+=⎩，解得5a =，3b =， ∴13275A --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，∴()2328175λf λλλλ-⎡⎤==-+⎢⎥-⎣⎦， 由()0f λ=，得14λ=，24λ=．【点睛】本题主要考查逆变换与逆矩阵，考查矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识，属于基础题． 23.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆C 的极坐标方程；（2）过极点O 作直线与圆C 交于点A ，求OA 的中点所在曲线的极坐标方程. 【答案】（1）4cos ρθ=；（2）2cos ρθ= 【解析】 【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换；（2）设OA 的中点坐标为()00,ρθ，所以()00,2A ρθ，代入（1）中的结论即可得结果.【详解】（1）圆C 的参数方程为22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），转换为直角坐标方程为：()2224x y -+=， 转换为极坐标方程为：4cos ρθ=. （2）过极点O 作直线与圆C 交于点A ，设OA 的中点坐标为()00,ρθ，所以()00,2A ρθ，所以0024cos ρθ=，即002cos ρθ=，所以OA 中点所在的曲线的极坐标方程为2cos ρθ=．【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，两点间的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型24.[选修4—5：不等式选讲] 已知函数()36f x x =+，()14g x x =-，若存在实数x 使()()f x g x a +>成立，求实数a 的取值范围.【答案】(),8-∞ 【解析】试题分析：先将问题“ 存在实数x 使()()f x g x a +>成立”转化为“求函数()()f x g x +的最大值”,再借助柯西不等式求出()()f x g x +的最大值即可获解. 试题解析：存在实数x 使()()f x g x a +>成立，等价于()()f x g x +的最大值大于a ， 因为，由柯西不等式：()()2321143121464x xx x +-≤+++-=，所以()()36148f x g x x x +=+-，当且仅当10x =时取“=”， 故常数a 的取值范围是(),8-∞．考点：柯西不等式即运用和转化与化归的数学思想的运用.25.如图，在四棱锥P ABCD -中， BC PB ⊥，AB BC ⊥，AD BC ∕∕，3AD =，22PA BC AB ===，3PB(1)求二面角P CD A --的余弦值；(2)若点E 在棱PA 上，且BE ∕∕平面PCD ，求线段BE 的长. 【答案】（110（27【解析】 【分析】（1）推导出PB AB ⊥，以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，BP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P CD A --的余弦值；（2）由点E 在PA 上，得 AE λAP =u u u r u u u r，]1[0λ∈，，求出()103BE BA AE λλ+=-=u u u u u r u u u r u r ，，，再由BE P 平面PCD ，可得 0E m B ⋅=u u u r u r，求出λ，得到 BE u u u r的坐标，则答案可求．【详解】（1）∵在四棱锥P ABCD -中，由22PA AB ==，3PB 得222PB AB PA +=，则PB AB ⊥， 又BC PB ⊥，AB BC ⊥，∴以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，BP 为z 轴，建立空间直角坐标系，则()000B ，，，()100A ，，，()020C ，，，()130D ，，，(003P ，， () 010CD =u u u r，，，(023PC =u u u r ，，， 由图可知，平面ABCD 的一个法向量为() 001n =r，，， 设平面PCD 的法向量为(),,x y z m =u r， 则0230m CD x y m PC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩u u u v v u u uv v ，取2z =，得()3,3,2 m =-u r ， 设二面角P CD A --的平面角为α，则cos cos ,33140||n m n mαn m ⋅===++=⋅r u rr u r r u r ，∴二面角P CD A --的余弦值为105； （2）∵点E 在棱PA 上，∴ AE λAP =u u u r u u u r，]1[0λ∈，， ∵()103AP =-u u u r ，，，∴() 03AE λλ=-u u u r ，，，()103BE BA AE λλ+=-=u u u u u r u u u r u r ，，， 又∵BE P 平面PCD ，m u r为平面PCD 的法向量， ∴ 0E m B ⋅=u u u r u r，即()3123=0λλ--+，解得13λ=， ∴23,0,3 BE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，则73BE BE ==u u u r ． 【点睛】本题主要考查利用空间向量求解二面角的大小，训练了利用空间向量证明线面平行，是中档题．26.