定积分的定义及几何意义

教学重点：定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义．

教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义．

教学重点：掌握过程步骤：分割、以不变代变、求和、逼近（取极限）．

教学难点：过程的理解．

1.定积分的概念：

一般地，设函数在区间上连续，用分点将区间

等分成个小区间，每个小区间长度为（），在每个小区间上取一点，作和式：

如果无限接近于（亦即）时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分。记为：

其中成为被积函数，叫做积分变量，为积分区间，积分上限，积分下限。

说明：

（1）定积分是一个常数，即无限趋近的常数（时）称为，而不是．

（2）用定义求定积分的一般方法是：

①分割：等分区间； ②近似代替：取点；

③求和：； ④取极限：

（3）积分的几何意义：曲边图形面积：；

积分的物理意义： 变速运动路程； 变力做功

2．定积分的性质

根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：

性质1

性质2 （其中k 是不为0的常数）

性质3

性质4

例题：求曲线2x y =与0,1==y x 所围成的区域的面积

解：（1）分割:将区间等分成个小区间：

（2）近似代替： 2)1(1n i n s i -=∆ （3）求和：

从而得到的近似值 )12)(11(61n n s --= （4）取极限：

例1．利用定积分的定义计算dx x )1(21

0+⎰的值。 例2．计算定积分=。

练习： 1.利用定积分的定义计算dx x )12(1

0+⎰的值。 2.计算下列定积分

（1） （2） （3） dx x )43(22

2--⎰-

（4）求定分d x ．