初中数学中的形的平移旋转与翻折
初中数学几何模型
全等变换平移：平行等线段（平行四边形）对称：角平分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转对称全等模型：说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。
两边进行边或者角的等量代换，产生联系。
垂直也可以做为轴进行对称全等。
对称半角模型说明：上图依次是°、°、°、°及有一个角是°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。
旋转全等模型半角：有一个角含角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题旋转半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。
自旋转模型构造方法：遇度旋度，造等边三角形遇度旋度，造等腰直角遇等腰旋顶点，造旋转全等遇中点旋度，造中心对称说明：IS 8模型变形BEFcEB说明：说明：nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn nnnnn口叩皿皿皿皿皿中点模型 边构诗中｛fflt 逢阳点闵iS 中幽城 几何最值模型 VH *h 轴对称模型 对称最值 线mi 差模型 fflftffw 同侧"异侧两蜒段之利罐短视它 同侧、异删芮线投之羞媪小槐型 四边形周怏垠小根地 三角形眉长 必小檢哩三线穀之和 她知爬制过桥模取旋转最值说明：找到与所要求最值相关成三角形的两个定长线段，定长线段的和为最大值，定长线段的差为最小值。
简拼模型三角形j四边形E 面积等分说明：说明：3045602说明：ACOCOAA 模型一：手拉手模型-旋转型全等<2)等濮的AA Mfr=血°拟述°均为等媵直甬M 册A 结险(DA (UCtAO^l>j 超乙他»③。
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初中数学知识归纳形的平移旋转与翻折
初中数学知识归纳形的平移旋转与翻折在初中数学课程中，形的平移、旋转和翻折是非常重要的概念和技巧。
通过学习和理解这些概念，学生可以更好地认识和应用几何形状。
本文将对初中数学中形的平移、旋转和翻折进行归纳总结，并介绍相关的基本原理和技巧。
一、形的平移形的平移是指在平面内将一个形状整体移动到另一个位置，而形状保持不变。
在平移过程中，形状的大小、形状以及内部的相互关系都不会发生变化。
平移的基本原理是：确定一个平移向量，然后根据该向量的大小和方向，将形状内的每个点都移动到对应的新位置上。
平移向量可以用有序对表示，如(u, v)，其中u表示横向位移，v表示纵向位移。
形状中的每个点的新坐标可以通过将原坐标与平移向量的分量相加得到。
例如，将一个矩形形状A平移到新的位置B，平移向量为(3, 4)。
假设矩形角点的坐标为A(1, 2), B(4, 6)，则可以计算出新位置上的所有角点坐标为B(4, 6), C(4, 10), D(7, 10), E(7, 6)。
形的平移有以下几个重要性质：1. 平移前后的形状相等。
2. 平移前后形状内的各点之间的距离保持不变。
3. 平移不改变形状内角的度数。
二、形的旋转形的旋转是指将形状围绕某一固定点旋转一定角度，使得形状保持不变。
旋转中心可以位于形状内部、外部或者边上。
旋转的基本原理是：确定旋转中心和旋转角度，根据旋转的顺时针或逆时针方向将形状内的每个点绕旋转中心旋转一定的角度，并保持距离不变。
假设旋转中心为O(0, 0)，旋转角度为θ，对于一个点P(x, y)，点P 经过旋转后的新坐标可以通过以下公式计算得到：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ例如，将一个矩形形状A绕原点逆时针旋转60度，矩形的角点坐标为A(2, 1), B(5, 1), C(5, 4), D(2, 4)。
根据旋转公式，可以计算出新位置上的所有角点坐标为A'(1.732, 1), B'(4.732, 1), C'(4.732, 4), D'(1.732, 4)。
图形的旋转与翻折变换
图形的旋转与翻折变换数学是一门抽象而又实用的学科，其中的几何学更是与我们生活息息相关。
在初中数学学习中，图形的旋转与翻折变换是一个重要的内容，它不仅能够帮助我们更好地理解几何形状，还可以应用于实际问题的解决。
本文将围绕图形的旋转与翻折变换展开讨论，希望能够给中学生及其父母带来一些启示和帮助。
一、图形的旋转变换图形的旋转变换是指围绕某一点或某一直线旋转图形，使得图形在平面上发生位置改变。
旋转变换有两个重要的概念：旋转中心和旋转角度。
以正方形为例，当我们将正方形绕着一个点旋转时，这个点就是旋转中心。
而旋转角度则是指旋转的角度大小，可以是顺时针或逆时针旋转。
通过旋转变换，我们可以观察到图形在平面上的位置、大小和形状的改变。
例如，我们可以通过旋转变换将一个正方形变成一个菱形，或者将一个长方形变成一个平行四边形。
这种变换不仅可以让我们更好地理解图形之间的关系，还可以应用于实际问题的解决。
二、图形的翻折变换图形的翻折变换是指将图形沿着某一直线对称翻折，使得图形在平面上发生位置改变。
翻折变换有两个重要的概念：对称轴和对称点。
以三角形为例，当我们将三角形沿着一条直线对称翻折时，这条直线就是对称轴。
对称点则是指对称轴上的一个点，使得该点与图形上的另一个点关于对称轴对称。
通过翻折变换，我们可以观察到图形在平面上的位置、大小和形状的改变。
例如，我们可以通过翻折变换将一个正方形变成一个长方形，或者将一个长方形变成一个平行四边形。
这种变换不仅可以帮助我们更好地理解图形之间的关系，还可以应用于实际问题的解决。
三、应用举例图形的旋转与翻折变换在实际问题中有广泛的应用。
我们可以通过一些例子来说明。
例一：小明要设计一个标志，标志上有一个正方形和一个菱形，他希望将正方形旋转一定角度后与菱形重叠，从而形成一个新的图形。
他应该如何选择旋转的角度呢？解析：首先，我们可以确定旋转中心为正方形的中心点。