已知函数0cos ()(0)xf x x x=>，设()n f x 是1()n f x -的导数，*n N ∈. (1) 求12πππ2()()222f f +的值；(2) 证明：对于任意*n N ∈，等式1πππ2()()4442n n nf f -+=都成立. 【答案】（1）0；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）由于求两个函数的相除的导数比较麻烦，根据条件和结论先将原函数化为：()0cos f x x x =，然后两边求导后，根据条件两边再求导得：()()122cos x x f xf x +=-，把2x π=代入式子求值；（2）由（1）得，()()01sin f x xf x x +=-和()()122cos x x f xf x +=-，利用相同的方法再对所得的式子两边再求导，并利用诱导公式对所得式子进行化简、归纳，再进行猜想得到等式，用数学归纳法进行证明等式成立，主要利用假设的条件、诱导公式、求导公式以及题意进行证明，最后把4x π=代入所给的式子求解验证．【详解】（1）∵0cos ()xf x x=，∴()0cos f x x x =， 则两边求导，()()0[]cos xf x x '='， ∵()n f x 为()1n f x -的导数，*n N ∈， ∴()()01sin f x xf x x +=-，两边再同时求导得，()()122cos x x f xf x +=-， 将2x π=代入上式得，1222202f f πππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎝⎭+=⎭；（2）证明：由（1）得，()()01sin cos 2πf x xf x x x ⎛⎫+=-=+⎪⎝⎭， 恒成立两边再同时求导得，()()()122sin cos 2πf x xf x x x π⎛⎫+=-+=+ ⎪⎝⎭，再对上式两边同时求导得()()()2333sin cos 2πf x xf x x πx ⎛⎫+=-+=+⎪⎝⎭， 同理可得，两边再同时求导得，()()()3434sin cos 22πf x xf x x x π⎛⎫+=-+=+ ⎪⎝⎭， 猜想得，()()1cos 2n n n πnf x xf x x -⎛⎫+=+⎪⎝⎭对任意*n N ∈恒成立， 下面用数学归纳法进行证明等式成立：当1n =时，()()01sin cos 2πf x xf x x x ⎛⎫+=-=+ ⎪⎝⎭成立，则上式成立；假设*1n k k k N =>∈（且）时等式成立， 即()()1cos 2k k k πkf x xf x x -⎛⎫+=+⎪⎝⎭， ∵()()()()()11[]k k k k k kf x xf x kf x f x xf x --+'='++'()()()11k k k f x xf x +=++又()[1cos sin cos 2]22k πk πk πx x x +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+'=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴那么1n k =+（1k >且*k N ∈）时．等式()()()()111cos 2k k k πk f xf x x x ++⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭也成立，由①②得，()()1cos 2n n n πnf x xf x x -⎛⎫+=+⎪⎝⎭对任意*n N ∈恒成立．令4x π=代入上式得，1444424cos sin n n n ππππn ππf f -⎛⎫+==±⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪= ⎭⎝⎭⎪⎭⎝⎝所以，对于任意*n N ∈，等式1πππ()()4442n n nf f -+=都成立． 【点睛】本题考查了三角函数、复合函数的求导数公式和法则、诱导公式，以及数学归纳法证明命题、转化思想等，考查了学生观察问题、分析问题、解决问题的能力，以及逻辑思维能力．。
江苏省苏州市2019-2020学年第一学期高三期中调研试卷数学试题含附加题(word版)
已知数列 an 满足 (n 1)an 1 nan a1 ， n N ．
（ 1）证明：数列 an 为等差数列；
11
（ 2）设数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若 a2
a1
1，且对任意的正整数 n ，都有 3
S1
11 S2 S3
14 Sn 3 ，求整数 a1的值；
（ 3）设数列 bn 满足 bn
an
．Байду номын сангаас
2x 1,x 0
10．已知函数
f ( x)
ln x
m
的极小值大于
0，则实数 m 的取值范围为
．
x
11．已知各项都为正数的等差数列
an 中， a5 3 ，则 a3a7 的最大值为
．
12．已知菱形 ABCD的棱长为 3，E 为棱 CD上一点且满足 CE 2ED ，若 AE EB 6 ，则
cosC＝
．
13．若方程 cos(2x
3
圆心为 O．经测量 AB＝ 4 米， BC＝ 米，∠ COD＝ 120°，现根据需要把此窑洞窗口形状改
3
造为矩形 EFGH，其中 E，F 在边 AB 上， G，H 在圆弧 CD上．设∠ OGF＝ 为 S．
（ 1）求矩形 EFGH的面积 S 关于变量 的函数关系式； （ 2）求 cos 为何值时，矩形 EFGH的面积 S 最大？
（1）求乙、丙二人各自击中目标的概率；
（2）设乙、丙二人中击中目标的人数为 X ，求 X 的分布列和数学期望．
23．（本题满分 10 分）
如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1 中， BAC 90 ，AB AC a ， AA1 b ，点 E ，
F 分别在棱 BB1 ， CC1 上，且 BE 1 BB1 ， C1F 1 CC1 ．设