华南理工大学2009信号与系统重修试题A_答案

,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试《信号与系统》试卷A1. 考前请将密封线内填写清楚；所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)； ．考试形式：闭 卷；本试卷共 六 大题，满分100分， 考试时间120分钟。

、单项选择题(每小题4分，共24分)、 已知实信号)(t f 的傅里叶变换)()()(ωωωjX R j F +=, 信号)]()([21)(t f t f t y -+=的傅里叶变换)(ωj Y 等于（ A ）。

A 、)(ωRB 、)(2ωRC 、)2(2ωRD 、)2(ωR、 以下为4个信号的拉普拉斯变换，其中哪个信号不存在傅里叶变换？（ D ）A 、s 1B 、1C 、21+sD 、21-s、 设]3[]1[2][][---+=n n n n x δδδ和]1[2]1[2][-++=n n n h δδ，0000][*][][n h n x n y =，求=]0[y （ A ）A 、4B 、][n δC 、∞D 、0、 若)(t f 的最高角频率m f (Hz)， 则对信号)2()()(t f t f t y =进行时域采样，其频谱不混迭的最大采样间隔=max T （ B ） A 、m f 6 (s) B 、m f 61(s) C 、m f 3(s) D 、mf 31(s) 、 已知某系统的输入输出关系为)0(2)()()(2X dtt df t f t t y ++=（其中)0(X 为系统初始状态，)(t f 为外部激励），试判断该系统是（ B ）系统A 、非线性时变B 、线性时变C 、非线性时不变D 、线性时不变6、 积分⎰∞-+3-2)221()32(dt t t t δ等于（ C ）A 、27B 、44C 、0D 、不存在二 、填空题(每小题3分，共15分)1、非理想滤波器的频率段分为 通带 、过渡带和 阻带 。

2、已知一离散时间系统的系统函数2121)(H ---+=z z z ，判断该系统是否稳定 不稳定 。

3、设)(t x 是如图所示的时域信号，计算其傅立叶变换)(ωj X = 223sin2sin8ωωωωj e -4、连续时间信号t t f sin )(=的周期0T = π2 ，若对)(t f 以1=s f Hz 进行抽样，所得离散序列=][n f )sin()(n t f nT t == ，该离散序列是否为周期序列 不是 。

5、信号⎩⎨⎧≤≤=t o t h e rt t x ,020,1)(的拉普拉斯变换及收敛域为0}R e {:,12≥--s R o c se s三 、简答题（每题8分，4题，共32分）1、 如下是一个简单的线性时变系统的方框图，该系统只包括一个乘法器， 乘法器将输入信号)(t x 与振荡器的输出)()cos(00t x t A φω+证明以下内容：(a) 该系统是线性的；（也就是说，它满足叠加性和齐次性）(b) 系统是时变的。

（也就是说，它违背了平移不变性；为了证明这一点，可以使用单位冲激信号作为输入信号）)(t x )(t y 00解：（a ）叠加性：)}()({)]()()[cos()()cos()()cos()()()()cos()}({)()()cos()}({)(212100200100212002210011t x t x F t x t x t A t x t A t x t A t y t y t x t A t x F t y t x t A t x F t y +=++=+++=++==+==φωφωφωφωφω齐次性： 设=a 常数，则)}({)()cos()()cos()}({)(0000)(t x aF t x t aA t ax t A t ax F t y a =+=+==φωφω所以系统是线性的。

（b ）设则),()(t t x δ=φδφωc o s )()c o s ()}({)(000A t t A t x F t y =+== 从而，φcos )(00A t t y =- 另外，)0(),()cos()()cos()}({000000000≠-≠+=-+=-t t t y t A t t t A t t x F φωδφω所以，系统是时变的。

2、 已知某系统如下图所示，其中)()(),2()(),1()(23321t u e t h t u e t h t u t h t t --=-=-=，求系统的单位冲激响应。

)解：)()2()1(]1[21)3(]1[3)()()2()()()1()2()1()]()2([)]()1([)]()([)]()([)(23)1(2)3(36232323321t u e t u e t u e t u e e t u e t t u e t t u e t u t u e t u t u e t u e t t u t h t h t t h t h t t t t t t t t t t -------------+-+--+--=*+-*+*-+-*-=+-*+-=+*+=δδδδ3、 由所学知识可知，信号)(t x 可以使用3种分解形式来表示：时域表示法、频域表示法、复频域表示法。

