高中数学函数与方程知识点总结经典例题及解析高考真题及答案
专题12 函数与方程(解析版)

2023高考一轮复习讲与练12 函数与方程练高考 明方向1.(2022·新高考Ⅰ卷T10)(多选题)已知函数3()1f x x x =-+,则( ) A. ()f x 有两个极值点B. ()f x 有三个零点C. 点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D. 直线2y x =是曲线()y f x =的切线 【答案】AC 【解析】【分析】利用极值点的定义可判断A ,结合()f x 的单调性、极值可判断B ,利用平移可判断C ;利用导数的几何意义判断D.【详解】由题,()231f x x '=-,令()0f x '>得3x >或3x <-,令()0f x '<得x <<,所以()f x 在(上单调递减,在(,-∞,)+∞上单调递增,所以x =是极值点,故A 正确;因(10f =+>,10f =>,()250f -=-<,所以,函数()f x 在,⎛-∞ ⎝⎭上有一个零点,当x ≥时,()03f x f ⎛≥> ⎝⎭,即函数()f x 在3⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭上无零点,综上所述,函数()f x 有一个零点,故B 错误;令3()h x x x =-,该函数的定义域为R ,()()()()33h x x x x x h x -=---=-+=-,则()h x 是奇函数,(0,0)是()h x 的对称中心, 将()h x 的图象向上移动一个单位得到()f x 的图象,所以点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心,故C 正确;令()2312f x x '=-=,可得1x =±,又()(1)11f f =-=,当切点为(1,1)时,切线方程为21y x =-,当切点为(1,1)-时,切线方程为23y x =+,故D 错误. 2.(2022·全国乙(文)T20) 已知函数1()(1)ln f x ax a x x=--+. (1)当0a =时,求()f x 的最大值;(2)若()f x 恰有一个零点,求a 的取值范围. 【答案】(1)1- (2)()0,+∞ 【解析】【分析】(1)由导数确定函数的单调性,即可得解; (2)求导得()()()211ax x f x x --'=,按照0a ≤、01a <<及1a >结合导数讨论函数的单调性,求得函数的极值,即可得解. 【小问1详解】 当0a =时,()1ln ,0f x x x x =-->,则()22111x f x x x x-'=-=, 当()0,1∈x 时,0f x,()f x 单调递增;当()1,x ∈+∞时,0fx,()f x 单调递减;所以()()max 11f x f ==-; 【小问2详解】()()11ln ,0f x ax a x x x =--+>,则()()()221111ax x a f x a x x x--+'=+-=, 当0a ≤时,10-≤ax ,所以当()0,1∈x 时,0f x,()f x 单调递增;当()1,x ∈+∞时,0fx,()f x 单调递减;所以()()max 110f x f a ==-<,此时函数无零点,不合题意; 当01a <<时,11a >,在()10,1,,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上,0f x,()f x 单调递增;在11,a ⎛⎫⎪⎝⎭上,0f x,()f x 单调递减;又()110f a =-<,当x 趋近正无穷大时,()f x 趋近于正无穷大,所以()f x 仅在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭有唯一零点,符合题意;当1a =时,()()2210x f x x -'=≥,所以()f x 单调递增,又()110f a =-=, 所以()f x 有唯一零点,符合题意;当1a >时,11a <,在()10,,1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上,0f x ,()f x 单调递增;在1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭上,0fx,()f x 单调递减;此时()110f a =->,又()1111ln n n n f a n a a aa -⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭,当n 趋近正无穷大时,1n f a⎛⎫⎪⎝⎭趋近负无穷,所以()f x在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭有一个零点,在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭无零点,所以()f x 有唯一零点,符合题意;综上,a 的取值范围为()0,+∞.【点睛】关键点点睛:解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性,把函数零点问题转化为函数的单调性与极值的问题.3.(2022·全国乙(理)T21)已知函数()()ln 1e xf x x ax -=++(1(当1a =时,求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程; (2(若()f x 在区间()()1,0,0,-+∞各恰有一个零点,求a 的取值范围. 【答案】(1)2y x = (2)(,1)-∞- 【解析】【分析】(1)先算出切点,再求导算出斜率即可(2)求导,对a 分类讨论,对x 分(1,0),(0,)-+∞两部分研究【小问1详解】()f x 的定义域为(1,)-+∞当1a =时,()ln(1),(0)0ex xf x x f =++=,所以切点为(0,0),11(),(0)21ex xf x f x ''-=+=+,所以切线斜率为2,所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =。
考点09 高中数学-函数与方程-考点总结及习题

考点09函数与方程【命题趋势】此知识点是高考考查的重点,常以指数函数、对数函数、幂函数、分段函数或者三角函数为背景进行考查,解题时注意数形结合思想的应用.具体要求为:(1)结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数.(2)根据具体函数的图象,能够用二分法求相应方程的近似解.【重要考向】一、函数零点(方程的根)所在区间的判断二、函数零点个数的判断三、函数零点的应用问题函数零点(方程的根)所在区间的判断1.函数零点的概念对于函数(),y f x x D =∈,我们把使()0f x =成立的实数x 叫做函数(),y f x x D =∈的零点.2.函数的零点与方程的根之间的联系函数()y f x =的零点就是方程()0f x =的实数根,也就是函数()y f x =的图象与x 轴的交点的横坐标即方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点.【注】并非所有的函数都有零点,例如,函数f (x )=x 2+1,由于方程x 2+1=0无实数根,故该函数无零点.3.二次函数2)( 0y ax bx c a =++>的零点0∆>0∆=0∆<二次函数2)( 0y ax bx c a =++>的图象与x 轴的交点(x 1,0),(x 2,0)(x 1,0)无交点零点个数214.零点存在性定理如果函数()y f x =在区间[a ,b ]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有()()0f a f b ⋅<,那么,函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点,即存在c ∈(a ,b ),使得()0f c =,这个c 也就是方程()0f x =的根.【注】上述定理只能判断出零点存在,不能确定零点个数.1.二分法的概念对于在区间[a ,b ]上连续不断且()()0f a f b ⋅<的函数()y f x =,通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.2.用二分法求函数()f x 零点近似值的步骤给定精确度ε,用二分法求函数()f x 零点近似值的步骤如下:①确定区间[a ,b ],验证()()0f a f b ⋅<,给定精确度ε;②求区间(a ,b )的中点c ;③计算f (c );a .若f (c )=0,则c 就是函数的零点;b .若f (a )·f (c )<0,则令b =c (此时零点x 0∈(a ,c ));c .若f (c )·f (b )<0,则令a =c (此时零点x 0∈(c ,b )).④判断是否达到精确度ε:即若|a −b |<ε,则得到零点近似值a (或b );否则重复②③④.【巧学妙记】1.函数()e xf x x -=-的零点所在的区间为A .11,2⎛⎫--⎪⎝⎭B .1,02⎛⎫-⎪⎝⎭C .10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D .1,12⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】易知函数()exf x x -=-的图象是连续的,且通过计算可得()()11e 1e 10f -=--=+>,12111e 0222f ⎛⎫⎛⎫-=--=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()00e 010f =-=>,12111e 0222f -⎛⎫=-=> ⎪⎝⎭,()111e 110ef -=-=-<,由函数零点存在性定理可得函数零点所在的区间为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭.本题选择D 选项.2.在用二分法求方程3210x x --=的一个近似解时,现在已经将根锁定在区间(1,2)内,则下一步可以断定该根所在区间为___________.【答案】3,22⎛⎫⎪⎝⎭【解析】令()321f x x x =--,3275310288f ⎛⎫=--=-< ⎪⎝⎭,()120f =-<,()28530f =-=>,故下一步可以断定根所在区间为3,22⎛⎫⎪⎝⎭.故填3,22⎛⎫⎪⎝⎭.3.已知函数()32113f x x x =-+.(1)证明方程f (x )=0在区间(0,2)内有实数解;(2)请使用二分法,取区间的中点两次,指出方程f (x )=0,x ∈[0,2]的实数解x 0在哪个较小的区间内.【答案】31,2⎛⎫⎪⎝⎭.()1103f =>,由此可得()()1209f f ⋅=-<,则下一个有解区间为()1,2,31028f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭,由此可得()3110224f f ⎛⎫⋅=-<⎪⎝⎭,则下一个有解区间为31,2⎛⎫⎪⎝⎭,综上所述,所求实数解0x 在较小区间31,2⎛⎫⎪⎝⎭内.函数零点个数的判断(1)解方程法:令f (x )=0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点.(2)零点存在性定理法:利用定理不仅要求函数在区间[a ,b ]上是连续不断的曲线,且f (a )·f (b )<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质.(3)数形结合法:转化为两个函数的图象的交点个数问题,先画出两个函数的图象,看其交点个数,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.【巧学妙记】4.函数f (x )2-2,x ≤0,x -6+ln x ,x >0的零点个数是.【答案】2【解析】当x ≤0时,令x 2-2=0,解得x =-2(正根舍去),所以在(-∞,0]上,f (x )有一个零点;当x >0时,f ′(x )=2+1x 恒成立,所以f (x )在(0,+∞)上是增函数.又因为f (2)=-2+ln 2<0,f (3)=ln 3>0,所以f (x )在(0,+∞)上有一个零点,综上,函数f (x )的零点个数为2.5.函数f (x )=|x -2|-ln x 在定义域内的零点的个数为()A .0B .1C .2D .3【答案】C 【解析】由题意可知f (x )的定义域为(0,+∞),在同一直角坐标系中画出函数y =|x-2|(x >0),y =ln x (x >0)的图象,如图所示.由图可知函数f (x )在定义域内的零点个数为2.6.函数f (x )=x -cos x 在[0,+∞)内()A .没有零点B .有且仅有一个零点C .有且仅有两个零点D .有无穷多个零点【答案】B【解析】当x ∈(0,1]时,因为f ′(x )=12x+sin x ,x >0,sin x >0,所以f ′(x )>0,故f(x)在[0,1]上单调递增,且f(0)=-1<0,f(1)=1-cos1>0,所以f(x)在[0,1]内有唯一零点.当x>1时,f(x)=x-cos x>0,故函数f(x)在[0,+∞)上有且仅有一个零点,故选B.函数零点的应用问题1.已知函数零点所在区间求参数或参数的取值范围根据函数零点或方程的根求解参数的关键是结合条件给出参数的限制条件,此时应分三步:①判断函数的单调性;②利用零点存在性定理,得到参数所满足的不等式;③解不等式,即得参数的取值范围.在求解时,注意函数图象的应用.2.已知函数零点的个数求参数或参数的取值范围一般情况下,常利用数形结合法,把此问题转化为求两函数图象的交点问题.3.借助函数零点比较大小或直接比较函数零点的大小关系要比较f(a)与f(b)的大小,通常先比较f(a)、f(b)与0的大小.若直接比较函数零点的大小,则可有以下三种常用方法:①求出零点,直接比较大小;②确定零点所在区间;③同一坐标系内画出函数图象,由零点位置关系确定大小.【巧学妙记】7.已知函数()1f x mx =+的零点在区间(1,2)内,则m 的取值范围是A .1(,)2-∞-B .11,2⎛⎫--⎪⎝⎭C .()1,-+∞D .1(,1)(,)2-∞--+∞ 【答案】B【解析】由题知f (x )单调,故(1)(2)0,f f ⋅<即(1)(21)0,m m ++<解得112m -<<-.故选B .8.已知函数f (x )x ≥1,,x <1,若关于x 的方程f (x )=k 有两个不同零点,则k 的取值范围是__________.【答案】(0,1)【解析】作出f (x )x ≥1,x <1的函数图象如图所示:方程f (x )=k 有两个不同零点,即y =k 和f (x )x ≥1,x <1的图象有两个交点,由图可得k 的取值范围是(0,1).9.已知函数f (x )=|x 2+3x |,x ∈R ,若方程f (x )-a |x -1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a 的取值范围是________________.【答案】(0,1)∪(9,+∞)【解析】由题意知a >0.在同一直角坐标系中作出y =|x 2+3x |,y =a |x -1|的图象如图所示.