第三章分子的对称性与点群优秀课件

y
z 0 0 1z z
四、对称中心和反演
从分子中任一原子至对称中心连一直线，将此 线延长，必可在和对称中心等距离的另一侧找到另 一相同原子。
依据对称中心进行的对称操作为反演， 连续进行反演操作可得
in =｛E (n为偶数)，i (n 为奇数)｝
坐标原点的对称中心的反演操作i的表示矩阵为：
1 0 0
同时H2旋转到2’的位置
再反映到H3的位置……
整个分子图形不变，
S1 h ; S2 i ;
S3 C3 h ; S4独立，包 C2 ;含
S5
C5
h
;
S6
C3 i
即只有S4是独立的点群，
其余Sn
可化为
i, h 或
Ci,C
n
n
h
对称元素与对称操作
对称元 素符号
E Cn
σ
对称元素
-旋转
镜面
基本对称操 作 符号
基本对称操作
E
恒等操作
C1n 绕 C n 轴 按 逆 时 针 方 向 转 3600/n
σ
通过镜面反映
i
对称中心
i
按对称中心反演
Sn
映轴 S1n=σC1n 绕S n轴转3600/n，接着按
垂直于轴的平面反映
六、对称点群
1. 群的定义 一组元素若满足以下四个条件，构成一个群 1）封闭性
若 A G ,B G ,则 A 必 C B ,C 有 G
连续进行反映操作可得 : σn ={ E ,n为偶数，σ , n 为奇数} 和主轴垂直的镜面以σh表示；通过主轴的镜面 以σv表示；通过主轴，平分副轴夹角的镜面以σd 表 示。
对称面σx y 的反映操作的表示矩阵为：
1 0 0
xy 0 1
0
0 0 1
x 1 0 0x x
xyy0 1
0y
i
0
1
0
0 0 1
x 1 0 0x x iy0 1 0yy z 0 0 1z z
如果每一个原子都沿直线通过分子中心移动，达 到这个中心的另一边的相等距离时能遇到一个相同的
原子，那么这个分子就具有对称中心 i。显然，正
方形的PtCl42－离子有对称中心，但四面体的SiF4分 子就没有对称中心。
2）恒等元素E 若 A G ,E G ,则 E A A A E
3）逆元素
若 AG,则必B存 G,且 在 AB BA E B为 A的逆元素 A1， B 记作
4）结合律
若 A ,B ,C G ,则 A (B ) C (A )C B
2. 群的乘法表 根据群的定义，可以得到群的乘法表
C3v点群的乘法表
CCs1h
D3 D2h D2d
CSi2
Td Oh
典型类型
C2
C3
C3v
C∞v
C2h
C3h
D3h D3d
S4
D4h
D6h
D ∞h
1. Cn 点群
Cn群只有1个Cn 旋转轴。独立对称操作有n个。阶 次为n。
若分子只有n重旋转轴，它就属于Cn群，群元素为 {E，Cn1，Cn2…Cnn-1}。这是n阶循环群。
平面正方形的PtCl42－ 四面体SiF4不
具有对称中心
具对称中心
五、映转轴和旋转反映
映转轴也称为非真轴，与它联系的对称操作是旋 转n次轴再平面反映，两个动作组合成一个操作。
S1n=σC1n
如甲烷分子，一个
经过Ｃ原子的四次映转
轴S4，作用在分子上，H
１旋转到1’的位置后，
1’
经平面反映到H4的位置，
C 1C 1C2E
2
2
2
C3轴的基转角是1200，C4轴的基转角是900，C6轴 的基转角是600。
各种对称操作相当于坐标变换 ，可用坐标变换矩
阵表示对称操作。C n轴通过原点和 z 轴重合的k次对 称操作的表示矩阵为：
coas sina 0
C n
si
na
coas
0
0 0 1
a2k
n
例如：对称操作
sin2
3
co2s
3 0
1 0 0xzy0 231 2
3 2
1 2 0
0
x 0y 1z
1 2
x
3 2
y
3 2
x
1 2
y
z
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三、对称面与反映
存在对称面的分子，除位于对称面上的原子外， 其他原子成对地排在对称面两侧，它们通过反映操作 可以复原。
反映操作是使分子中的每一点都反映到该点到镜 面垂线的延长线上，在镜面另一侧等距离处。
3．群的一些相关概念 （1）群的构成：群元素可以是各种数学对象或物理
动作，可以进行某种数学运算或物理动作。 （2）群的分类：群有各种类型，如旋转群，置换群，
点群，空间群，李群…… （3）群阶：群所含的元素个数称为群阶， （4）类：群中某些对称元素在相似变换中互为共轭
元素的可分为一类。如C3v 点群中的元素可分为三类，
一、对称性、对称操作与对称元素
对称操作是指不改变物体内部任何两点间的 距离而使物体复原的操作。对称操作所依据的几 何元素称为对称元素。对于分子等有限物体，在 进行操作时，物体中至少有一点是不动的，这种 对称操作叫点操作。
二、 旋转轴和转动
旋转操作是将分子绕通过其中心的轴旋转一定的 角度使分子复原的操作，旋转所依据的对称元素为旋 转轴。n次旋转轴的记号为Cn .使物体复原的最小旋转 角（0度除外）称为基转角α，对C n轴的基转角α= 3600/n。旋转角度按逆时针方向计算。
H2O2
H2O2是C2点群，C2轴穿过O-O键的中心和 两个H连线的中心。
二氯丙二烯（图I） I. C3H2Cl2
和C n轴相应的基本旋转操作为Cn1，它为绕轴转 3600/n的操作。分子中若有多个旋转轴，轴次最高的 轴一般叫主轴。
C1的操作是个恒等操作，又称为主操作E，因为 任何物体在任何一方向上绕轴转3600均可复原，它和
乘法中的1相似。
C2轴的基转角是1800，连续绕C2轴进行两次1800 旋转相当于恒等操作，即：
C
1 2
使空间某点p（x，y，z）变换到
另一个点p’(x’,y’,z’)
x' x cos sin 0x y'C2ysin cos 0y
z' z 0 0 1z
1 0 0x x 0 1 0yy
0 0 1z z
对称操作
C
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使空间某点p（x，y，z）变换到另一个
点p’(x’,y’,z’)
xzy'''C31xzycsio0n22s33
E元素成一类，C31与 C32旋转成一类。三个σv
平面而成一类。 （5）子群：在一些较大的群中可以找到一些较小的
群，称为子群。例如：C3v 群中有子群 C3 。子群也 要满足群的四个要求。
一、对称点群分类
点群 Cn群 Cnv群 Cnh群 Dn群 Dnh群 Dnd群 Sn群 Td群 Oh群
C1 C2v