计算方法之数值微分及积分
数值微分与数值积分
数值微分与数值积分数值微分与数值积分是现代计算机科学中非常重要的数学工具。
它们可以用来处理各种研究。
在本文中，我们将讨论这两种方法的基础原理，以及它们在不同领域中的应用。
什么是数值微分？数值微分是指对给定函数进行求导的一种数值方法。
在实际应用中，函数的导数通常很难求得解析解，这时需要使用数值微分的方法来进行近似计算。
数值微分通常是通过在函数的某个点进行差分计算来完成的。
考虑一个函数$f(x)$在某个点$x_0$进行微分的情况。
我们可以计算$f(x_0+h)$和$f(x_0-h)$，其中$h$是一个小的正数。
然后，我们可以计算$[f(x_0+h) - f(x_0-h)]/2h$来得到$f'(x_0)$的近似值。
数值微分的应用非常广泛。
在科学和工程领域中，它通常用于计算物理量相关的导数。
例如，流体力学中的速度梯度、量子力学中的波函数导数，都可以使用数值微分进行近似计算。
此外，在金融领域中，数值微分也可用于计算期权价格等任意变量导数的近似解。
什么是数值积分？数值积分是指对给定函数进行积分的一种数值方法。
与数值微分类似，函数的积分通常很难求得解析解，而不得不使用数值积分的方法来近似计算。
在数值积分中，我们通常使用数值积分公式来计算定义在一个区间$[a,b]$上的函数（如果积分问题是无限积分，我们需要进行变形，将其转化为有限积分问题）。
数值积分公式通常基于插值方法，即将函数转化为一个多项式，并对多项式进行积分。
数值积分也应用广泛。
在科学和工程领域中，它通常用于计算面积、物质质量，以及探测信号的峰值等。
在金融领域中，数值积分也可用于计算期权定价公式的近似解。
数值微分和数值积分的误差分析在应用数值微分和数值积分时，误差是一个重要的考虑因素。
误差源可以来自于采样、采样噪声、近似方法等。
通常，我们使用误差分析来评估误差大小。
数值微分的误差通常归因于选取的$h$值。
当$h$太大时，我们会失去一些重要的信息，如函数的局部斜率。
数值分析-第4章 数值积分和数值微分
A0+A1=2 A0x0+A1x1=0 A0x02+A1x12=2/3 A0x03+A1x13=0
A0 A1 1 解得: 1 x 0 x1 3
求积公式为
1 1 1 f ( x)dx f ( ) f ( ) 3 3
x f(x)
数值分析
1 4
2 4.5
3 6
4 8
5 8.5
1
一、数值积分的基本概念 求积节点 数值积分定义如下：是离散点上的函数值的线性组合
I [ f ] f ( x)dx I n [ f ] Ai f ( xi )
b a i 0 n
称为数值积分公式
称为求积系数,与f (x)无关,与积分区间和求积节点有关
b a
Rn ( x) dx
定理：形如 Ak f ( xk ) 的求积公式至少有 n 次代数精度
A 该公式为插值型（即： k a l k ( x)dx ）
数值分析
b
5
例1 试确定参数A0,A1,A2,使求积公式
1 f ( x)dx A0 f (1) A1 f (0) A2 f (1)
证明 因为Simpson公式对不高于三次的多项式精确成立。即
b
a
p 2 ( x)dx
ba ab [ p 2 (a) 4 p 2 ( ) p 2 (b)] 6 2
构造三次多项式H3(x),使满足 H3(a)=(a) ,H3(b)=(b),
H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), 这时插值误差为
1
数值计算_第7章数值微分和数值积分