由图可知f (x )-a |x -1|=0有4个互异的实数根等价于y =|x 2+3x |与y =a |x -1|的图象有4个不同的交点且4个交点的横坐标都小于1,=-x2-3x,=a(1-x)有两组不同解,消去y得x2+(3-a)x+a=0有两个不等实根,所以Δ=(3-a)2-4a>0,即a2-10a+9>0,解得a<1或a>9.又a>0,∴0<a<1或a>9.一、单选题1.方程12log x x =的解的个数为()A .0B .1C .2D .32.函数()662,0,log 12,0x x f x x x ⎧->=⎨+≤⎩的零点之和为()A .-1B .1C .-2D .23.已知函数()2log 3f x x x =+-在区间(),1a a +内有零点,则正数a 的取值范围为()A .()1,2B .()2,+∞C .()0,1D .()1,+∞4.已知函数()22,2,21219,2,x x f x x x x ⎧+<=⎨-+≥⎩若方程()0f x a -=的实根之和为6,则a的取值范围为()A .(]1,3B .[]1,3C .(]1,4D .()3,4二、多选题5.若函数()2f x x ax b =-+的两个零点是2和3,则函数()21g x bx ax =--的零点是()A .1B .12C .13-D .16-三、填空题6.函数1y x x=的零点为___________.7.若函数()xf x e =,则函数()1y f x =-的零点是___________.8.函数()2sin 213f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在(),ππ-上的零点之和为______.9.若方程30x m +=的根在()1,0-内,则m 的取值范围是_____.10.已知二次函数221y ax ax =++只有一个零点,则实数a =__________.11.用二分法求方程3250x x --=在区间[2,3]内的实根,由计算器可算得(2)1f =-,(3)16f =,(2.5) 5.625f =,那么下一个有根区间为_________.四、双空题12.已知2,0()22,0x x x f x x ⎧<=⎨-≥⎩,则f (f (―2))=________,函数f (x )的零点的个数为________.五、解答题13.方程20x x k ++=在(0,1)x ∈有解,求k 的取值范围.一、单选题1.(2014·北京高考真题(文))已知函数()26log f x x x=-,在下列区间中,包含()f x 零点的区间是A .()0,1B .()1,2C .()2,4D .()4,+∞2.(2019·全国高考真题(文))函数()2sin sin2f x x x =-在[]0,2π的零点个数为A .2B .3C .4D .53.(2010·浙江高考真题(文))已知0x 是函数1()21xf x x=+-的一个零点,若()()10201,,x x x x ∈∈+∞,则()A .1()0f x <,()20f x <B .1()0f x <,()20f x >C .()10f x >,()20f x <D .()10f x >,()20f x >4.(2010·福建高考真题(文))函数()223,0{ 2,0x x x f x lnx x +-≤=-+>的零点个数为()A .3B .2C .1D .05.(2014·重庆高考真题(文))已知函数13,(1,0](){,()()1,1]1,(0,1]x f x g x f x mx m x x x -∈-==---+∈且在(内有且仅有两个不同的零点,则实数的取值范围是A .91(,2](0,]42--⋃B .111(,2](0,]42--⋃C .92(,2](0,43--⋃D .112(,2](0,43--⋃6.(2011·福建(文))若关于x 的方程x 2+mx+1=0有两个不相等的实数根,则实数m 的取值范围是A .(﹣1,1)B .(﹣2,2)C .(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞)D .(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)7.(2020·天津高考真题)已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx xk =--∈R 恰有4个零点,则k 的取值范围是()A.1,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B.1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭C.(,0)-∞ D.(,0))-∞+∞ 8.(2015·安徽高考真题(文))下列函数中,既是偶函数又存在零点的是()A .y =lnxB .21y x =+C .y =sinxD .y =cosx 9.(2015·天津高考真题(文))已知函数,函数,则函数的零点的个数为A .2B .3C .4D .510.(2013·安徽高考真题(文))已知函数32()f x x ax bx c =+++有两个极值点12,x x ,若112()f x x x =<,则关于x 的方程23(())2()0f x af x b ++=的不同实根个数为A .3B .4C .5D .6二、填空题11.(2016·天津高考真题(文))已知函数2(43)3,0()(01)log (1)1,0a x a x a x f x a a x x 且⎧+-+<=>≠⎨++≥⎩在R 上单调递减,且关于x 的方程|()|23xf x =-恰有两个不相等的实数解,则a 的取值范围是___________.12.(2015·湖南高考真题(文))若函数()22xf x b =--有两个零点,则实数b 的取值范围是_____.13.(2008·湖北高考真题(文))方程223x x -+=的实数解的个数为_____________.三、解答题14.(2018·全国高考真题(文))已知函数()()32113f x x a x x =-++.(1)若3a =,求()f x 的单调区间;(2)证明:()f x只有一个零点.一、单选题1.(2021·全国高三其他模拟)设x ∈R ,定义符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩,则方程2sgn 21x x x =-的解是()A .1B.1--C .1或1-D .1或1-+或1-2.(2021·内蒙古赤峰市·高三二模(文))已知函数()21()2f x a x x x =-+有且仅有两个零点,则实数a =()A .3227B .3227-C .2732D .2732-3.(2021·宁夏高三其他模拟(文))函数3()9x f x e x =+-的零点所在的区间为()A .()0,1B .()1,2C .()2,3D .()3,44.(2021·河南新乡市·高三三模(文))已知函数()231f x x x =++.若关于x 的方程()0f x a x -=恰有两个不同的实根,则a 的取值范围是()A .()1,5B .[]1,5C .()1}50{⋃,D .[]1}50{⋃,5.(2021·河南商丘市·高三月考(文))已知函数()22,01,0x x x f x x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩,若关于x 的方程()()3f x a x =+有四个不同的实数根,则实数a 的取值范围是()A.(,4-∞-B.()4++∞C.0,4⎡-⎣D.(0,4-6.(2021·晋中市新一双语学校高三其他模拟(文))若关于x的方程2sin2x x m -=-在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且只有一个解,则m 的值不可能为()A .2-B .1-C .12-D .07.(2021·全国高三其他模拟(文))已知函数()31,13,1x x f x x x -⎧->-⎪=⎨+≤-⎪⎩,当a b c <<时,有()()()f a f b f c ==,则()1f a -的取值范围是()A .()1,9B .()4,9C .()1,4D .[]4,98.(2021·新疆高三其他模拟(文))定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()f x 满足()()f x f x -=,且0x >时,()ln xf x x=.若关于x 的方程()f x kx =有三个不相等的实数根,则实数k 的取值范围是()A .11,0,e e ⎛⎫⎛⎫-∞-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B .11,00,ee ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C .11,0,22e e ⎛⎫⎛⎫-∞-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D .11,00,22e e ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9.(2021·四川宜宾市·高三二模(文))已知函数()()3log 911x f x x+=-,下列说法正确的是()A .()f x 既不是奇函数也不是偶函数B .()f x 的图象与sin y x =有无数个交点C .()f x 的图象与2y =只有一个交点D .()()21f f -<-二、填空题10.(2021·云南昆明市·高三三模(文))已知函数ln ()1xxf x ae x=--两个不同的零点,则实数a 的取值范围是___________.11.(2021·晋中市新一双语学校高三其他模拟(文))规定记号"Δ"表示一种运算,即()()22Δ12,,a b a b b a b =--∈R ,若0k >,函数()()Δf x kx x =的图象关于直线12x =对称,则k =___________.12.(2021·宁夏高三其他模拟(文))关于函数2()sin sin f x x x =-有下述四个结论:①()f x 是偶函数;②()f x 在区间0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减;③()f x 在[,]-ππ有四个零点;④()f x 的值域是1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦;⑤()f x 的周期为2π.其中所有正确结论的编号是___________.13.(2021·四川达州市·高三二模(文))已知函数21,0(),0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩,若()()g x f x a =-仅有两个不同零点,则实数a 的取值范围是_________.14.(2021·全国高三其他模拟(文))方程e ||10x x x --=的实数根的个数为___________.15.(2021·成都七中实验学校高三三模(文))已知函数2,1()169,1xx f x x x x x ⎧<⎪=-⎨⎪-+≥⎩,若方程()f x a =有四个不同的根1234,,,x x x x ,且1234x x x x <<<,则3411x x +的取值范围是___________.参考答案跟踪训练1.B 【分析】在同一坐标系内,作出y =12log y x =的图象,根据图象的交点个数即可求解.【详解】在同一坐标系内,作出y =12log y x =的图象,如图:由图象可知,方程只有一个解.故选:B 2.A 【分析】根据分段函数解析式,分别求得零点,结合对数式运算即可求得零点之和.【详解】函数()662,0,log 12,0x x f x x x ⎧->=⎨+≤⎩当0x >时,()62xf x =-,设其零点为1x ,则满足1620x -=,解得16log 2x =;当0x ≤时,()6log 12f x x =+,设其零点为2x ,则满足26log 120x +=,解得26log 12x =-;所以零点之和为1266log 2log 121x x +=-=-故选:A.【点睛】本题考查了分段函数的简单应用,函数零点的定义,对数式的运算性质,属于基础题.3.A 【分析】由题得(2)=0f ,且函数在定义域内()f x 单调递增,得21a a <<+,解不等式得解.【详解】由题得()22log 2230f =+-=,且函数在定义域内()f x 单调递增(增+增=增),所以21a a <<+,得12a <<.故选:A 【点睛】本题主要考查函数的零点问题,意在考查学生对这些知识的理解掌握是水平,属于基础题.4.A 【分析】作出()f x 图象,求方程()0f x a -=的实根之和为6,即求()y f x =与y a =图象交点横坐标之和为6,分别讨论a =1、12a <<、a =2、23a <≤、34a <<和a =4时y a =图象与()y f x =图象交点个数及性质,数形结合,即可得答案.【详解】作出()f x 图象,如图所示求方程()0f x a -=的实根之和为6,即求()y f x =与y a =图象交点横坐标之和为6,当a =1时,y a =图象与()y f x =图象只有一个交点(3,1),不满足题意;当12a <<时,y a =图象与()y f x =图象有2个交点,且从左至右设为12,x x ,由图象可得12,x x 关于x =3对称,所以1232x x +=,即126x x +=,满足题意;当a =2时,y a =图象与()y f x =图象有3个交点,且(0,2)为最左侧交点,设y a =与()y f x =图象另外两个交点为12,x x ,由图象可得12,x x 关于x =3对称,所以1232x x +=,即126x x +=,满足题意;当23a <≤时,y a =图象与()y f x =图象有4个交点,从左至右设为12,x x ,34,x x ,由图象可得12,x x 关于x =0对称,所以120x x +=,34,x x 关于x =3对称,所以3432x x +=,即346x x +=,满足题意;当34a <<时,y a =图象与()y f x =图象有3个交点,由图象可得不满足题意;当a =4时,y a =图象与()y f x =图象有2个交点,由图象可得不满足题意;综上:a 的取值范围为13a <£.故选:A 5.AD 【分析】由()f x 的零点求参数a 、b ,写出()g x 的解析式,进而可求其零点.【详解】由题设知:2,3是20x ax b -+=的两个根,∴235,236a b =+==⨯=,∴()2651g x x x =--,若()0g x =,可得零点为1x =或16x =-.故选:AD.6.1【分析】令10y x==求解.【详解】令10y x ==1x=,两边平方得:()310x x =>,解得1x =,所以函数1y x=的零点为1.故答案为:1.7.0【分析】求得函数()11xy f x e =-=-,令0y =,即可求解.【详解】由函数()xf x e =,可得()11xy f x e =-=-,令0y =,可得10x e -=,解得0x =,故函数()1y f x =-的零点是0.故答案为:0.8.3π-【分析】令()0f x =,得1sin 232x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,再根据(),x ππ∈-,得到23x π-范围求解.