比例应用题教案

教学过程

一、课堂导入

比与比例应用题是小学数学的重要内容，也是小学数学重点和难点之一．一方面它是在整数应用题基础上的继续和深化；另一方面，它有其本身的特点和解题规律．因此，在这类问题中，数量之间以及“量”、“率”之间的相依关系与整数应用题比较，就显得较为复杂，这就给正确地选择解题方法，正确解答带来一定困难．

二、复习预习

复习：前面我们学过了分数与百分数的应用，其中分数与百分数之间主要抓住数量之间以及“量”、“率”之间的相依关系.这节课我们来学习在应用题中常考的另一种类型----比例的应用.

预习：什么是比例？它主要讲的是什么之间的关系？怎么样来解这种题？

三、知识讲解

考点/易错点1

比和比例的性质

性质1：若a: b=c：d，则(a + c)：(b + d)= a：b=c：d；

性质2：若a: b=c：d，则(a - c)：(b - d)= a：b=c：d；

性质3：若a: b=c：d，则(a +x c)：(b +x d)=a：b=c：d；(x为常数) 性质4：若a: b=c：d，则a×d = b×c；(即外项积等于内项积)

正比例：如果a÷b=k(k为常数)，则称a、b成正比；

反比例：如果a×b=k(k为常数)，则称a、b成反比．

主要比例转化实例

① x a

y b

=?

y b

x a

=；

x y

a b

=；

a b

x y

=；

② x a

y b

=?

mx a

my b

=；

x ma

y mb

=(其中0

m≠)；

③ x a

y b

=?

x a

x y a b

=

++

；

x y a b

x a

--

=；

x y a b

x y a b

++

=

--

；

④ x a y b =，y c z d

= ? x ac z bd =；::::x y z ac bc bd =； ⑤ x 的

c a 等于y 的

d b ，则x 是y 的ad bc ，y 是x 的bc ad ． 考点/易错点2

按比例分配与和差关系

⑴按比例分配

例如：将x 个物体按照:a b 的比例分配给甲、乙两个人，那么实际上甲、乙两个人各自分配到的物体数量与x 的比分别为():a a b +和():b a b +，所以甲分配到ax a b +个，乙分配到bx a b

+个. ⑵已知两组物体的数量比和数量差，求各个类别数量的问题 例如：两个类别A 、B ，元素的数量比为:a b (这里a b >)，数量差为x ，那么A 的元素数量为

ax a b -，B 的元素数量为bx a b -，所以解题的关键是求出()a b -与a 或b 的比值．

考点/易错点3

比例题目常用解题方式和思路

解答分数应用题关键是正确理解、运用单位“l”。题中如果有几个不同的单位“1”，必须根据具体情况，将不同的单位“1”，转化成统一的单位“1”，使数量关系简单化，达到解决问题的效果。在解答分数应用题时，要注意以下几点：

1.题中有几种数量相比较时，要选择与各个已知条件关系密切、便于直接解答的数量为单位“1”。

2.若题中数量发生变化的，一般要选择不变量为单位“1”。

3.应用正、反比例性质解答应用题时要注意题中某一数量是否一定，然后再确定是成正比例，还是成反比例。找出这些具体数量相对应的分率与其他具体数量之间的正、反比例关系，就能找到更好、更巧的解法。

4.题中有明显的等量关系，也可以用方程的方法去解。

5.赋值解比例问题

四、例题精析【例题1】

【题干】已知甲、乙、丙三个数，甲等于乙、丙两数和的1

3

，乙等于甲、丙两数和的

1

2

，丙等于甲、乙两数和的

5

7

，求::

甲乙丙.

【答案】3:4:5

【解析】由甲等于乙、丙两数和的1

3

，得到甲等于三个数和的

11

3+14

=，同样的乙等于甲、丙两数和的

11

2+13

=，同样的丙等于甲、乙

两个数和的

55

7512

=

+

，所以

115

::::3:4:5

4312

==

甲乙丙．

【例题2】

【题干】已知甲、乙、丙三个数，甲的一半等于乙的2倍也等于丙的2

3

，那么甲的

2

3

、乙的2倍、丙的一半这三个数的比为多少？

【答案】16:12:9

【解析】甲的一半、乙的2倍、丙的2

3

这三个数的比为1:1:1，所以甲、乙、丙这三个数的比为()

12

1:12:1

23

????

