行列式的特殊解法
求解行列式的若干方法
求解行列式的若干方法一、矩阵的行列式的基本定义行列式是以n阶方阵A=[a1,a2,a3,…an] 为参数，为定义a1,a2,a3,…an 线性相关性的函数。
它称为行列式又称为阵列式，记作|A|或det A。
二、行列式的四则运算法以n阶方阵A，B为例，记|A|=a，|B|=b，行列式满足下面的法则：（1）交换行（列）：|A|= -|A'| ；（4）把存在因子分解：|A|= |A'| * |A''|。
三、行列式解法法（1）基本思想：用行列式的四则运算法把行列式分割成较小的子矩阵，最终分解成只有一项的1x1的方阵，此时，行列式的值就求得了。
（2）实施步骤：1. 找出行列式某行（列）的第一项不为零的行列(r,s)，将这两项的所在的行（列）和其余的行（列）外的元素全部给"抹去"成新的矩阵；2. 令，行列式的记号变成，其中，为原行列式A中第r行（列）抹去后元素组成的矩阵，为原行列式A第r行（列）第s个元素；3. 如果新行列式A1的阶数>1，则重复第一步，令A1的矩阵的行列式变成。
令A1的第一行（列）第一个非零元素的行（列）及其余列（行）外的元素成新的矩阵，及抹去后原矩阵A1的第一行（列）第一个非零元素；4. 如此反复，最终，A1,A2,A3,…,An可以减少到一项元素，行列式的值就可求出；设有A为3阶方阵：[1,2,-3;2,1,3;3,2,1]步骤1：A的第一列第一个非零元素为1，第一行第一个非零元素的行=1，把第一行与第一列的行和元素外的元素抹去，有：A1=|-3|= -3步骤2：A1的值令为A[1]=-3，则A的值：四、Gauss-Jordan 消去法将一个n阶方阵A，转换为 n阶单位方阵1. 首先将一个方阵A与单位方阵合并成一个新的方阵H；2. 使用行列式的基本四则运算法，把H分解成上三角A1和下三角A2矩阵的叠加；3. 把A1及A2的元素分别乘以一个常数因子，使得所有非零元素都变成1；4. 将A1和A2叠加起来，即可得到一个n阶单位方阵，此时的A的行列式的值就求出来了。
计算行列式常用的7种方法
行列式的计算方法介绍7种常用方法1 三角化方法：通过行列初等变换将行列式化为三角型行列式.例1 计算n+1阶行列式xa a a a a x a a a a x D nnn32121211=+2 把某一行（列）尽可能化为零 例2 计算：yy x x D -+-+=222222222222222243 递归法（数学归纳法）：设法找出D n 和低级行列式间的关系，然后进行递归.例4 证明：βαβαβαβααββααββα--=++++=++1110000010001000n n n D例5 证明范德蒙行列式（n ≥2）∏≤<≤-----==nj i jin nn n n n nn x x x x x x x x x x x x x x V 111312112232221321)(11114 加边法：对行列式D n 添上一适当行和列，构成行列式D n+1，且D n+1=D n 例6 证明：)11(11111111111111111111121321∑=+=++++=ni in nn a a a a a a a a D5 拆分法：将行列式表为行列式的和的方法.即如果行列式的某行（或列）元素均为两项和，则可拆分为两个行列式之和 例7 设abcd=1,求证：011111111111122222222=++++ddd d c c c c b b b ba a a a6 利用行列式的乘积：为求一个行列式D 的值，有时可再乘上一个适当的行列式∆；或把D 拆分为两个行列式的积. 例8（1）1)cos()cos()cos()cos(1)cos()cos()cos()cos(1)cos()cos()cos()cos(1121332312322113121n n n n n n D αααααααααααααααααααααααα------------=（2）设S k =λ1k +λ2k +⋯+λn k (k=1,2…),求证：∏≤<≤-+-+--=nj i j in n nn n nn s s s s s s s s s s s s s s s n 1222111432321121)(λλ7 利用拉普拉斯定理求行列式的值.拉普拉斯定理是行列式按某一行（或列）展开定理的推广.定义(1) 在n 阶行列式D 中，任取k 行k 列 (1≤k ≤n),位于这k 行k 列交叉处的k 2个元素按原来的相对位置组成的k 阶行列式S ，称为D 的一个k 阶子式.