静电场之均匀带电圆环,圆盘和圆圈在轴线上的电场

2kQz 1
E
a2
( |z|
1
z 2kQ
) z2 a2 | z |
a2
(1
|z| )
z2 a2
②当b→a时，圆圈演变 U 2kQ
1
kQ
成圆环，轴上电势为
z2 a2 z2 b2
z2 a2
轴上 场强
E
2kQz
z2 a2 z2 b2
( z2 a2 z2 b2
当圆圈变成圆盘时， 电荷产生的电势最大， 形成“尖”形，导数 不但不为零，并且左 右导数不相等。
当距离比较大时，所有电荷的电 势都与点电荷产生的电势相近。
均匀带电圆环 到均匀带电圆 盘的电场强度 的演变过程。
圆环电荷和圆圈电荷在中心 点产生的场强为零，不论圆 圈宽度如何，场强都有极值。
场强的极值分布在 一条由线上，随宽 度的增加而增加， 也越靠近中心点。
z E Pr
Oa
这是点电荷的电势和场强公式，其中z/| z|表示符号。
圆环电荷在中心 产生的电势最大， 当距离比较远时， 其电势接近点电 荷的电势。
电势曲线在中间下凹，在两边上 凹，两部分的接合点是拐点，两 个拐点对应电场强度的极值。
圆环电荷在中心 处的场强为零。 场强随距离先增加再减 小，当距离z = ±0.7a 时，场强最大。
U

2kQ a2
(
z2 a2 | z |)
圆盘两边场强的方向不同。
如果z > 0，轴 线上的场强为
E
dU dz


2kQ a2
d( dz
z2

a2

z)

2kQ a2
(1
z )
z2 a2
当z→+0时，E→2kQ/a2 = σ/2ε0，这是无 限大均匀带电平面在正面产生的场强。
{范例9.5} 均匀带电圆环，圆盘和圆圈在轴线上的电场
(1)一个半径为a的均匀带电圆环，带电量为Q(Q > 0)，求圆环 轴上的电势和电场强度，电势和电场强度随轴坐标的变化规 律是什么？(2)一个半径为a的均匀带电圆盘，带电量为Q(Q > 0)，求圆盘轴上的电势和电场强度，电势和电场强度随轴坐 标变化的规律是什么？(3)一个外半径为a、内半径为b的均匀 带电圆圈，带电量为Q(Q > 0)，求圆圈轴上的电势和电场强度。 对于不同宽度的圆盘，电势和电场强度如何随距离变化？
E

2kQz (a2 b2) |
[(1 z|
b2 z2
)1/
2
(1
a2 z2
)
1/
2
]

|
z z
|
kQ z2
这是点电荷的电势和场强。
均匀带电圆 环到均匀带 电圆盘的电 势的演变过 程。 在中心点，圆环电 荷产生的电势最小， 导数为零；
随着圆圈宽度的增加， 中心点的电势也增加， 极大值变“尖”了， 但导数仍然为零，这 是因为电荷离轴线变 近的缘故；
[解析](2)当电荷均匀分布在外半径为a、内半径为b的z 圆圈上时，如图所示，圆圈的面积为S = π(a2 - b2)， E
电荷的面密度为σ = Q/S，
Pr
在圆圈上取一半径为R，宽度为dR 的圆环，在场点P产生的电势为
dU k 2πRdR
场点P的
a
U k2π
z2 R2 电势为
b
[解析](1)设λ > 0，圆环上所带电量为Q = 2πaλ。 r z2 a2
如图所示，圆环上所有电荷到场点P的距离都是
z
E
在P点产生 的电势为
U

kQ r

kQ z2 a2
电随势着在距原离点的处增最加高而，减并小。P
r
P点的场 强为
E

dU dz

(z2
kQz a2 )3/2
.
(
1 z2 b2
1 )
z2 a2
[讨论] zM
b4/3a2 a4/3

a 4 / 3b2 b4/3
,
EM

2kQab(1/ b2/3 a2
1/ a2/3 )3/2 b2
①当b→0时，圆圈演变 成圆盘，轴上的电势为
U

2kQ a2
(
z2 a2 | z |)
轴上 场强
{范例9.5} 均匀带电圆环，圆盘和圆圈在轴线上的电场
(3)一个外半径为a、内半径为b的均匀带电圆圈，带电量 为Q(Q > 0)，求圆圈轴上的电势和电场强度。对于不同 宽度的圆盘，电势和电场强度如何随距离变化？
U 2kQ ( z2 a2 z2 b2 ) a2 b2
根据公式E = -dU/dz可 得圆圈轴线上的场强
圆盘两边的 场强不连续。
轴上的场强可 统一表示为
E