然后，通过观察可以发现，当正方形旋转45度时，它与菱形重叠。
平移旋转翻折
平移旋转翻折在数学几何中，平移、旋转和翻折是常见且重要的变换方式。
它们不仅被广泛应用于各个领域，如计算机图形学、工程建模以及几何推理，还在日常生活中起到一定的作用。
本文将重点介绍平移、旋转和翻折的概念、特点以及应用。
一、平移平移是指在平面上将一个图形沿着一定方向不改变形状和大小地移动。
在数学中，平移可以用向量来表示。
假设平移向量为[dx, dy]，那么图形上任意一点(x, y)经过平移后的坐标为(x+dx, y+dy)。
可以看出，平移只改变了图形的位置，而不会改变图形本身的性质。
平移在几何中有广泛的应用。
比如在地图制图中，将地图上的城市标记进行平移，便可以得到不同的地理分布方案。
此外，在工程制图中，平移也是非常常见的操作，可以通过平移来移动图形的位置，以获得更合理和更美观的设计。
二、旋转旋转是指将一个图形以某个点为中心按一定角度旋转，保持形状和大小不变。
数学中，我们可以使用旋转矩阵来描述一个图形的旋转变换。
设旋转角度为θ，旋转中心为(x0, y0)，图形上任意一点(x, y)经过旋转后的坐标计算公式如下：x' = (x - x0) * cosθ - (y - y0) * si nθ + x0y' = (x - x0) * sinθ + (y - y0) * cosθ + y0可以看出，旋转的本质是改变了图形的方向和位置，但不改变图形本身的性质。
旋转在许多领域都有重要的应用。
例如，在航空航天领域中，飞行器的姿态控制需要进行旋转变换来实现平衡和机动性能。
此外，在艺术设计中，通过旋转变换可以创造出丰富多样的视觉效果。
三、翻折翻折是指将一个图形沿着某条直线对称地翻转，即将图形中的点关于对称轴做镜像对称。
在数学中，翻折也可以通过矩阵变换来表示。
设对称轴为直线y=kx+b，图形上任意一点(x, y)经过翻折后的坐标计算公式如下：x' = x - 2 * (k * x + b) / (k^2 + 1)y' = y - 2 * (k * x + b) * k / (k^2 + 1) - 2 * b / (k^2 + 1)翻折改变了图形的方向和位置，同时也改变了图形的性质。
初中数学：直角坐标系中矩形的变换问题
初中数学：直角坐标系中矩形的变换问题1、平移+旋转+翻析例1、如图1-①，以矩形OABC的两边OA和OC所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，A点的坐标为（3，0），C点的坐标为（0，4），将矩形OABC绕O点逆时针旋转，使B点落在y轴的正半轴上，旋转后的矩形为、BC、相交于点M。
（1）求点的坐标与线段的长；（2）将图1-①中的矩形沿y轴向上平移，如图1-②，矩形是平移过程中的某一位置，、相交于点，点P运动到C点停止，设点P运动的距离为x，矩形与原矩形OABC重叠部分的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）如图1-③，当点P运动到点C时，平移后的矩形为，请你思考如何通过图形变换使矩形与原矩形OABC重合，请简述你的做法。
分析：第（1）问由勾股定理得的长，从而求出点的坐标，已知线段OC的长，继而求出线段的长。
第（2）问在矩形的整个平移过程中，矩形与原矩形OABC重叠图形由四边形（当点从开始位置平移到矩形OABC的边BC上时）变为三角形（当点从矩形OABC的边BC上到运动停止时），求出对应图形在对应条件下自变量x的取值范围及重叠部分的面积。
第（3）问具有开放性，可直接通过图形沿某一条直线翻折得到，或先旋转再平移得到，或先旋转再翻折得到，或先平移再旋转得到。
解：（1）如图1-①，因为，所以点的坐标为（0，5）。
（2）在矩形沿y轴向上平移到P点与C点重合的过程中，点运动到矩形OABC的边BC上时，求得P点移动的距离。
当自变量x的取值范围为时，如图1-②，由△∽△，得，此时，，即，当自变量x的取值范围为时，求得。
（3）①把矩形沿∠的角平分线所在直线对折。
或②把矩形绕C点顺时针旋转，使点与点B重合，再沿y轴向下平移4个单位长度。
或③把矩形绕C点顺时针旋转，使点与点B重合，再沿BC所在的直线对折。
或④把矩形沿y轴向下平移4个单位长度，再绕O点顺时针旋转，使点与点A重合。
2、旋转例2、如图2，在平面直角坐标系xOy中，把矩形COAB绕点C顺时针旋转角，得到矩形CFED。
平移旋转与翻折的性质
平移旋转与翻折的性质平移旋转和翻折是几何学中常用的变换方式，它们具有一些特定的性质和规律。
在本文中，我们将探讨平移旋转与翻折的性质，并举例说明它们在几何学中的应用。
1. 平移的性质平移是指在平面上将一个图形按照指定方向和距离进行整体移动，而不改变其形状和大小。
平移的性质如下：(1) 平移不改变图形的大小和形状。
无论是几何图形还是图像，经过平移后，其大小和形状都保持不变。
(2) 平移保持图形内部的相对位置关系。
对于一个多边形或复杂图形而言，其中的点之间的相对距离和角度关系在平移前后保持一致。
(3) 平移可以叠加。
如果对同一个图形进行多次平移，结果将等同于进行一次相应方向和距离的平移。
这是平移的可加性质。
例如，将一个三角形ABC向右平移3个单位距离，得到三角形A'B'C'。
经过平移后，A'B'C'的形状和大小与ABC完全相同，只是位置改变了。
2. 旋转的性质旋转是指以一个固定点（旋转中心）为中心，按照一定的角度将图形或物体绕旋转中心旋转。
旋转的性质如下：(1) 旋转不改变图形的大小。
无论是几何图形还是图像，经过旋转后，其大小保持不变。
(2) 旋转保持图形内部的相对位置关系。
对于一个多边形或复杂图形而言，其中的点之间的相对距离和角度关系在旋转前后保持一致。
(3) 旋转可以叠加。
如果对同一个图形进行多次旋转，结果将等同于进行一次相应角度的旋转。
这是旋转的可加性质。
举例来说，将一个矩形顺时针旋转90度，其形状和大小保持不变，只是方向改变了。
3. 翻折的性质翻折是指将图形或物体按照某条直线将其两侧对称折叠在一起，使得折叠前后的形状完全一致。