如：D=3751485210744621则D 的一个2阶子式为：S=8261 在一个n 阶行列式中，任取k 行，由此产生的k 阶子式有C kn 个.(2) 设S 为D 的一个k 阶子式，划去S 所在的k 行k 列，余下的元素按原来的相对位置组成的n-k 阶行列式M 称为S 的余子式.又设S 的各行位于D 中的第i 1,i 2…i k 行，S 的各列位于D 中的第j 1,j 2…j k 列，称A=(-1)(i1+i2+…+ik)+(j1+j2+…+jk)M.如：3751485210744621则D 的一个2阶子式为：S=8261M=3517为S 的2阶子式 M=（-1）（1+3）+（1+3）3517为S 的代数余子式.拉普拉斯定理:若在行列式D 中任取k 行 (1≤k ≤n-1)，则由这k 行所对应的所有k 阶子式与它们的代数余子式的乘积等于D. 例9 计算2112100012100012100012=D 例10 块三角行列式的计算 设：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯⨯n n m m C B A *0或 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⨯⨯n n m m C B A 0* 则：detA=(detB)(detC).特别地：若A=diag(A 1,A 2,…,A t ),则DetA=(detA 1)(detA 2)…(detA t ).例11 设分块矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=D C B A 0，其中0为零阵，B和D可逆，求A-1.例12 计算nn b b b a a a D 1001000102121 =例13 设：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=C B A , BC T =0.证明：|AA T |=|BB T ||CC T |.（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
线性代数---特殊行列式及行列式计算方法总结
特殊行列式及行列式计算方法总结一、 几类特殊行列式1. 上（下）三角行列式、对角行列式（教材P7例5、例6）2. 以副对角线为标准的行列式11112112,1221222,11,21,11,112,1(1)212,11000000000000000(1)n n n n nn n n n n n nnn n n n n nnn n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---------===- 3. 分块行列式（教材P14例10）一般化结果：00n n m n n m n m m n m m nmA C A AB BC B ⨯⨯⨯⨯==⋅0(1)0n m n n m nmn n m mm nmm nA C A AB BC B ⨯⨯⨯⨯==-⋅4. 范德蒙行列式（教材P18例12） 注：4种特殊行列式的结果需牢记！以下几种行列式的特殊解法必须熟练掌握！！！ 二、 低阶行列式计算二阶、三阶行列式——对角线法则 （教材P2、P3） 三、 高阶行列式的计算 【五种解题方法】1) 利用行列式定义直接计算特殊行列式；2) 利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式；3) 利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进行计算——适用于行列式的某一行或某一列中有很多零元素，并且非零元素的代数余子式很容易计算； 4) 递推法或数学归纳法； 5) 升阶法（又称加边法）【常见的化简行列式的方法】1. 利用行列式定义直接计算特殊行列式 例1 （2001年考研题）0001000200019990002000000002001D=分析：该行列式的特点是每行每列只有一个元素，因此很容易联想到直接利用行列式定义进行计算。
