浙江省高中数学竞赛试题及详细解析答案

2011年浙江省高中数学竞赛试卷

一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分） 1. 已知53[

,]42

ππ

θ∈

可化简为（ ） A ．2sin θ B. 2sin θ- C. 2cos θ- D. 2cos θ

2．如果复数()()21a i i ++的模为4，则实数a 的值为（ ）

A. 2

B. C. 2±

D. ±

3. 设A ，B 为两个互不相同的集合，命题P ：x A B ∈⋂， 命题q ：x A ∈或x B ∈，则p 是q 的（ ）

A. 充分且必要条件

B. 充分非必要条件

C. 必要非充分条件

D. 非充分且非必要条件

4. 过椭圆2

212

x y +=的右焦点2F 作倾斜角为45o 弦AB ，则AB 为（ ） A.

B.

C. 3

D. 5. 函数150

()51

x

x

x f x x -⎧-≥=⎨-<⎩，则该函数为（ ） A. 单调增加函数、奇函数 B. 单调递减函数、偶函数 C. 单调增加函数、偶函数 D. 单调递减函数、奇函数 6. 设有一立体的三视图如下，则该立体体积为（ A ）

正视图 侧视图 俯视图（圆和正方形） A. 4+

52π B. 4+32π C. 4+2

π D. 4+π 7．某程序框图如右图所示，现将输出（,)x y 值依次记为：1122(,),(,),,(,),;n n x y x y x y L L 若程序运行中输出的一个数组是 (,10),x -则数组中的x =（ ）

2

2

3

1

A ．64

B ．32

C ．16

D ．8

8. 在平面区域{}

(,)||1,||1x y x y ≤≤上恒有22ax by -≤，则动点(,)P a b 所形成平面区域的面积为（ ）

A. 4 C. 16 D. 32 9. 已知函数()sin(2)6f x x m π

=--在0,2π⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

上有两个零点，

则m 的取值范围为（ ）

A. 1, 12⎛⎫

⎪⎝⎭ B 1, 12⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

C. 1, 12⎡⎫

⎪⎢⎣⎭ D. 1, 12⎛⎤

⎥⎝⎦

10. 已知[1,1]a ∈-，则2

(4)420x a x a +-+->的解为（ ）

A.3x >或2x <

B.2x >或1x <

C.3x >或1x <

D.13x << 二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，

共49分） 11. 函数()2sin

3cos 2

x

f x x =-的最小正周期为__________。 12. 已知等差数列{}n a 前15项的和15S =30，则1815a a a ++=__________.

13. 向量(1,sin )a θ=r

，(cos ,3)b θ=r ，R θ∈，则a b -r r 的取值范围为。

14. 直三棱柱111ABC A B C -，底面ABC ∆是正三角形，P ，E 分别为1BB ，1CC 上的动点（含端点）,D 为BC 边上的中点，且PD PE ⊥。则直线,AP PE 的夹角为__。 15．设y x ,为实数，则

=+=+)(m ax 2210452

2y x x

y x ____________。

16. 马路上有编号为1，2，3，…，2011的2011只路灯，为节约用电要求关闭其中的300只灯，但不能同时关闭相邻两只，也不能关闭两端的路灯，则满足条件的关灯方法共有_________种。（用组合数符号表示） 17. 设z y x ,,为整数，且3,33

3

3

=++=++z y x z y x ，则=++2

2

2

z y x __。 三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 17 分，共计 51 分） 18. 设2≤a ，求x x y )2(-=在]2 ,[a 上的最大值和最小值。

19. 给定两个数列

{}

n x ，

{}

n y 满足100==y x ，)1( 21

1

≥+=

--n x x x n n n ，

)1( 211

21

≥+=--n y y y n n n 。证明对于任意的自然数n ，都存在自然数n j ，使得 n j n x y =。

20. 已知椭圆22

22154

x y +=，过其左焦点1F 作一条直线交椭圆于A ，B 两点，D (,0)a 为1F 右

侧一点，连AD 、BD 分别交椭圆左准线于M,N 。若以MN 为直径的圆恰好过 1F ，求 a 的值。

2011年浙江省高中数学竞赛参考解答与评分规范

1．解答：因为53[

,]42

ππ

θ∈，

-cos sin cos sin θθθθ--+ 2cos θ=。正确答案为D 。

2

42a =⇒=±。正确答案为C 。 3．解答：P 是q 的充分非必要条件。正确答案为B 。

4. 解答：椭圆的右焦点为（1，0），则弦AB 为1,y x =-代入椭圆方程得

21243400,3x x x x AB -=⇒==

⇒==。正确答案为C 。 5. 解答：由单调性和奇偶性定义知道函数为单调增加的奇函数。正确答案为A 。 6.解答：该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成，其中重叠了一部分（2

π

），所以该几何体的体积为5221342

2

π

π

π⨯⨯+-

=+

。正确答案为A 。 7. 答案 经计算32x =。正确答案为 B 。

8. 解答：平面区域{}

(,)||1,||1x y x y ≤≤的四个边界点（—1，—1），（—1，1），（1，—1），（1，1）满足22ax by -≤，即有22,22,22,22a b a b a b a b +≤-≤--≤-+≤,由此计算动点(,)P a b 所形成平面区域的面积为4。正确答案为 A 。

9. 解答：问题等价于函数()sin(2)6f x x π

=-

与直线y m =在0,2π⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

上有两个交点，所以