翻折的性质如下：(1) 翻折不改变图形的大小。
翻折前后，图形的大小保持不变。
(2) 翻折使得图形对称。
图形中的每个点关于翻折轴对称，翻折后的形状与原始形状重合。
(3) 翻折可以叠加。
如果对同一个图形进行多次翻折，结果将等同于只进行一次翻折。
新人教版初中数学——图形的轴对称、平移与旋转-知识点归纳及中考典型题解析
新人教版初中数学——图形的轴对称、平移与旋转知识点归纳及中考典型题解析一、轴对称图形与轴对称轴对称图形轴对称图形定义如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴如果两个图形对折后，这两个图形能够完全重合，那么我们就说这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴性质对应线段相等AB=ACAB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′对应角相等∠B=∠C∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′对应点所连的线段被对称轴垂直平分区别(1)轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，只对一个图形而言；(2)对称轴不一定只有一条(1)轴对称是指两个图形的位置关系，必须涉及两个图形；(2)只有一条对称轴关系(1)沿对称轴对折，两部分重合；(2)如果把轴对称图形沿对称轴分成“两个图形”，那么这“两个图形”就关于这条直线成轴对称(1)沿对称轴翻折，两个图形重合；(2)如果把两个成轴对称的图形拼在一起，看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形1等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆．2．折叠的性质折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等．【注意】凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相关的条件量．解决折叠问题时，首先清楚折叠和轴对称能够提供我们隐含的且可利用的条件，分析角之间、线段之间的关系，借助勾股定理建立关系式求出答案，所求问题具有不确定性时，常常采用分类讨论的数学思想方法．3．作某点关于某直线的对称点的一般步骤（1）过已知点作已知直线（对称轴）的垂线，标出垂足；（2）在这条直线另一侧从垂足除法截取与已知点到垂足的距离相等的线段，那么截点就是这点关于该直线的对称点．4．作已知图形关于某直线的对称图形的一般步骤（1）作出图形的关键点关于这条直线的对称点；（2）把这些对称点顺次连接起来，就形成了一个符合条件的对称图形．二、图形的平移1．定义在平面内，一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置，这样的图形运动叫做平移．平移不改变图形的形状和大小．2．三大要素一是平移的起点，二是平移的方向，三是平移的距离．3．性质（1）平移前后，对应线段平行且相等、对应角相等；（2）各对应点所连接的线段平行(或在同一条直线上)且相等；（3）平移前后的图形全等．4．作图步骤（1）根据题意，确定平移的方向和平移的距离；（2）找出原图形的关键点；（3）按平移方向和平移距离平移各个关键点，得到各关键点的对应点；（4）按原图形依次连接对应点，得到平移后的图形．三、图形的旋转1．定义在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转过一个角度，这样的图形运动叫旋转．这个定点叫做旋转中心，转过的这个角叫做旋转角．2．三大要素旋转中心、旋转方向和旋转角度．3．性质（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等．4．作图步骤（1）根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角；（2）找出原图形的关键点；（3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点；（4）按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形．【注意】旋转是一种全等变换，旋转改变的是图形的位置，图形的大小关系不发生改变，所以在解答有关旋转的问题时，要注意挖掘相等线段、角，因此特殊三角形性质的运用、锐角三角函数建立的边角关系起着关键的作用．四、中心对称图形与中心对称中心对称图形中心对称图形定义如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心如果一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称性质对应点点A与点C，点B与点D点A与点A′，点B与点B′，点C与点C′对应线段AB=CD，AD=BCAB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′对应角∠A=∠C∠B=∠D∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′区别中心对称图形是指具有某种特性的一个图形中心对称是指两个图形的关系联系把中心对称图形的两个部分看成“两个图形”，则这“两个图形”成中心对称把成中心对称的两个图形看成一个“整体”，则“整体”成为中心对称图形平行四边形、矩形、菱形、正方形、正六边形、圆等．考向一轴对称轴对称图形与轴对称的区别与联系区别：轴对称图形是针对一个图形而言，它是指一个图形所具有的对称性质，而轴对称则是针对两个图形而言的，它描述的是两个图形的一种位置关系，轴对称图形沿对称轴对折后，其自身的一部分与另一部分重合，而成轴对称的两个图形沿对称轴对折后，一个图形与另一个图形重合.联系：把成轴对称的两个图形看成一个整体时，它就成了一个轴对称图形．