解法一：定义法(1,2,...,2,1,)012...19990(1)2001!(1)2001!2001!n n n D τ--+++++=-=-=解法二：行列式性质法利用行列式性质2把最后一行依次与第n -1,n -2,…,2,1行交换（这里n =2001），即进行2000次换行以后，变成副对角行列式。
行列式的特殊解法
【title】Act3 Cramer's Rule【Content Arrangement】:1）Cramer's Rule2）Some methods to compute determinantAct3-1 Some methods to compute the determinant（行列式的特殊解法）【Content Arrangement】:1、化为三角形2、降阶法3、Vandermonde4、递推法*5、拆项法*6、析因子法*7、拉普拉斯定理的特例1．化为三角形（加边法）例1：2、降阶法例：解：请计算当a=1,b=2,c=3,d=0时，D的值？(不要套公式)3．Vandermonde例: Vandermonde行列式证明用数学归纳法。
当n=2时，成立。
假设该结论对n-1阶成立，现证明n阶也成立。
在中，第n行减去n-1行的倍，n-1行减去n-2行的倍，依次类推，得4。
递推法：例：解：按第一列展开，得：而：。
故5、拆项法：例：计算行列式解：6、析因子法：例：解：很明显，=1，2，3，…，都使得=0,而是的次多项式，首项系数为1。
且, ,…, 为互质多项式，故, ,…, |7．拉普拉斯定理的两个特例Act3-2 Cramer's RuleNow we will discuss the system of n linear equations in n unknowns.Theorem1: The system of linear equations（1）The determinantis called the coefficient determinant of the system..If the coefficient determinant D of the system is nonzero, then the system (1) has precisely one solution, given by the formulas.（2）where is the determinant obtained from D by the jth column by the column with the elements b1,...,b n.Proof：首先证明（2）是方程组的解。
八大类型行列式及其解法
八大类型行列式及其解法一、行列式的定义行列式是一个重要的线性代数概念，用于刻画矩阵的性质和求解线性方程组。
对于一个n阶方阵A，其行列式记作det(A)或|A|。
行列式的定义如下：对于2阶方阵A = [a11 a12] ，其行列式定义为det(A) = a11 * a22 - a12 * a21。
对于3阶及以上的方阵，行列式的定义并不直观，可以通过划线法、拉普拉斯展开等方法进行计算。
接下来，我们将介绍八大类型的行列式及其解法。
二、二阶行列式二阶行列式的计算非常简单，直接应用行列式的定义即可。
对于2阶方阵A =[a11 a12；a21 a22] ，其行列式计算公式为：det(A) = a11 * a22 - a12 * a21。
三、对角行列式对角行列式是指所有非对角元素都为0的行列式。
对于n阶对角行列式A =diag(a1, a2, …, an)，其行列式计算公式为：det(A) = a1 * a2 * … * an。
四、三角行列式三角行列式是指所有主对角线以下元素为0的行列式。
对于n阶上三角行列式A，其行列式计算公式为：de t(A) = a11 * a22 * … * ann。
五、上三角行列式上三角行列式是指所有主对角线及以上元素为0的行列式。
对于n阶上三角行列式A，其行列式计算公式为：det(A) = a11 * a22 * … * ann。
六、下三角行列式下三角行列式是指所有主对角线及以下元素为0的行列式。
对于n阶下三角行列式A，其行列式计算公式为：det(A) = a11 * a22 * … * ann。
七、轮换行列式轮换行列式的计算是一种常用的方法，可以通过对行列式中元素的位置进行变换，从而简化计算过程。
对于n阶轮换行列式A，其行列式计算公式为：det(A) = a1 * a2 * … * an。