÷÷÷

? ?

????

即

13

2::

22

，化简

为4:1:3，那么甲的2

3

、乙的2倍、丙的一半这三个数的比为()

21

4:12:3

32

????

???

? ?

????

即

83

:2:

32

，化简为16:12:9.

【例题3】

【题干】如下图所示，圆B 与圆C 的面积之和等于圆A 面积的45，且圆A 中的阴影部分面积占圆A 面积的16

，圆B 的阴影部分面积占圆B 面积的1

5，圆C 的阴影部分面积占圆C 面积的1

3．求圆A 、圆B 、圆C 的面积之比．

【答案】20:15:1

【解析】设A 与B 的共同部分的面积为x ，A 与C 的共同部分的面积为y ，则根据题意有()()5

64A B C x y =+=+，5B

x =，

3C y =，于是得到()5

6453B

C B C ??

+=+ ???，这条式子可化简为15B C =，所以()5

204A B C C =+=.最后得到::20:15:1A B C =.

【例题4】

【题干】在抗洪救灾区活动中，甲、乙、丙三人一共捐了80元．已知甲比丙多捐18元，甲、乙所捐资的和与乙、丙所捐资的和之比是10:7，则甲捐元，乙捐元，丙捐元．

【答案】甲：38元，乙：22元，丙：20元

【解析】由于甲比丙多捐18元，所以甲、乙所捐资的和比乙、丙所捐资的和多18元，那么甲、乙所捐资的和为：18(107)1060

÷-?=(元)，乙、丙所捐资的和为601842

-=(元)．

-=(元)，丙捐了381820

-=(元)，乙捐了603822

-=元．所以，甲捐了804238

【例题5】

【题干】一班和二班的人数之比是8:7，如果将一班的8名同学调到二班去，则一班和二班的人数比变为4:5．求原来两班的人数．【答案】42人

【解析】原来一班的人数为两班总人数的

88

8715

=

+，调班后一班的人数是两班人数的

44

459

=

+，调班前后一班人数的比值为

84

:6:5

159

=

，

所以一班原来的人数为

()

865648

÷-?=

人，二班原来的人数为488742

÷?=人.

【例题6】

【题干】甲乙两车分别从 A， B两地出发，相向而行．出发时，甲、乙的速度比是5∶4，相遇后，甲的速度减少20％，乙的速度增加20％，这样，当甲到达B地时，乙离A地还有10千米．问：A，B两地相距多少千米？

【答案】450千米

【解析】甲、乙原来的速度比是5∶4，相遇后的速度比是：[5×（1－20％）]∶[4×（1＋20％）]＝4∶4．8＝5∶6．相遇时，甲、

乙分别走了全程的5

9

和

4

9

，设全程x千米，剩下的部分甲行的长度和乙行的长度之比为5：6，其中相遇后甲行驶了全长的

4

9

，所以乙

行驶了全长的48

56

915

÷?=

，所以乙一共行了全长

4844

91545

+=

，还剩

441

1

4545

-=

没有走，所以A、B全长为450千米.

【例题7】

【题干】有一个长方体，长和宽的比是2:1，宽与高的比是3:2．表面积为272cm ，求这个长方体的体积.

【答案】336cm

【解析】由条件长方体的长、宽、高的比6:3:2，则长方体的所有视面，上面、前面、左面的面积比为

()()()63:62:3218:12:63:2:1???==，这三个面的面积和等于长方体表面积的二分之一，所以，长方体的上面的面积为

2137218cm 2321??=++，前面的面积为2127212cm 2321??=++，左面的面积为2117206cm 2321

??=++，而218126129636??==，所以36即是长、宽、高的乘积，所以这个长方体的体积为336cm ．

【例题8】

【题干】(2008年第13届华杯赛初赛)将一堆糖果全部分给甲、乙、丙三个小朋友．原计划甲、乙、丙三人所得糖果数的比为5:4:3．实际上，甲、乙、丙三人所得糖果数的比为7:6:5，其中有一位小朋友比原计划多得了15块糖果．那么这位小朋友是 (填“甲”、“乙”或“丙”)，他实际所得的糖果数为块．

【答案】丙；150块

【解析】方法一：原计划甲、乙、丙三人所得糖果数分别占总数的

5

12

，

4

12

，

3

12

；实际甲、乙、丙三人所得糖果数分别占总数的

7

18

，

6 18，

5

18

，只有丙占总数的比例是增加的，所以这位小朋友是丙.糖果总数为

53

15540

1812

??

