函数概念的综合应用 课件

数，从而求得原函数的值域.对于 f x ax b cx d (其中
a,b,c,d为常数，且a≠0)型的函数常用换元法； ④分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转 化为“反比例函数类”的形式，便于求值域.
【典例训练】 1.一个函数f(x)的图象如图所示：
则该函数的值域是( ) (A)(-∞,3］ (C)［-1,2)
在解答时若由已知的解析式的分母不为零，得到①处f(x) 选B 的定义域为{x|x≠-1}，而误认为f(f(x))的定义域就是
{x|x≠-1}，则是对函数的概念理解不到位而导致的错误.
常 见
方法一中，在解②处不等式
x
1
1得x≠1 -2后，即
错
得选项A正确.原因是忽视了x≠-1这一前提条件.
误 选A 方法二中，整理f(f(x))解析式得③处
(2)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足
4 x
1x 00，，即 xx
4， 1，
∴原函数的定义域为(-∞,1)∪(1,4］.
【归纳】解答本题2(2)的易错点. 提示：解答本题2(2)易出现的错误是求定义域前先对解析式化
简，而这种化简是不等价的，如 f x x 1,致4使定x 义
域扩大而致错.
【解析】1.(1)由
x x
1得 0函，数的定义域为{x|x≥-1,且
0
x≠0}.
(1)由
x x
2得 0x，≥1且x≠2，∴x∈［1,2)∪(2,+∞).
1 0，
(2)由x-1≥0且1-x≥0可得x=1.
答案：(1){x|x≥-1,且x≠0} (1)［1,2)∪(2,+∞)
(2){1}
2.(1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足 xx2x， ∴原函数的定义域为(-∞,-2)∪(-2,0).
3.设 t 1，x 则0x=1-t2， ∴原函数可化为y=1-t2+4t=-(t-2)2+5(t≥0)， ∴y≤5,∴原函数的值域为(-∞,5］. 答案：(-∞,5］
【归纳】用换元法求函数的值域应注意的问题. 提示：用换元法求值域应注意新元的范围，确保换元要等价， 切勿按原定义域求解.
形如f(g(x))的函数的定义域 【技法点拨】
1
1
1
x x
1 2
x 1
后，直接由x+2≠0选A.忽视了x+1≠0的前提条件而致
错.
解 (1)在求解函数定义域问题时，首先应准确理解函数的概
题 念.
启
(2)在化简函数解析式的过程中，要注意化简的等价性. 解析式的分子和分母同时乘以一个整式时，要保证整式
示 不为0.
(4)几部分组成：若y=f(x)是由几部分数学式子的和、差、积、 商组成的形式，定义域是使各部分都有意义的集合的交集. (5)实际问题：若y=f(x)是由实际问题确定的，其定义域要受 实际问题的约束. 2.求解函数定义域的步骤 分析解析式→列不等式(组)→解不等式(组)→得定义域.另外 要注意定义域写成集合或区间的形式.
求形如f(g(x))的函数定义域的方法 (1)已知f(x)的定义域为D，求f(g(x))的定义域 由g(x)∈D,求出x的范围, 即得到f(g(x))的定义域. (2)已知f(g(x))的定义域为D，求f(x)的定义域 由x∈D, 求出g(x)的范围，即得到f(x)的定义域.
【典例训练】 1.已知f(x)的定义域为［-2，3)，则函数f(x+2)的定义域 为_____. 2.已知函数f(x+2)的定义域为［-2，3)，则f(x)的定义域 为_____.
【解析】1.∵f(x)的定义域是［-2，3)，∴-2≤x<3. 要 使 f(x+2) 有 意 义 ， 则 必 须 满 足 -2≤x+2<3, 得 -4≤x<1 ， ∴f(x+2)的定义域是［-4，1). 答案：［-4，1) 2.∵f(x+2)的定义域是［-2，3)，∴-2≤x<3, ∴0≤x+2<5，∴f(x)的定义域为［0,5). 答案：［0,5)
方法二：∵ f x ，1
x 1
∴ f f x f( 1 ) x 1
，1
x 1③
1 1 x 2
x 1
∴x+2≠0且x+1≠0，即x≠-2且x≠-1.
∴f(f(x))的定义域为{x|x≠-1，且x≠-2}.
【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的常见错误及解 题启示总结如下：(注：此处的①②③见解析过程)
(B)(-∞,3) (D)［-1,+∞)
2.函数f(x)=-x2-2x+5的值域是______. 3.函数 y x 4 1 x 的值域是______. 【解析】1.选D.由题图分析y≥-1， ∴值域为［-1,+∞). 2.∵f(x)=-x2-2x+5=-(x+1)2+6， ∴当x=-1时，f(x)取得最大值6， ∴函数f(x)=-x2-2x+5的值域是(-∞,6］. 答案：(-∞,6］
函数概念的综合应用
已知函数解析式求定义域 【技法点拨】
1.已知函数解析式求定义域的类型及求解策略 (1)整式：若y=f(x)为整式，则函数的定义域是实数集R. (2)分式：若y=f(x)为分式，则函数的定义域为使分母不为0的 实数集. (3)偶次根式：若y=f(x)为偶次根式，则函数的定义域为被开 方数非负的实数集(特别注意0的0次幂没有意义).
【典例训练】
1.(1)(2012·广东高考)函数 y x 1 的定义域为______.
x
(1) f x x 1 1 的定义域为______;
x2
(2) y x 1 1 x 的定义域是______.
2.求下列函数的定义域.
(1) y x 20
x x
;(2) f x x2 1
x 1
4x .
函数求值及值域问题 【技法点拨】
求函数值域的原则及常用方法 (1)原则：①先确定相应的定义域；②再根据函数的具体形式 及运算确定其值域. (2)常用方法： ①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法得 到； ②配方法：是求“二次函数”类值域的基本方法；
③换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函
(A){x|x≠-2}
(B){x|x≠-1}
(C){x|x≠-1，且x≠-2}
(D){x|x≠0，且x≠-1}
【解题指导】
【解析】选C.方法一：∵ f x , 1
x 1
∴f(x)的定义域为{x|x≠-1}①,则在f(f(x))中，f(x)≠-1,
即 1 ，1解② 得：x≠-2.
x 1
∴f(f(x))的定义域为{x|x≠-1，且x≠-2}.
【思考】解答形如f(g(x))型函数定义域问题的关键点是什么？ 提示：要解决此类函数的定义域问题，关键是对函数概念理解要 清晰，要注意对“法则不变，法则的使用范围不变”的理解.
【易错误区】形如f(g(x))型函数定义域的求解误区
【典例】已知 f x 1 ，则f(f(x))的定义域为( )
x 1