八、范德蒙行列式范德蒙行列式是一类特殊的行列式，可以应用于插值、多项式拟合等问题中。
对于n阶范德蒙行列式A，其行列式计算公式为：det(A) = Π i<j (xi - xj)。
关于求解行列式的几种特殊的方法
关于求解行列式的几种特殊的方法行列式是线性代数中一个重要的概念，它在计算机科学、物理学和工程学等领域都有广泛的应用。
在求解行列式的过程中，存在一些特殊的方法，可以帮助我们简化计算和提高效率。
本文将介绍几种常见的特殊方法，包括拉普拉斯展开、三角形展开和行列式性质的运用等。
1.拉普拉斯展开法拉普拉斯展开法是求解行列式的一种基本方法，适用于任意阶的矩阵。
其核心思想是通过分解矩阵，将复杂的行列式转化为多个较小规模的行列式的代数和。
具体步骤如下：1)选择一个行(列)展开，将行(列)按照一些特定的顺序展开。
2)对每一个元素a[i][j]，构造一个以该元素为顶点的代数余子式M[i][j]，即划去第i行和第j列后剩下的矩阵所构成的行列式。
3)计算每一个代数余子式的值M[i][j]，并与对应的元素a[i][j]相乘，得到M[i][j]*a[i][j]。
4)将所有得到的乘积相加，该结果即为原行列式的值。
>例如，对于一个3阶矩阵A，可以选择按照第一行展开，则拉普拉斯展开为：>，A，=a11*M11-a12*M12+a13*M13>其中，M11，M12，M13分别是以元素a11，a12，a13为顶点的代数余子式。
拉普拉斯展开法的优点是适用于任意规模的矩阵，但是对于高阶矩阵来说，计算量较大，效率较低。
2.三角形展开法三角形展开法是求解上三角行列式的一种特殊方法，适用于上三角矩阵，即矩阵的主对角线以下的元素都为0。
该方法通过逐步消元来简化计算，减少了矩阵的规模。
具体步骤如下：1)将上三角矩阵A拆分为一个上三角矩阵B和下三角矩阵C的乘积，即A=BC。
2) 计算上三角矩阵B的主对角线上的元素的乘积，即B =b11*b22*...*bnn。
3)将下三角矩阵C的主对角线上的元素分别除以上一步得到的乘积，得到新的下三角矩阵C'。
4) 计算新的下三角矩阵C'的主对角线上的元素的乘积，即C' =c'11*c'22*...*c'nn。
行列式的求解方法
行列式的求解方法
行列式是线性代数中的一种非常重要的概念，它是由一个方阵所组成的一个数值。
计算行列式的主要方法有数学归纳法、按行（列）展开法、初等变换法等。
数学归纳法是一种基于数学归纳的方法，适用于递归定义的行列式计算。
具体做法是先将一些小规模的行列式的值求出，再利用这些小规模行列式的值求出更大规模的行列式。
按行（列）展开法也是求解行列式的一种主要方法。
该方法将一个行列式按照其中的某一行或某一列展开成一些小的行列式，通过递归地计算这些小行列式，最终计算出原始行列式的值。
初等变换法是一种求解行列式的简便方法。
该方法将一个矩阵通过一系列基本初等变换（交换行、交换列、加减倍数行、加减倍数列）转化为一个上（下）三角矩阵，从而求出行列式的值。
利用初等变换法求得的行列式的值，可以相对较快地得到行列式的一些性质，如行列式的奇偶性。
除了以上三种方法，还有伴随矩阵法、克莱姆法、Schur补等
方法来求解行列式。
其中，伴随矩阵法和Schur补法是求解高
维行列式时的常用方法，克莱姆法则适用于方程组解法中的行列式求解。
总而言之，行列式在线性代数中具有重要的地位，也是各种求解方法的一个基础，通过不同的方法可以求解不同大小、不同
类型的行列式，对于学习和应用线性代数都具有十分重要的意义。
爪形行列式解法
爪形行列式解法爪形行列式是一种特殊的行列式，它的特点是在对角线上有一条斜线，上面的元素都相同，下面的元素也都相同。
这种行列式可以用爪形图来表示，因此得名。
爪形行列式的解法有多种，其中一种比较常用的方法是利用行变换和列变换将它化为一个简单的三角形行列式。
具体步骤如下：1. 将第一行加上第二行（或者第二行加上第一行），这样就可以消去第一个元素。
2. 再将第二列减去第一列（或者第一列减去第二列），这样就可以消去倒数第二个元素。
3. 重复以上两个步骤，直到只剩下一个元素为止。
这时候就得到了一个三角形行列式。
4. 对于三角形行列式，可以直接求出它的值。
如果需要求原来爪形行列式的值，则需要将每次进行的变换反过来，并且要注意每次变换对应着一个系数。