|
z z
|
2kQ a2
(1
| z | ). z2 a2
圆盘电荷在中心 产生的电势最大， 该点左右两边的 电势虽然连续， 但是导数不连续， 因而圆盘两边的 场强不连续。
两边的电势曲 线都是向上凹 的，没有拐点。
当|z| > 3a时， 圆盘电荷的电 势接近于点电 荷的电势。
这是点电 荷的场强。
当z >> a时，可得
E

2kQ a2 [1 (1
a2 z2
)1/
2
]

2kQ a2
1 2
a2 z2

kQ z2
如果z < 0，轴 线上的场强为
E


dU dz


2kQ a2
d dz
(
z2 a2 z) 2kQ (1 a2
z) z2 a2
当z→-0时，E→-2kQ/a2 = -σ/2ε0，这是无 限大均匀带电平面在另一面产生的场强。
a
RdR Q
z2 R2
bO
d RR
U 2kπ (
z2 a2
z2

b2
)
2kQ a2 b2
(
z2 a2
在z = 0处 z2 b2 ) 的电势为
如果b = a，可得带电圆环中心的电势U = kQ/a； 如果b = 0，则得带电圆盘中心的电势U = 2kQ/a。
U 2kQ ab
解得极值坐标
极值场强为
zM
b4/3a2 a4/3b2 a4/3 b4/3
EM

1/ b2/3 2kQab( a2
1/ b2
a
2
/
3
)3
/
2
.
{范例9.5} 均匀带电圆环，圆盘和圆圈在轴线上的电场
2kQ
U
(
a2 b2
z2 a2
z2
b2 ),
E

2kQz a2 b2
令
dE kQ[(z2 a2 )3/2 3z2 (z2 a2 )1/2 ]
0
dz
(z2 a2 )3
z zM
可得 zM a / 2.
极值为
EM


23 9
kQ a2

0.3849
kQ a2
Q
如果z >> a，电势 和场强分别为
U kQ , |z|
E kQz z kQ | z |3 | z | z2
圆盘电荷在中心附近产生 的场强最大，该场强表示 “无限大”带电平面的场 强；圆盘两边的场强方向 不同，因而不连续。
当距离增加时，场强 持续减小；当|z| > 3a 时，圆盘电荷的场强 接近于点电荷的场强。
{范例9.5} 均匀带电圆环，圆盘和圆圈在轴线上的电场
(3)一个外半径为a、内半径为b的均匀带电圆圈，带电量 为Q(Q > 0)，求圆圈轴上的电势和电场强度。对于不同 宽度的圆盘，电势和电场强度如何随距离变化？
1 )
z2 a2
[讨论] zM
b4/3a2 a4/3b2 a4/3 b4/3 ,
EM

2kQab(1/ b2/3 a2
1/ a2/3 )3/2 b2
根据罗必塔法则，圆 环场强的极值坐标为
zM
(4 / 3)b1/3a2 a4/3 2b (4 / 3)b1/3

Pr
电势
U

2kQ a2
(
z2 a2 | z |)
当z = 0时电势最高U = 2kQ/a。
a
dR
OR
Q
当|z| >> a时，电势为
U

2kQ a2 [|
z
| (1
a2 z2
)1/ 2 |
z
|]

2kQ a2 [|
z
|
a2 2z2
]

kQ |z|
这是点电荷的电势。
{范例9.5} 均匀带电圆环，圆盘和圆圈在轴线上的电场
E

2kQz a2 b2
(
1 z2 b2
1) z2 a2
如果b ≠ a，当z = 0时，圆圈中心的场强E = 0；
当z→±∞时，E→0，因此场强E在z从0到±∞之间有极值。
令
dE dz

2kQ a2 b2
[(z2
b2 b2 )3/2

(z2
a2 a2 )3/2
]
z

zM

0
Q Oa
{范例9.5} 均匀带电圆环，圆盘和圆圈在轴线上的电场
当z > 0时，E > 0，场强的方向与z轴正向相同；