【详解】()2sin 213f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,令()0f x =得,1sin 232x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,因为(),x ππ∈-,所以752,333x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭,则11236x ππ-=-或76π-或6π或56π,解得34x π=-或512π-或4π或712π,所以12343x x x x π+++=-.故答案为:3π-9.()0,3【分析】设()3f x x m =+,利用零点存在定理可构造不等式求得结果.【详解】设()3f x x m =+,则()()()1030f f m m -⋅=-<,解得:03m <<,即m 的取值范围为()0,3.故答案为:()0,3.10.1【分析】先判断0a ≠,再利用判别式为零可得答案.【详解】因为221y ax ax =++是二次函数,所以0a ≠,又因为二次函数221y ax ax =++只有一个零点,所以二次方程2210ax ax ++=只有一个解,所以24400a a a ∆=-=⇒=(舍去),或1a =,故答案为:1.【点睛】本题主要考查函数的零点,考查了分类讨论思想与转化思想的应用,属于基础题.11.()2,2.5【分析】利用零点存在性定理判断.【详解】()210f =-< ,()2.5 5.6250f =>,()()2 2.50f f <,所以下一个有根区间为()2,2.5.故答案为:()2,2.512.141【分析】先求(2)f -,再求((2))f f -,令f (x )=0,直接解方程可得函数的零点【详解】根据题意得:2(2)(2)4f -=-=,则4((2))(4)2216214f f f -==-=-=;令f (x )=0,得到220x -=,解得:x =1,则函数f (x )的零点个数为1,故答案为:14;1.13.20k -<<【分析】转化为求二次函数2k x x =--,(0,1)x ∈的值域,可求得结果.【详解】由20x x k ++=得2k x x =--在(0,1)x ∈有解,当01x <<时,2211()24k x x x =--=-++为减函数,所以110k --<<,所以20k -<<.真题再现1.C【详解】因为(2)310f =->,3(4)202f =-<,所以由根的存在性定理可知:选C.考点:本小题主要考查函数的零点知识,正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.2.B【分析】令()0f x =,得sin 0x =或cos 1x =,再根据x 的取值范围可求得零点.【详解】由()2sin sin 22sin 2sin cos 2sin (1cos )0f x x x x x x x x =-=-=-=,得sin 0x =或cos 1x =,[]0,2x π∈ ,02x ππ∴=、或.()f x ∴在[]0,2π的零点个数是3,故选B .【点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数,渗透了直观想象和数学运算素养.采取特殊值法,利用数形结合和方程思想解题.3.B【分析】转化0x 是函数1()21x f x x=+-的一个零点为0x 是函数2x y =与11y x =-的交点的横坐标,画出函数图像,利用图像判断即可【详解】因为0x 是函数1()21x f x x=+-的一个零点,则0x 是函数2x y =与11y x =-的交点的横坐标,画出函数图像,如图所示,则当()101,x x ∈时,2x y =在11y x =-下方,即()10<f x ;当()20,x x ∈+∞时,2x y =在11y x =-上方,即()20f x >,故选:B【点睛】本题考查函数的零点问题,考查数形结合思想与转化思想4.B【解析】试题分析:当0x ≤时,令()2230f x x x =+-=,解得3x =-;当0x >时,令()2ln 0f x x =-+=,解得2x e =.综上可知()f x 的零点有2个.故B 正确.考点:1分段函数;2函数的零点.5.A【分析】试题分析:令,分别作出与的图像如下,由图像知是过定点的一条直线,当直线绕着定点转动时,与图像产生不同的交点.当直线在轴和直线及切线和直线之间时,与图像产生两个交点,此时或故答案选A .考点:1.函数零点的应用;2.数形结合思想的应用.6.C【详解】试题分析:利用题中条件:“关于x 的方程x 2+mx+1=0有两个不相等的实数根”由韦达定理的出m 的关系式,解不等式即可.解:∵关于x 的方程x 2+mx+1=0有两个不相等的实数根,∴△>0,即:m 2﹣4>0,解得:m ∈(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞).故选C .点评:本题考查一元二次方程的根的判别式与根的关系,属于基本运算的考查.7.D【分析】由(0)0g =,结合已知,将问题转化为|2|y kx =-与()()||f x h x x =有3个不同交点,分0,0,0k k k =<>三种情况,数形结合讨论即可得到答案.【详解】注意到(0)0g =,所以要使()g x 恰有4个零点,只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根即可,令()h x =()||f x x ,即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点.因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩,当0k =时,此时2y =,如图1,2y =与()()||f x h x x =有1个不同交点,不满足题意;当0k <时,如图2,此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点,满足题意;当0k >时,如图3,当2y kx =-与2y x =相切时,联立方程得220x kx -+=,令0∆=得280k -=,解得k =,所以k >综上,k 的取值范围为(,0))-∞+∞ .故选:D.【点晴】本题主要考查函数与方程的应用,考查数形结合思想,转化与化归思想,是一道中档题.8.D【详解】选项A :ln y x =的定义域为(0,+∞),故ln y x =不具备奇偶性,故A 错误;选项B :21y x =+是偶函数,但210y x =+=无解,即不存在零点,故B 错误;选项C :sin y x =是奇函数,故C 错;选项D :cos y x =是偶函数,且cos 02y x x k ππ==⇒=+,k z ∈,故D 项正确.考点:本题主要考查函数的奇偶性和零点的概念.9.A【详解】当0x <时22x ->,所以()22f x x x =-=+,()22f x x -=,此时函数()()()()2231f x g x f x f x x x -=+--=+-的小于零的零点为152x =-;当02x ≤≤时()22f x x x =-=-,()222f x x x -=--=,函数()()231f x g x x x -=-+-=-无零点;当2x >时,()()22f x x =-,()2224f x x x -=--=-,函数()()()2224355f x g x x x x x -=-+--=-+大于2的零点为552x +=,综上可得函数()()y f x g x =-的零点的个数为2.故选A.考点:本题主要考查分段函数、函数零点及学生分析问题解决问题的能力.10.A【解析】试题分析:求导得,显然是方程的二不等实根,不妨设,于是关于x 的方程3(f(x))2+2af(x)+b =0的解就是或,根据题意画图:所以有两个不等实根,只有一个不等实根,故答案选A.考点:导数、零点、函数的图象11.12[,)33【详解】试题分析:由函数()f x 在R 上单调递减得43130,01,31234a a a a --≥<<≥⇒≤≤,又方程()23x f x =-恰有两个不相等的实数解,所以232,3解得a a <<,因此a 的取值范围是12[,33.【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路:(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离,转化为求函数值域的问题加以解决;(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.12.02b <<【详解】函数()22xf x b =--有两个零点,和的图象有两个交点,画出和的图象,如图,要有两个交点,那么13.2【解析】因为223x x -=-,作出函数22,3x y y x -==-的图像,从图像可以观察到两函数的图像有两个公共点,所以方程223x x -+=的实数解的个数为2.14.(1)f (x )在(–∞,33-),(323++∞)单调递增,在(33-,33+)单调递减.(2)见解析.【详解】分析:(1)将3a =代入,求导得2()63f x x x '=--,令()0f x '>求得增区间,令()0f x '<求得减区间;(2)令321()(1)03f x x a x x =-++=,即32301x a x x -=++,则将问题转化为函数32()31x g x a x x =-++只有一个零点问题,研究函数()g x 单调性可得.详解:(1)当a =3时,f (x )=3213333x x x ---,f ′(x )=263x x --.令f ′(x )=0解得x =33-或x =323+.当x ∈(–∞,323-323++∞)时,f ′(x )>0;当x ∈(323-,33+f ′(x )<0.故f (x )在(–∞,33-),(33+,+∞)单调递增,在(33-,33+递减.(2)由于210x x ++>,所以()0f x =等价于32301x a x x -=++.设()g x =3231x a x x -++,则g ′(x )=()()2222231x x x xx ++++≥0,仅当x =0时g ′(x )=0,所以g (x )在(–∞,+∞)单调递增.故g (x )至多有一个零点,从而f (x )至多有一个零点.又f (3a –1)=221116260366a a a ⎛⎫-+-=---< ⎪⎝⎭,f (3a +1)=103>,故f (x )有一个零点.综上,f (x )只有一个零点.点睛:(1)用导数求函数单调区间的步骤如下:①确定函数()f x 的定义域;②求导数()'f x ;③由()0f x '>(或()0f x '<)解出相应的x 的取值范围,当()0f x '>时,()f x 在相应区间上是增函数;当()0f x '<时,()f x 在相应区间上是减增函数.(2)本题第二问重在考查零点存在性问题,解题的关键在于将问题转化为求证函数()g x 有唯一零点,可先证明其单调,再结合零点存在性定理进行论证.模拟检测1.C【分析】根据符号函数的定义,分三种情况讨论化简方程,然后解方程即可.【详解】解:当0x >时,方程2sgn 21x x x =-可化为221x x =-,化简得()210x -=,解得1x =;当0x =时,方程2sgn 21x x x =-可化为01=-,无解;当0x <时,方程2sgn 21x x x =-可化为221x x -=-,化简得2210x x +-=,解得1x =-(舍去)或1x =--;综上,方程2sgn 21x x x =-的解是1或1-.故选:C.2.C【分析】将函数()21()2f x a x x x =-+有且仅有两个零点,转化为()212a x x x =--由两个不同的根,在同一坐标系中作出(),y a y g x ==的图象,利用数形结合法求解.【详解】令()21()20f x a x x x =-+=,则()212a x x x =--由两个不同的根,令()()212g x x x x =--,则()()23342x g x x x -'=--,当0x <时,()0g x '>,当403x <<时,()0g x '<,当423x <<或2x >时,()0g x '>,当43x =时,()2732g x =,在同一坐标系中作出(),y a y g x ==的图象,如图所示:因为函数()21()2f x a x x x=-+有且仅有两个零点,由图象知:实数a =3227,故选:A 3.B 【分析】根据零点存在性定理,由3()9x f x e x =+-为增函数,带入相关数值判断即可得解.【详解】由x e 为增函数,3x 为增函数,故3()9x f x e x =+-为增函数,由(1)80f e =-<,2(2)10f e =->,根据零点存在性定理可得0(1,2)x ∃∈使得0()0f x =,故选:B.4.C 【分析】首先讨论0x =,在0x ≠时,利用分离参数的思想,画出13y x x=++的图像,利用数形结合判断出答案.【详解】当0x =时,()010f =≠,故0x =不是方程()0f x a x -=的根,当0x ≠时,由()0f x a x -=得,13a x x=++,方程()0f x a x -=恰有两个不同的实根等价于直线y =a 与函数13y x x=++的图像有两个不同的交点,作出函数()y f x =的大致图像如图所示,由图可知,0a =或15a <<.故选:C.【点睛】本题解题时利用了数形结合的思想,根据图像判断出结果.5.D 【分析】方程()(3)f x a x =+有四个不同的实数根,即直线(3)y a x =+与曲线()y f x =,作出函数图像,即转化为2(2)30x a x a +++=在()2,0-有两个不等实根,可得答案.【详解】设(3)y a x =+,该直线恒过点()3,0-,方程()(3)f x a x =+有四个不同的实数根如图作出函数()y f x =的图像,结合函数图象,则0a >,所以直线(3)y a x =+与曲线()22,2,0y x x x =--∈-有两个不同的公共点,所以2(2)30x a x a +++=在()2,0-有两个不等实根,令()2(2)3g x x a x a =+++,实数a 满足()()()22120220203020a a a g a g a ⎧∆=+->⎪+⎪-<-<⎪⎨⎪=>⎪-=>⎪⎩,解得04a <<-,所以实数a的取值范围是(0,4-.故选:D.【点睛】方法点睛:已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法:(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决;(3)数形结合法:先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,利用数形结合的方法求解6.B 【分析】化简可得cos 262m x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,转化为cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象和直线2m y =-只有1个交点,根据,46x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦结合三角函数的性质可求出.