典例1第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年02月04日～2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行，全国上下掀起喜迎冬奥热潮，下列四个汉字中是轴对称图形的是A．B．C．D．【答案】A【解析】A、是轴对称图形，故此选项正确；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项错误．故选A．1．下列图形中不是轴对称图形的是A．B．C．D．考向二平移1．平移后，对应线段相等且平行，对应点所连的线段平行（或共线）且相等．2．平移后，对应角相等且对应角的两边分别平行或一条边共线，方向相同．3．平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置，平移后新旧两图形全等．典例2下列运动中：①荡秋千；②钟摆的摆动；③拉抽屉时的抽屉；④工厂里的输送带上的物品，不属于平移的有A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】C【解析】①荡秋千，是旋转，不是平移；②钟摆的摆动，是旋转，不是平移；③拉抽屉时抽屉的运动，是平移；④工厂里的输送带上的物品运动，是平移；故选C．2．下列四组图形都含有两个可以重合的三角形，其中可以通过平移其中一个三角形得到另一个三角形的是A．B．C．D．3．如图，两只蚂蚁以相同的速度沿两条不同的路径，同时从A出发爬到B，则A．乙比甲先到B．甲比乙先到C．甲和乙同时到D．无法确定考向三旋转通过旋转，图形中的每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大小的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等．在旋转过程中，图形的形状与大小都没有发生变化．典例3 如图，在ABC △中，65BAC ∠=︒，以点A 为旋转中心，将ABC △绕点A 逆时针旋转，得AB C ''△，连接BB '，若BB'AC ∥，则BAC '∠的大小是A ．15︒B ．25︒C ．35︒D ．45︒【答案】A【解析】∵△ABC 绕点A 逆时针旋转到△AB ′C ′的位置， ∴AB ′=AB ，∠B ′AC ′=∠BAC =65︒， ∴∠AB ′B =∠ABB ′， ∵BB ′∥AC ，∴∠ABB ′=∠CAB =65°， ∴∠AB ′B =∠ABB ′=65°， ∴∠BAB ′=180°–2×65°=50°，∴∠BAC ′=∠B ′AC ′–∠BAB ′=65°–50°=15°， 故选A ．4．五角星可以看成由一个四边形旋转若干次而生成的，则每次旋转的度数可以是A ．36°B ．60°C ．72°D ．90°5．如图将△ABC 绕点A 顺时针旋转90°得到△AED ，若点B 、D 、E 在同一条直线上，∠BAC =20°，则∠ADB的度数为A．55°B．60°C．65°D．70°考向四中心对称识别轴对称图形与中心对称图形：①识别轴对称图形：轴对称图形是一类具有特殊形状的图形，若把一个图形沿某条直线对称，直线两旁的部分能完全重合，则称该图形为轴对称图形．这条直线为它的一条对称轴．轴对称图形有一条或几条对称轴．②中心对称图形识别：看是否存在一点，把图形绕该点旋转180°后能与原图形重合．典例4下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是A．B．C．D．【答案】B【解析】A、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；B、是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项正确；C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；D、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误，故选B．6．下列图形中，△A′B′C′与△ABC成中心对称的是A．B．C．D．1．下列四个图形中，不是轴对称图形的是A．B．C．D．2．已知点A的坐标为（3，–2），则点A向右平移3个单位后的坐标为A．（0，–2）B．（6，–2）C．（3，1）D．（3，–5）3．下列说法中正确的有①旋转中心到对应点的距离相等；②对称中心是对称点所连线段的中点；③旋转后的两个图形的对应边所在直线的夹角等于旋转角；④任意一个等边三角形都是中心对称图形．A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，在方格纸中的△ABC经过变换得到△DEF，正确的变换是A．把△ABC向右平移6格B．把△ABC向右平移4格，再向上平移1格C．把△ABC绕着点A顺时针旋转90°，再向右平移6格D．把△ABC绕着点A逆时针旋转90°，再向右平移6格5．如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（–2，–2），若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为A．（1，–1）B．（–1，–1）C．（1，1）D．（–1，1）6．在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=120°，点E，F分别是边AB，BC边上的动点，沿EF折叠△BEF，使点B的对应点B’始终落在边CD上，则A、E两点之间的最大距离为__________．7．将一张长方形纸条折成如图所示的形状，若∠1=110°，则∠2=__________°．8．如图所示，直线EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，且分别交AD、BC于E、F，那么阴影部分的面积是平行四边形ABCD面积的____．9．