2019高考数学专题等差等比数列含答案解析

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培优点十 等差、等比数列

1．等差数列的性质

例1：已知数列{}n a ，{}n b 为等差数列，若117a b +=，3321a b +=，则55a b +=_______ 【答案】35

【解析】∵{}n a ，{}n b 为等差数列，∴{}n n a b +也为等差数列， ∴()()()3311552a b a b a b +=+++，∴()()553311235a b a b a b +=+-+=．

2．等比数列的性质

例2：已知数列{}n a 为等比数列，若4610a a +=，则()713392a a a a a ++的值为（ ） A ．10 B ．20 C ．100 D ．200

【答案】C

【解析】与条件4610a a +=联系，可将所求表达式向4a ，6a 靠拢，

从而()()2

22

71339717339446646222a a a a a a a a a a a a a a a a a ++=++=++=+，

即所求表达式的值为100．故选C ．

3．等差、等比综合

例3：设{}n a 是等差数列，{}n b 为等比数列，其公比1q ≠，且()01,2,3,,i b i n >=L ，若11a b =，1111a b =，

则有（ ） A ．66a b = B ．66a b > C ．66a b < D ．66a b >或66a b <

【答案】B

【解析】抓住1a ，11a 和1b ，11b 的序数和与6a ，6b 的关系，从而以此为入手点． 由等差数列性质出发，11a b =，1111111111a b a a b b =?+=+， 因为11162a a a +=，而{}n b 为等比数列，联想到111b b ?与6b 有关，

所以利用均值不等式可得：11162b b b +>=；

（1q ≠故111b b ≠，均值不等式等号不成立）

所以1111116622a a b b a b +=+?>．即66a b >．故选B ．

一、单选题

1．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，中间三尺重几何．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤．”（ ） A ．6斤 B ．7斤 C ．8斤 D ．9斤

【答案】D

【解析】原问题等价于等差数列中，已知14a =，52a =，求234a a a ++的值． 由等差数列的性质可知：24156a a a a +=+=，15

332

a a a +=

=， 则2349a a a ++=，即中间三尺共重9斤．故选D ．

2．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若540S =，9126S =，则7S =（ ） A ．66 B ．68

C ．77

D ．84

【答案】C

【解析】根据等差数列的求和公式53540S a ==，959126S a ==，化简得358

14a a =??=?，

根据等差数列通项公式得1128414a d a d +=??+=?，解方程组得12

3a d =??=?，

()()741773723377S a a d ==+=?+?=．故选C ．

3．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值为（ ） A ．4 B ．2 C ．2- D ．4-

【答案】C

对点增分集训

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【解析】根据题意，当1n =时，11224S a λ==+，故当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=， ∵数列{}n a 是等比数列，则11a =，故

412

λ

+=；解得2λ=-．故选C ． 4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，5714a a +=，则11S =（ ） A ．140 B ．70 C ．154 D ．77

【答案】D

【解析】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，5714a a +=， ∴57111111411111177222

a a a a S ++=

?=?=?=．故选D ． 5．已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且1a ，3a ，2a 成等差数列，则公比q 的值为（ ） A ．1

2

-

B ．2-

C ．1或1

2

-

D ．1-或

12

【答案】C

【解析】由题意知：3122a a a =+，∴21112a q a q a =+，即221q q =+， ∴1q =或1

2

q =-．故选C ．

6．公比不为1的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a -，21

2a -，3a 成等差数列，若11a =，

则4S =（ ） A ．5- B ．0

C ．5

D ．7

【答案】A

【解析】设{}n a 的公比为q ，由12a -，21

2a -，3a 成等差数列，可得2132a a a -=-+，

若11a =，可得22q q -=-+，解得()21q =-舍去，

则()()

()

4

4141125112a q S q

---=

=

=----，故选A ．

7．等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=L （ ） A ．12 B ．10 C ．8

D ．32log 5+

【答案】B

【解析】由等比数列的性质结合题意可知：56479a a a a ==，

且110293847569a a a a a a a a a a =====， 据此结合对数的运算法则可得：

()53132310312103log log log log log 910a a a a a a +++===L L ．故选B ．

8．设公差为2-的等差数列{}n a ，如果1479750a a a a +++=+L ，那么36999a a a a ++++L 等于（ ） A ．182- B ．78- C ．148- D ．82-

【答案】D

【解析】由两式的性质可知：36999147972222a a a a a d a d a d a d +++???+=++++++???++， 则36999506682a a a a d +++???+=+=-．故选D ．

9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且133215S S -=，则数列{}n a 的第三项为（ ） A ．3 B ．4- C ．5- D ．6