÷-=

?

??

(块)，丙实际所得的糖果数为5

540150

18

?=(块)．

方法二：化通比为：甲乙丙总数为

原计分配为 5 ： 4 : 3 12份

实际分配为 7 ： 6 ： 5 18份

化通比为 15 ： 12 ： 9 36份

14 ： 12 ： 10 36份

对比分析甲15——14，乙12——12，丙9——10，发现多得糖果的是丙所以15÷（10—9）×10＝150（块）

【例题9】

【题干】某学校入学考试，参加的男生与女生人数之比是4:3． 结果录取91人，其中男生与女生人数之比是8:5．未被录取的学生中，男生与女生人数之比是3:4． 问报考的共有多少人？

【答案】119人

【解析】(法1)录取的学生中男生有8915658?

=+人，女生有915635-=(人)，先将未录取的人数之比3:4变成44:43?，又有356424?=(人)，所以每份人数是()4

42354333??-÷?-= ???(人)，那么未录取的男生有4312?=(人)，未录取的女生有4

43163??=(人)．所以报考总人数是 ()()56123516119+++=(人)．

(法2)设未被录取的男生人数为3x 人，那么未被录取的女生人数为4x 人，由于录取的学生中男生有8915658?

=+人，女生有915635-=(人)，则()()563:3544:3x x ++=，解得4x =．所以未被录取的男生有12人，女生有16人．报考总人数是 ()()56123516119

+++=(人)．

课堂小结

一、比和比例的性质

性质1：若a: b=c：d，则(a + c)：(b + d)= a：b=c：d；

性质2：若a: b=c：d，则(a - c)：(b - d)= a：b=c：d；

性质3：若a: b=c：d，则(a +x c)：(b +x d)=a：b=c：d；(x为常数) 性质4：若a: b=c：d，则a×d = b×c；(即外项积等于内项积)

正比例：如果a÷b=k(k为常数)，则称a、b成正比；

反比例：如果a×b=k(k为常数)，则称a、b成反比．

二、主要比例转化实例

① x a

y b

=?

y b

x a

=；

x y

a b

=；

a b

x y

=；

② x a

y b

=?

mx a

my b

=；

x ma

y mb

=(其中0

m≠)；

③ x a

y b

=?

x a

x y a b

=

++

；

x y a b

x a

--

=；

x y a b

x y a b

++

=

--

；

④ x a

y b

=，

y c

z d

=?

x ac

z bd

=；::::

x y z ac bc bd

=；

⑤ x 的c a 等于y 的d b ，则x 是y 的ad bc ，y 是x 的bc ad

． 三、按比例分配与和差关系

⑴按比例分配

例如：将x 个物体按照:a b 的比例分配给甲、乙两个人，那么实际上甲、乙两个人各自分配到的物体数量与x 的比分别为():a a b +和():b a b +，所以甲分配到ax a b +个，乙分配到bx a b

+个. ⑵已知两组物体的数量比和数量差，求各个类别数量的问题 例如：两个类别A 、B ，元素的数量比为:a b (这里a b >)，数量差为x ，那么A 的元素数量为

ax a b -，B 的元素数量为bx a b -，所以解题的关键是求出()a b -与a 或b 的比值．

四、比例题目常用解题方式和思路

解答分数应用题关键是正确理解、运用单位“l”。题中如果有几个不同的单位“1”，必须根据具体情况，将不同的单位“1”，转化成统一的单位“1”，使数量关系简单化，达到解决问题的效果。在解答分数应用题时，要注意以下几点：

6.题中有几种数量相比较时，要选择与各个已知条件关系密切、便于直接解答的数量为单位“1”。

7.若题中数量发生变化的，一般要选择不变量为单位“1”。

8.应用正、反比例性质解答应用题时要注意题中某一数量是否一定，然后再确定是成正比例，还是成反比例。找出这些具体数量相对应的分率与其他具体数量之间的正、反比例关系，就能找到更好、更巧的解法。

9.题中有明显的等量关系，也可以用方程的方法去解。

10.赋值解比例问题

11.