6应用举例(1)俯角
正弦定理和余弦定理的应用举例(解析版)
正弦定理和余弦定理的应用举例考点梳理1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．2．实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫仰角，目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图①)．(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏北60°等；(3)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．【助学·微博】解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．侧重考查从实际问题中提炼数学问题的能力．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．解三角形应用题常有以下两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．考点自测1．(2012·江苏金陵中学)已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则三角形的面积等于________．解析记三角形三边长为a－4，a，a＋4，则(a＋4)2＝(a－4)2＋a2－2a(a－4)cos120°，解得a＝10，故S＝12×10×6×sin 120°＝15 3.答案15 32．若海上有A，B，C三个小岛，测得A，B两岛相距10海里，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，则B，C间的距离是________海里．解析由正弦定理，知BCsin 60°＝ABsin(180°－60°－75°).解得BC＝56(海里)．答案5 63．(2013·日照调研)如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为________海里/时．解析由正弦定理，得MN＝68sin 120°sin 45°＝346(海里)，船的航行速度为3464＝1762(海里/时)．答案176 24．在△ABC中，若23ab sin C＝a2＋b2＋c2，则△ABC的形状是________．解析由23ab sin C＝a2＋b2＋c2，a2＋b2－c2＝2ab cos C相加，得a2＋b2＝2ab sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6.又a 2＋b 2≥2ab ，所以 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6≥1，从而sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝1，且a ＝b ，C ＝π3时等号成立，所以△ABC 是等边三角形．答案 等边三角形5．(2010·江苏卷)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b a ＋a b＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan C tan B 的值是________．解析 利用正、余弦定理将角化为边来运算，因为b a ＋a b ＝6cos C ，由余弦定理得a 2＋b 2ab ＝6·a 2＋b 2－c 22ab ，即a 2＋b 2＝32c 2.而tan C tan A ＋tan C tan B ＝sin C cos C ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A sin A ＋cos B sin B ＝sin C cos C ·sin Csin A sin B ＝c 2ab ·a 2＋b 2－c 22ab＝2c 2a 2＋b 2－c 2＝2c 232c 2－c 2＝4. 答案 4考向一 测量距离问题【例1】 如图所示，A 、B 、C 、D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B 、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75°，30°，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60°，AC ＝0.1 km.(1)求证：AB ＝BD ；(2)求BD .(1)证明 在△ACD 中，∠DAC ＝30°，∠ADC ＝60°－∠DAC ＝30°，所以CD ＝AC ＝0.1.又∠BCD ＝180°－60°－60°＝60°，故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，所以BD ＝BA .(2)解 在△ABC 中，AB sin ∠BCA ＝AC sin ∠ABC， 即AB ＝AC sin 60°sin 15°＝32＋620(km)，因此，BD ＝32＋620(km)故B 、D 的距离约为32＋620 km.[方法总结] (1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型．(2)利用正、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解．(3)应用题要注意作答．【训练1】 隔河看两目标A 与B ，但不能到达，在岸边先选取相距3千米的C ，D 两点，同时测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°(A ，B ，C ，D 在同一平面内)，求两目标A ，B 之间的距离．解 如题图所示，在△ACD 中，∵∠ADC ＝30°，∠ACD ＝120°，∴∠CAD ＝30°，AC ＝CD ＝3(千米)．在△BDC 中，∠CBD ＝180°－45°－75°＝60°.由正弦定理，可得BC ＝3sin 75°sin 60°＝6＋22(千米)．在△ABC 中，由余弦定理，可得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠BCA ，即AB 2＝(3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋222－23·6＋22cos 75°＝5， ∴AB ＝5(千米)．所以两目标A ，B 间的距离为5千米．考向二 测量高度问题【例2】 (2010·江苏)某兴趣小组要测量电视塔AE 的高度H (单位：m)如图所示，垂直放置的标杆BC 的高度h ＝4 m ，仰角∠ABE ＝α，∠ADE ＝β.(1)该小组已测得一组α、β的值，算出了tan α＝1.24，tan β＝1.20，请据此算出H 的值；(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d (单位：m)，使α与β之差较大，可以提高测量精度．若电视塔的实际高度为125 m ，试问d 为多少时，α－β最大？