计算机数学-图与网络分析
图论与网络
图论与网络引言在数学的广阔领域中，图论是一颗璀璨的明珠。
它不仅是数学的一个分支，也是计算机科学、物理学、化学等多个学科的基础工具。
图论通过图形来表示对象之间的二元关系，这些对象可以是人、地点或者任何可以被抽象为点的实体，而它们之间的关系则由连接两点的线（边）表示。
网络，作为图论中的一个重要概念，指的是由节点和连接节点的边构成的系统，它在现代社会中的应用日益广泛，从社交网络到互联网，从交通网络到神经网络，无不体现了图论的巨大价值。
图论的基本概念图论中的“图”是由顶点（Vertex）和边（Edge）组成的。
顶点代表图中的个体，而边则代表了个体之间的联系。
根据边是否有方向，图可以分为无向图和有向图；根据边是否有权值，图又可以分为无权图和加权图。
此外，图中顶点的度是指与该顶点相关联的边的数量，而在有向图中，入度和出度分别指进入和离开顶点的边的数量。
网络的分类网络可以根据其结构特性被分为多种类型。
最常见的分类包括：规则网络、随机网络、小世界网络和无标度网络。
规则网络中的节点按照固定规则连接，如环形或网格形；随机网络则是通过随机过程连接节点形成的；小世界网络结合了规则网络的高集聚系数和随机网络的短平均路径长度；而无标度网络的特点在于节点的度分布遵循幂律分布，这意味着网络中存在少数几个高度连接的枢纽节点。
图论的应用图论在现实世界中的应用极为广泛。
例如，在社交网络分析中，人们利用图论来研究人际关系的模式和动态；在网络科学中，图论帮助研究者理解互联网的结构和发展；在运筹学中，最短路径问题、最大流问题等都可以用图论的方法来解决。
此外，图论还在生物信息学、电力网设计、任务调度等多个领域发挥着重要作用。
结语图论与网络作为一门古老而又年轻的学科，正以其独特的魅力吸引着越来越多的关注。
随着科技的发展和社会的进步，图论的理论和应用必将进一步拓展，为我们解决更多实际问题提供强大的工具和方法。
通过学习和掌握图论的知识，我们能够更好地理解和改造这个由无数节点和连接构成的复杂世界。
数学中的图论和网络科学
数学中的图论和网络科学在数学领域中，研究图形和网络的学科被称为图论和网络科学。
图形是由节点和边组成的结构，被广泛应用于计算机科学、通信网络和运筹学等领域。
网络科学是一种跨学科研究领域，它将图论、统计学、社会学和物理学等学科融合到一起，研究现实世界中的复杂网络现象，如社交网络、生命科学中的分子交互作用等。
图论是研究图形的一门学科，它研究节点和边之间的关系，以及如何利用图形的结构和算法解决实际问题。
在计算机科学中，图形被广泛应用于算法设计和分析。
其中最著名的算法之一是迪科斯彻算法，用于解决最短路径问题。
它是由荷兰计算机科学家艾兹格·迪科斯彻于1956年发明的，并于1959年发表在他的博士论文中。
这个算法在电子商务、航空和运输等领域中有广泛应用。
在通信网络领域，图形也被广泛应用。
通信网络可以被视为由节点和边组成的图形，节点代表网络中的主机或路由器，边则代表这些设备之间的连接。
网络工程师可以使用图形来设计和优化网络，以确保其可靠性和高效性。
例如，路由算法可以利用图形的结构来确定最佳路由路径。
网络科学是一个跨学科的研究领域，它将图论、统计学、社会学和物理学等领域的知识和方法融合到一起，以研究现实世界中的复杂网络现象。
社交网络是一个重要的研究领域，它研究人类社交网络的结构和演化。
研究人员可以使用图形来表示人与人之间的联系，并分析这些联系的特性。
例如，他们可以分析社交网络中的群组结构，以及个体之间的交互方式。
生命科学中的分子交互作用也是一个重要的研究领域。
分子之间的相互作用可以被视为一个复杂的网络。
研究人员可以使用图形来描述这些网络，并研究它们的结构和功能。
这些研究成果可以应用于药物设计和生物工程等领域。
总之，图论和网络科学是现代数学中的两个重要领域，它们不仅可以解决计算机科学和通信网络中的实际问题，还可以研究现实世界中的复杂网络现象。
这些技术的发展将有助于推动人类社会的发展和进步。
运筹学第六章图与网络分析1.