数值计算_第7章数值微分和数值积分数值微分和数值积分是数值计算中的两个重要内容，它们在科学、工程和经济等领域有着广泛的应用。
本文将详细介绍数值微分和数值积分的概念、方法和应用，并分析其优缺点。
数值微分是通过数值方法来近似计算函数的导数。
在实际问题中，往往很难直接计算函数的导数，因此需要使用数值方法来进行近似计算。
常用的数值微分方法有中心差分法、向前差分法和向后差分法。
中心差分法是一种通过利用函数在特定点两侧的数据点来计算函数的导数的方法。
具体方法是用函数在该点两侧的差值来估计导数。
中心差分法具有较高的精度和稳定性，适用于函数光滑的情况。
向前差分法和向后差分法是一种通过利用函数在该点的数据点来计算函数的导数的方法。
向前差分法用函数在该点的后一点数据来估计导数，向后差分法用函数在该点的前一点数据来估计导数。
这两种方法的精度相对较低，但计算简单，适用于函数不太光滑的情况。
数值微分方法的优点是计算简单、直观易懂、易于实现。
缺点是对函数的平滑性和间隔大小要求较高，误差较大。
数值积分是通过数值方法来近似计算函数的积分。
在实际问题中，往往很难直接计算函数的积分，因此需要使用数值方法来进行近似计算。
常用的数值积分方法有梯形法则、辛普森法则和数值积分公式。
梯形法则是一种通过将区间划分为多个小区间，在每个小区间上用梯形面积来近似计算积分的方法。
辛普森法则是一种通过将区间划分为多个小区间，在每个小区间上用抛物线面积来近似计算积分的方法。
这两种方法的精度较高，适用于函数较光滑的情况。
数值积分公式是通过选取节点和权重，将积分转化为对节点函数值的加权求和。
常用的数值积分公式有高斯求积公式和牛顿-寇茨公式。
这些公式具有较高的精度和稳定性，适用于计算复杂函数的积分。
数值积分方法的优点是适用范围广、精度较高、计算稳定。
缺点是计算量较大、计算复杂、需要选取合适的节点和权重。
数值微分和数值积分在科学、工程和经济等领域有着广泛的应用。
数值方法中的数值微分和数值积分
泰勒展开法：将函数 在某点处展开成泰勒 级数，然后利用级数 的各项系数计算数值 微分
牛顿插值法：利用牛 顿插值多项式计算数 值微分，其思想是通 过构造插值多项式ห้องสมุดไป่ตู้ 逼近导数函数
数值微分的误差分析
数值微分的基本概念
数值微分误差的来源
数值微分误差的估计
减小误差的方法
数值微分的应用
计算物理量的变化 率
应用领域的比较
数值微分的应用领域：主要应用于求解微分方程的近似解，例如在物理学、 工程学和经济学等领域。
数值积分的应用领域：主要应用于求解定积分、不定积分等积分问题，例 如在计算面积、体积、物理实验数据处理等领域。
比较：数值微分和数值积分在应用领域上存在差异，但两者都是数值计算 中的重要工具，可以相互补充。
矩形法：将积分区 间划分为若干个小 的矩形，用矩形面 积的和近似积分
梯形法：将积分区 间划分为若干个小 的梯形，用梯形面 积的和近似积分
辛普森法：将积分 区间划分为若干个 等分的子区间，用 抛物线面积的和近 似积分
牛顿-莱布尼茨法 ：利用定积分的定 义和牛顿-莱布尼 茨公式，通过求和 的方式计算定积分
预测函数的变化趋 势
优化问题中的梯度 计算
机器学习中的梯度 下降算法
Part Three
数值积分
数值积分的概念
数值积分定义：用数值方法近似计算定积分的值 常用方法：矩形法、梯形法、辛普森法等 近似误差：与使用的数值方法有关，通常误差随迭代次数增加而减小 应用领域：科学计算、工程、数学建模等
数值积分的计算方法
数值积分的误差分析