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°<α<90°）．若∠1=112°，则∠α=__________°．10．△ABC 在平面直角坐标系xOy 中的位置如图所示．（1）若△A 1B 1C 1与△ABC 关于原点O 成中心对称，则点A 1的坐标为__________； （2）将△ABC 向右平移4个单位长度得到△A 2B 2C 2，则点B 2的坐标为__________； （3）画出△ABC 绕O 点顺时针方向旋转90°得到的△A 3B 3C 3，并求点C 走过的路径长．11．如图，在ABC △中，D 为BC 上任一点，DE AC ∥交AB 于点E DF AB ，∥交AC 于点F ，求证：点E F ，关于AD 的中点对称．12．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在正方形网格的格点（网格线的交点）上．（1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系，使点A坐标为（1，3），点B坐标为（2，1）；（2）请作出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'，并写出点C'的坐标；（3）判断△ABC的形状．并说明理由．13．如图，已知∠BAC=40°，把△ABC绕着点A顺时针旋转，使得点B与CA的延长线上的点D重合，连接CE．（1）△ABC旋转了多少度？（2）连接CE，试判断△AEC的形状．（3）若∠ACE=20°，求∠AEC的度数．1．下列四个图形中，可以由下图通过平移得到的是A．B．C．D．2．在平面直角坐标系中，将点（2，1）向右平移3个单位长度，则所得的点的坐标是A．（0，5）B．（5，1）C．（2，4）D．（4，2）3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，1），点B（3，–1），平移线段AB，使点A落在点A1（–2，2）处，则点B的对应点B1的坐标为A．（–1，–1）B．（1，0）C．（–1，0）D．（3，0）4．把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为A．30°B．90°C．120°D．180°5．如图，在ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若∠B=60°，AB=3，则△ADE的周长为A．12 B．15 C．18 D．216．如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A′B′C′的位置．已知△ABC的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若AA′=1，则A′D等于A．2 B．3 C．4 D．3 27．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置．若四边形AECF的面积为20，DE=2，则AE的长为A．4 B．25C．6 D．268．如图，将等边△AOB放在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B在第一象限，将等边△AOB 绕点O顺时针旋转180°得到△A′OB′，则点B′的坐标是__________．9．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10 cm，点D为△ABC内一点，∠BAD=15°，AD=6 cm，连接BD，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为__________cm．10．如图，在△ABC中，AB=AC=4，将△ABC绕点A顺时针旋转30°，得到△ACD，延长AD交BC的延长线于点E，则DE的长为__________．11．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△OAB的三个顶点O（0，0）、A（4，1）、B（4，4）均在格点上．（1）画出△OAB关于y轴对称的△OA1B1，并写出点A1的坐标；（2）画出△OAB绕原点O顺时针旋转90°后得到的△OA2B2，并写出点A2的坐标；（3）在（2）的条件下，求线段OA在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC的中点为O，点G，H在对角线AC上，AG=CH，直线GH绕点O 逆时针旋转α角，与边AB、CD分别相交于点E、F（点E不与点A、B重合）．（1）求证：四边形EHFG是平行四边形；（2）若∠α=90°，AB=9，AD=3，求AE的长．13．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E．（1）当点E恰好在AC上时，如图1，求∠ADE的大小；（2）若α=60°时，点F是边AC中点，如图2，求证：四边形BEDF是平行四边形．变式拓展1．【答案】A【解析】A．不是轴对称图形，故本选项符合题意；B．是轴对称图形，故本选项不符合题意；C．是轴对称图形，故本选项不符合题意；D．是轴对称图形，故本选项不符合题意．故选A．2．【答案】D【解析】A、可以通过轴对称得到，故此选项错误；B、可以通过旋转得到，故此选项错误；C、可以通过轴对称得到，故此选项错误；D、可通过平移得到，故此选项正确；故选D．3．【答案】C【解析】由平移的性质可知，甲、乙两只蚂蚁的行走的路程相同，且两只蚂蚁的速度相同，所以两只蚂蚁同时到达，故选C．4．【答案】C【解析】根据旋转的性质可知，每次旋转的度数可以是360°÷5=72°或72°的倍数．故选C．5．【答案】C【解析】∵将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AED，∴∠BAC=∠DAE=20°，AB=AE，∠BAE=90°，∴∠BEA=45°，∵∠BDA=∠BEA+∠DAE=45°+20°，∴∠BDA=65°.