【详解】由2sin2x x m -=-可得1cos sin22xx m +-=,化简可得cos 262m x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,即cos 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象和直线2my =-只有1个交点.又,46x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,则2,632x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦.当263x ππ+=-,即4πx =-时,可得1cos ;32y π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭当206x π+=,即12x π=-时,可得1y =;当262x ππ+=,即6x π=时,可得0.y =要使得cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象和直线2my =-只有1个交点,可得12m-=或1022m -<,解得2m =-或10m -<.故选:B.【点睛】关键点睛:本题考查三角函数与方程的应用,解题的关键是化简将题目转化为cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象和直线2m y =-只有1个交点.7.B 【分析】作出函数()f x 的图象,求出a 的取值范围,由此可得出()12f a a -=的取值范围.【详解】当1x >-时,311x -->-,作出函数()f x 的图象如下图所示:设()()()t f a f b f c ===,由图可知,当01t <<时,直线y t =与函数()f x 的图象有三个交点,由()()30,1f a a =+∈,解得32a -<<-,因为()12f -=,因此,()()124,9f aa -=∈.故选:B.【点睛】方法点睛:已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法:(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决;(3)数形结合法:先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,利用数形结合的方法求解.8.D 【分析】根据函数为偶函数,通过求导先求0x >时函数的图像与性质,然后结合图像,求临界点时k 的值,即()f x 和直线kx 相切时的切线斜率,再根据对称性即可得解.【详解】当0x >时,令()21ln 0xf x x-'==,则e x =.即()0,x e ∈时,()f x 单调递增.(),x e ∈+∞时,()f x 单调递减.若关于x 的方程()f x kx =有三个不相等的实数根,如图,当0k >时,设过点()0,0做曲线的切线交曲线于点000ln ,x P x x ⎛⎫⎪⎝⎭,切线方程为:()000200ln 1ln x x y x x x x --=-切线又过点()0,0,则0000ln 1ln x x x x --=-,即0x e =又∵ln xy x=在()0,x e ∈时单调递增.∴0x e =,切线的斜率为12e ,∴10,2k e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭由对称性知:11,00,22k e e ⎛⎫⎛⎫∈-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选:D.【点睛】本题考查了函数方程问题,考查了利图象交点求参数范围,同时考查了利用导数研究函数的单调性,有一定的计算量,属于中档题.本题的关键点有:(1)利用导数研究函数的单调性,并能正确画出函数图像;(2)求临界值,掌握过某点求切线方程.9.C 【分析】A 根据函数奇偶性的定义即可判断()f x 的奇偶性;B 利用放缩法,当0x >易证()1f x >,由奇函数的对称性知0x <时()1f x <-,即可知()f x 与sin y x =的交点情况;C :由()2f x =变形可得112713x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭,设()11327x xg x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭只需判断()1g x =解得个数即可;D 根据函数解析式求出()()2,1f f --比较大小即可.【详解】A :()f x 定义域为{|0}x x ≠且()()()()()()333391log log 91log 91log 9191120x x x x x f x f x x x x x -⎛⎫+ ⎪+++⎝⎭-+=-+-=--=-,故()f x 为奇函数,错误;B :当0x >时有()3log 91211xf x x>-=-=,又()f x 为奇函数,则当0x <时,()1f x <-,即在R 上()f x ∈()(),11,-∞-⋃+∞,则()f x 的图象与sin y x =没有交点,错误,C :若()2f x =,则有()3log 9112x x+-=,即()3log 913x x +=,变形得9127x x+=,即112713xx⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭,设()11327x xg x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则()g x 为减函数且其值域为()0,+¥,则()1g x =有且只有一个解,即()f x 的图象与2y =只有一个交点,正确,D :()()2333182log 1log 2log 918181211222f -⎛⎫⎛⎫++ ⎪+ ⎪⎝⎭-=-=--=- ⎪- ⎪⎝⎭3182log 29=-⨯3log 3=-,而()333110101log 11log 1log 993f ⎛⎫⎛⎫-=-+-=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则有()()21f f ->-,错误.故选:C.【点睛】关键点点睛:A 利用奇偶性定义判断函数的奇偶性,B 放缩法及奇函数的对称性,结合正弦函数的性质判断交点情况,C 将交点问题,通过恒等变形转化为方程是否有解的问题,D 通过函数解析式求函数值,进而比较大小.10.10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】令ln ()10xxf x ae x=--=,转化为ln 0x axe x x --=有两个不同的根,令()ln x g x axe x x =--,转化为函数()g x 有两个零点,用导数法求解.【详解】令ln ()10xxf x ae x=--=,则ln 0x axe x x --=,令()ln x g x axe x x =--,则()()1111xxx g x ae axe x ae x x ⎛⎫'=--=+- ⎝+⎪⎭,当0a ≤时,()0g x '<在()0,∞+上恒成立,()g x 递减,不可能有两个零点,当0a >时,存在0x 使得()00g x '=,即01x aex =,当00x x <<时,()00g x '<,当0x x >时,()00g x '>,若()f x 两个不同的零点,即()g x 有两个零点,则()00g x <,即()0000001ln 1ln 1ln0x xg x ax e x x e x a=--=-=-<,解得10a e<<,故答案为:10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭11.1【分析】根据新运算的定义,得到函数解析式为()()()()112f x kx kx x x =-+-,再根据函数图象关于直线12x =对称,得到函数的四个零点两两对称,列出方程求解,即可得出结果.【详解】由题意可得:()()()()()()()222Δ12112f x kx x k x x x kx kx x x ==--=-+-,0k >,则函数()()()()112f x kx kx x x =-+-有四个零点,从大到小依次是1k -,0,1k,2,因为函数()f x 的图象关于直线12x =对称,所以1,0k ⎛⎫-⎪⎝⎭与()2,0关于直线12x =对称,1,0k ⎛⎫⎪⎝⎭与()0,0关于直线12x =对称,所以101,121,k k ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,解得 1.k =故答案为:1.【点睛】关键点点睛:求解本题的关键在于由函数新定义得到函数解析式,确定函数零点,再由对称性,即可求解.12.②③⑤【分析】对于①,利用函数的奇偶性的定义进行判断即可;对于②,由于。
2024年高考数学高频考点(新高考通用)函数的概念及其表示(精练:基础+重难点)解析版

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结(新高考通用)第06讲函数的概念及其表示(精讲)【A组在基础中考查功底】则函数根据函数图像可知:(f x 故选:ACD.8.已知函数4 ()f x xx=+A.-3B 【答案】ABC四、解答题12.定义在R 上的函数()f x 对任意实数x 都有()2243f x x x -=-+.(1)求函数()f x 的解析式;(2)若函数()()23g x f x x =-+在[],1m m +上是单调函数,则求实数m 的取值范围.【答案】(1)()21f x x =-(2)(][),01,-∞+∞ 【分析】(1)配方后,利用整体法求解函数解析式;(2)求出()g x 的单调区间,与[],1m m +比较,得到不等式,求出实数m 的取值范围.【详解】(1)()()2224321f x x x x -=-+=--,故函数()f x 的解析式为()21f x x =-;(2)()()2223122121x x g x x x x =-+=---++=在(),1-∞上单调递减,在()1,+∞上单调递增,因为()g x 在[],1m m +上是单调函数,所以m 1≥或11m +≤,解得0m ≤或m 1≥,所以实数m 的取值范围是(][),01,-∞+∞ .【B 组在综合中考查能力】由图可得当且仅当0t<<时)的,故()()()()36494922f f f f m n =⨯=+=+.【C 组在创新中考查思维】,该函数在当32m>时,当x>m时()2,3f x⎛∈-∞-⎝①,当1,22aa >>时,()f x 在[]0,1上单调递增,②,由2222a a a x ⎛⎫-+⨯=- ⎪⎝⎭解得12x a +=或1x -=。
高考数学一轮复习专题11函数与方程(含解析)

专题11函数与方程最新考纲结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数.基础知识融会贯通1.函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y=f(x)(x∈D),把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点.(2)三个等价关系方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个__c__也就是方程f(x)=0的根.2.二次函数y=ax2+bx+c (a>0)的图象与零点的关系【知识拓展】有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点.(2)连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.(3)连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号.重点难点突破【题型一】函数零点所在区间的判定【典型例题】函数f(x)=lnx+2x﹣6的零点所在的区间为()A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)【解答】解:f(1)=2﹣6<0,f(2)=4+ln2﹣6<0,f(3)=6+ln3﹣6>0,f(4)=8+ln4﹣6>0,∴f(2)f(3)<0,∴m的所在区间为(2,3).故选:B.【再练一题】函数f(x)=log8x的一个零点所在的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【解答】解:函数f(x)=log8x的连线增函数,∵f(1)=00,f(2)=log820,可得f(1)f(2)<0,∴函数f(x)的其中一个零点所在的区间是(1,2),故选:B.思维升华确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在性定理;(2)数形结合法.【题型二】函数零点个数的判断【典型例题】已知偶函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+1)=f(x﹣1)且x∈[0,1]时f(x)=x,则函数g(x)=f(x)﹣log3|x|的零点个数共有()A.1个B.2个C.3个D.4个【解答】解:由f(1+x)=f(1﹣x),取x=x+1,得:f(x+1+1)=f(1﹣x﹣1),所以f(x+2)=f(﹣x),又因为函数为偶函数,所以f(x+2)=f(﹣x)=f(x),所以函数f(x)是以2为周期的周期函数.因为当x∈[﹣1,0]时,f(x)=x,由偶函数可知,当x∈[﹣1,0]时,f(x)=﹣x,所以函数f(x)的图象是f(x)=x在[﹣1,1]内的部分左右平移2个单位周期出现,0求函数g(x)=f(x)﹣|log3x|的零点个数,就是求两函数y=f(x)与y=|log3x|的交点个数,由于log33=1,所以两函数在(0,3]内有2个交点,根据对称性可知:[﹣3,0)内有2个交点,所以交点总数为4个,所以函数g(x)=f(x)﹣|log3x|的零点个数为4.故选:D.【再练一题】已知f(x)x,则y=f(x)的零点个数是()A.4 B.3 C.2 D.1【解答】解:已知f(x)x,则y=f(x)的零点个数,即方程πx的解的个数.当x>0时,方程即x+1,故该方程解的个数即函数y=x+1与函数y的图象的交点个数.当x<0时,方程即x﹣1,故该方程解的个数即函数y=x﹣1与函数y的图象的交点个数,数形结合可得,方程πx的解的个数为2,故选:C.思维升华函数零点个数的判断方法:(1)直接求零点;(2)利用零点存在性定理再结合函数的单调性确定零点个数;(3)利用函数图象的交点个数判断.【题型三】函数零点的应用命题点1 根据函数零点个数求参数【典型例题】已知函数f(x)=lnx﹣ax+1.(1)若f(x)在x=1处取到极值,求实数a的值;(2)若函数f(x)有两个零点,求a的取值范围.【解答】解:(1)∵函数f(x)=lnx﹣ax+1,∴x>0,,∵f(x)在x=1处取到极值,∴f′(1)=1﹣a=0,解得a=1,∴实数a的值为1.(2)∵x>0,,由f′(x)=0,得x当a≤0时,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,当a>0时,x∈(0,),f′(x)>0,f(x)在上单调递增,x∈(,+∞),f′(x)<0,f(x)在上单调递减.