解 (1)由AB ＝H tan α，BD ＝h tan β，AD ＝H tan β及AB ＋BD ＝AD 得H tan α＋h tan β＝H tan β解得H ＝h tan αtan α－tan β＝4×1.241.24－1.20＝124. 因此，算出的电视塔的高度H 是124 m.(2)由题设知d ＝AB ，得tan α＝H d .由AB ＝AD －BD ＝H tan β－h tan β，得tan β＝H －h d ，所以tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝h d ＋H (H －h )d ≤h 2H (H －h )， 当且仅当d ＝H (H －h )d，即d ＝H (H －h )＝125×(125－4)＝555时，上式取等号．所以当d ＝555时，tan(α－β)最大．因为0<β<α<π2，则0<α－β<π2，所以当d ＝555时，α－β最大．故所求的d 是55 5 m.[方法总结] (1)测量高度时，要准确理解仰、俯角的概念．(2)分清已知和待求，分析(画出)示意图，明确在哪个三角形应用正、余弦定理．(3)注意竖直线垂直于地面构成的直角三角形．【训练2】如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB.解在△BCD中，∠CBD＝π－α－β，由正弦定理得BCsin∠BDC＝CDsin∠CBD，所以BC＝CD sin∠BDCsin∠CBD＝s·sin βsin(α＋β)在Rt△ABC中，AB＝BC tan∠ACB＝s tan θsin βsin(α＋β).考向三运用正、余弦定理解决航海应用问题【例3】我国海军在东海举行大规模演习．在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A(3－1)km的B处有一艘“敌舰”．在A处北偏西75°的方向，距离A 2 km的C处的“大连号”驱逐舰奉命以10 3 km/h的速度追截“敌舰”．此时，“敌舰”正以10 km/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问“大连号”沿什么方向能最快追上“敌舰”？解设“大连号”用t h在D处追上“敌舰”，则有CD＝103t，BD＝10t，如图在△ABC中，∵AB＝3－1，AC＝2，∠BAC＝120°，∴由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝(3－1)2＋22－2·(3－1)·2·cos 120°＝6∴BC＝6，且sin∠ABC＝ACBC·sin∠BAC＝26·32＝22.∴∠ABC＝45°，∴BC与正北方向垂直．∴∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理，得sin∠BCD＝BD·sin∠CBDCD＝10t sin 120°103t＝12，∴∠BCD＝30°.即“大连号”沿东偏北30°方向能最快追上“敌舰”．[方法总结] 用解三角形知识解决实际问题的步骤：第一步：将实际问题转化为解三角形问题；第二步：将有关条件和求解的结论归结到某一个或两个三角形中．第三步：用正弦定理和余弦定理解这个三角形．第四步：将所得结果转化为实际问题的结果．【训练3】(2013·广州二测)如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上，此时到达C处．(1)求渔船甲的速度；(2)求sin α的值．解(1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12(海里)，AC＝10×2＝20(海里)，∠BCA＝α，在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784.解得BC＝28(海里)．所以渔船甲的速度为BC2＝14海里/时．(2)在△ABC中，因为AB＝12(海里)，∠BAC＝120°，BC＝28(海里)，∠BCA＝α，由正弦定理，得ABsin α＝BCsin 120°.即sin α＝AB sin 120°BC＝12×3228＝3314.高考经典题组训练1．(四川卷改编)如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连结EC、ED，则sin∠CED＝________.解析在Rt△EAD和Rt△EBC中，易知ED＝2，EC＝5，在△DEC中，由余弦定理得cos∠CED＝ED2＋EC2－CD22ED·EC＝2＋5－12×2×5＝31010.∴sin∠CED＝1010.答案10 102．(2011·新课标卷)在△ABC中，B＝60°，AC＝3，则AB＋2BC的最大值为________．解析由正弦定理知ABsin C＝3sin 60°＝BCsin A，∴AB＝2sin C，BC＝2sin A.又A＋C＝120°，∴AB＋2BC＝2sin C＋4sin(120°－C)＝2(sin C＋2sin 120°cos C －2cos 120°sin C)＝2(sin C＋3cos C＋sin C)＝2(2sin C＋3cos C)＝27sin(C ＋α)，其中tan α＝32，α是第一象限角．由于0°＜C ＜120°，且α是第一象限角，因此AB ＋2BC 有最大值27.答案 273．(湖北卷改编)若△ABC 的三边长为连续三个正整数，且A >B >C,3b ＝20a cos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C ＝________.解析 由A >B >C ，得a >b >c .设a ＝c ＋2，b ＝c ＋1，则由3b ＝20a cos A ，得3(c＋1)＝20(c ＋2)·(c ＋1)2＋c 2－(c ＋2)22(c ＋1)c，即3(c ＋1)2c ＝10(c ＋1)(c ＋2)(c －3)，解得c ＝4，所以a ＝6，b ＝5.答案 6∶5∶44.(2·陕西卷)如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船达到D 点需要多长时间？解 由题意知AB ＝5(3＋3)海里，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°，所以∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°，在△ADB 中，由正弦定理得DB sin ∠DAB ＝AB sin ∠ADB， 所以DB ＝AB ·sin ∠DAB sin ∠ADB ＝5(3＋3)·sin 45°sin 105°＝5(3＋3)·sin 45°sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝103(海里)， 又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°， BC ＝203(海里)，在△DBC 中，由余弦定理得 CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos ∠DBC＝300＋1 200－2×103×203×12＝900，所以CD ＝30(海里)，则需要的时间t ＝3030＝1(小时)．所以救援船到达D 点需要1小时．（江苏省2013届高三高考压轴数学试题）在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知a =5,b =4,cos(A -B )=3231. (Ⅰ) 求sin B 的值;(Ⅱ) 求cos C 的值.