故选C．6．【答案】A【解析】A、是中心对称图形，故本选项正确；B、是轴对称图形，故本选项错误；C、是旋转变换图形，故本选项错误；D、是旋转变换图形，故本选项错误．1．【答案】C【解析】A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、不是轴对称图形，故本选项符合题意；D、是轴对称图形，故本选项不符合题意；故选C．2．【答案】B【解析】∵将点A（3，–2）向右平移3个单位所得点的坐标为（6，–2），∴正确答案是B选项.故选B．3．【答案】C【解析】①旋转中心到对应点的距离相等，正确；②对称中心是对称点所连线段的中点，正确；③旋转后的两个图形的对应边所在直线的夹角等于旋转角，正确；④任意一个等边三角形都是中心对称图形，错误．说法正确的有3个，故选C．4．【答案】D【解析】根据图象，△ABC 绕着点A 逆时针方向90°旋转与△DEF 形状相同，向右平移6格就可以与△DEF 重合．故选D ． 5．【答案】C【解析】菱形OABC 的顶点O （0，0），B （–2，–2）， 得D 点坐标为（022-，022-），即（–1，–1）． 每秒旋转45°，则第60秒时，得45°×60=2700°，2700°÷360°=7.5周， OD 旋转了7周半，菱形的对角线交点D 的坐标为（1，1）； 故选C ． 6．【答案】23-【解析】如图，作AH ⊥CD 于H ．∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD =120°， ∴AB ∥CD ，∴∠D +∠BAD =180°， ∴∠D =60°， ∵AD =AB =2，∴AH =AD ·sin60°3= ∵B ，B ′关于EF 对称， ∴BE =EB ′，当BE 的值最小时，AE 的值最大，根据垂线段最短可知，当EB ′3AH ==时，BE 的值最小， ∴AE 的最大值=23， 故答案为：23． 7．【答案】55【解析】∵1110∠=︒，纸条的两边互相平行，∴3180118011070.∠=︒-∠=︒-︒=︒根据翻折的性质，()()1121803180705522∠=⨯︒-∠=⨯︒-︒=︒．故答案为：55． 8．【答案】14【解析】根据中心对称图形的性质，得AOE COF △≌△，则阴影部分的面积等于BOC △的面积，为平行四边形ABCD 面积的14．故答案为：14． 9．【答案】22【解析】如图，∵21112∠=∠=︒（对顶角相等），∴336090211268.∠=-⨯︒-=︒︒︒ ∴'906822BAB ∠=-=︒︒︒，∴旋转角'22.BAB α∠=∠=︒故答案为：22．10．【解析】（1）若△A 1B 1C 1与△ABC 关于原点O 成中心对称，则点A 1的坐标为（2，–3）．（2）将△ABC 向右平移4个单位长度得到△A 2B 2C 2，则点B 2的坐标为（3，1）． （3）将△ABC 绕O 点顺时针方向旋转90°，则点C 走过的路径长=90π2180=π．11．【解析】如图，连接EF 交AD 于点O ．DE AC ∥交AB 于E DF AB ，∥交AC 于F ，∴四边形AEDF 是平行四边形， ∴点E F ，关于AD 的中点对称．12．【解析】（1）如图所示：（2）如图所示：'''A B C △即为所求：C '的坐标为()55-，； （3）2221454162091625AB AC BC =+==+==+=，，，∴222AB AC BC +=， ∴ABC △是直角三角形．13．【解析】（1）∵∠BAC =40°，∴∠BAD =140°，∴△ABC 旋转了140°．（2）由旋转的性质可知AC =AE ，∴△AEC 是等腰三角形． （3）由旋转的性质可知，∠CAE =∠BAD =140°，又AC =AE ， ∴∠AEC =（180°–140°）÷2=20°．1．【答案】D【解析】∵只有D 的图形的形状和大小没有变化，符合平移的性质，属于平移得到； 故选D ． 2．【答案】B【解析】将点（2，1）向右平移3个单位长度，则所得的点的坐标横坐标增加3，即（5，1）．故选B ． 3．【答案】【解析】由点A （2，1）平移后所得的点A 1的坐标为（–2，2），可得坐标的变化规律是：左移4个单位，上移1个单位，∴点B 的对应点B 1的坐标为（–1，0）．故选C ． 4．【答案】C【解析】∵360°÷3=120°，∴旋转的角度是120°的整数倍，∴旋转的角度至少是120°．故选C ． 5．【答案】C【解析】由折叠可得，∠ACD =∠ACE =90°，∴∠BAC =90°， 又∵∠B =60°，∴∠ACB =30°，∴BC =2AB =6，∴AD =6，直通中考由折叠可得，∠E =∠D =∠B =60°，∴∠DAE =60°，∴△ADE 是等边三角形，∴△ADE 的周长为6×3=18，故选C ． 6．【答案】B【解析】∵S △ABC =16.S △A ′EF =9，且AD 为BC 边的中线，∴S △A ′DE =12S △A ′EF =92，S △ABD =12S △ABC =8， ∵将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移得到△A 'B 'C '，∴A ′E ∥AB ，∴△DA ′E ∽△DAB ， 则2()A'DE ABD S A'D AD S =△△，即299()1816A'D A'D ==+，解得A ′D =3或A ′D =﹣37（舍），故选B ． 7．【答案】D【解析】∵△ADE 绕点A 顺时针旋转90°到△ABF 的位置．∴四边形AECF 的面积等于正方形ABCD 的面积等于20，∴AD =DC =2，∵DE =2，∴Rt △ADE 中，AE =22AD DE +=26，故选D ．8．【答案】（﹣2，﹣23） 【解析】作BH ⊥y 轴于H ，如图，∵△OAB 为等边三角形，∴OH =AH =2，∠BOA =60°，∴BH =3OH =23，∴B 点坐标为（2，23）， ∵等边△AOB 绕点O 顺时针旋转180°得到△A ′OB ′， ∴点B ′的坐标是（﹣2，﹣23）． 故答案为：（﹣2，﹣23）． 9．