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1.树的定义 ：连通且不含圈的无向图称为树。 次为1的点称为树叶，次大于1的点称为分枝点，树的边称 为树枝。
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d1 j = min( d1i wij )
i
设任一点vi到任一点 vj都有一条弧，如果（vi, vj）不是弧，则添 22 加弧（vi, vj），令wij=+∞
迭代过程：
①初始条件： t=1,d1j(1)=w1j (j=1,2,…,n) ，如果 v1 与 vj间 无边，其最短路长记为+∞ ②t=2,3,…
3
悬挂边：悬挂点的关联边
定理1：图G=(V,E)中，所有点的次之和是边数 的两倍，即
Σd(v)=2q vV
定理2：任一图中，奇点的个数为偶数。
给定一个图G=(V,E)，一个点边的交错序列(vi1, ei1, vi2, ei2,…,vik-1,eik-1,vik)，如果满足eit=[vit,vit+1] (t=1,2,…,k1)，则称为一条联结vi1和vik的链，记为(vi1,vi2,…,vik)， 称点vi2, vi3,…,vik-1为链的中间点。
2．最小支撑树（最小树）
具有最小权的支撑树称为最小支撑树。
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3．求最小支撑树的方法
（1）避圈法 在图中选一条权数最小的边，在以后的每步中，总从未被选 取的边中选一条权数最小的边，并使之与已选取的边不构成圈（ 权数相同时，任选一条），直到选够n-1条边为止。
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2
4 1 5
运筹学课件 第八章 图与网络分析
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例：哥尼斯堡七桥问题 哥尼斯堡（现名加里宁格勒）是欧洲一
个城市，Pregei河把该城分成两部分，河中 有两个小岛，十八世纪时，河两边及小岛之 间共有七座桥，当时人们提出这样的问题： 有没有办法从某处（如A）出发，经过各桥 一次且仅一次最后回到原地呢？
A C
B
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D
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最后，数学家Euler在1736年巧妙地给出 了这个问题的答案，并因此奠定了图论的基 础，Euler把A、B、C、D四块陆地分别收缩 成四个顶点，把桥表示成连接对应顶点之间 的边，问题转化为从任意一点出发，能不能 经过各边一次且仅一次，最后返回该点。这 就是著名的Euler问题。
第二阶段是从十九世纪中叶到二十世纪 中叶，这时，图论问题大量出现，如 Hamilton问题，地图染色的四色问题以 及可平面性问题等，这时，也出现用图 解 决 实 际 问 题 ， 如 Cayley 把 树 应 用 于 化 学领域，Kirchhoff用树去研究电网络等.
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第三阶段是二十世纪中叶以后，由生产管 理、军事、交通、运输、计算机网络等方 面提出实际问题，以及大型计算机使大规 模问题的求解成为可能，特别是以Ford和 Fulkerson建立的网络流理论，与线性规划、 动态规划等优化理论和方法相互渗透，促 进了图论对实际问题的应用。
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二、连通图
定义8:如果图中的某些点、边可以排列成点和边的交错序列 (v0 ,e1 ,v1 ,e2 ,v2，e3 ,v3 ,…,vn-1 , en ， vn ） ，ei=(vi-1,vi)，则称 此为一条链。 由两两相邻的点及其相关联边构成的点边序列。 初等链：链中无重复的点和边； 定义9：无向图中，如一条链中起点和终点重合，则称此链为 圈。 初等圈：圈中无重复的点和边； 有向图中，当链（圈）上的边方向相同时，为道路（回路）。
运筹学第10章图与网络分析清华大学出版社
由于2m为偶数, 而 d (v )是若干个偶数之和, 也是偶数.
vV2
所以 d (v )必为偶数,即 | V1 | 是偶数.
有向图中,以vi为始点的边数称为点vi的出次, 用d (vi )表示, 以vi为终点的边数称为点vi的入次, 用d (vi )表示, vi点的出次与入次之和就是该点的次.
六、第10章 图与网络分析
图与网络的基本知识 树及最小树问题 最短路问题 最大流问题 最小费用最大流问题
(Graph Theory and Network Analysis)
A
C
D
问题：一个游者怎样才 能一次连续走过这七座 桥且每座桥只走一次， 回到原出发点。
A
B
哥尼斯堡“七桥”难 题 欧拉用A,B,C,D四点表示河的 两岸和小岛，用两点间的联 线表示桥。七桥问题变为： 从A,B,C,D任一点出发，能否 通过每条边一次且仅一次， 再回到该点?
无路可通.那么加上一边( u, v )也不会形成圈, 与已知矛盾. 再证每舍去一边便不连通.若T中有一边( u, v ), 舍去( u, v )后
图T ( u, v )仍然连通, 那么T T ( u, v )由于无圈是一棵树
但T 加一边( u, v )后就是T 仍无圈, 与( 4)中树每加一新边必
从T中去掉(v , u)边及u点不会影响T的连通性, 得图T , T 为树 只有k 1个顶点, 所以有k 2条边, 再把(v , u)，u加上去,可知
当T 有k个顶点时有k 1条边.
( 2) (3)
只需证明T 是连通图.
l
反证法.设T 不连通, 可以分为l个连通分图( l 2), 设第i个
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第六章图与网络分析
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若链中所有的顶点也互不相同,这样的链称为路.
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起点和终点重合的链称为圈. 起点和终点重合的路称为回路.