分层训练A 级 基础达标演练(时间：30分钟 满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．若渡轮以15 km/h 的速度沿与水流方向成120°角的方向行驶，水流速度为4km/h ，则渡轮实际航行的速度为(精确到0.1 km/h)________．答案 13.5 km/h2．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.解析 如图，OM ＝AO tan 45°＝30 (m)，ON ＝AO tan 30°＝33×30＝10 3 (m)，由余弦定理得，MN ＝ 900＋300－2×30×103×32＝300＝10 3 (m)． 答案 10 33．某人向正东方向走x km 后，他向右转150°，然后朝新方向走3 km ，结果他离出发点恰好 3 km ，那么x 的值为________．解析 如图，在△ABC 中，AB ＝x ，BC ＝3，AC ＝3，∠ABC ＝30°，由余弦定理得(3)2＝32＋x 2－2×3x ×cos 30°，即x 2－33x ＋6＝0，解得x 1＝3，x 2＝23，经检测均合题意．答案 3或2 34.如图所示，为了测量河对岸A ，B 两点间的距离，在这一岸定一基线CD ，现已测出CD ＝a 和∠ACD ＝60°，∠BCD ＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC ＝60°，则AB 的长为________．解析 在△ACD 中，已知CD ＝a ，∠ACD ＝60°，∠ADC＝60°，所以AC ＝a .①在△BCD 中，由正弦定理可得BC ＝a sin 105°sin 45°＝3＋12a .②在△ABC 中，已经求得AC 和BC ，又因为∠ACB ＝30°，所以利用余弦定理可以求得A ，B 两点之间的距离为AB ＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 30°＝22a .答案 22a5．(2010·新课标全国卷)在△ABC 中，D 为边BC 上一点，BD ＝12CD ，∠ADB ＝120°，AD ＝2，若△ADC 的面积为3－3，则∠BAC ＝________.解析 由A 作垂线AH ⊥BC 于H .因为S △ADC ＝12DA ·DC ·sin 60°＝12×2×DC ·32＝3－3，所以DC ＝2(3－1)，又因为AH ⊥BC ，∠ADH ＝60°，所以DH ＝AD cos 60°＝1，∴HC ＝2(3－1)－DH ＝23－3.又BD ＝12CD ，∴BD ＝3－1，∴BH ＝BD ＋DH ＝ 3.又AH ＝AD ·sin 60°＝3，所以在Rt △ABH 中AH ＝BH ，∴∠BAH ＝45°.又在Rt △AHC 中tan ∠HAC ＝HC AH ＝23－33＝2－3， 所以∠HAC ＝15°.又∠BAC ＝∠BAH ＋∠CAH ＝60°，故所求角为60°.答案 60°6.如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10米到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是________米．解析 在△BCD 中，CD ＝10(米)，∠BDC ＝45°，∠BCD ＝15°＋90°＝105°，∠DBC ＝30°，BC sin 45°＝CD sin 30°，BC ＝CD sin 45°sin 30°＝102(米)．在Rt △ABC 中，tan 60°＝AB BC ，AB ＝BC tan 60°＝106(米)．答案 10 6二、解答题(每小题15分，共30分)7．(2011·常州七校联考)如图，在半径为3、圆心角为60°的扇形的弧上任取一点P ，作扇形的内接矩形PNMQ ，使点Q 在OA 上，点N 、M 在OB 上，设矩形PNMQ 的面积为y ，(1)按下列要求写出函数的关系式：①设PN ＝x ，将y 表示成x 的函数关系式；②设∠POB ＝θ，将y 表示成θ的函数关系式；(2)请你选用(1)中的一个函数关系式，求出y 的最大值．解 (1)①∵ON ＝OP 2－PN 2＝3－x 2，OM ＝33x ，∴MN ＝3－x 2－33x ，∴y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫3－x 2－33x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32. ②∵PN ＝3sin θ，ON ＝3cos θ，OM ＝33×3sin θ＝sin θ，∴MN ＝ON －OM ＝3cos θ－sin θ，∴y ＝3sin θ(3cos θ－sin θ)，即y ＝3sin θcos θ－3sin 2θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3. (2)选择y ＝3sin θcos θ－3sin 2θ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π6－32， ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，∴2θ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，∴y max ＝32. 8．某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由． 解 (1)设相遇时小艇航行的距离为S 海里，则 S ＝900t 2＋400－2·30t ·20·cos (90°－30°)＝900t 2－600t ＋400＝ 900⎝ ⎛⎭⎪⎫t －132＋300. 故当t ＝13时，S min ＝103(海里)，此时v ＝10313＝303(海里/时)．即，小艇以303海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)设小艇与轮船在B 处相遇，则v 2t 2＝400＋900t 2－2·20·30t ·cos(90°－30°)，故v 2＝900－600t ＋400t 2，∵0＜v ≤30，∴900－600t ＋400t 2≤900，即2t 2－3t ≤0，解得t ≥23.又t ＝23时，v ＝30海里/时．故v＝30海里/时时，t取得最小值，且最小值等于2 3.此时，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝20海里，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/时，小艇能以最短时间与轮船相遇．。
解三角形 应用举例