例如，对于如下的3阶爪形行列式：$$\begin{vmatrix}a &b &c \\d & a & b \\e & d & a \\\end{vmatrix}$$我们可以先进行以下变换：$$\begin{vmatrix}a &b &c \\d & a & b \\e & d & a \\\end{vmatrix}\rightarrow\begin{vmatrix}a+d & b+a & c+b \\d & a & b \\e-d & d-a & a-b \\\end{vmatrix}\rightarrow\begin{vmatrix}a+d & b+a & c+b \\0 & 2a-b & 0 \\e-d-a-d+a-b-c-b & -2a+b+c+e-d-a-d+a-b-c-b& a-b\\ \end{vmatrix}$$然后，我们可以继续进行以下变换：$$\begin{vmatrix}a+d & b+a & c+b \\0 & 2a-b & 0 \\e-d-a-d+a-b-c-b& -2a+b+c+e-d-a-d+a-b-c-b& a-b\\ \end{vmatrix}\rightarrow\begin{vmatrix}a+d+2a-b+c+b& 0& c+b\\0& 2a-b& 0\\0& -4a+2b+c+e-d&a-b\\\end{vmatrix}$$最后，我们得到了一个三角形行列式：$$\begin{vmatrix}3a+c&e-d&a-b\\0&2a-b&0\\0&-4a+2b+c+e-d&a-b\\\end{vmatrix}$$根据三角形行列式的性质，我们可以直接求出它的值：$$= (3a+c) \times (2a-b) \times (a - b) = 6(a^3 - ab^2 - acb +b^2c)$$因此，原来的爪形行列式的值也就是 $6(a^3 - ab^2 - acb + b^2c)$。
一类特殊行列式的计算公式
一类特殊行列式的计算公式在矩阵与行列式的计算中，常常会遇到一类特殊的行列式形式，它们有一些特殊的性质和计算公式。
在本篇文章中，我将介绍几种常见的特殊行列式，并给出它们的计算公式。
1.对称行列式对称行列式指的是行列式中的每一行都与其对应的列完全相同。
例如，以下是一个对称行列式的例子：```abcbcdcde```对称行列式有一个非常重要的性质，即它的值等于其中任意一个元素与该元素所在的余子式的乘积之和。
余子式是指将该元素所在的行列删去后的行列式。
以前述的对称行列式为例，假设我们要计算元素a的余子式：```deef```则根据上述性质，对称行列式的值可以表示为：abcbcdcde=a*，de，+b*，ef，+c*，dfef，，gh，，g```2.三角行列式三角行列式指的是行列式中的元素有一定的规律，每个元素下方都有一个或多个为0的元素。
以下是一个三角行列式的例子：```ab0c0000d```三角行列式的值等于对角线上的元素的乘积。
以前述的三角行列式为例，其计算公式为：```ab000d=a*0*0+0*0*0+0*b*0+0*0*d+c*0*0+0*0*d=0+0+0+0+0+0=0```3.对角行列式对角行列式指的是行列式中的非对角线上的元素全部为0，只有对角线上的元素不为0。
以下是一个对角行列式的例子：```a000b000c```对角行列式的值等于对角线上的元素的乘积。
以前述的对角行列式为例，其计算公式为：```a000b0=a*b*c```4.上三角行列式与下三角行列式上三角行列式指的是行列式中的非对角线上的元素全部为0，并且对角线以下的元素全为0。
以下是一个上三角行列式的例子：```abc0de00f```类似地，下三角行列式指的是行列式中的非对角线上的元素全部为0，并且对角线以上的元素全为0。
以下是一个下三角行列式的例子：```a00bc0def```对于上三角行列式和下三角行列式，它们的值等于对角线上的元素的乘积。
关于求解行列式的几种特殊的方法
)* 递推法 通过降阶等途径， 建立所求 ’ 阶行列式 " # " 和比 它低阶的但是结构相同的行列式之间的关系， 并求得 # 的方法叫递推法* 例如课本上的范得蒙行列式的计算就是应用了递 推法* 例： 计算范得蒙行列式 & ,& +’ $ ,% & …
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行列式的特殊解法
【摘要】行列式在高等数学中占有非常重要的地位，在高等代数、解析几何等很多数学分支中都有广泛的应用。