∴当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增,不可能有两个零点;当a>0时,f(x)在(0,)上是增函数,在(,+∞)上是减函数,∴f()是函数f(x)的最大值,当f()≤0时,f(x)最多只有一个零点,∴f()=ln0,解得0<a<1,此时,,且f()=﹣110,f()=2﹣2lna1=3﹣2lna,(0<a<1),令F(a)=3﹣2lna,则F′(x)0,∴F(a)在(0,1)上单调递增,∴F(a)<F(1)=3﹣e2<0,即f()<0,∴a的取值范围是(0,1).【再练一题】已知函数的图象过点.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若函数g(x)=f(x)﹣2m+3有3个零点,求m的取值范围.【解答】解:(1)因为函数的图象过点.所以,解得a=2,即,所以f'(x)=x2﹣x﹣2.由f'(x)=x2﹣x﹣2<0,解得﹣1<x<2;由f'(x)>0,得x<﹣1或x>2.所以函数f(x)的递减区间是(﹣1,2),递增区间是(﹣∞,﹣1),(2,+∞).(2)由(1)知,同理,,由数形结合思想,要使函数g(x)=f(x)﹣2m+3有三个零点,则,解得.所以m的取值范围为.命题点2 根据函数有无零点求参数【典型例题】已知函数f(x)=x2+(a﹣1)x+b,f(1)=1.(1)若函数f(x)没有零点,求a的取值范围;(2)若函数f(x)的图象的对称轴是x=1,解不等式f(x)>1.【解答】解:(1)由f(1)=1得1+a﹣1+b=1,得a+b=1,因为函数f(x)没有零点,所以x2+(a﹣1)x+b=0中△<0,即(a﹣1)2﹣4b<0,又b=1﹣a,所以(a﹣1)2﹣4(1﹣a)<0,化为a2+2a﹣3<0,解得﹣3<a<1;(2)函数f(x)的图象的对称轴是x=1,即,又b=1﹣a,联立解得a=﹣1,b=2.∴x2﹣2x+2>1,化为(x﹣1)2>0,解得x≠1,所以f(x)>1的解集为{x|x≠1}.【再练一题】已知f(x)=a cos2x+2cos x﹣3(Ⅰ)当a=1时,求函数y=f(x)的值域;(Ⅱ)若函数y=f(x)存在零点,求a的取值范围.【解答】解:由已知可得:f(x)=a cos2x+2cos x﹣3=2a cos2x+2cos x﹣(3+a).(Ⅰ)当a=1时,f(x)=2cos2x+2cos x﹣4=2(cos x)2由﹣1≤cos x≤1,得函数y=f(x)的值域为[,0](Ⅱ)函数y=f(x)存在零点,即2at2+2t﹣(3+a)=0在[﹣1,1]上有解.(1)a=0时,方程的解t∉[﹣1,1]不满足条件(2)当a≠时,设g(t)=2t2()则①当g(﹣1)g(1)≤0时满足条件,此时有1≤a≤5②当g(﹣1)g(1)>0时时,必有以下四式同时成立即g(﹣1)>0,g(1)>0,△≥0,﹣11.解得a>5,或a综上可得,a的取值范围为(﹣∞,)∪[1,+∞)命题点3 根据零点的范围求参数【典型例题】已知函数f(x)=3x2﹣2(k2﹣k+1)x+5,g(x)=2k2x+k,其中k∈R.(1)设函数p(x)=f(x)+g(x).若p(x)在(0,3)上有零点,求k的取值范围;(2)设函数q(x)是否存在k,对任意给定的非零实数x1,存在惟一的非零实数x2(x2≠x1),使得q(x2)=q(x1)?若存在,求k的值;若不存在,请说明理由.【解答】解:(1)∵f(x)=3x2﹣2(k2﹣k+1)x+5,g(x)=2k2x+k,p(x)在(0,3)上有零点,∴p(x)=f(x)+g(x)=3x2+2(k﹣1)x+k+5在(0,3)上有零点.∴△=(4k2﹣8k+4)﹣12k﹣60≥0,解得k≤﹣2,或k≥7.若p(x)在(0,3)上有唯一零点,则p(0)p(3)=(k+5)(7k+26)<0 ①,或②,或③,或④.解①得﹣5<k,解②得k∈∅,解③得k,解④可得k=﹣2,或k=7.当k=7时,p(x)=f(x)+g(x)=3x2+2(k﹣1)x+k+5=3x2+12x+12的零点是﹣2,不符合题意所以k=7舍去.若p(x)在(0,3)上有2个零点,则有,解得k≤﹣2.综上所述,实数k的取值范围为[﹣5,﹣2].(2)函数q(x),即q(x).显然,k=0不满足条件,故k≠0.当x≥0时,q(x)=2k2x+k∈[k,+∞).当x<0时,q(x)=3x2﹣2(k2﹣k+1)x+5∈(5,+∞).记A=[k,+∞),B∈(15,+∞).①当x2>0时,q(x)在(0,+∞)上是增函数,要使q(x2)=q(x1),则x1<0,且A⊆B,故k≥5;②当x2<0时,q(x)在(﹣∞,0)上是减函数,要使q(x2)=q(x1),则x1>0,且B⊆A,故k≤5;综上可得,k=5满足条件.故存在k=5,对任意给定的非零实数x1,存在惟一的非零实数x2(x2≠x1),使得q(x2)=q(x1).【再练一题】已知函数f(x)alnx.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若a>0,函数f(x)在区间(1,e)上恰有两个零点,求a的取值范围.【解答】解:(1)函数f(x)alnx的定义域为(0,+∞),f′(x)=x.①a≤0时,f′(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)上单调递增;②a>0时,由f′(x)>0得x;由f′(x)<0得0<x.即f(x)在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增.综上:a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;a>0时,f(x)在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增.(2)当a>0时,由(1)知f(x)在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增,①若1,即0<a≤1时,f(x)在(1,e)上单调递增,f(1),f(x)在区间(1,e)上无零点.②若1e,即1<a<e2时,f(x)在(0,)上单调递减,在(,e)上单调递增.f(x)min=f()a(1﹣lna).∵f(x)在区间(1,e)上恰有两个零点,∴f(1)0,f()a(1﹣lna)<0.f(e)e2﹣a>0,∴e<a e2.③若e,即a≥e2时,f(x)在(1,e)上单调递减,f(1)0,f(e)e2﹣a<0,f(x)在区间(1,e)上有一个零点.综上,f(x)在区间(1,e)上恰有两个零点时a的取值范围是(e,e2).思维升华根据函数零点的情况求参数有三种常用方法.(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围.(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决.(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后数形结合求解.基础知识训练1.下列函数中,能用二分法求零点的是()A.B.C.D.【答案】D【解析】由题意以及零点判定定理可知:只有选项D能够应用二分法求解函数的零点,故选:D.2.方程的根所在的区间为A.B.C.D.【答案】C【解析】令函数,则方程的根即为函数的零点,再由,且,可得函数上有零点.故选:C.3.函数的零点所在的一个区间是A.B.C.D.【答案】C【解析】上的增函数,又,故零点所在对的区间为,选C.4.已知函数若方程有5个解,则的取值范围是()A.B.C.D.【答案】D【解析】当时,,当时,,所以函数上是偶函数,当时,单调递减,且当时,,当时,,因此,作出函数的大致图象如图所示:设,则原方程为,因为是方程的根,所以由图象可知,若关于的方程有五个不同的实数解,只需直线与函数的图象有三个不同的公共点,且关于的方程有两个不同的公共点,其中一根,另一根,所以,解得,所以实数的取值范围为,故选D.5.已知函数满足,当时,;当时,,若函数上有五个零点,则的最小值为()A.B.C.D.【答案】A【解析】有题意知,则的周期为。
2016高考数学复习-函数与方程及函数的应用(知识点及典例,含答案)

函数与方程及函数的应用1. 函数的零点与方程的根(1)函数的零点对于函数f (x ),我们把使f (x )=0的实数x 叫做函数f (x )的零点. (2)函数的零点与方程根的关系函数F (x )=f (x )-g (x )的零点就是方程f (x )=g (x )的根,即函数y =f (x )的图象与函数y =g (x )的图象交点的横坐标. (3)零点存在性定理如果函数y =f (x )在区间[a ,b ]上的图象是连续不断的一条曲线,且有f (a )·f (b )<0,那么,函数y =f (x )在区间(a ,b )内有零点,即存在c ∈(a ,b )使得f (c )=0,这个c 也就是方程f (x )=0的根. 注意以下两点:①满足条件的零点可能不唯一; ②不满足条件时,也可能有零点.(4)二分法求函数零点的近似值,二分法求方程的近似解.例1 若a <b <c ,则函数f (x )=(x -a )(x -b )+(x -b )(x -c )+(x -c )(x -a )的两个零点分别位于区间( )A .(a ,b )和(b ,c )内B .(-∞,a )和(a ,b )内C .(b ,c )和(c ,+∞)内D .(-∞,a )和(c ,+∞)内例2 函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ln x -x 2+2x x >0 ,2x +1 x ≤0 ,的零点个数是( ) A .0B .1C .2D .3例3 f (x )=2x+x 3-2在区间(0,1)内的零点个数是( )A .0B .1C .2D .3例4 已知函数f (x )=a x+x -b 的零点x 0∈(n ,n +1)(n ∈Z ),其中常数a 、b 满足2a=3,3b=2,则n =________.2. 函数模型解决函数模型的实际应用题,首先考虑题目考查的函数模型,并要注意定义域.其解题步骤是(1)阅读理解,审清题意:分析出已知什么,求什么,从中提炼出相应的数学问题;(2)数学建模:弄清题目中的已知条件和数量关系,建立函数关系式;(3)解函数模型:利用数学方法得出函数模型的数学结果;(4)实际问题作答:将数学问题的结果转化成实际问题作出解答. (1)解答函数应用题的关键将实际问题中的数量关系转化为函数模型,常见模型有:一次或二次函数模型;分式函数模型;指数式函数模型等. (2)对函数模型求最值的常用方法 单调性法、基本不等式法及导数法.例 5 某地发生地质灾害,使当地的自来水受到了污染,某部门对水质检测后,决定在水中投放一种药剂来净化水质,已知每投放质量为m 的药剂后,经过x 天该药剂在水中释放的浓度y (毫克/升)满足y =mf (x ),其中f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 216+2,0<x ≤4,x +142x -2,x >4,当药剂在水中的浓度不低于4(毫克/升)时称为有效净化;当药剂在水中释放的浓度不低于4(毫克/升)且不高于10(毫克/升)时称为最佳净化.(1)如果投放的药剂质量为m =4,试问自来水达到有效净化一共可持续几天? (2)如果投放药剂质量为m ,为了使在7天(从投放药剂算起包括7天)之内的自来水达到最佳净化,试确定应该投放的药剂质量m 的最小值.例6 某地需要修建一条大型输油管道通过120公里宽的沙漠地带,该段输油管道两端的输油站已建好,余下工程只需要在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站).经预算,修建一个增压站的工程费用为432万元,铺设距离为x 公里的相邻两增压站之间的输油管道费用为x 3+x 万元.设余下工程的总费用为y 万元. (1)试将y 表示成关于x 的函数; (2)需要修建多少个增压站才能使y 最小? 练习题 一、选择题1.卖店函数f (x )=log 2x -1x的零点所在的区间为( )A .(0,12)B .(12,1)C .(1,2)D .(2,3)2. 函数f (x )=2x-2x-a 的一个零点在区间(1,2)内,则实数a 的取值范围是( )A .(1,3)B .(1,2)C .(0,3)D .(0,2)3. 根据统计,一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位:分钟)为f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧cx,x <A ,cA ,x ≥A(A ,c 为常数).已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A 件产品用时15分钟,那么c 和A 的值分别是( )A .75,25B .75,16C .60,25D .60,164. 已知关于x 的方程|x 2-6x |=a (a >0)的解集为P ,则P 中所有元素的和可能是 ( )A .3,6,9B .6,9,12C .9,12,15D .6,12,15二、填空题5. 函数f (x )=x 2-2x的零点个数为________.6. 若函数f (x )=x 2-ax -b 的两个零点是2和3,则函数g (x )=bx 2-ax -1的零点是________.7. 设定义域为R 的函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |,x >0,-x 2-2x ,x ≤0,则关于x 的函数y =2f 2(x )-3f (x )+1的零点的个数为________.8.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ,x >0,3x,x ≤0,且关于x 的方程f (x )+x -a =0有且只有一个实根,则实数a 的取值范围是________.三、解答题9.已知函数f (x )=2x,g (x )=12|x |+2.(1)求函数g (x )的值域;(2)求满足方程f (x )-g (x )=0的x 的值.10.已知二次函数f (x )的最小值为-4,且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |-1≤x ≤3,x ∈R }.(1)求函数f (x )的解析式; (2)求函数g (x )=f xx-4ln x 的零点个数.例1,2答案 (1)A (2)D解析 (1)由于a <b <c ,所以f (a )=0+(a -b )(a -c )+0>0,f (b )=(b -c )(b -a )<0,f (c )=(c -a )(c -b )>0.因此有f (a )·f (b )<0,f (b )·f (c )<0,又因f (x )是关于x 的二次函数,函数的图象是连续不断的曲线,因此函数f (x )的两零点分别位于区间(a ,b )和(b ,c )内,故选A.(2)依题意,当x >0时,在同一个直角坐标系中分别作出y =ln x 和y =x 2-2x =(x -1)2-1的图象,可知它们有两个交点;当x ≤0时,作出y =2x +1的图象,可知它和x 轴有一个交点.综合知,函数y =f (x )有三个零点.(1)函数零点(即方程的根)的确定问题,常见的有①函数零点值大致存在区间的确定;②零点个数的确定;③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定.