四边形练习题(含答案)

四边形练习题（含答案）

1、阅读下面材料，再回答问题：

有一些几何图形可以被某条直线分成面积相等的两部分，我们将“把一个几何图形分成面积相等的两部分的直线叫做该图形的二分线”，如：圆的直径所在的直线是圆的“二分线”，正方形的对角线所在的直线是正方形的“二分线”。

解决下列问题：

（1）菱形的“二分线”可以是。

（2）三角形的“二分线”可以是。

（3）在下图中，试用两种不同的方法分别画出等腰梯形ABCD的“二分线”.

2、用配方法解方程时，原方程可变形为（）

A．B．

C．D．

3、用两块边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是【】

A．等腰梯形B．菱形 C．矩形D．正方形

4、在下面图形中，每个大正方形网格都是由边长为1的小正方形组成，则图中阴影部分面

积最大的

是

（）

5、下列命题中错误的是（）

A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形

B．对角线相等的平行四边形是矩形

C．一组邻边相等的平行四边形是菱形

D．一组对边平行的四边形是梯形

6、如图，每个小正方形的边长为1，把阴影部分剪下来，用剪下来的阴影部分拼成一个正方形，那么新正方形的边长是( )

A． B．2

C．D．

7、将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形．

将纸片展开，得到的图形是（）

8、如下图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动至点A停止．设点P运动的路程为x，△ABP 的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则△ABC的面积是

A．10 B．16 C．18

D．20

9、如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AD=2，AB=3，BC=6，沿AE翻折梯形ABCD，使点B落在AD的延长线上，记为B′，连接B′E交CD于F，则的值为( )

A． B． C． D．

10、用任意两个全等的直角三角形拼下列图形：

①平行四边形②矩形③菱形

④正方形⑤等腰三角形⑥等边三角形

其中一定能够拼成的图形是_______（只填题号）．

11、某陶瓷市场现出售的有边长相等的正三角形、正方形、正五边形的地板砖，某顾客想买其中的镶嵌着铺地板，则他可以选择的是．

12、在一张三角形纸片中，剪去其中一个50°的角，得到如图所示的四边形，则图中∠1+∠2的度数为______________。

13、如下图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB=cm,AD=24，BC=26，∠B=90°，动点P从A开始

沿AD边向D以1的速度运动，动点Q从点C开始沿CB以3的速度向点B运动．P、Q同时出发，当其中一点到达顶点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为，

问：（1）= 时，四边形PQCD是平行四边形．

（2）是否存在一个t值，使PQ把梯形ABCD分成面积相等的两部分，若存在请求出t的值.

（3）当为何值时，四边形PQCD为等腰梯形．

(4)连接DQ，是否存在值使△CDQ为等要三角形，若存在请直接写出的值.

14、定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点．如图1，，

，则点就是四边形的准内点．

（1）如图2，与的角平分线相交于点．

求证：点是四边形的准内点．

（2）分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内点．

（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明）

（3）判断下列命题的真假，在括号内填“真”或“假”．

①任意凸四边形一定存在准内点．（▲）

②任意凸四边形一定只有一个准内点．（▲）

③若是任意凸四边形的准内点，则

15、一般地，学习几何要从作图开始，再观察图形，根据图形的某一类共同特征对图形进行分类（即给一类图形下定义――定义概念便于归类、交流与表达），然后继续研究图形的其它特征、判定方法以及图形的组合、图形之间的关系、图形的计算等问题. 课本里对四边形的研究即遵循着上面的思路．

当然，在学习几何的不同阶段，可能研究的是几何的部分问题．比如有下面的问题，请你研究．

已知：四边形中，，且．

（1）借助网格画出四边形所有可能的形状；

（2）简要说明在什么情况下四边形具有所画的形状．

16、如图所示，在矩形中，，两条对角线相交于点．以、为邻边作第1个平

行四边形，对角线相交于点，再以、为邻边作第2个平行四边形，对角线相交于点；

再以、为邻边作第3个平行四边形……依次类推．

（1）求矩形的面积；

（2）求第1个平行四边形、第2个平行四边形和第6个平行四边形的面积．

17、美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为

A．4cm B．6cm C．8cm

D．10cm

18、如图,用两个完全相同的直角三角板，不能拼成下列图形的是（）．

A．平行四边形 B．矩形 C．等腰三角形 D．梯形

19、某校计划修建一座既是中心对称图形又是轴对称图形的花坛，?从学生中征集到设计方案有等腰三角形、正三角形、等腰梯形、菱形等四种图案，你认为符合条件的是（）．

A．等腰三角形 B．正三角形 C．等腰梯形 D．菱形

20、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°, ∠B =60°，BC=2．点0是AC的中点，过点0的直线l从与AC重合的位置开始，绕点0作逆时针旋转，交AB边于点D.过点C作CE∥AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为α.