解三角形 应用举例1．实际问题中的常用角(1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图(1))．(2)方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图(2))．(3)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏东60°等．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数． 2、解三角形应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．一、距离问题：例1. 如图，设A 、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离是50m ，∠A =60°，∠C =75︒. 求A 、B 两点的距离(结果保留根号).例2. 如图，A 、B 两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A 、B 两点间距离的方法. 小明提供了一种方法：如图在河岸选取相距40米的C 、D 两点，用经纬仪测得∠ADB =∠ACB=60°，∠BDC =45°，∠ACD =30°，你能根据小明提供的这些数据求出AB 吗？A B二、高度问题例3: 在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角α＝ 60° ，在塔底C 处测得A 处的俯角β＝30°。
已知铁塔BC 部分的高为28m ，求出山高CD.例4、如图，山脚下有一小塔AB ，在塔底B 测得山顶C 的仰角为60°，在山顶C 测得塔顶A 的俯角为45°，已知塔高AB ＝20 m ，求山高CD .DAB C三．角度问题例5、某巡逻艇在A 处发现北偏东450相距9海里的C 处有一艘走私船，正沿南偏东750的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？（ ）例6.(2007·山东) 如图4-4-12，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于1A 处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的1B 处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达2A 处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的2B 处，此时两船相距102海里，问乙船每小时航行多少海里？143538sin 0 北1B2B 1A2A120 105甲乙课后作业：1.有A、B两个小岛相距10 nmile，从A岛望B岛和C岛成60°的视角，从B 岛望A岛和C岛成75°角的视角，则B、C间的距离是（）A.5 2 nmileB.10 3 nmileC. 1036nmile D.5 6 nmile2.如下图，为了测量隧道AB的长度，给定下列四组数据，测量应当用数据A.α、a、bB.α、β、aC.a、b、γD.α、β、γ4．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行30 nmile后看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是. . 5．甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为300，则甲、乙两楼的高分别是， .6．如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船沿直线CB前往B处救援，求cos∠ACB的值7．甲舰在A处，乙舰在A的南偏东45°方向，距A有9 nmile，并以20 nmile/h 的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲舰以28 nmile/h的速度行驶，应沿什么方向，用多少时间，能尽快追上乙舰？。
25.3.2_仰角与俯角及其应用
2.如图，测绘员在地面上离甲大楼底部D处10米的 F处设立了一个观测点，利用测角仪测得甲大楼顶 端A处的仰角为600，又测得AD上B处的仰角为 450(AD⊥FD ) ，AB的长度为 米. （用含根号的式子表示） (10 3 10) 甲 A
B
E
C D
F
一位同学测河宽,如图,在河岸上一点A观测河对岸边的 一小树C,测得AC与河岸边的夹角为45０,沿河岸边向前走 200米到达B点,又观测河对岸边的小树C,测得BC与河岸边 的夹角为30０,问这位同学能否计算出河宽?若不能,请说明 理由;若能,请你计算出河宽.
仰角和俯角
在进行测量时， 从下向上看，视 线与水平线的夹 角叫做仰角； 从上往下看，视 线与水平线的夹 角叫做俯角.
铅 垂 线
视线
仰角 俯角
水平线
视线
如图，BCA=DEB=90， FB//AC // DE，
∠BAC 从A看B的仰角是______；
F
B
从B看A的俯角是 ∠FBA .
90度 B
24米
30度
E
1.5米
C
. D
A
解： 在RtABE中, AB tan AEB BE AB BE tan AEB
B C
90° 24 1.5
30° E D
BE tan30 3 24 3 8 3(米)
AC AB BC
8 3 1.5 15.4(米)
C
·
45 45
30 30
D
D D
A 200 B B
播放 停止
解 这位同学能计算出河宽.
C
C
在Rt△ACD中,设CD=x米, 由
人教版九年级下册数学课件应用举例仰角和俯角在解直角三角形中的应用ppt
αD
图中，a=30°,β=60°. （2）两锐角之间的关系
Rt△ABC 中，a =30°，AD＝120，
Aβ
“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343km的圆形轨道上运行，如图，当组合体运行到地球表面P点的正上方时，从中
能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少（地球半径约为6400km，π取，结果取整数）？
160327.（ 17m） .
C
答：这栋楼高约为
合作探究 达成目标
小组讨论2:从活动2中例题的解答中，你体会到什么思
想方法？如何添加辅助线构造可解的直角三角形？
【反思小结】利用直角三角形中的边角关系求线段的 长度，如果涉及两个或两个以上的三角形时，可以通 过设未知数，利用线段之间的等量关系列出方程，从 而求解 ．
1、直角三角形中除直角外五个元素之间具有什
所以树高为：20.49+1.72=22.21（米）.
类似地可以求出CD，进而求出BC．
为30°，看这栋高楼底部的俯 第1课时 仰角和俯角在解直角三角形中的应用
类似地可以求出CD，进而求出BC．
角为60°，热气球与高楼的水平
距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到）? 合作探究 达成目标
2．如图（3），两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为
合作探究 达成目标
小组讨论1:从活动1中的例题解答中，你能体会到解直
角三角形的应用前提条件是什么吗？如何进行？
【反思小结】一般情况下，直角三角形是求解或运用三 角函数值的前提条件，故当题目中提供的并非直角三角 形时，需添加辅助线构造直角三角形，然后运用三角函 数解决问题．
28.2.2应用举例(1)——仰角、俯角问题+课件-2023-2024学年人教版数学九年级下册
课后强化
1. 如图，某飞机在空中 处观察地平面指挥台 的俯角 ，此时飞行高度 米，则飞机与指挥台 的距离为_______米.