解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法,尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解.(2)提醒:函数的零点不是点,是方程f (x )=0的根,即当函数的自变量取这个实数时,其函数值等于零.函数的零点也就是函数y =f (x )的图象与x 轴的交点的横例3 先判断函数的单调性,再确定零点.因为f ′(x )=2x ln 2+3x 2>0,所以函数f (x )=2x+x 3-2在(0,1)上递增, 且f (0)=1+0-2=-1<0,f (1)=2+1-2=1>0, 所以有1个零点.例4 f (x )=a x +x -b 的零点x 0就是方程a x =-x +b 的根.设y 1=a x,y 2=-x +b ,故x 0就是两函数交点的横坐标,如图,当x =-1时,y 1=1a=log 32<y 2=1+b =1+log 32,∴-1<x 0<0,∴n =-1.例5解 (1)由题意,得当药剂质量m =4时,y =⎩⎪⎨⎪⎧x 24+8 0<x ≤4 ,2x +28x -1 x >4 .当0<x ≤4时x 24+8≥4,显然符合题意.当x >4时2x +28x -1≥4,解得4<x ≤16.综上0<x ≤16.所以自来水达到有效净化一共可持续16天.(2)由y =m ·f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧mx 216+2m 0<x ≤4 ,m x +142x -2 x >4 ,得当0<x ≤4时,y =mx 216+2m 在区间(0,4]上单调递增,即2m <y ≤3m ;当x >4时,y ′=-30m 2x -2 2<0,∴函数在区间(4,7]上单调递减,即7m4≤y <3m , 综上知,7m 4≤y ≤3m ,为使4≤y ≤10恒成立,只要7m4≥4且3m ≤10即可,即167≤m ≤103.所以应该投放的药剂量m 的最小值为167. 例6解 (1)设需要修建k 个增压站,则(k +1)x =120,即k =120x-1,所以y =432k +(k +1)(x 3+x ) =432×(120x -1)+120x(x 3+x )=51 840x+120x 2-312.因为x 表示相邻两增压站之间的距离,则0<x ≤60. 故y 与x 的函数关系是y =51 840x+120x 2-312(0<x ≤60).(2)因为f (x )=51 840x +120x 2-312(0<x ≤60),则f ′(x )=-51 840x 2+240x =240x2(x 3-216),由f ′(x )>0,得x 3>216,又0<x ≤60,则6<x ≤60.所以f (x )在区间(6,60]上为增函数,在区间(0,6)上为减函数. 所以当x =6时,f (x )取最小值,此时k =120x -1=1206-1=19.故需要修建19个增压站才能使y 最小. 1,答案 C解析 函数f (x )的定义域为(0,+∞),且函数f (x )在(0,+∞)上为增函数.f (12)=log 212-112=-1-2=-3<0,f (1)=log 21-11=0-1<0,f (2)=log 22-12=1-12=12>0,f (3)=log 23-13>1-13=23>0,即f (1)·f (2)<0,∴函数f (x )=log 2x -1x的零点在区间(1,2)内.2答案 C解析 因为f ′(x )=2xln 2+2x2>0,所以f (x )是增函数,由条件可知f (1)f (2)<0,即(2-2-a )(4-1-a )<0,即a (a -3)<0, 解之得0<a <3. 3答案 D解析 因为组装第A 件产品用时15分钟, 所以cA=15, ①所以必有4<A ,且c4=c2=30, ②联立①②解得c =60,A =16. 4答案 B解析 令f (x )=|x 2-6x |,作图象知f (x )=|x 2-6x |的图象关于直线x =3对称, 它与直线y =a 交点的个数为2,3或4个. 所以方程根的和为6,9,12.选B. 5答案 3解析 由于f (-1)=1-2-1=12>0,又f (0)=0-1<0,则在区间(-1,0)内有1个零点; 又f (2)=22-22=0,f (4)=42-24=0,故有3个零点.6答案 -12,-13解析 由⎩⎪⎨⎪⎧22-2a -b =032-3a -b =0,得⎩⎪⎨⎪⎧a =5b =-6.∴g (x )=-6x 2-5x -1的零点为-12,-13.7答案 7解析 由y =2f 2(x )-3f (x )+1=0得f (x )=12或f (x )=1,如图画出f (x )的图象,由f (x )=12知有4个根,由f (x )=1知有3个根,故共有7个零点.8.答案 (1,+∞)解析 画出函数y =f (x )与y =a -x 的图象,如图所示,所以a >1. 9解 (1)g (x )=12|x |+2=⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |+2,因为|x |≥0,所以0<⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |≤1,即2<g (x )≤3,故g (x )的值域是(2,3]. (2)由f (x )-g (x )=0得2x-12|x |-2=0, 当x ≤0时,显然不满足方程, 当x >0时,由2x-12x -2=0,整理得(2x )2-2·2x-1=0,(2x-1)2=2, 故2x=1±2,因为2x>0,所以2x=1+2, 即x =log 2(1+2).10解 (1)∵f (x )是二次函数,且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |-1≤x ≤3,x ∈R },∴f (x )=a (x +1)(x -3)=ax 2-2ax -3a ,且a >0. 又∵a >0,f (x )=a [(x -1)2-4]≥-4,且f (1)=-4a , ∴f (x )min =-4a =-4,a =1.故函数f (x )的解析式为f (x )=x 2-2x -3.(2)∵g (x )=x 2-2x -3x-4ln x=x -3x-4ln x -2 (x >0),∴g ′(x )=1+3x 2-4x = x -1 x -3x2. x ,g ′(x ),g (x )的取值变化情况如下:x (0,1) 1 (1,3) 3 (3,+∞)g ′(x ) + 0 - 0 + g (x )单调增加极大值单调减少极小值单调增加当0<x ≤3时,g (x )≤g (1)=-4<0; 又g (e 5)=e 5-3e 5-20-2>25-1-22=9>0.故函数g (x )只有1个零点,且零点x 0∈(3,e 5).。
专题12函数与方程--2022年(新高考)数学高频考点+重点题型(解析版)

专题12函数与方程--2022年(新高考)数学高频考点+重点题型一、关键能力学生应掌握函数的零点、方程的解、图象交点(横坐标)三者之间的灵活转化,以实现快速解决问题.二、教学建议从近三年高考情况来看,本讲一直是高考的热点,尤其是函数零点(方程的根)个数的判断及由零点存在性定理判断零点是否存。
常常以基本初等函数为载体,结合函数的图象,判断方程根的存在性及根的个数,或利用函数零点确定参数的取值范围等.也可与导数结合考查.题目的难度起伏较大.三、自主梳理1.函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y=f(x) (x∈D),把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x) (x∈D)的零点.(2)几个等价关系方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个__c__也就是方程f(x)=0的根.2.二次函数y=ax2+bx+c (a>0)的图象与零点的关系(☆☆☆)(x0),(x0)(x0)无交点四、高频考点+重点题型考点一、求解函数零点例1-1(直接求解函数零点)(2019·全国卷⇔)函数f(x)=2sin x-sin 2x在[0,2π]所有零点之和为【答案】3π【解析】由f(x)=2sin x-sin 2x=2sin x-2sin x cos x=2sin x·(1-cos x)=0得sin x=0或cos x =1,⇔x=kπ,k⇔Z,又⇔x⇔[0,2π],⇔x=0,π,2π,即零点有3个.例1-2(二分法求零点)用二分法求函数f(x)=3x-x-4的一个零点,其参考数据如下:据此数据,可得方程3x-x-4=0的一个近似解为________(精确到0.01)【答案】1.56【解析】注意到f(1.5562)=-0.029和f(1.5625)=0.003,显然f(1.5562)f(1.5625)<0,故区间的端点四舍五入可得1.56.对点训练1.(天津高考真题)已知函数,函数,则函数的所有零点之和为()A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【解析】当x<0时2−x>2,所以f(x)=2−|x|=2+x,f(2−x)=x2,此时函数f(x)−g(x)=f(x)+f(2−x)−3=x2+x−1的小于零的零点为x=−1+√5;当0≤x≤2时f(x)=2−2|x|=2−x,f(2−x)=2−|2−x|=x,函数f(x)−g(x)=2−x+x−3=−1无零点;当x>2时,f(x)=(x−2)2,f(2−x)=2−|2−x|=4−x,函数f(x)−g(x)=(x−2)2+4−x−3=x2−5x+5大于2的零点为x=5+√5,综上可得.故选A.2对点训练2.(2020·郸城县实验高中高一月考)如图是函数f(x)的图象,它与x轴有4个不同的公共点.给出的下列四个区间之中,存在不能用二分法求出的零点,该零点所在的区间是( )A .[-2.1,-1]B .[4.1,5]C .[1.9,2.3]D .[5,6.1]【答案】C 【解析】结合图象可得:ABD 选项每个区间的两个端点函数值异号,可以用二分法求出零点, C 选项区间两个端点函数值同号,不能用二分法求零点. 故选:C对点训练3.用二分法求函数()y f x =在区间()2,4上的近似解,验证()()240f f <,给定精度为0.1,需将区间等分__________次. 【答案】5 【解析】因为区间()2,4的长度为2,所以第一次等分后区间长度为1,第二次等分后区间长度为0.5,……第四次等分后区间长度为0.125<0.2,第五次等分区间后区间长度为0.0625<0.1,所以需要将区间等分5次. 故答案为5.考点二、判断函数零点个数 例2-1(直接求解零点)(2020·江苏省高三其他)设表示不超过实数的最大整数(如,),则函数的零点个数为_______.[]t t [ 1.3]2-=-[2.6]2=[]()21f x x x =--【答案】2 【解析】函数的零点即方程的根,函数的零点个数,即方程的根的个数..当时,. 当时,或或(舍). 当时,,方程无解. 综上,方程的根为,1. 所以方程有2个根,即函数有2个零点. 故答案为:2.例2-2(零点存在定理+单调性)(2021·北京清华附中高三其他模拟)函数()ln 6f x x x =+-的零点一定位于区间( ) A .()2,3 B .()3,4C .()4,5D .()5,6【答案】C 【解析】根据零点存在性定理,若在区间(,)a b 有零点,则()()0f a f b ⋅<,逐一检验选项,即可得答案. 【详解】由题意得()ln 6f x x x =+-为连续函数,且在(0,)+∞单调递增,(2)ln 240,(3)ln330f f =-<=-<,2(4)ln 42ln 20f e =-<-=,(5)ln 51ln 10f e =->-=,根据零点存在性定理,(4)(5)0f f ⋅<,[]()21f x x x =--[]21x x -=∴()f x []21x x -=[]210,0,0x x x -≥∴≥∴≥01x ≤<[]10,210,2x x x =∴-=∴=1x =[]1,211,211x x x =∴-=∴-=211,1x x -=-∴=0x =1x >[]2121x x x x -=->≥∴[]21x x -=[]21x x -=12[]21x x -=[]()21f x x x =--所以零点一定位于区间()4,5. 故选:C例2-3(2021·山东烟台市·高三二模)已知函数()f x 是定义在区间()(),00,-∞+∞上的偶函数,且当()0,x ∈+∞时,()()12,0221,2x x f x f x x -⎧<≤⎪=⎨-->⎪⎩,则方程()2128f x x +=根的个数为( ) A .3 B .4 C .5 D .6【答案】D 【解析】将问题转化为()f x 与228xy =-的交点个数,由解析式画出在(0,)+∞上的图象,再结合偶函数的对称性即可知定义域上的交点个数. 【详解】要求方程()2128f x x +=根的个数,即为求()f x 与228xy =-的交点个数,由题设知,在(0,)+∞上的图象如下图示,∴由图知:有3个交点,又由()f x 在()(),00,-∞+∞上是偶函数,∴在,0上也有3个交点,故一共有6个交点.故选:D.对点训练1.(2020·开原市第二高级中学高三)函数21()f x x x=+,(0,)x ∈+∞的零点个数是( ). A .0 B .1C .2D .3【答案】A 【解析】根据函数定义域,结合零点定义,即可容易判断和求解. 【详解】 由于20x >,10x>, 因此不存在(0,)x ∈+∞使得21()0f x x x=+=, 因此函数没有零点. 故选:A .对点训练2-1.(2020·海丰县彭湃中学高一期末)函数的零点所在的大致区间为( ) A . B . C . D .【答案】D 【解析】因为函数在R 上单调递减, ,,所以零点所在的大致区间为 故选:D对点训练2-2【多选题】(2021·湖北荆州市·荆州中学高三其他模拟)在下列区间中,函数()43x f x e x =--一定存在零点的区间为( )A .11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B .(,3)e -C .10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D .11,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭31()102f x x x =--+(1,0)-(0,1)(1,2)(2,3)31()102f x x x =--+(2)10f =>(3)0f <(2,3)【答案】ABD 【解析】本题首先可通过求导得出函数()f x 在()ln 4,+∞上是增函数、在(),ln 4-∞上是减函数以及()ln 40f <,然后通过函数()f x 的单调性以及零点存在性定理对四个选项依次进行判断,即可得出结果. 