算法稳定性：数值积分方法的稳定性和误差控制 步长选择：步长对误差的影响和最佳步长选择 收敛性：数值积分方法的收敛速度和误差收敛性 误差来源：数值积分中误差的来源和减小误差的方法
数值计算方法数值积分与微分方程数值解
数值计算方法数值积分与微分方程数值解数值计算是计算数值结果的一种方法，广泛应用于科学、工程和金融等领域。
数值计算方法涉及到估算数学问题的解，其中包括数值积分和微分方程数值解。
本文将分别介绍数值积分和微分方程数值解的基本原理和常用方法。
一、数值积分数值积分是通过数值计算方法来估计函数的积分值。
积分是数学中的重要概念，广泛应用于物理、经济等领域的问题求解中。
传统的积分计算方法，如牛顿-柯特斯公式和高斯求积法，需要解析求解被积函数，但是对于大多数函数来说，解析求解并不容易或者不可能。
数值计算方法通过离散化被积函数，将积分问题转化为求和问题，从而得到近似的积分结果。
常见的数值积分方法包括梯形法则、辛普森法则和复化求积法。
1. 梯形法则梯形法则是最简单的数值积分方法之一。
它将积分区间划分为若干个小区间，然后在每个小区间上用梯形的面积来近似原函数的面积，最后将所有小区间的梯形面积相加得到近似积分值。
2. 辛普森法则辛普森法则是一种比梯形法则更精确的数值积分方法。
它将积分区间划分为若干个小区间，然后在每个小区间上用一个二次多项式来近似原函数，最后将所有小区间的二次多项式积分值相加得到近似积分值。
3. 复化求积法复化求积法是一种将积分区间进一步细分的数值积分方法。
通过将积分区间划分为更多的小区间，并在每个小区间上应用辛普森法则或者其他数值积分方法，可以得到更精确的积分结果。
二、微分方程数值解微分方程是描述自然现象中变化的数学模型。
求解微分方程的解析方法并不适用于所有的情况，因此需要利用数值计算方法来估计微分方程的解。
常见的微分方程数值解方法包括欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等。
1. 欧拉法欧拉法是最简单的微分方程数值解方法之一。
它通过将微分方程离散化，将微分运算近似为差分运算，从而得到微分方程的近似解。
2. 改进的欧拉法改进的欧拉法是对欧拉法的改进。
它通过使用两个不同的点来估计微分方程的解，从而得到更精确的近似解。
数值积分与数值微分21599
b
a
f ( x)dx I n Ak f ( xk ) 至少具有n次代数精度，
k 0
n
所以用插值基函数lk(x)当作f(x)代入，上式精确成立，即：
b
a
lk ( x)dx I n Aj lk ( x j ) Ak
n
j 0
n
所以 I n Ak f ( xk ) 为插值型的求积．
b a 1i n
则称求积公式是收敛的． 中，由于计算 f(xk) 定义 在求积公式a f ( x)dx Ak f ( xk )
b n
可能产生误差，实际得到 fk 即： f ( xk ) fk k n n 记 I n ( f ) Ak f ( xk )，I n ( f ) Ak f k 如果对任
由书中表知，当 n 8 时柯特斯系数出了负值，所以
(n) (n) C C k k 1 k 0 k 0 n n
故 n 8 时Newton-Cotes 公式不适用。
2019/4/23
数计学院《数值计算》课程建设组QAB
二、偶数阶求积公式的代数精度
n 为偶数阶的Newton-Cotes 公式至少有 n+1 次代数精度。 证明： 当n 为偶数时，由于有 f ( n1) ( x) ( xn1 )( n1) (n 1)!