2 400
2. (2022·深圳模拟)如图，测角仪 竖直放在距建筑物 底部 的位置，在 处测得建筑物顶端 的仰角为 .若测角仪 的高度是 ，则建筑物 的高度为( )
解：设塔高 为 ．在 中， ， .在 中， ， . ， ，解得 ，则 .答：塔高 为 ，大楼与塔之间的距离 为 ．
4. (2022· 蓬江区校级一模)（核心素养）（方程思想）如图，某数学兴题小组为测量一座古塔的高度，在古塔左侧的点 处测得古塔顶端 的仰角为 ，然后向古塔底座 前进 到达点 处，测得古塔顶端 的仰角为 ，且点 ， ， 在同一水平直线上，求古塔 的高度.
15.3
小数，参考数据： ， ， ）
6. (2022· 越秀区校级开学)如图，建筑物 的高为35米，从点 测得点 的仰角 为 ，从点 测得点 的俯角 为 ，求建筑物 的高度和两座建筑物间的水平距离 . 参考数据： ， ， ， ， ，
解：如图，过点 作 ，垂足为 .由题意可知，四边形 是矩形， 米， ， .在 中， ， .在 中， ， ， .答：建筑物 的高度为80米，两座建筑物间的水平距离 为60米.
解： 在热气球 处测得地面点 的俯角为 ， . 在热气球 处测得地面点 的俯角为 ， ， ， ，即 的长为 .
1. (2022· 惠阳区一模)如图，在地面上的点 处测得树顶 的仰角为 度， ，则树高 为( ).
A
A. B. C. D.
2. (2022·广东一模)如图是某商场自动扶梯的示意图，自动扶梯 的倾斜角为 ，在自动扶梯下方地面 处测得扶梯顶端 的仰角为 ， ， 之间的距离为 ，则自动扶梯的垂直高度 _ ____ .（结果保留根号）
28.2.2(1)解直角三角形应用举例1---俯角
28.2.2解直角三角形应用举例1——俯角编制：校对：一、知识要点仰角和俯角视线与水平线方向的夹角中，视线在水平线上方的角叫做，视线在水平线上方的角叫做 .二、典型例题例1：如图,学校的实验楼对面是一幢教学楼,小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶部D的仰角为18∘,教学楼底部B的俯角为20∘，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30m.(1)求∠BCD的度数。
(2)求教学楼的高BD.(结果精确到0.1m,参考数据：tan20∘≈0.36,tan18∘≈0.32)【变式练习1】如图，谢明住在一栋住宅楼AC上，他在家里的窗口点B处，看楼下一条公路的两侧点F和点E处（公路的宽为EF），测得俯角、分别为30°和60°，点F、E、C在同一直线上.（1）请你在图中画出俯角和.（2）若谢明家窗口到地面的距离BC=6米，求公路宽EF是多少米？（结果精确到0.1米；可能用到的数据）例2：如图,小明为了测量小山顶的塔高,他在A处测得塔尖D的仰角为45∘,再沿AC方向前进73.2米到达山脚B处,测得塔尖D的仰角为60∘,塔底E的仰角为30∘,求塔高.(精确到0.1米,3≈1.732)【变式练习2】某校九年级某班开展数学活动,小明和小军合作用一副三角板测量学校的旗杆,小明站在B点测得旗杆顶端E点的仰角为45∘,小军站在点D测得旗杆顶端E点的仰角为30∘,已知小明和小军相距(BD)6米,小明的身高(AB)1.5米,小军的身高(CD)1.75米,求旗杆的高EF的长.(结果精确到0.1,参考数据：2≈1.41,3≈1.73)三、习题精选1.如图,某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C,此时飞行高度AC=1 200m,从飞机上看地平面指挥台B的俯角α=30∘,则飞机A与指挥台B的距离为( )A. 1 200 mB. 1 2002 mC. 1 2003 mD. 2 400 m2.如图,热气球的探测器显示,从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30∘,看这栋楼底部C处的俯角为60∘,热气球A处与楼的水平距离为120m,则这栋楼的高度为( )A. 1603 mB. 1203 mC. 300 mD. 160 2m3.如图,数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度,在水平地面A处安置测倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为45∘,向前走20米到达A′处,测得点D的仰角为67.5∘,已知测倾器AB的高度为1.6米,则楼房CD的高度约为(结果精确到0.1米,2≈1.414)( )A. 34.14米B. 34.1米C. 35.7米D. 35.74米4.如图,在两建筑物之间有一旗杆,高15米,从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点,且俯角α为60∘,又从A点测得D点的俯角β为30∘,若旗杆底点G为BC的中点,则矮建筑物的高CD为( )A. 20米B. 103米C. 153米D. 56米5.如图,从热气球C处测得地面A. B两点的俯角分别为30∘、45∘，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A. D. B在同一直线上，AB两点的距离为_____m.6.孔明同学在距某电视塔塔底水平距离500米处,看塔顶的仰角为20∘(不考虑身高因素),则此塔高约为_____米.(结果保留整数,参考数据：sin20∘≈0.3420,sin70∘≈0.9397,tan20∘≈0.3640,tan70∘≈2.7475).7.如图，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的顶部A的仰角为，测得大树AB的底部B的俯角为，已知平台CD的高度为5m，则大树的高度为_____m（结果保留根号）．(第7题) （第8题）8.如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米每分钟的速度沿与地面成75∘角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30∘，则小山东西两侧A、B两点间的距离为米.9.如图,在电线杆上的C处引拉线CE,CF固定电线杆,拉线CE和地面成60∘角,在离电线杆6米的B是安置测角仪,在A处测得电线杆上C处的仰角为30∘,已知测角仪AB的高为1.5米,求拉线CE的长(3≈1.73,结果精确到0.1米)10.如图,为了开发利用海洋资源,某勘测飞机预测量一岛屿两端A. B的距离,飞机在距海平面垂直高度为100米的点C处测得端点A的俯角为60∘,然后沿着平行于AB的方向水平飞行了500米,在点D测得端点B的俯角为45∘,求岛屿两端A. B的距离(结果精确到0.1米,参考数据：3≈1.73,2≈1.41)。
三角函数应用举例(1)仰角俯角
A
C
从D看B的仰角是 ∠BDE .