【详解】()43x f x e x =--,()4x f x e '=-,当()0f x '>时,ln 4x >,函数()f x 在()ln 4,+∞上是增函数; 当()0f x '<时,ln 4x <,函数()f x 在(),ln 4-∞上是减函数,()ln4ln 44ln 4314ln 40f e =--=-<,A 项:()1114310f e e--=-=+>+,1211435022f e ⎛⎫=-⨯-=< ⎪⎝⎭,因为()1102f f ⎛⎫-⨯< ⎪⎝⎭,所以函数()f x 在11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭内存在零点,A 正确;B 项:()430ef e e e -+-=->,()333123150f e e =--=>-,因为ln 43e,()ln 40f <,所以函数()f x 在(,3)e -内存在零点,B 正确;C 项:()00320f e =-=-<,102f ⎛⎫<⎪⎝⎭,()1002f f ⎛⎫⨯> ⎪⎝⎭, 因为1ln 42,所以函数()f x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭内不存在零点,C 错误; D 项:()10f ->,11430e f e e e ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭,()110f f e ⎛⎫-⨯< ⎪⎝⎭, 则函数()f x 在11,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭内存在零点,D 正确, 故选:ABD.对点训练3.(2018·全国卷⇔)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧e x ,x ≤0,ln x ,x >0,g (x )=f (x )+x +a .若g (x )存在2个零点,则a 的取值范围是( )A .[-1,0)B .[0,+∞)C .[-1,+∞)D .[1,+∞)【答案】C【解析】令h (x )=-x -a ,则g (x )=f (x )-h (x ).在同一坐标系中画出y =f (x ),y =h (x )的示意图,如图所示.若g (x )存在2个零点,则y =f (x )的图象与y =h (x )的图象有2个交点,平移y =h (x )的图象,可知当直线y =-x -a 过点(0,1)时,有2个交点,此时1=-0-a ,a =-1.当y =-x -a 在y =-x +1上方,即a <-1时,仅有1个交点,不符合题意.当y =-x -a 在y =-x +1下方,即a >-1时,有2个交点,符合题意.综上,a 的取值范围为[-1,+∞).故选C.考点三、已知零点求参 例3-1(已知零点个数求参)(2021·广东茂名市·高三二模)已知函数()()12log 1,0,(1),0,x x f x f x x ⎧+≥⎪=⎨⎪+<⎩若函数()()g x f x x a =--有且只有两个不同的零点,则实数a 的取值可以是( )A .-1B .0C .1D .2【答案】B 【解析】作出函数()f x 的图象如下图所示,将原问题转化为函数()f x 的图象与直线+y =x a 有两个不同的交点,根据图示可得实数a 的取值范围. 【详解】作出函数()f x 的图象如下图所示,令()()0g x f x x a =--=,即()+f x x a =, 所以要使函数()()g x f x x a =--有且只有两个不同的零点,则需函数()f x 的图象与直线+y =x a 有两个不同的交点,根据图示可得实数a 的取值范围为(]10-,,故选:B.例3-2(已知零点所在区间求参)函数f (x )=2x-2x -a 的一个零点在区间(1,2)内,则实数a 的取值范围是( )A .(1,3)B .(1,2)C .(0,3)D .(0,2)【答案】C【解析】因为f (x )在(0,+∞)上是增函数,则由题意得f (1)·f (2)=(0-a )(3-a )<0,解得0<a <3,故选C 。
高中数学函数与方程知识点总结、经典例题及解析、高考真题及答案

yf)xU y = f (x)f (x) =0f(x) f(x)f(a)f(b )£0 f(x)fa,bf (x) =0f (x) =02f(x)=0:_、八 f (x)f(x) =0f(x)3f(x) X 。
f(x) X 。
f(x)la,b 11 y = f (x)2 1y = f(x )y = f(x)a,b[a,b]x^e (a,b)f%)=0X 。
f(x) =0 f(a)f(b) :::0二 0:=."■= =0 ==f (x) =f (x)f(x) f(x) =0 -0 [a,b]f (a)f(b) :::0y =f(x ),2 [a,b], f(a) f(b) <0(a,b)cf (x) =0= f(x)la,b I③计算f(c);(i )若 f (C) =0,则c 就是函数的零点;(ii )若 f (a) ・f(c) :::0,则令 b =c (此时零点 & • (a,c)); (iii)若 f (c) f(b) :::0,则令 a = c (此时零点 xo 三(c,b)); ④判断是否达到精确度£,即 a _b vI 则得到零点近似值为a(或b );否则重复②至④步【经典例题】1函数f(x)=2x +x 3 -2在区间(0,1)内的零点个数是()A 、0B 、1C 、22.函数f(x) = 2x + 3x 的零点所在的一个区间是 ()3.若函数f(x)=a x -x-a (a 0且a = 1)有两个零点,则实数 a 的取值范围是 _______________________ .A 、(一汽—2] U — 1 , 2B 、( — ^,— 2] U — 1,—寸C 、C 1,1 )u (4,+4D 、(— 1,- 4)u 士+T8 .已知函数 f (x ) = log a x x -b(a > 0,且 a = 1).当 2 v a v 3 v b v 4 时,函数 f (x )的零点x 0 (n, n 1), n N ,贝V n 二 __________ .9. 求下列函数的零点:324(1) f (x)二 x -2x 「x 2 ;(2) f (x)二 x函数 h(x)=g(x)-f(x)在A 、5 1 3[-丄,3]上的零点个数为( ) D 、8B 、6C 、75.函数2f (X )二XCOSX 在区间[0,4]上的零点个数为()A 、 4B 、5C 、6D 、76.函数 f (X)二、X - -cosx 在[0,)内 ( )A 、没有零点B 、有且仅有一个零点C 、有且仅有两个零点D 、有无穷多个零点4.设函数 f(x)(x R)满足 f(-x )=f (x), f(x)=f(2-x),且当 x [0,1]时, a , a — b w]…227.对实数a 和b ,定义运算 “”:a?b =<设函数f(x)= (x 2— 2)?(x — x 2), x € R ,若函数y = f(x)l b , a — b>1.—c 的图象与x 轴恰有两个公共点,则实数 c 的取值范围是 () A 、(一 2, - 1)B 、(- 1,0)C 、(0,1)D 、 (1,2)3f(x)=x •又函数 g(x)= |xcos (二 x) |,则x10.判断函数y= X3—X—1在区间[1,1.5]内有无零点,如果有,求出一个近似零点(精确度0.1).【课堂练习】1、在下列区间中,函数1A、(——,0)42、f (x) = e x• 4x -3的零点所在的区间为1 1 1B、(0,;)C、(;,)4 4 2(D、1 3(越)3、若x°是方程lg x • x = 2的解,贝U x°属于区间A、(0,1)B、(1,1.25)C、(1.25,1.75)下列函数中能用二分法求零点的是()(1.75,2)的零点所在的一个区间是4、函数 f X =2X+3xA . ( -2,-1)B、(-1, 0) C、( 0, 1) (1, 2)5、设函数f x =4sin (2x+1) -x,则在下列区间中函数 f x不存在零点的是A > [-4,-2]6、函数f x = x -cosx 在[0,B > [-2,0]■::)内A、没有零点B、有且仅有一个零点7、若函数f (x)的零点与g(x) =4x ' 2x -2A、f (x) =4x T[0,2] [2,4]有且仅有两个零点的零点之差的绝对值不超过C、0.25,B、f (x) =(x -1)2C、f (x) = e x T有无穷多个零点则f(x)可以是( )1f (x) = l n( x )28下列函数零点不宜用二分法的是()3f (x) = x -8 B、f (x) = In x 3 9、函数f(x)=log 2X+2x-1的零点必落在区间(C、f(x) =X222x 2)2D、f (x) = -x 4x1D[?1]f 1 ::0, f 1.5 0, f 1.25 ::: 0, A (1,1.25) B (1.25,1.5)C (1.5,2)D14f (x) = 4sin(2 x +1) —xf(x)A 【Y-2】B1-2,0 】C10,2】D〔2,4】x 2 +2x —3,x 兰015f (x)=A 3B 2C 1D 0-2 In x, x 03216f (x) =x +x —2x —2A 1.2B 1.3C 1.4D 1.5172“+X 2=3__________18 2 2f (x)二 x (a T)x a -21119 f(x) =4x+x 2 -2x 3[-1,1]320 f (x) = x 3 2x 2 _3x _6( 0.1)10M 1 )_ , ___ I841Ig x 0 xD (1,2)(0, 1]B (1, 10] (10, 100]D (100,::)11f(x) =e x 4x -3(-〕0) 4(0,1) 41 3 (越)12f (x)=二 x log 2 x13f x = 3x3x -8 ,3x 3x - 8 = 01,21 1 [8,4]【课后作业】F 列函数图象与x 轴均有交点,但不宜用二分法求交点横坐标的是34、若函数f(x) =x -3x a 有3个不同的零点,则实数a 的取值范围是 ( )9、用二分法求方程f(x) =0在(1,2)内近似解的过程中得 f (1) ::: 0, f (1.5) • 0, f (1.25) :::0f(1)<0 ,则方程的根在区间()A 、(1.25,1.5)B 、(1,1.25)110、设函数 f(x) = ^x — Inx(x >0),贝U y = f(x)A 、在区间1,1 , (1, e)内均有零点 C 、(1.5,2) D 、不能确定 ()1、 2、 3、设f(x) =3x -x 2,则在下列区间中,使函数A 、[0,1]B 、[1,2]f (x)有零点的区间是C 、[ — 2,— 1]) [—1,0]已知f(x)唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)内,那么下面命题错误的A 、函数f(x)在(1,2)或12,3内有零点B 、函数f(x)在(3,5)内无零点C 、函数f(x)在(2,5)内有零点D 、函数f(x)在(2,4)内不一定有零点A 、-2,2B 、〔-2,2】C 、」:,-1A 、(— 1, 0)B 、( 0, 1)C 、(1, 2) 36、求函数f (x) =2x-3x 1零点的个数为( ) A 、1B 、2C 、3D 、(1, e )的零点,则m 的取值范围是( )11A 、(,::11B、(」W )11C 、(」盲)8方程Igx -x = 0根的个数为( )A 、无穷多B 、3C 、1D 、05、函数f(x)二x lnx 的零点所在的区间为() 7 如果二次函数有两个不同B、在区间匕,1 , (1, e)内均无零点C、在区间e,1内有零点,在区间(1, e)内无零点D、在区间e 1内无零点,在区间(1, e)内有零点1 211、设函数f(x) =1 nx x 1(x 0),则函数y = f(x)()2A、在区间(0,1), (1,2)内均有零点B、在区间(0,1)内有零点,在区间(1,2)内无零点C、在区间(0,1), (1,2)内均无零点D、在区间(0,1)内无零点,在区间(1,2)内有零点312、用二分法研究函数f(x) =X 3x-1的零点时,第一次经计算f(0) :::0, f(0.5) . 0,可得其中一个零点X。
高考数学总复习含答案:函数与方程(理)知识梳理

函数与方程【考纲要求】1.了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数.2.根据具体函数的图像,能够用二分法求相应方程的近似解.3.理解函数与方程之间的关系,并能解决一些简单的数学问题。
【知识网络】【考点梳理】1.函数零点的理解(1)函数的零点、方程的根、函数图象与x 轴的交点的横坐标,实质是同一个问题的三种不同表达形式,方程根的个数就是函数零点的个数,亦即函数图象与x 轴交点的个数. (2)变号零点与不变号零点①若函数()f x 在零点x 0左右两侧的函数值异号,则称该零点为函数()f x 的变号零点. ②若函数()f x 在零点x 0左右两侧的函数值同号,则称该零点为函数()f x 的不变号零点.③若函数()f x 在区间[a ,b]上的图象是一条连续的曲线,则()()0f a f b ⋅<是()f x 在区间(a ,b )内有零点的充分不必要条件.要点诠释:如果函数最值为0,则不能用此方法求零点所在区间。
2.用二分法求曲线交点的坐标应注意的问题(1)曲线交点坐标即为方程组的解,从而转化为求方程的根.(2)求曲线()y f x =与()y g x =的交点的横坐标,实际上就是求函数()()y f x g x =-的零点,即求()()0f x g x -=的根.要点诠释:如果函数的图象不能画出,应通过适当的变形转换成另外的函数。