(1)①当α=________度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为_________；

②当α=________度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为_________；

(2)当α=90°时,判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．

21、已知如图，四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，求证：∠A＝∠C．

22、已知：如图，在正方形中，是上一点，延长到，使，连接并延长交于

．

（1）求证：；

（2）将绕点顺时针旋转得到，判断四边形是什么特殊四边形？并说明理由．

23、如图，在直角坐标系中放入一个边长OC为9的矩形纸片ABCO．将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上，记为B′，折痕为CE，已知tan∠OB′C＝．

（1）求B′点的坐标；

（2）求折痕CE所在直线的解析式．

24、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝7，CD＝1，AD＝BC＝5．点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为E，F．

（1）求梯形ABCD的面积；

（2）求四边形MEFN面积的最大值．

（3）试判断四边形MEFN能否为正方形，若能，求出正方形MEFN的面积；若不能，请说明理由．25、在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中点．

求证：CE⊥BE．

26、如图，在平行四边形中，为的中点，连接并延长交的延长线于点．(1)求证：；

(2)当与满足什么数量关系时，

四边形是矩形，并说明理由．

27、阅读材料：如图（1），在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为P，

求证：S四边形ABCD=AC?BD．

证明：∵AC⊥BD，∴

∴S四边形ABCD=S△ACD+ S△ABC=AC?PD+AC?PB=AC（PD+PB）=AC?BD。

解答问题：

（1）上述证明得到的性质可叙述为：．

（2）已知：如图（2），等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD且相交于点P，AD=3cm，BC=7cm，利用上述的性质求梯形的面积。

28、如图，已知△的面积为3，且AB=AC，现将△沿CA方向平移CA长度得到△．

（1）求四边形CEFB的面积；

（2）试判断AF与BE的位置关系，并说明理由；

（3）若，求AC的长．

29、已知：如图AB∥CD，AD∥CE，且∠ACB=90o，E是AB的中点．

(1)试说明DE与AC互相垂直平分；

(2)探究l，当四边形AECD是正方形时，∠B的度数是多少?

(3)探究2，当四边形ABCD是等腰梯形时，∠B的度数是多少?

30、（1）探究新知：

如下图1，已知△ABC与△ABD的面积相等，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．

（2）结论应用：

①如下图2，点M，N在反比例函数（k＞0）的图象上，过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别为E，F．

试证明：MN∥EF．

②若①中的其他条件不变，只改变点M，N的位置如图3所示，请判断 MN与EF是否平行．

参考答案

1、解：（1）菱形的一条对角线所在的直线。（或菱形的一组对边的中点所在的直线或菱形对角线交点的任意一条直线）。

（2）三角形一边中线所在的直线。

（3）方法一：取上、下底的中点，过两点作直线得梯形的二分线（如图1）

方法二：过A、D作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足E、F，连接AF、DE相交于O，过点O任意作直线即为梯形的二分线（如图2）

二、选择题

2、B

3、B

4、 D

5、D

6、C

7、C

8、A

9、A

10、①②⑤．

11、正三角形和正方形

12、230°

13、（1）=6．。。。。。。。。。。。。。2分

（2）当AP+BQ=25时，PQ把梯形ABCD分成面积相等的两部分，

即t+(26-3t)=25,

解得：t=。。。。。。。。。。。。。。。。5分

（3）如图，过点D作DE⊥BC，则CE=BC-AD=2．

当CQ—PD=4时，四边形PQCD是等腰梯形．

即3一（24一）=4．∴=7．………………………9分

(4) =2,, 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分

14、（1）如图2，过点作，

∵平分，∴

同理．

∴是四边形的准内点．

（2）

平行四边形对角线的交点就是准内点，如图3（1）.

或者取平行四边形两对边中点连线的交点就是准内点，如图3（2）；

梯形两腰夹角的平分线与梯形中位线的交点就是准内点．如图4.