本文列举了行列式的几种特殊计算方法：如数学归纳法，递推法等等，通过代表性的例题，阐述了不同类型的行列式的计算方法。
【关键词】行列式三角形行列式范德蒙行列式
教材上介绍了一些行列式的基本计算方法，但基本方法只能处理一些较为简单的行列式，不能满足实际应用的需要.下面将在基本方法的基础上介绍一些特殊解法。
1数学归纳法
当Dn与Dn+1是同型的行列式时，可考虑用数学归纳法求之。
一般是利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出猜想的证明。
因此，数学归纳法一般是用来证明行列式等式。
例1计算行列式D=x-1０…0０0x-1…００……………000…x-1anan-2an-3…a2a1+x
解：结合行列式的性质与次行列式本身的规律，可以采用数学归纳法对此行列式进行求解。
当n=2，D=x-1a2x+a1=x(x+a1)+a2=x2+a1x+a2，假设n=k时，有Dk=xk+a1xk-1+a2xk-2+…+ak-1x+ax当n=k+1时，把Dk+1按第一列展开，得Dk+1=xDk+ak+1=x（xk+a1xk-1+a2xk-2+…+ak-1x+ak）+ak+1=xk+1+a1xk+…+ak-1x2+akx+ak+1由此，对任意的正整数n，有Dn=xn+a1xn-1+…+an-2x2+an-1x+an。
2递推法
2.1基本概念。
定义1：形为dn+k1dn-1+k2dn-2+…+krdn-r=0(2-1)的关系式称为阶齐次线性递推关系式，其中，均为常数，并且kr≠0，对应的方程kr+k1xr-1+k2xr-2+…+kn=0(2-2)称为(2-1)的特征方程。
定义2：对于序列a0，a1，a2，…定义Ｇ（x）=a0+a1x+a2x2+…，为序列a0，a1，a2，…的母函数。
2.2二阶常系数齐次递推表达式的解。
已知递推表达式
dn+pdn-1+qdn-2=0（p，q为常数且不为零）(2-3)
对应的特征方程为
x2+px+q=0(2-4)
d0，d1的值已知。
下面来解递推表达式(2-3)满足初始条件的特解：对于序列d0，d1，d2，d3…
令G（t）=d0+d1t+d2t2+d3t3…
为序列d0，d1，d2，d3…的母函数
则（1+pt+qt2）G（t）=d0+（d1+pd0）t
从而G（t）=■
再令H（t）=■
以下分三种情况来讨论：
①特征方程x2+px+q=0有两个相异实根：r1，r2时
H（t）=■=■+■=A■（r1t）n+B■（r2t）n=■（Ar1n+Br2n）tn，其中Ａ＝■，B=■
所以G（t）=[d0+（d1+pd0）t]H（t）=■■（r1n+1-r2n+1）tn+■■（r1n+1-r2n+1）tn+1=d0+■■[d0（r1n+1-r2n+1）tn+（d1+pd0）（r1n-r2n）tn
故dn=■d0（r1n+1-r2n+1）tn+（d1+pd0）（r1n-r2n）（n≥2）特征方程x2+px+q=0有两个共轭复根：r1，r2时，这种情况下(5)式也正确，但其中含有复数形式r1，2=r（cosθ±isinθ），以下来消除复数形式，其中r=■=q，θ=arctan■=arctan■。
根据欧拉公式得
r1n+1-r2n+1=2iq■sin（n+1）θ（2-5）
（r1n-r2n)=2iq■sinnθ（2-6）
把（2-6）、（2-7）代入（2-5）得
dn=■[d0q■sin（n+1）θ+（d1+pd0）q■sinnθ（2-7）
特征方程x2+px+q=0有两个相等实根：r1=r2=-■时
H（t）=■■■=■（■）=■（■un）=■nun-1=■nr1n-1tn-1
G（t）=[d0+(d1+pd0)t]H（t）=■d0nr1n-1tn-1+■n（d1+pd0）r1n-1tn=d0+■[（n+1）d0r1n+n（d1+pd0）r1n-1]tn
故dn=（n+1）d0r1n+n（d1+pd0）r1n-1（2-8）
2.3举例。
例2求n阶行列式5100…０1510…０0151…０……………0000…5的值
解：利用行列式的性质，按第一行展开得递推关系式dn-5dn-1+dn-2=0（n>2）(2-9)
对应的p=-5，q=1。
计算d1，d2得d1=5，d2=24，对于（2-10）令n=2，得n=1，(d0无实际意义)，递推关系（2-10）对应的特征方程为x2-5x+1=0，得两个不同实特征解为r1=■，r2=■，代入（2-5）得dn=■
