高考理科数学真题练习题函数模型及应用理含解析

高考数学复习课时作业12函数模型及应用

一、选择题

1．下表显示出函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是( A )

A.

C．指数函数模型D．对数函数模型

解析：由表中数据知x，y满足关系y＝13＋2(x－3)．故为一次函数模型．

2．某文具店出售羽毛球拍和羽毛球，球拍每副定价20元，羽毛球每个定价5元，该店制定了两种优惠方法：①买一副球拍赠送一个羽毛球；②按总价的92%付款．现某人计划购买4副球拍和30个羽毛球，两种方法中，更省钱的一种是( D )

A．不能确定B．①②同样省钱

C．②省钱D．①省钱

解析：方法①用款为4×20＋26×5＝80＋130＝210(元)，

方法②用款为(4×20＋30×5)×92%＝211.6(元)，

因为210<211.6，故方法①省钱．

3．一个人以6 m/s的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25 m时，交通灯由红变绿，汽车以1 m/s2的加速度匀加速开走，那么( D )

A．人可在7 s内追上汽车

B．人可在10 s内追上汽车

C．人追不上汽车，其间距最少为5 m

D．人追不上汽车，其间距最少为7 m

解析：设汽车经过t 秒行驶的路程为s 米，则s ＝12t 2

，车与人的间距d ＝(s ＋25)－6t

＝12t 2－6t ＋25＝12

(t －6)2

＋7，当t ＝6时，d 取得最小值为7. 4．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( D )

A.

p ＋q

2

B.p ＋1

q ＋1－1

2

C.pq

D.

p ＋1q ＋1－1

解析：设第一年年初生产总值为1，则这两年的生产总值为(p ＋1)(q ＋1)．设这两年生产总值的年平均增长率为x ，则(1＋x )2

＝(p ＋1)(q ＋1)，解得x ＝p ＋1

q ＋1－1.

故选D.

5．李冶(1192—1279)，真定栾城(今河北省石家庄市)人，金元时期的数学家、诗人，晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径、正方形的边长等．其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是(注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算)( B )

A ．10步，50步

B ．20步，60步

C ．30步，70步

D ．40步，80步

解析：设圆池的半径为r 步，则方田的边长为(2r ＋40)步，由题意，得(2r ＋40)2

－3r 2

＝13.75×240，解得r ＝10或r ＝－170(舍)，所以圆池的直径为20步，方田的边长为60

步．故选B.

6．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M (单位：太贝克)与时间t (单位：年)满足函数关系：M (t )＝M 02－

t

30

，其中M 0为t ＝0时铯137的含量．已知t ＝30时，铯137含量的变化率是－10ln2(太贝克/年)，则M (60)＝( D )

A ．5太贝克

B ．75ln 2太贝克

C ．150ln 2太贝克

D ．150太贝克

解析：由题意M ′(t )＝M 02－

t

30 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－130ln2，M ′(30)＝M 02－1

×⎝ ⎛⎭

⎪⎫－130ln2＝－10ln2，∴

M 0＝600，∴M (60)＝600×2－2＝150.故选D.

二、填空题

7．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是108元．

解析：设进货价为a 元，由题意知132×(1－10%)－a ＝10%·a ，解得a ＝108. 8．某人根据经验绘制了2017年春节前后，从1月21日至2月8日自己种植的西红柿的销售量y (千克)随时间x (天)变化的函数图象，如图所示，则此人在1月26日大约卖出了

西红柿190

9

千克．

解析：前10天满足一次函数关系，设为y ＝kx ＋b ，将点(1,10)和点(10,30)代入函数

解析式得⎩⎪⎨

⎪⎧

10＝k ＋b ，

30＝10k ＋b ，

解得k ＝209，b ＝709，所以y ＝209x ＋709，则当x ＝6时，y ＝190

9

.

9．已知某驾驶员喝了m 升酒后，血液中酒精的含量f (x )(毫克/毫升)随时间x (小时)变化的规律近似满足表达式f (x )＝ ⎩⎪⎨⎪

⎧

5x －2

，0≤x ≤1，35·⎝ ⎛⎭

⎪⎫13x

，x >1，《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定：驾驶员血液中酒

精含量应不超过0.02毫克/毫升．则此驾驶员至少要过4小时后才能开车．(精确到1小时)

解析：驾驶员醉酒1小时血液中酒精含量为5－1

＝0.2，要使酒精含量≤0.02毫克/毫升，则35⎝ ⎛⎭

⎪⎫13x

≤0.02，∴x ≥log 330＝1＋log 310>1＋log 39＝3，故至少要4个小时后才能开车． 三、解答题

10．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y ＝x 2

5－48x ＋8 000，已知此生产线年产量最

大为210吨．

(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；

(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？

解：(1)每吨平均成本为y

x

(万元)．

则y x ＝x 5＋8 000x

－48≥2x 5·8 000x －48＝32，当且仅当x 5＝8 000

x

，即x ＝200时取等号．