水平线
例4: 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部
的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯 角为60°，热气
球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果
取整数）
分析：我们知道，在视线与水平线所
仰角
水平线
成的角中视线在水平线上方的是仰角
B
，视线在水平线下方的是俯角，因此
答：开挖点E离点D 332.8m正好能使A，C，E成一直线.
我的收获
模型一
模型二
A
B
模型三
C
A
D
C
Байду номын сангаас
D
B
模型四
总结
1、弄清俯角、仰角的意义，明确各术语与示 意图中的什么元素对应，只有明确这些概念， 才能恰当地把实际问题转化为数学问题；
2、认真分析题意、画图并找出要求的直角三角 形；
当堂反馈
3.如图，在离铁塔BE 120m的A处，用测角仪测量塔顶的仰 角为30°，已知测角仪高AD=1.5m，则塔高BE=(4_0__3___1_.5_)_m （结果保留根号）．
4.如图,从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角 是30∘,从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是 45∘,已知甲楼的高AB是120m,则乙楼的高CD是 _4_0__3_m(结果保留根号)
解决问题）
变式2： 站在一栋楼的顶端A处，看另一栋楼楼 顶的俯角为30°，看这栋楼底部的俯角为60° ，这两栋楼间的水平距离为240m，楼BC有多高 ？（注：此题可以转化为变式1的解法）
当堂反馈
1．如图（2），在高出海平面100米的悬崖顶A处， 观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为 45°，则船与观测者之间的水平距离BC=__10_0__米. 2．如图（3），两建筑物AB和CD的水平距离为30 米，从A点测得D点的俯角为30°，测得C点的俯 角为60°，则建筑物CD的高为_____米.
解直角三角形的应用(仰角和俯角问题)
计算角度证结果：检 查计算结果是 否满足三角形 内角和为180
度的条件
添加标题
确定已知条件：已知三角形的边长和角度
添加标题
利用正弦定理：sin/ = sinB/b = sinC/c
添加标题
利用余弦定理：cos = (b^2 + c^2 - ^2) / (2bc)
正弦定理：在直角三角形中 任意一边的长度等于其对角 的正弦值乘以斜边的长度
余弦定理：在直角三角形中 任意两边长度的平方和等于 斜边的平方
正切定理：在直角三角形中 任意一边的长度等于其对角 的正切值乘以斜边的长度
余切定理：在直角三角形中 任意两边长度的平方差等于 斜边的平方
正割定理：在直角三角形中 任意一边的长度等于其对角 的正割值乘以斜边的长度
确保测量工具的 准确性和稳定性
避免在危险区域 进行测量如高空、
高压电等
遵守操作规程确 保人身安全
做好防护措施如 佩戴安全帽、手
套等
及时清理现场避 免杂物影响测量
结果
遇到突发情况及 时停止操作并寻
求帮助
仰角和俯角为0度：此时三角形退化为直线无法求解
仰角和俯角为90度：此时三角形退化为直角三角形可以直接求解
全站仪等
测量误差：注 意测量误差对 仰角和俯角测 量结果的影响
测量环境：注 意测量环境的 影响如温度、 湿度、风速等
测量方法：注 意测量方法的 选择如直接测 量、间接测量
等
测量误差：测量工具的精度、测量人员的操作水平等
计算误差：计算过程中的舍入误差、公式使用错误等
环境误差：温度、湿度、光照等环境因素对测量结果的影响
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01.
02.
应用举例第1课时 仰角、俯角++课件+++2023-2024学年人教版+数学+九年级下册
BC=2 m,∠ABC=143°.机械臂端点C到工作台的距离CD=6 m.
