28.2.2应用举例 (1)

A 6m β F E C D i=1:3
33.7
B
在Rt△CDE中，∠CED=90°
DE tan i 1: 3 CE
18.4
120 3 120 3
BC BD CD 40 3 120 3
160 3 277.1
答：这栋楼高约为277.1m
C
练习 1. 建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的 D处观察旗杆顶部A的仰角54°，观察底部B 的仰角为45°，求旗杆的高度（精确到0.1m） 解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90° BC=DC=40m 在Rt△ACD中 D AC tan ADC DC
例5. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距 离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后， 到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海 轮所在的B处距离灯塔P有多远？ （精确到0.01海里）
A C
65° P
34°
B
方位角
• 指南或指北的方向线与目标方向线构成小于 900的角,叫做方位角. • 如图：点A在O的北偏东30° • 点B在点O的南偏西45°（西南方向）
利用解直角三角形的知识解决实际问题的 一般过程是:
1.将实际问题抽象为数学问题; (画出平面图形,转化为解直角三角形的问题)
2.根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三 角形;
3.得到数学问题的答案; 4.得到实际问题的答案.
在进行观察或测量时，
仰角和俯角
从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角. 铅 垂 线
新人教版九年级数学(下册)第二十八章
§28.2.2应用举例
在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：
（1）三边之间的关系
a b c （勾股定理）
2 2 2
b c
A
（2）两锐角之间的关系 ∠A＋∠B＝90°
（3）边角之间的关系
C
a
B
A的对边 a sin A 斜边 c
A的邻边 b cos A 斜边 c
B的对边 b sin B 斜边 c
B的邻边 a cos B 斜边 c
B的对边 b tan B B的邻边 a
A的对边 a tan A A的邻边 b
例3 2012年6月18日，“神州”九号载人航天飞船与 “天宫”一号目标飞行器成功实现交汇对接。“神州” 九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343km的圆 形轨道上运行，如图，当组合体运行到地球表面P点的 正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么 位置？最远点与P点的距离是多少（地球半径约6400km， π取3.142，结果取整数）？
A B
45° 54° 40m
C
AC tan ADC DC
tan 54 40 1.38 40 55.2
所以AB=AC－BC=55.2－40=15.2
答：棋杆的高度为15.2m.
2. 如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要 在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD = 140°，BD = 520m，∠D=50°，那么开挖点E离D多 远正好能使A，C，E成一直线（精确到0.1m） 解：要使A、C、E在同一直 线上，则 ∠ABD是 △BDE 的一个外角
PC sin B PB PC 72.8 72.8 PB 130.23 sin B sin 34 0.559
B
当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯 塔P大约130.23海里．
气象台发布的卫星云图显示，代号为W的台风在某海岛（设为 点O）的南偏东45°方向的B点生成，测得 OB 100 6km ． 台
200 20 6 30
5 6 11 D
O
60
C
x/km
台风从生成到最初侵袭该城要经过 11小时．
B
图2
1、海中有一个小岛A，它的周围8海里范围内有暗礁， 渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏 东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A 在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东 航行，有没有触礁的危险？
A
30°
பைடு நூலகம்
60°
B
12
D
F
解：由点A作BD的垂线
交BD的延长线于点F，垂足为F， ∠AFD=90° 由题意图示可知∠DAF=30°
设DF= x , AD=2x 则在Rt△ADF中，根据勾股定理
60°
B D F 30°
A
AF AD DF
2 2
2x
2
x 2 3x
在Rt△ABF中，
A B 140° C E
∴∠BED=∠ABD－∠D=90° DE cos BDE BD
50° D
DE cos BDE BD
cos 50 520 0.64 520 332.8
答：开挖点E离点D 332.8m正好能使A，C，E成一直线.
思想与方法
1．数形结合思想. 2 ． 方程思想 . 3．转化（化归）思想. 方法：把数学问题转化成解直角三角形问题，如 果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线 ，构造出直角三角形.
视线
仰角 水平线
俯角 视线
例4: 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰 角为30°，看这栋高楼底部的俯 角为60°，热气球与高楼 的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）
分析：我们知道，在视线与水平线 所成的角中视线在水平线上方的是 仰角，视线在水平线下方的是俯角， 因此，在图中，a=30°,β=60° Rt△ABC中，a =30°，AD＝ 120，所以利用解直角三角形的知 识求出BD；类似地可以求出CD， 进而求出BC．
风中心从点B以40km/h的速度向正北方向移动，经5h 后到达海面上的点C处．因受气旋影响，台风中心从点 C开始以30km/h的速度向北偏西60°方向继续移 动．以O为原点建立如图12所示的直角坐标系． （1）台风中心生成点B的坐标为 ，台风中心转 折点C的坐标为 ；（结果保留根号） （2）已知距台风中心20km的范围内均会受到台风的 侵袭．如果某城市（设为A点） y/km 位于点O的正北方向且处于台风 A 中心的移动路线上，那么台风从 生成到最初侵袭该城要经过多长 C x/km 时间？ O
A 仰角 水平线
B
α β D
俯角 C
解：如图，a = 30°,β= 60°， AD＝120．
BD CD tan a , tan AD AD
B α A β D
BD AD tana 120 tan30
3 120 40 3 3
CD AD tan 120 tan60
3x AF tan 30 tan ABF BF 12 x
解得x=6
AF 6 x 6 3 10.4
10.4 > 8没有触礁危险
2、 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中i=1:3是 指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比），根据图中 数据求：（1）坡角a和β; （2）坝顶宽AD和斜坡AB的长（精确到0.1m） 解：（1）在Rt△AFB中， ∠AFB=90 AF ° i=1:1.5 tan i 11.5 ： BF α
北 东
B
解：（1） B(100
200 100 3) 3， 100 3) C(100 3，
（2）过点C作 CD OA 于点D，如图2，则
CD 100 3
在 Rt△ ACD 中
ACD 30 CD 100 3
y/km
CD 3 cos 30 CA 200 CA 2 A
北 30° A
西
O 45°
东
B
南
例5 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距 离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后， 到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海 轮所在的B处距离灯塔P有多远（精确到0.01海里）？ 解：如图 ，在Rt△APC中， A 65° PC＝PA· cos（90°－65°） ＝80×cos25° P C ≈80×0.91 =72.8 34° 在Rt△BPC中，∠B＝34°