3.关于用二分法求函数零点近似值的步骤需注意的问题(1)第一步中要使:①区间长度尽量小;②()f a 、()f b 的值比较容易计算且()()0f a f b ⋅<.函数与方程 函数的零点二分法函数与方程的关系(2)根据函数的零点与相应方程根的关系,求函数的零点与求相应方程的根是等价的.对于求方程()()f x g x =的根,可以构造函数()()()F x f x g x =-),函数()F x 的零点即为方程()()f x g x =的根. 【典型例题】类型一、判断函数零点的位置例1.函数f(x)=2x+3x 的零点所在的一个区间是 ( ) A .(-2,-1) B .(-1,0) C .(0,1) D .(1,2) 解析:∵f(0)=1>0,f(-1)=52-<0,∴选B. 答案:B点评:求函数的零点就是求相应方程的实数根,一般可以借助求根公式或因式分解等方法,求出方程的根,从而得到函数的零点.举一反三:【变式】已知函数()log (0,1)a f x x x b a a =+->≠且,当234a b <<<<时,函数()f x 的零点*0(,1),x n n n N ∈+∈,则n = ..解:用数形结合法 log a x x b =-+ 作出 2log y x =及3log y x =的图象, 作出 3y x =-+及4y x =-+由图象可知,当(2,3)a 在内变动,(3,4)b 在内变动时,显然对数函数图象与直线y x b =-+的公共点皆在区间(2,3)内,即函数()f x 的零点0(2,3)x ∈,故2n =.类型二、确定函数零点的个数例2.二次函数2y ax bx c =++中,0ac <,则函数的零点的个数是( ) A.1 B.2 C.0 D.无法确定 解法1:20,40ac b ac <∴∆=->Q ∴方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根 ∴函数2y ax bx c =++有两个零点,选B. 解法2:()00ac a f =⋅<Q()()000000a a f f ><⎧⎧⎪⎪∴⎨⎨<>⎪⎪⎩⎩或,不论哪种情况,二次函数图象与x 轴都有两个交点,所以函数有两个零点.选B. 点评:可以利用函数图象或方程的判别式.举一反三:【变式】设函数f (x )=4sin(2x +1)-x ,则在下列区间中函数f (x )不存在零点的是( ) A .[-4,-2] B .[-2,0] C .[0,2]D .[2,4]解析:本题判断f(x)=0在区间内是否成立,即4sin(2x +1)=x 是否有解.如图:显然在[2,4]内曲线y =4sin(2x +1),当x =54π-12时,y =4,而曲线y =x ,当x =54π-12<4,有交点,故选A.答案:A例3.(2015 安徽三模)定义在R 上的奇函数()f x ,当0x ≥时,()()12log 1,[0,1)13,[1,)x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨⎪--∈+∞⎩,则关于x 的函数()()()01F x f x a a =-<<的所有零点之和为( ) A .21a- B .21a-- C .12a -- D .12a -答案:D【解析】当10-x ≤<时,10x ≥->,当1x ≤-时,1x -≥,()f x Q 为奇函数0x <Q 时,()()()12log 1,[1,0)13,(,1]x x f x f x x x ⎧--+∈-⎪=--=⎨⎪-+--∈-∞-⎩画出()y f x =和()01y a a =<<的图像如图所示:共有5个交点,设其横坐标从左到右分别为1x ,2x ,3x ,4x ,5x ,则1232x x +=-,4532x x +=,而()132log 1x a --+=即()23log 1x a -+= 312a x ∴-= 即312a x =-所以1234512ax x x x x ++++=-,故选D.举一反三:【变式1】(2015 河东区一模)函数()2ln f x x x =--在定义域内零点的个数为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 答案:C【解析】由题意,函数()f x 的定义域为()0,+∞;求函数()2ln f x x x =--在定义域内零点的个数等价于求函数ln y x =和函数2y x =-的图像在()0,+∞上的交点个数,在同一个坐标系下画出两个函数的图像如下:由图得,两个函数图像有两个交点,故对应函数有两个零点.故选C.【变式2】已知函数2()1f x x =-,()g x x a =+.若方程()()0f x g x -=有两个不相等的实根,求实数a 的取值范围。
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函数与方程【知识梳理】1、函数零点的定义(1)对于函数)(x f y =,我们把方程0)(=x f 的实数根叫做函数)(x f y =的零点。
(2)方程0)(=x f 有实根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点。
因此判断一个函数是否有零点,有几个零点,就是判断方程0)(=x f 是否有实数根,有几个实数根。
函数零点的求法:解方程0)(=x f ,所得实数根就是()f x 的零点(3)变号零点与不变号零点①若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值异号,则称该零点为函数()f x 的变号零点。
②若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值同号,则称该零点为函数()f x 的不变号零点。
③若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续的曲线,则0)()(<b f a f 是()f x 在区间(),a b 内有零点的充分不必要条件。
2、函数零点的判定(1)零点存在性定理:如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的曲线,并且有()()0f a f b ⋅<,那么,函数)(x f y =在区间(),a b 内有零点,即存在),(0b a x ∈,使得0)(0=x f ,这个0x 也就是方程0)(=x f 的根。
(2)函数)(x f y =零点个数(或方程0)(=x f 实数根的个数)确定方法① 代数法:函数)(x f y =的零点⇔0)(=x f 的根;②(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点。
(3)零点个数确定0∆>⇔)(x f y =有2个零点⇔0)(=x f 有两个不等实根;0∆=⇔)(x f y =有1个零点⇔0)(=x f 有两个相等实根;0∆<⇔)(x f y =无零点⇔0)(=x f 无实根;对于二次函数在区间[],a b 上的零点个数,要结合图像进行确定.1、 二分法(1)二分法的定义:对于在区间[,]a b 上连续不断且()()0f a f b ⋅<的函数()y f x =,通过不断地把函数()y f x =的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法;(2)用二分法求方程的近似解的步骤:① 确定区间[,]a b ,验证()()0f a f b ⋅<,给定精确度ε;②求区间(,)a b 的中点c ;③计算()f c ;(ⅰ)若()0f c =,则c 就是函数的零点;(ⅱ) 若()()0f a f c ⋅<,则令b c =(此时零点0(,)x a c ∈);(ⅲ) 若()()0f c f b ⋅<,则令a c =(此时零点0(,)x c b ∈);④判断是否达到精确度ε,即a b ε-<,则得到零点近似值为a (或b );否则重复②至④步.【经典例题】1.函数3()=2+2x f x x -在区间(0,1)内的零点个数是 ( )A 、0B 、1C 、2D 、32.函数 f (x )=2x +3x 的零点所在的一个区间是 ( )A 、(-2,-1)B 、(-1,0)C 、(0,1)D 、(1,2) 3.若函数=)(x f x a x a -- (0a >且1a ≠)有两个零点,则实数a 的取值范围是 .4.设函数f (x )()x R ∈满足f (x -)=f (x ),f (x )=f (2-x ),且当[0,1]x ∈时,f (x )=x 3.又函数g (x )= |x cos ()x π|,则函数h (x )=g (x )-f (x )在13[,]22-上的零点个数为 ( ) A 、5 B 、6 C 、7 D 、85.函数2()cos f x x x =在区间[0,4]上的零点个数为 ( )A 、4B 、5C 、6D 、7 6.函数()cos f x x x =-在[0,)+∞内 ( )A 、没有零点B 、有且仅有一个零点C 、有且仅有两个零点D 、有无穷多个零点7.对实数a 和b ,定义运算“?”:a ?b =⎩⎪⎨⎪⎧a ,a -b ≤1,b ,a -b >1.设函数f (x )=(x 2-2)?(x -x 2),x ∈R ,若函数y =f (x )-c 的图象与x 轴恰有两个公共点,则实数c 的取值范围是 ( )A 、(-∞,-2]∪⎝⎛⎭⎫-1,32B 、(-∞,-2]∪⎝⎛⎭⎫-1,-34 C 、⎝⎛⎭⎫-1,14∪⎝⎛⎭⎫14,+∞ D 、⎝⎛⎭⎫-1,-34∪⎣⎡⎭⎫14,+∞ 8.已知函数f x ()=log (0a 1).a x x b a +-≠>,且当2<a <3<b <4时,函数f x ()的零点*0(,1),,n=x n n n N ∈+∈则 .9.求下列函数的零点:(1)32()22f x x x x =--+; (2)4()f x x x=-. 10.判断函数y =x 3-x -1在区间[1,1.5]内有无零点,如果有,求出一个近似零点(精确度0.1).【课堂练习】1、在下列区间中,函数()43x f x e x =+-的零点所在的区间为 ( )A 、1(,0)4- B 、1(0,)4 C 、11(,)42 D 、13(,)242、若0x 是方程lg 2x x +=的解,则0x 属于区间 ( )A 、(0,1)B 、(1,1.25)C 、(1.25,1.75)D 、(1.75,2)3、下列函数中能用二分法求零点的是 ( )4、函数f ()x =2x +3x 的零点所在的一个区间是 ( )A .(-2,-1)B 、(-1,0)C 、(0,1)D 、(1,2)5、设函数f ()x =4sin (2x+1)-x ,则在下列区间中函数f ()x 不存在零点的是 ( )A 、[-4,-2]B 、[-2,0]C 、[0,2]D 、[2,4]6、函数()x f =x -cos x 在[0,∞+﹚内 ( )A 、没有零点B 、有且仅有一个零点C 、有且仅有两个零点D 、有无穷多个零点7、若函数()f x 的零点与()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25,则()f x 可以是() A 、()41f x x =- B 、2()(1)f x x =- C 、()1x f x e =- D 、1()ln()2f x x =-8、下列函数零点不宜用二分法的是 ( )A 、3()8f x x =-B 、()ln 3f x x =+C 、2()2f x x =++D 、2()41f x x x =-++9、函数f(x)=log 2x+2x-1的零点必落在区间 ( )A 、⎪⎭⎫ ⎝⎛41,81B 、⎪⎭⎫ ⎝⎛21,41C 、⎪⎭⎫⎝⎛1,21D 、(1,2)10、01lg =-x x 有解的区域是 ( )A 、(0,1]B 、(1,10]C 、(10,100]D 、(100,)+∞11、在下列区间中,函数()e 43x f x x =+-的零点所在的区间为 ( )A 、1(,0)4-B 、 1(0,)4C 、11(,)42D 、13(,)2412、函数2()log f x x x π=+的零点所在区间为( )A 、1[0,]8 B 、11[,]84 C 、11[,]42 D 、1[,1]213、设()833-+=x x f x ,用二分法求方程()2,10833∈=-+x x x 在内近似解的过程中得()()(),025.1,05.1,01<><f f f 则方程的根落在区间( )A 、(1,1.25)B 、(1.25,1.5)C 、(1.5,2)D 、不能确定14、设函数()4sin(21)f x x x =+-,则在下列区间中函数()f x 不.存在零点的是( )A 、[]4,2--B 、 []2,0-C 、[]0,2D 、[]2,415、函数223,0()2ln ,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩, 零点个数为( )A 、3 B 、2 C 、1 D 、016、若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据如下:那么方程32220x x x +--=的一个近似根(精确到0.1)为 ( )A 、1.2B 、1.3C 、1.4D 、1.517、方程223x x -+=的实数解的个数为 .18、已知函数22()(1)2f x x a x a =+-+-的一个零点比1大,一个零点比1小,求实数a 的取值范围。
19、判断函数232()43f x x x x =+-在区间[1,1]-上零点的个数,并说明理由。
20 、求函数32()236f x x x x =+--的一个正数零点(精确度0.1). 【课后作业】1、下列函数图象与x 轴均有交点,但不宜用二分法求交点横坐标的是 ( )2、设2()3x f x x =-,则在下列区间中,使函数)(x f 有零点的区间是 ( )A 、[0,1]B 、[1,2]C 、[-2,-1]D 、[-1,0]3、已知)(x f 唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)内,那么下面命题错误的 ( )A 、函数)(x f 在(1,2)或[)2,3内有零点B 、函数)(x f 在(3,5)内无零点C 、函数)(x f 在(2,5)内有零点D 、函数)(x f 在(2,4)内不一定有零点4、若函数3()3f x x x a =-+有3个不同的零点,则实数a 的取值范围是( ) A 、()2,2- B 、[]2,2- C 、(),1-∞- D 、()1,+∞5、函数x x x f ln )(+=的零点所在的区间为 ( )A 、(-1,0)B 、(0,1)C 、(1,2)D 、(1,e )6、求函数132)(3+-=x x x f 零点的个数为 ( )A 、1B 、2C 、3D 、47、如果二次函数23y x x m =+++有两个不同的零点,则m 的取值范围是 ( )A 、11(,)4+∞B 、11(,)2-∞C 、11(,)4-∞D 、11(,)2+∞ 8、方程0lg =-xx 根的个数为 ( ) A 、无穷多 B 、3 C 、1 D 、09、用二分法求方程()0f x =在(1,2)内近似解的过程中得(1)0,(1.5)0,(1.25)0f f f <><f(1)<0,则方程的根在区间 ( )A 、(1.25,1.5)B 、(1,1.25)C 、(1.5,2)D 、不能确定10、设函数f(x)=13x -lnx(x >0),则y =f(x) ( ) A 、在区间⎝⎛⎭⎫1e ,1,(1,e)内均有零点 B 、在区间⎝⎛⎭⎫1e ,1,(1,e)内均无零点 C 、在区间⎝⎛⎭⎫1e ,1内有零点,在区间(1,e)内无零点 D 、在区间⎝⎛⎭⎫1e ,1内无零点,在区间(1,e)内有零点11、设函数21()ln 1(0)2f x x x x =-+>,则函数()y f x = ( ) A 、在区间(0,1),(1,2)内均有零点 B 、在区间(0,1)内有零点,在区间(1,2)内无零点C 、在区间(0,1),(1,2)内均无零点D 、在区间(0,1)内无零点,在区间(1,2)内有零点12、用二分法研究函数13)(3-+=x x x f 的零点时,第一次经计算0)5.0(0)0(><f f ,,可得其中一个零点∈0x , 第二次应计算 . 以上横线上应填的内容为 ( )A 、(0,0.5),)25.0(fB 、(0,1),)25.0(fC 、(0.5,1),)75.0(fD 、(0,0.5),)125.0(f13、函数22)(3-+=x x f x 在区间(0,1)内的零点个数是 ( )A 、0B 、1C 、2D 、3 14、(已知函数()log (0,1).a f x x x b a a =+->≠且当234a <<<是,函数()f x 的零点*0(,1),,x n n n N ∈+∈则n= .15、用二分法求函数()y f x =在区间(2,4)上的近似解,验证f(2)·f(4)<0,给定精确度ε=0.01,取区间(2,4)的中点x 1=2+42=3,计算得f(2)·f(x 1)<0,则此时零点x 0∈________. 16、已知函数 f (x )={ 2x -1,x >0,-x 2-2x ,x ≤0,若函数 g (x )= f (x )-m 有3个零点,则实数m 的取值范围是________. 17、函数65)(2+-=x x x f 的零点组成的集合是 .18、用“二分法”求方程0523=--x x在区间[2,3]内的实根,取区间中点为5.20=x ,那么下一个有根的区间是19、函数()ln 2f x x x =-+的零点个数为 .20、证明方程6-3x =2x 在区间[1,2]内有唯一一个实数解,并求出这个实数解(精确度0.1). 函数与方程【考纲说明】2、 了解函数的零点与方程根的联系,能判断一元二次方程根的存在性及根的个数。