(1)求A,C两点之间的距离(结果精确到0.1 m);
解:(1)如图所示,过点 A 作 AE⊥CB,交 CB 延长线于点 E,连接 AC,
在 Rt△ABE 中,AB=5 m,∠ABE=180°-143°=37°,
4.如图所示,从无人机C处测得地面A,B两点的俯角分别为30°,45°,
如果此时无人机C处的高度CD为100 m,点A,D,B在同一直线上,求A,B
两点的距离.
解:∵从无人机 C 处测得地面 A,B 两点的俯角分别为 30°,45°,
∴∠BCD=90°-45°=45°.∴∠ACD=90°-30°=60°.
28.2.2
第1课时
应用举例
仰角、俯角
仰角和俯角
在进行测量时,视线与水平线所成的角中,视线在水平线
角叫做仰角,视线在水平线 下 方的角叫做俯角.
上
方的
应用解直角三角形解决实际问题
[例1] (2022盐城)如图所示是处于工作状态的某型号手臂机器人示
意图,OA是垂直于工作台的移动基座,AB,BC为机械臂,OA=1 m,AB=5 m,
cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75, ≈2.24).
解:(2)如图所示,过点 A 作 AF⊥CD,垂足为 F,
∴FD=AO=1 m.∴CF=5 m.
在 Rt△ACF 中,由勾股定理,得
AF= -=2 (m).
∴OD=2 ≈4.5(m),
即 OD 的长约为 4.5 m.
新知应用
如图所示,某校数学兴趣小组在A处用仪器测得赛场一宣传气球顶部E
处的仰角为21.8°,仪器与气球的水平距离BC=20 m,且距地面高度
新湘教版九年级数学上册课件：与俯角、仰角有关的应用问题
（2）DE＝AC＝610（米），在Rt△BDE中，tan∠BDBEE＝ DE
故BE＝DEtan39°． 因为CD＝AE， 所以CD＝AB－DE·tan39°
＝610－610×tan39°≈116（米）
答：大楼的高度CD约为116米．
3.建于明洪武七年（1374年），高度33米的光岳楼是目前 我国现存的最高大、最古老的楼阁之一（如图①）．喜爱 数学实践活动的小伟，在30米高的光岳楼顶楼P处，利用自 制测角仪测得正南方向商店A点的俯角为60°，又测得其正 前方的海源阁宾馆B点的俯角为30°（如图②）．求商店与 海源阁宾馆之间的距离（结果保留根号）．
分析：设塔高为x米，根据条件 ∠ADB＝45°，可得BD＝AB＝x米， 在直角三角形ABC中，根据∠C＝ 30°，即taAnBC＝可求.
BC
2.目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔．如图所示， 新电视塔高AB为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C处 测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D处测得塔顶B的仰角为 39°． （1）求大楼与电视塔之间的距离AC； （2）求大楼的高度CD（精确到1米）
2．用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤： ⑴建 ⑵找 ⑶解
4.4 解直角三角形的应用
第1课时 与俯角、仰角有关的应用问题
1、了解仰角、俯角的概念，能根据直角三角形的知识 解决实际问题； 2、培养分析问题、解决问题的能力．
1.解直角三角形： 在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，
叫做解直角三角形.
2.两种情况： 解直角三角形，只有下面两种情况：
（1）已知两条边； （2）已知一条边和一个锐角.
如图，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线 上方的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线下方 的夹角叫做俯角.
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2021/2/26
50.4
（第 2 题）
专心细致的抓紧每一分钟
11
方位角
北
C
650 700
西
O
420
南
OA指的方向是北偏东70０ OB指的方向是南偏西25０ OC指的方向是北偏西65０ OD指的方向是南偏东42０
A
东
D
练习：
1、如图:一艘轮船由海平面上A地出发向 南偏西400的方向行驶40海里到达B地,再 由B地向北偏西200的方向行驶40海里到 达C地,则A,C两地的距离为40_海__里_
D 60°F
300
30°
C
EB
2021/2/26
专心细致的抓紧每一分钟
8
例3、在山顶上处D有一铁塔，在塔顶B处测得 地面上一点A的俯角α=60o，在塔底D测得点A 的俯角β=45o，已知塔高BD=30米，求山高CD。
α
B
30
D
β
h
αβ
A
C
2021/2/26
专心细致的抓紧每一分钟
9
练习1： 如图，某飞机于空中A处探测到 目标C，此时飞行高度AC=1200m，从飞机上 看地面控制点B的俯角α =16°31´，求飞机A 到控制点B的距离(精确到1m).
解：在Rt ⊿ABC中， sin B AC AB
16°31 a ´
A 1200m
AB
AC
1200
B
4221
C
sin B 0.2843
答：飞机A到控制点B的距离约为4221m.