若图中的每一对顶点之间至少存在一条链, 称这 样的图为连通图, 否则称该图是不连通的. 第10页
完全图，偶图
任意两点之间均有边相连的简单图, 称为完全图. K n
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2 | E | Cn
第20页
6.2树图和图的最小部分树问题 Minimal tree problem 6.2.1树的概念
若图中的每一对顶点之间至少存在一条链, 称这样的图 为连通图. 树图(简称树Tree)： 无圈的连通的图，记作T(V, E)
组织机构、家谱、学科分支、因特网络、通讯网络及高压线路 网络等都能表达成一个树图 。
第13页
有向图 G ： (V,E)，记为 G=(V,E)
G 的点集合： V {v1 , v2 ,...,vn } G 的弧集合： E {eij } 且 eij 是一个有序二元组 (vi , v j ) ，记
为 eij (vi , v j ) 。下图就是一个有向图，简记 G 。 若 eij (vi , v j ) ，则称 eij 从 v i 连向 v j ，点 v i 称为 eij 的尾，v j 称为 eij 的头。 v i 称为 v j 的前继， v j 称为 v i 的后继。 基本图：去掉有向图的每条弧上的方向所得到的无向图。
有向图 G (V , E ) 的关联矩阵：一个 | V | | E | 阶矩阵
B (bik ) ，
1, 当 弧ek以 点i为 尾 其中 bik 1, 当 弧ek以 点i为 头 0, 否 则
计算机科学中的图论和网络科学
计算机科学中的图论和网络科学图论是计算机科学中的一个重要分支，它研究顶点之间通过边相互联系的图形结构。
其应用在通讯、电子商务、社会网络等领域，被广泛使用。
随着时代的变迁，由于互联网的兴起和网络科学的兴盛，图论又与网络科学融合在了一起。
本文将深入探讨计算机科学中的图论和网络科学的基本概念和研究方向。
一、图论图论是一种研究顶点和边构成的图结构的数学分支。
在计算机科学领域，图论常常被用来分析不同的计算机网络，比如社交网络、信息网络、生物网络等等。
图结构可以用来表示很多现实场景，比如邮路图，城市道路、人际关系等等。
a. 图的基本概念在图论中，对于一个图结构，我们通常会有以下概念：·顶点（Vertex）：一个图结构中的单独节点；·边（Edge）：两个顶点之间的连线；·权重（Weight）：边上的值，用于表示两个顶点之间的距离或代价等。
b. 图的类型在图论中，有许多不同的图类型，以用于解决不同的问题。
这里我们简单介绍几种常见的类型：·简单图（Simple Graph）：没有自环和重边的图；·完全图（Complete Graph）：所有的顶点两两之间都有边相连的图；·有向图（Directed Graph）：边有方向的图；·加权图（Weighted Graph）：边上有权值的图。
二、网络科学网络科学是一门新兴的学科，它研究各种网络之间的复杂性和特征。
网络科学广泛应用于社会、生物、信息、市场等不同领域，以帮助人们理解和预测这些领域中的现象和行为。
网络科学使用数学和电脑模拟等方法来研究各种网络，比如社交网络、互联网、生物网络等。
在网络科学的各个领域中，我们可以发现许多基于图论的算法和模型。
a. 网络的结构网络结构是网络科学的一个基本概念。
根据这个概念，网络可以分为以下类型：·随机图（Random Graph）：网络中的节点和连接是完全随机的；·小世界网络（Small World Network）：在这种网络结构中，任意两个节点之间的距离很短，通常是对数级别的；·无标度网络（Scale-Free Network）：在这种网络结构中，一些节点会拥有更多的连接，而大多数节点只有很少的连接。
运筹学8图与网络分析
反推得最V1至V8的最短路为V1→V2 →V5 →V7 →V8,路长15。
8.2 最短路问题
一、Dijkstra算法：求无负权网络最短路问题。
计算步骤：
（1）给Vs以P标号，P（Vs）=0，其余各点给T标号， T（Vi）=+∞；
且仅得一个圈。
4）图中边数为：p-1（p为顶点数）
8.1 图与网络基本知识
例8-4：一个班级的学生共计选修A、B、C、D、 E、F六门课程，其中一部分人同时选修D、C、A， 一部分人同时选修B、C、F，一部分人同时选修 B、E，还有一部分人同时选修A、B，期终考试 要求每天考一门课，六天内考完，为了减轻学生 负担，要求每人都不会连续参加考试，试设计一 个考试日程表。
（2）若Vi点为刚得到P标号的点，考虑点Vj: (Vi,Vj) 属于E，且Vj为T标号。则修改T(Vj)
T(Vj)=min[T(Vj),P(Vi)+lij]；
（3）比较所有T标号的点，把最小者改为P标号，即： P（Vi）=min[T(Vi)] 当存在两个以上最小者时，可同时改为P标号。
8.2 最短路问题
8.1 图与网络基本知识
三、有向图的有关概念:
有向图：
由点和弧组成。表示为：D=（V，A）
V--点集合 A--弧集合
始点和终点： 对弧a=(u，v)， u为a的始点，v为a的
终点。
链（道路）：
点弧交错序列。
圈（回路）：
如一条链中起点和终点重合。
初等链（道路）： 链中无重复的点和弧。
（3） 考察V5V6和V5V7两边： T(V6)=min[T(V6),P(V5)+l56]=min[+∞,8+5] =13 T(V7)=min[T(V7),P(V5)+l57]=min[+∞,8+6] =14