例3求n阶行列式2100...０1210...０0121...０0012...０...............0000 (2)
的值
解：利用行列式的性质用第一行展开得递推关系式dn-2dn-1+dn-2=0（n>2）对应的p=-2，q=1。
计算d1，d2得d1=2，d２=3，对于（2-11）令n=2，得d0=1，(d0无实际意义)，递推关系（2-11）对应的特征方程为x2-2x+1=0，得两个相同实特征解为r1=r2=1，把p=-2，q=1，d0=1，d1=2以及r1=r2=1代入（2-9）得dn=n+1。
3利用矩阵特征值计算
3.1基本概念。
设A是n阶方阵，如果存在数λ和非零n维列向量x，使得Ax=λx成立，则称λ是A的一个特征值。
非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值λ的特征向量，简称A的特征向量。
求矩阵特征值的方法：Ａx=λx，等价于求λ，使得（λE-A）=0其中E是单位阵，0为零矩阵，|λE-A|=0求得的λ值即为A值。
定理2:如果n阶矩阵A的全部特征值为λ1，λ2，λ3…λn，则|A|=λ1·λ2·λ3…λn。
定理3:设λ为方阵A的特征值，φ（A）为A的多项式，则φ（λ）为φ（A）的特征值。
利用特征值的求法及定理2可以计算行列式的值。
3.2举例。
例4已知三阶矩阵A特征值为-1，1，2。
设φ（A）=A3-5A2，求：|A|，|φ（A）|，|A-5E|[3]
解①由定理2得：|A|=1×（-1）×2=-2；②因为φ（A）=A3-5A2由定理3得φ（A）的特征值为：λ1=-4，λ2=-6，λ3=-1。
所以|φ（A）|=（-4）×（-6）×（-1）=24。
③A的特征多项式为f（x）=（λE-A）=（λ-1）（λ-2）（λ+1），令λ5，得f （5）=（5E-A）=（5-1）（5-2）（5+1）=72故|A-5E|=（-1）3|5E-A|=-72。
例5求n阶矩阵A=01…110…1………11…0的特征值及行列式。
解：∵|λE-A|=（λ+1）E-11…111…1………11…1=|μE-αα’|，其中μ＝λ+1，α=11…1。
由以上讨论|μE-αα＇|的根是μ=0（n-1重）和μ=α＇α=n。
于是A的特征值中有n-1个满足λ+1=0，另一个满足λ+1=n。
所以A的特征值为λ1=…=λn-1=1和λn=n-1。
又|A|=λ1λ2…λn=（-1）n-1（n-1）
4拆项法
拆项法是将给定的行列式的某一行（列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，把一个复杂的行列式简化成两个较为简单的，使问题简化以利计算。
例6计算行列式Dn=a1+λ1a2…ana1a2+λ1an…………a1a2…an+λn
解：Dn=a1a2…ana1a2+λ2an…………a1a2…an+λn+λ1a2…ana1a2+λ2an…………a1a2…an+λn=a1a2…an0λ2an………00…λn+λ1Dn-1=a1λ2…λn+λ1Dn-1=……λ1λ2…λn 1+■■。
5因式分解法
如果行列式D是某个变数x的多项式f（x），可对行列式施行某些变换，求出f（x）的互不相同的一次因式，设这些一次因式的乘积为g（x），则D=f（x）=cg（x），再比较f（x）与g（x）的某一项的系数，求出c值。
例7计算行列式Dn=123…n1x+13…n12x+3…n…………123…x+1。
解：x=1，Dn=0所以，x-1|Dn。
同理x-2，…，x-（n-1）均为Dn的因式，又因为x-i与x-j（i≠j）各不相同所以（x-1）（x-2）…（x-n+1）Dn，但Dn的展开式中最高次项xn-1的系数为1，故Dn=（x-1）（x-2）…（x-n+1）。
计算行列式的方法很多，也比较灵活，上面介绍了计算行列式的常见方法，计算行列式时，我们应当针对具体问题，把握行列式的特点，灵活选用方法。
总的原则是：充分利用所求行列式的特点，运用行列式性质及上述常用的方法，有时综合运用以上方法可以更简便的求出行列式的值；有时也可用多种方法求出行列式的值。
学习中多练习，多总结，才能更好地掌握行列式的计算.
参考文献
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