2. 两座建筑AB及CD，其地面距离AC为50.4米，从
AB的顶点B测得CD的顶部D的仰角β＝250,测得其
底部C的俯角a＝500, 求两座建筑物AB及CD的高. （精确到0.1米）
高．（精确到0.1米）
解：在Rt△BDE中，a=22°，DE=22.7
∵tanα=BE/DE, ∴ BE＝DE×tan a
＝22.7×tan 22.7° ≈9.17（米）
∴ AB＝BE＋AE ＝9.17＋1.20 ≈10.4（米）
答: 电线杆的高度约为10.4米．
2021/2/26
专心细致的抓紧每一分钟
北
C A
400 2北00 40海里
有一个角是600的等腰 三角形是等边三角形 B
练习
2、王英同学从A地沿北偏西60º方向走 100m到B地，再从B地向正南方向走200m 到C地，此时王英同学离A地多少距离？
北
B 100m
600
西
东
D
A
200m
南 C
例1：海上有一座灯塔P，在它周围3海里内有暗 礁，一艘客轮以每小时9海里的速度由西向东航 行，行至A处测得灯塔P在它的北偏东60°,继续 行驶20分钟后，到达B处，又测得灯塔P在它的 北偏东45°,问客轮不改变方向，继续前进有无 触礁的危险？
2
PD
PAD= AD
+x)·
3 3
PD = x >
北 60°
1
A东
3 ∴无
触
45°
2
B
礁危险
x
D
2、如图，为了测量高速公路的保护石堡坎与地面 的倾斜角∠BDC是否符合建筑标准，用一根长为 10m的铁管AB斜靠在石堡坎B处，在铁管AB上量 得AF长为1.5m，F点离地面的距离为0.9m，又量 出石堡坎顶部B到底部D的距离为4 3 m ，这样能计 算出∠BDC吗？若能，请计算出∠BDC的度数，若 不能，请说明理由。
杆AB的高.（精确到0.1米）
1.20
22.7
2021/2/26
专心细致的抓紧每一分钟
3
小 资 料 在实际测量中的角
从下向上看，视线与水平线所成的锐角叫做仰角； 从上向下看，视线与水平线所成的锐角叫做俯角．
铅 垂 线
仰角 俯角
专心细致的抓紧每一分钟
视线 水平线
视线
例1.如图，为了测量电线杆的高度AB，在
离电线杆22.7米的C处，用高1.20米的测角仪
CD测得电线杆顶端B的仰角 ＝22°，求电线
杆AB的高．（精确到0.1米）
2021/2/26
1.20
α＝22°
22.7
专心细致的抓紧每一分钟
E
5
例1 如图，为了测量电线杆的高度AB，在离
电线杆22.7米的C处，用高1.20米的测角仪CD测得
电线杆顶端B的仰角 ＝22°，求电线杆AB的
解：过P点作PD垂直于AB，交AB的延长线于D
P
∵∠1＝60 ° ∠2＝45°∴ ∠PAD=30°,∠PBD=45°
AB = 9 ×20÷60 = 3海里
在Rt△BDP中，∠PBD=45°∴ BD = PD
设BD=PD= x海里 ∴ AD =( 3+x)海里
x 在Rt△ADP中 tan∠
x = AD ·tan30°= ( 3 ∴x= 3 3+3
6
例2、在山脚C处测得山顶A的仰角为45°。 问题如下：
沿着水平地面向前300米到达D点，在D点 测得山顶A的仰角为600 , 求山高AB。
A
3x
45° 60° C 300 D x B
2021/2/26
专心细致的抓紧每一分钟
7
变式：在山脚C处测得山顶A的仰角为450 ,沿着 坡角为30 °的斜坡前进300米到达D点，在D点 测得山顶A的仰角为600 ,求山高AB。 A
学校受影响的时间是多长？
解：过点A作AB垂直于PN，垂足为B点。
∵ PBA=90°， BPA=30°， PA=160米 ∴ AB=80米〈100米 ∴ 受影响. 以A为圆心，100米为半径作圆弧，与PN交于点C、D. 连接AC，AD。
∵ AC=100米，AB=80米 ∴ BC=60米 ∴ CD=2BC =120米 ∵ v=18千米/小时=5米/秒 ∴ t=s/v=120/5=24（秒）
(3)边角之间的关系:
Ａ
bＣ
sin A
A的对边 斜边
a c
cos A
A的邻边 斜边
b c
tan
A
A的对边 A的邻边
a b
cot
A
A的邻边 A的对边
b a
2
2021/2/26
专心细致的抓紧每一分钟
例1.如图，为了测量电线杆的高度AB，在
离电线杆22.7米的C处，用高1.20米的测角仪
CD测得电线杆顶端B的仰角 ＝22°，求电线
2021/2/26
专心细致的抓紧每一分钟
1
1.什么叫解直角三角形？
由直角三角形中除直角外的两个已知元 Ｂ
素 (必有一边)，求出所有未知元素的过程，
叫做解直角三角形.
c
2.解直角三角形的依据：
a
(1)三边之间的关系: a2＋b2＝c2（勾股定理）；
(2)两锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º；
4 3m
0.9m
E 专心细致的抓紧每一分钟D
16 C
例2、拖拉机在行驶时，周围100米内会受噪音的影响.如
图已知在A处有一所中学，与之相距160米的P处有一拖拉
机，正由P沿北偏东60方向的公路上行驶，那么拖拉机
在行驶时，学校是否会受到影响？ 已知拖拉机的速度是18千米/小时，如果受到影响，那么