【答案】10–26【解析】如图，过点A 作AG ⊥DE 于点G ，由旋转知：AD =AE ，∠DAE =90°，∠CAE =∠BAD =15°，∴∠AED =∠ADG =45°，在△AEF 中，∠AFD =∠AED +∠CAE =60°，在Rt △ADG 中，AG =DG =2AD =32， 在Rt △AFG 中，GF =3AG =6，AF =2FG =26，∴CF =AC –AF =10–26， 故答案为：10–26．10．【答案】23–2【解析】根据旋转过程可知：∠CAD =30°=∠CAB ，AC =AD =4．∴∠BCA =∠ACD =∠ADC =75°．∴∠ECD =180°–2×75°=30°．∴∠E =75°–30°=45°．过点C 作CH ⊥AE 于H 点，在Rt △ACH 中，CH =12AC =2，AH =23． ∴HD =AD –AH =4–23．在Rt △CHE 中，∵∠E =45°，∴EH =CH =2．∴DE =EH –HD =2–（4–23）=23–2．故答案为3–2．11．【解析】（1）如下图所示，点A 1的坐标是（–4，1）；（2）如下图所示，点A 2的坐标是（1，–4）；（3）∵点A （4，1），∴OA 221417+=∴线段OA 290(17)⨯π⨯=174π．12．【解析】（1）∵对角线AC的中点为O，∴AO=CO，且AG=CH，∴GO=HO，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，CD=AB，CD∥AB，∴∠DCA=∠CAB，且CO=AO，∠FOC=∠EOA，∴△COF≌△AOE（ASA），∴FO=EO，且GO=HO，∴四边形EHFG是平行四边形；（2）如图，连接CE，∵∠α=90°，∴EF⊥AC，且AO=CO，∴EF是AC的垂直平分线，∴AE=CE，在Rt△BCE中，CE2=BC2+BE2，∴AE2=（9–AE）2+9，∴AE=5．13．【解析】（1）如图1，∵△ABC绕点A顺时针旋转α得到△DEC，点E恰好在AC上，∴CA=CD，∠ECD=∠BCA=30°，∠DEC=∠ABC=90°，∵CA=CD，∴∠CAD=∠CDA=12（180°–30°）=75°，∴∠ADE=90°–75°=15°；（2）如图2，∵点F是边AC中点，∴BF=12 AC，∵∠ACB=30°，∴AB=12AC，∴BF=AB，∵△ABC绕点A顺时针旋转60得到△DEC，∴∠BCE=∠ACD=60°，CB=CE，DE=AB，∴DE=BF，△ACD和△BCE为等边三角形，∴BE=CB，∵点F为△ACD的边AC的中点，∴DF⊥AC，易证得△CFD≌△ABC，∴DF=BC，∴DF=BE，而BF=DE，∴四边形BEDF是平行四边形．。
平移旋转与翻折
平移旋转与翻折平移、旋转和翻折是几何学中常见的几何变换，它们在数学、工程和计算机图形学中都起到重要的作用。
本文将深入探讨这三种变换的基本概念、特性以及在实际应用中的意义。
一、平移平移是指将一个图形沿着平行于原位置的方向移动一定的距离，从而得到一个新的位置。
在二维平面坐标系中，平移可以用向量的加法来表示。
设原点为O，平行于x轴和y轴的两条直线分别为x=x1和y=y1，将点P(x,y)平移距离为(a,b)，则P'的坐标为P'(x+a, y+b)。
可以看出，平移不改变图形的形状和大小，只是改变了图形的位置。
平移在日常生活中随处可见。
比如我们在空间中移动物体、走路、开车等都是进行平移的实例。
在计算机图形学中，平移常用于移动图像或物体，例如在绘图软件中拖动鼠标来平移画布或在游戏中移动角色。
二、旋转旋转是指将一个图形围绕某个点或轴进行转动，从而改变图形的位置和方向。
在二维平面坐标系中，旋转可以使用旋转矩阵来表示。
设原点为O，将点P(x,y)绕原点逆时针旋转角度θ后得到点P'(x',y')，则有下列公式：x' = x*cosθ - y*si nθy' = x*sinθ + y*cosθ在直角坐标系中，旋转后图形的位置和形状发生改变，但是图形的大小保持不变。
旋转是一种常见的刚体变换，常见的应用有机器人角度调整、摄影中的景深控制等。
三、翻折翻折，又称为对称变换，是指将一个图形围绕某个中心轴进行镜像对称，从而改变图形的位置和方向。
在二维平面坐标系中，翻折可以通过矩阵变换来表示。
设点P(x,y)关于直线y=k翻折后得到点P'(x',y')，则有下列公式：x' = xy' = 2k - y翻折前后图形的大小和形状保持不变，只是位置和方向发生了改变。
翻折在几何学和物理学中有广泛的应用，例如反射光线、对称物体的折叠等。
综上所述，平移、旋转和翻折是几何学中经常用到的几何变换。
初中数学几何模型大全
初中数学几何模型大全初中数学几何模型大全全等变换：平移：平移是指将平行等线段（平行四边形）沿着相同的方向平移相同的距离。
这种变换可以用来构造平行四边形。
对称：对称变换可以通过角平分线、垂直线或半角来进行。
这种变换可以用来构造对称全等的图形。
旋转：旋转变换是指将相邻等线段绕公共顶点进行旋转。
这种变换可以用来构造旋转全等的图形。
对称全等模型：这种模型是以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。
两边进行边或者角的等量代换，产生联系。
垂直也可以做为轴进行对称全等。
对称半角模型：这种模型是通过翻折构造对称全等的图形。
可以通过上图中的45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称来实现。
翻折后可以得到正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等的图形。
旋转全等模型：半角：这种模型是指相邻等线段所成角含1/2角及相邻线段。
通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，形成对称全等的图形。
自旋转：这种模型是指有一对相邻等线段，需要构造旋转全等。
可以通过遇到60度旋60度，造等边三角形；遇到90度旋90度，造等腰直角；遇到等腰旋顶点，造旋转全等；遇中点旋180度，造中心对称的方法来实现。