【答案】C

【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，

∵133215S S -=，∴()112312321536a a a a a a ++==--，∴1325a d a +=-=．故选C ． 10．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若81026a a =+，则11S =（ ） A ．27 B ．36 C ．45 D ．66

【答案】D

【解析】∵81026a a =+，∴610106a a a +=+，∴66a =，∴()

1111161111662

a a S a +===，故

选D ．

11．设{}n a 是各项为正数的等比数列，q 是其公比，n K 是其前n 项的积，且56K K <，678K K K =>，

则下列结论错误．．的是（ ） A ．01q << B ．71a =

C ．95K K >

D ．6K 与7K 均为n K 的最大值

【答案】C

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【解析】设等比数列1

1n n a a q

-=，n K 是其前n 项的积，所以()

12

1

n n n n K a q -=，

由此55611K K a q ?>

所以6711a a q ==，所以B 正确，

由511a q <，各项为正数的等比数列，可知01q <<，所以A 正确，

6

11a q =，()

12

1

n n n n K a q

-=可知()

()

1132

2

1

n n n n n n K a q

q

--==，

由01q <<，所以x q 单调递减，

()

n n 132

-在6n =，7时取最小值，

所以n K 在6n =，7时取最大值，所以D 正确．故选C ．

12．定义函数()f x 如下表，数列{}n a 满足()1n n a f a +=，n *∈N ，若12a =，则1232018a a a a ++++=L （ ）

A ．7042

B ．7058

C ．7063

D ．7262

【答案】C

【解析】由题设知()13f =，()25f =，()34f =，()46f =，()51f =，()62f =， ∵12a =，()1n n a f a +=，n *∈N ，

∴12a =，()225a f ==，()351a f ==，()413a f ==， ()534a f ==，()646a f ==，()762a f ==……，

∴{}n a 是周期为6的周期数列， ∵201833662=?+，

∴()1232018336123456257063a a a a ++++=?+++++++=L ，故选C ．

二、填空题

13．已知等差数列{}n a ，若2376a a a ++=，则17a a +=________

【答案】4

【解析】∵2376a a a ++=，∴1396a d +=，∴132a d +=，

∴42a =，∴17424a a a +==．故答案为4．

14．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S

，若公比q =1231a a a ++=，则12S 的值是___________． 【答案】15

【解析】已知1231a a a ++=，则()313111a q S q

-=

=-，

又q =11a q =-；∴()(

)(

)12

12

1121111511q a q S q

q

---=

=

=--．

15．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若53109a a =，则95

S

S =_______． 【答案】2

【解析】()()199553159

92552

a a S a S a a a +==+，又53109a a =，代入得95910

259

S S =?=．

16．在等差数列{}n a 中，14101619100a a a a a ++++=，则161913a a a -+的值是_______． 【答案】20

【解析】根据等差数列性质14101619105100a a a a a a ++++==，所以1020a =， 根据等差数列性质，1619131613191910191020a a a a a a a a a a -+=+-=+-==．

三、解答题

17．已知数列{}n a 中，12a =，12n n a a +=． （1）求n a ；

（2）若n n b n a =+，求数列{}n b 的前5项的和5S ． 【答案】（1）2n n a =；（2）77． 【解析】（1）12a =，12n n a a +=，

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则数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，1222n n n a -=?=； （2）2n n n b n a n =+=+，

()()()()()234551222324252S =+++++++++ ()()23451234522222=+++++++++

()5155

222772

12

+?-?=

+=-．

18．设{}n a 是等差数列，其前n 项和为()

*n S n ∈N ；{}n b 是等比数列，公比大于0，其前n 项和为()

*n T n ∈N ．

已知11b =，322b b =+，435b a a =+，5462b a a =+． （1）求n S 和n T ；

（2）若()124n n n n S T T T a b ++++=+L ，求正整数n 的值． 【答案】（1）()12

n n n S +=

，21n n T =-；（2）4．

【解析】（1）设等比数列{}n b 的公比为q ，由11b =，322b b =+，可得220q q --=． 因为0q >，可得2q =，故1

2n n b -=．所以122112

n

n n T -==--．

设等差数列{}n a 的公差为d ． 由435b a a =+，可得134a d +=．

由5462b a a =+得131316a d +=，从而11a =，1d =， 故n a n =，所以()12

n n n S +=

．

（2）由（1），有()()1121221222212

22n n n n n T n T T n ++++?-=+++-=-=---L L ．

由()124n n n n S T T T a b ++++=+L ，可得

()1112222

n n n n n n ++++--=+，

整理得2340n n --=，解得1n =-（舍），或4n =． 所以n 的值为4．