请分别写出这3种表示形式，并对其物理含义进行简单的解释。

解：(1) ⎰+∞∞--=ττδτd t x t x )()()(, )(t x 可分解为以)(t δ为基本信号单元的线性加权和，加权系数为)(τx 。

(2) ⎰+∞∞-=ωωπd e j X t x jwt )(21)(, )(t x 可分解为以jwt e 为基本信号单元的线性加权和，ωωπd j X )(21为加权系数的线性加权和。

(3) ⎰∞+∞-=j j stds e s X j t x σσπ)(21)(, )(t x 可分解为以st e 为基本信号单元的线性加权和，ds s X )(21π为加权系数的线性加权和。

4、 已知连续系统的系统函数)(s H 的零极点如下图所示，且2)(=∞H ， (1)写出)(s H 的表示式，计算该系统的单位冲激响应)(t h ； (2)计算该系统的单位阶跃响应)(t g 。

解：（1）由零极点分布图及)(∞H 的值可得出 系统函数)(s H 为：315132)3)(1()2(2)3)(1()2()(+-+++=++-=++-=s s s s s s s s s s Ks H进行Laplace 反变换可得：)()153()(2)(3t u e e t t h t t ---+=δ （2）单位阶跃响应的s 域表达式为35131)3)(1()2(2)]([)()(+++-=⋅++-==s s s s s s s K t u L s H s G进行Laplace 反变换可得：)()53()(3t u e e t g t t --+-=四、 （9分）一离散时间LTI 因果系统的差分方程为]1[][2]2[2]1[3][-+=-+-+n f n f n y n y n y系统的初始状态41]2[,21]1[=-=-y y ，输入][][n u n y =。

(1) 由z 域求系统的零输入响应][n y zi 和零状态响应[n]zs y 。

(2) 求该系统的系统函数)(z H ，并判断系统是否稳定。

解：（1）对差分方程两边进行Z 变换得：)()2(]}2[]1[)({2]}1[)({3)(1121z F z y y z z Y z y z Y z z Y ----+=-+-++-++整理后可得：)(2312231]2[2]1[2]1[3)(211211z F z z z z z y y z y z Y ------++++++------=零输入响应的Z 域表示式为：11211211213112312231]2[2]1[2]1[3)(--------+-++=++--=++------=z z z z z z z y y z y z Y zi进行Z 反变换可得系统零输入响应为：][])2(3)1[(][n u n y n n zi ---=零状态响应的Z 域表示式为：1111211211121212121)1)(231(2)(2312)(-----------++++-=-+++=+++=z z z z z z z z F z z z z Y zs 进行Z 反变换可得系统零状态响应为：][21)2(2)1(21][n u n y n n zs ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+--=（2）根据系统函数的定义可得2112312)()()(---+++==zz z z F z Y z H zs 由于系统的极点2,121-=-=z z 均不在单位圆内，故系统不稳定。

五、（10分）应用拉普拉斯变换的电路模型确定如图所示的电路中的电流)(t y ，假设H L R 5.0,1=Ω=。

在时间-=0t 时通过电感的电流为2A, 输入规定如下： (1) )()(t u e t x t -= (2) )()cos()(t u t t x =解：电路的微分方程为：)()()(t x t y dtdLt Ry =+ 方程两边分别做单边L -变换得：())()0()()(1s X y s sY L s RY =-+- 把2)0(,5.0,1===-y L R 代入上面代数方程整理得：15.01)()(++=s s X s Y（1）11)]([)(+==-s t u e L s X t 12)2)(1()2(215.0111)(+=+++=+++=s s s s s s s Y)(2)(t u e t y t -= （2）1)]()[cos()(2+==s st u t L s X 115215421561122352)2)(1()1(215.011)(222222+++++=⎪⎭⎫⎝⎛++++=++++=+++=s s s s s s s s s s s s s ss Y())()s i n ()c o s (2352)()s i n (52)()c o s (54)(56)(22t u t t e t u t t u t t u e t y tt ++=++=--x(t)六、（10分）考虑如图所示的系统，设0|)(|=ωj X ，m ωω>。

求最大的T 值，使得能用)(t y 重构)(t x 。

对该最大T 值，确定相应的重构系统。

)(t x )(t yT3)(t w 012T2T T 2T3tT-解：。