余项
b
余项 R[ f ]
b a 4 (4) h f ( ) , 180
( a, b) , h
ba 2
2019/4/23
数计学院《数值计算》课程建设组QAB
n = 4: C
(4) 0
7 (4) 16 (4) 2 (4) 16 (4) 7 , C1 , C2 , C3 , C4 柯特斯公式 90 45 15 45 90
数值微分与数值积分
数值微分与数值积分数值微分和数值积分是数值分析中两个重要的概念和技术。
它们在数学与工程领域中都有着广泛的应用。
本文将介绍数值微分和数值积分的概念、原理和应用。
1. 数值微分数值微分是指通过数值计算方法来逼近函数的导数。
在实际计算中，我们常常需要求解某一函数在特定点的导数值，这时数值微分就能派上用场了。
一种常用的数值微分方法是有限差分法。
它基于函数在离给定点很近的两个点上的函数值来逼近导数。
我们可以通过选取合适的差分间距h来求得函数在该点的导数值。
有限差分法的一般形式可以表示为：f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x))/h其中，f'(x)是函数f(x)在点x处的导数值，h是差分间距。
数值微分方法有很多种，比如前向差分、后向差分和中心差分等。
根据实际需求和计算精度的要求，我们可以选择合适的数值微分方法来进行计算。
2. 数值积分数值积分是指通过数值计算方法来近似计算函数的定积分。
在实际问题中，我们经常需要求解函数在某一区间上的积分值，而数值积分可以提供一个快速而准确的近似。
一种常见的数值积分方法是复合梯形法。
它将积分区间分割成若干个小区间，然后在每个小区间上应用梯形面积的计算公式。
最后将所有小区间上的梯形面积相加，即可得到整个积分区间上的积分值。
复合梯形法的一般形式可以表示为：∫[a, b] f(x)dx ≈ h/2 * [f(a) + 2∑(i=1 to n-1)f(x_i) + f(b)]其中，[a, b]是积分区间，h是分割的小区间宽度，n是划分的小区间个数，x_i表示第i个小区间的起始点。
除了复合梯形法，还有其他常用的数值积分方法，比如复合辛普森法、龙贝格积分法等。
根据被积函数的性质和计算精度要求，我们可以选择合适的数值积分方法来进行计算。
3. 数值微分和数值积分的应用数值微分和数值积分在科学研究和工程实践中具有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：3.1 物理学在物理学中，我们经常需要对物体的位置、速度和加速度进行计算。
数值微分与积分算法
数值微分与积分算法数值微分和积分算法是计算数学中常用的数值计算方法，它们通过离散化数学函数来估计导数和定积分的值。
本文将介绍数值微分和积分的基本概念，并介绍几种常用的数值方法。
1. 数值微分数值微分是计算函数导数的数值方法。
导数表示了函数在某一点的斜率或变化率。
常见的数值微分方法有：向前差分、向后差分和中心差分。
1.1 向前差分向前差分计算导数的方法是通过近似函数在某一点的切线斜率。
假设有函数f(x)，可选取小的增量h，并使用如下公式计算导数：f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x)) / h1.2 向后差分向后差分与向前差分类似，也是通过近似函数在某一点的切线斜率。
使用如下公式计算导数：f'(x) ≈ (f(x) - f(x-h)) / h1.3 中心差分中心差分是向前差分和向后差分的结合，计算导数时使用函数在点前后进行采样。
使用如下公式计算导数：f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x-h)) / (2h)2. 数值积分数值积分是计算函数定积分的数值方法。
定积分表示函数在某一区间上的面积。
常见的数值积分方法有：矩形法、梯形法和辛普森法则。
2.1 矩形法矩形法是通过将函数曲线分割成若干个矩形，然后计算每个矩形的面积之和来近似定积分。
常见的矩形法有：左矩形法、右矩形法和中矩形法。
2.2 梯形法梯形法是通过将函数曲线分割成若干个梯形，然后计算每个梯形的面积之和来近似定积分。
使用如下公式计算：∫[a,b] f(x)dx ≈ (h/2) * [f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + ... + 2f(x(n-1)) + f(xn)]2.3 辛普森法则辛普森法则是通过将函数曲线分割成若干个抛物线来近似定积分。
使用如下公式计算：∫[a,b] f(x)dx ≈ (h/3) * [f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + 4f(x3) + ... + 4f(x(n-1))+ f(xn)]3. 总结数值微分和积分是实际计算中常用的数值方法，它们通过将连续的数学问题离散化来进行数值计算。
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代入 xi+h 得：
h2 f ( xi h) f ( xi ) hf ( xi ) f ( i ) 2! xi i xi h
4