共旋转：这种模型是指有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点。
通过旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。
可以通过“8”字模型来证明。
模型变形：这种变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。
当遇到复杂图形找不到旋转全等时，可以先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。
中点旋转：这种模型是指通过两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。
初中数学知识归纳平移旋转和翻折的基本操作
初中数学知识归纳平移旋转和翻折的基本操作初中数学知识归纳——平移、旋转和翻折的基本操作初中数学中，平移、旋转和翻折是几个重要的几何变换操作。
这些操作不仅在几何题中常常出现，而且在解决实际问题时也起着重要作用。
本文将对平移、旋转和翻折的基本概念，操作规则以及实际应用进行归纳总结。
一、平移的基本概念及操作规则平移是指物体在平面上沿着某个方向移动一段距离，同时保持形状和大小不变。
在平移中，可以将物体的每个点都沿着相同的方向和距离进行移动。
具体操作规则如下：1. 平移的操作规则- 平移前后物体保持形状和大小不变。
- 平移前后物体上的所有点与平移向量保持平行。
2. 平移的表示方法平移可以使用向量表示。
假设平移向量为共点向量〈a，b〉，则平移的规则可以表示为：新位置的坐标 = 旧位置的坐标 + 平移向量。
二、旋转的基本概念及操作规则旋转是指物体在平面上围绕一个点旋转一定的角度，同时保持形状和大小不变。
在旋转中，可以将物体的每个点都绕着旋转中心点按照一定的角度进行旋转。
具体操作规则如下：1. 旋转的操作规则- 旋转前后物体保持形状和大小不变。
- 旋转前后物体上的所有点与旋转中心的距离保持不变。
2. 旋转的表示方法旋转可以使用旋转角度来表示。
设旋转中心为点O，顺时针旋转θ角度，则旋转的规则可以表示为：新位置的坐标 = 旋转中心点O的坐标 + 旋转后点O'的坐标。
三、翻折的基本概念及操作规则翻折是指物体在平面上沿着某一直线对称翻转，同时保持形状和大小不变。
在翻折中，可以将物体的每个点都绕着对称轴进行翻折。
具体操作规则如下：1. 翻折的操作规则- 翻折前后物体保持形状和大小不变。
- 翻折前后物体上的所有点关于对称轴对称。
2. 翻折的表示方法翻折可以通过对称轴进行表示。
设对称轴为线l，则翻折的规则可以表示为：新位置的坐标 = 原位置点关于对称轴的对称点。
四、平移、旋转和翻折的实际应用平移、旋转和翻折不仅是几何题中经常出现的概念，也在日常生活和实际问题中得到广泛应用。
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初中数学中的形的平移旋转与翻折初中数学中的形的平移、旋转与翻折
形的平移、旋转与翻折是初中数学中的重要概念和技巧。
通过学习这些内容，我们可以深入理解几何图形的性质和变化规律，提高数学解题的能力和思维逻辑能力。
本文将着重介绍初中数学中形的平移、旋转与翻折的概念、性质和相关解题方法。
一、形的平移
1. 平移的概念
平移是指在平面上，将一个点或者图形沿着特定的方向和距离移动之后的位置与移动前的位置相对应的变换。
2. 平移的性质
（1）平移不改变图形的大小和形状。
（2）平移保持图形内部的所有角度和线段的相对关系不变。
（3）平移不改变图形的面积和周长。
3. 平移的表示方法和步骤
平移可以用向量表示或者用坐标表示。
对于向量表示，我们可以通过指定平移向量的大小和方向来表示平移的规律。
对于坐标表示，我们可以通过向图形内的每个点添加相同的坐标改变量来得到平移后的图形。
平移的步骤一般为：
（1）标出移动前的图形和参考点；
（2）选择适当的方向和距离，确定平移的规律；
（3）根据规律，将每个点移动到对应的位置，得到平移后的图形。
二、形的旋转
1. 旋转的概念
旋转是指在平面或空间中，围绕特定的中心点，按照一定的角度和
方向，将一个点或者图形转到另一个位置的变换。
2. 旋转的性质
（1）旋转不改变图形的形状。
（2）旋转保持图形内角度大小和线段的相对关系不变。
（3）旋转不改变图形的面积和周长。
3. 旋转的表示方法和步骤
旋转可以通过给出旋转的中心点、旋转的角度和方向来表示旋转的
规律。
在实际解题中，我们常常使用逆时针旋转的角度来表示旋转。
旋转的步骤一般为：
（1）标出旋转前的图形和旋转的中心点；
（2）选择适当的旋转角度和方向，确定旋转的规律；
（3）根据规律，将图形的每个点旋转对应的角度和方向，得到旋
转后的图形。
三、形的翻折
1. 翻折的概念
翻折是指通过将图形沿着一条直线对称折叠，使得折叠后的一部分
与折叠前的另一部分重合的变换。
2. 翻折的性质
（1）翻折不改变图形的形状。
（2）翻折保持图形内角度大小和线段的相对关系不变。
（3）翻折不改变图形的面积和周长。
3. 翻折的表示方法和步骤
翻折可以通过给出翻折的对称轴来表示翻折的规律。
在实际解题中，我们需要根据翻折的轴将图形对称折叠，使得折叠后的一部分重合。
翻折的步骤一般为：
（1）标出翻折前的图形和翻折的对称轴；
（2）根据对称轴的位置和方向，确定翻折的规律；
（3）沿着对称轴将图形对称折叠，使得折叠后的一部分与折叠前
的另一部分重合，得到翻折后的图形。
总结：
形的平移、旋转与翻折是初中数学中重要的内容。
通过学习和掌握
形的平移、旋转与翻折的概念、性质和解题方法，我们可以进一步理
解几何图形的特征和变化规律，提高数学解题的能力和思维逻辑能力。
在实际解题中，我们需要根据题目的具体要求选择合适的平移、旋转
或翻折方法，并注意应用相关概念和性质进行推理和证明，以达到正
确解题的目的。
形的平移、旋转与翻折不仅在初中数学中有重要意义，也在实际生活和其他学科中有广泛应用，对我们的思维发展和创造力
培养具有积极影响。
因此，我们应该认真学习和掌握这些知识，不断
运用和拓展。