（3）真；真；假．（各1分，若出现打“√”“×”或写“对”“错”同样给分．）

15、（1）四边形可能的形状有三类：图“矩形”、图“等腰梯形”、图的“四边形”．等腰梯形不单独画而在后两种图中反映的，不扣分；画图顺序不同但答案正确不扣分．

注2：如果在类似图或图④的图中画出凹四边形，同样给分（两种都画，只给一种的分）．

(2) （i）若是直角（图），则四边形为等腰梯形；

（ii）若是锐角（图），存在两个点和，得到等腰梯形和符合条件但不是梯形的四边形

；

其中，若是直角（图），则四边形为矩形．

（iii）若是钝角（图④），存在两个点和，得到等腰梯形和符合条件但不是梯形的四边形

；

16、．解：（1）在中，

，

．

（2）矩形，对角线相交于点，

．

(2)四边形是平行四边形，

，

．

又，

，

，

同理，，

第6个平行四边形的面积为．

17、B

18、D

19、D

20、（1）①30，1；②60，1.5；

（2）当∠α=900时，四边形EDBC是菱形.

∵∠α=∠ACB=900，∴BC//ED.

∵CE//AB, ∴四边形EDBC是平行四边形.

在Rt△ABC中，∠ACB=900，∠B=600,BC=2, ∴∠A=300.

∴AB=4,AC=2.

∴AO== .

在Rt△AOD中，∠A=300，∴AD=2.

∴BD=2.

∴BD=BC.

又∵四边形EDBC是平行四边形，

∴四边形EDBC是菱形

21、证明：连结AC，因为AB＝AC，

所以∠BAC＝∠BCA，同理AD＝CD

得∠DAC＝∠DCA

所以∠A＝∠BAC＋∠DAC＝∠BCA＋∠DCA＝∠C 22、证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴BC=CD，∠BCD=90°．

∵∠BCD +∠DCE=180°，

∴∠BCD=∠DCE=90°．

又∵CG=CE，

∴△BCG≌△DCE．

（2）∵△DCE绕D顺时针旋转得到△DAE ′，∴CE=AE ′．

∵CE=CG，

∴CG=AE ′．

∵四边形ABCD是正方形，

∴BE ′∥DG，AB=CD．

∴AB－AE ′=CD－CG，

即BE ′=DG．

∴四边形DE ′BG是平行四边形．

23、解：（1）在Rt△B′OC中，tan∠OB′C＝，OC＝9，

∴．

解得OB′＝12，即点B′的坐标为（12，0）．

（2）将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上的B′点，CE为折痕，∴△CBE≌△CB′E，故BE＝B′E，CB′＝CB＝OA．

由勾股定理，得CB′＝＝15．

设AE＝a，则EB′＝EB＝9－a，AB′＝AO－OB′＝15－12=3．

由勾股定理，得a2+32＝(9－a)2，解得a＝4．

∴点E的坐标为（15，4），点C的坐标为（0，9）．

设直线CE的解析式为y＝kx+b，根据题意，得

解得∴CE所在直线的解析式为y＝－x+9．24、解：（1）分别过D，C两点作DG⊥AB于点G，CH⊥AB于点H．

∵AB∥CD，

∴DG＝CH，DG∥CH．

∴四边形DGHC为矩形，GH＝CD＝1．

∵DG＝CH，AD＝BC，∠AGD＝∠BHC＝90°，∴△AGD≌△BHC（HL）．

∴AG＝BH＝＝3．

∵在Rt△AGD中，AG＝3，AD＝5，

∴DG＝4．

∴．

（2）

∵MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，

∴ME＝NF，ME∥NF．

∴四边形MEFN为矩形．

∵AB∥CD，AD＝BC，

∴∠A＝∠B．

∵ME＝NF，∠MEA＝∠NFB＝90°，

∴△MEA≌△NFB（AAS）．

∴AE＝BF．

设AE＝x，则EF＝7－2x．

∵∠A＝∠A，∠MEA＝∠DGA＝90°，

∴△MEA∽△DGA．

∴．

∴ME＝．

∴．

当x＝时，ME＝＜4，∴四边形MEFN面积的最大值为．（3）能．

由（2）可知，设AE＝x，则EF＝7－2x，ME＝．

若四边形MEFN为正方形，则ME＝EF．

即7－2x．解，得．

∴EF＝＜4．

∴四边形MEFN能为正方形，其面积为．25、证明: 过点C作CF⊥AB，垂足为F．

∵在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，

∴∠D＝∠A＝∠CFA＝90°．