故有向前差商的截断误差：
f ( xi h) f ( xi ) h R( xi ) f ( xi ) f (ξ i ) O( h) h 2
x xi 1 x xi f ( x ) L1 ( x ) f ( xi ) f ( xi 1 ) xi xi 1 xi 1 xi
对上式求导可得
f ( xi ) f ( xi 1 ) f ( xi 1 ) f ( xi ) f ( x ) , h xi 1 xi xi xi 1 xi 1 xi h
2、向后差商：即用f(x)在点 xi 的向后平均变化 率作为导数近似值：
f ( xi ) f ( xi h) f ( x i ) h
3、中心差商：即用f(x)在点 xi 处的中心平均变 化率作为导数近似值：
f ( xi h) f ( xi h) f ( x i ) 2h
2、三点公式： 已知三点(xi ,f(xi))、(xi+1 ,f(xi+1))、(xi+2 ,f(xi+2))如 何求此三点的导数近似值？ 由抛物线插值可知，在区间[xi , xi+2]上有
10
( x x i 1 )( x x i 2 ) ( x x i )( x x i 2 ) f ( x ) L2 ( x ) f ( xi ) f ( xi 1 ) 2 2 2h h ( x x i )( x x i 1 ) f ( xi 2 ) , ( h x i 1 x i x i 2 x i 1 ) 2 2h
9
将上式写成如下带截断误差形式的两点公式：
f ( x i 1 ) f ( x i ) h f ( x i ) f (ξ 1 ) h 2 , f ( x i 1 ) f ( x i ) h f ( x i 1 ) f (ξ 2 ) h 2 x i ξ 1 , 2 x i 1
故中心差商的截断误差为：
f ( xi h) f ( xi h) h2 R( xi ) f ( xi ) [ f (ξ 1 ) f (ξ 2 )] 2h 12 h2 f (ξ ) O( h2 ) xi h ξ xi h 6
6
例6.1 函数f(x)由下表给出，用差商公式计算 x=0.00、0.20、0.40处的二阶导数值
对上式求导后再写成带截断误差形式的三点公 式（其中xi＜ξ1,ξ2,ξ3＜xi+2）：
7
再用向前差商计算f ”(0.00)；用向后差商计算 f ”(0.40)；用中心差商计算f ”(0.20)：
f (0) ( 0.50 2.00) / 0.10 15.0 f (0.20) (1.50 0.5) / 0.20 10.0
f (0.40) (1.00 1.50) / 0.10 25.0
5
将xi+h和xi-h分别代入f(x)在xi 处的泰勒展开式得
h2 h3 f ( xi h) f ( xi ) hf ( xi ) f ( xi ) f (ξ 1 ) 2! 3! h2 h3 f ( xi h) f ( xi ) hf ( xi ) f ( xi ) f (ξ 2 ) 2! 3!
当无法用常规办法求 导数时，则可用割线 斜率近似替代切线斜 率，即用差商近似替 代导数。
3
二、三种差商替代 1、向前差商：即用f(x)在点 xi 处的向前平均变 化率作为导数近似值：
f ( xi h) f ( xi ) f ( x i ) h
由f(x)在点 xi 处的泰勒展开：
f ( ) f ( x ) f ( xi ) f ( xi )( x xi ) ( x xi )2 2!
2
f ( x0 h) f ( x0 ) f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 ) lim lim 或 f ( x0 ) x h 0 x0 h x x0
一、导数的定义及几何意义 关于y=f(x)在点x0处的导数有如下定义
y
Q P f(x)
o
x
x0 x0+h
1
实际函数可能存在的问题： （1）没有明确的解析表达式的表格式函数； （2）表达式过于复杂，难于进行数学处理。 如何解决此类函数的求导或求积问题？ 数值微分或数值积分：利用在一些点上的函数 值，计算出导数或积分满足精度要求的近似值。
数值微分
已知y=f(x)的离散点(xi , f(xi))，求函数在该点处 的导数近似值的数值方法—又称数值导数。
既然插值函数可以用来近似替代被插函数，当 然也可以用它来求被插函数的导数近似值。 常用方法是构造n次插值多项式Ln(x)，并令
( xi ) f ( xi ) Ln i 1,2,, n
8
两个常用的插值型数值微分公式： 1、两点公式： 已知两点(xi , f(xi))、(xi+1 , f(xi+1))，如何求此两 点的导数近似值？ 由线性插值可知，在区间[xi , xi+1]上有
x f ( x) 0.00 1.70 0.10 1.50 0.20 1.60 0.30 2.00 0.40 1.90
解 为求二阶导数值，须先求出上表中各点的 一阶导数值，结果如下表
x 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40
f’(x)
-2.00
-0.50
2.50
1.50
-1.00
其中：f ’(0.00)用向前差商计算；f ’(0.40)用向后 差商计算；其余各点用中心差商计算。