离散数学课件第一章(第4讲)
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离散数学第一章命题逻辑PPT课件
P
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P→Q 1 1 0 1
如： P:雪是黑的。
Q:太阳从东方升起 。
P → Q:如果雪是黑的，则太阳从东方升起 。
命题P→Q是假, 当且仅当P是真而Q是假。
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1.2 联结词
条件与汉语中“如果…，就…”相类似，但有所区别: (1)自然语言中，“如果P则Q”，往往P和Q有一定的因果 关系，而条件复合命题P→Q中 P和Q 可以完全不相关。 (2)自然语言中，“如果P则Q”，当P为0、Q为1时，整个 句子真值难以确定；而条件复合命题P→Q中，当P为0时， 复合命题的真值为1。 P则Q的逻辑含义:P是Q的充分条件,的表示 命题变元——常用P、Q、R、S等大写字母或加下标的大 写字母P1, Q2, R10, ……表示来表示一个命题，称为命题 变元。 如： P:巴黎在法国。
Q:煤是白色的。
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1.1 命题及其表示法
3、命题相关概念 简单命题（原子命题）——不能再分解的命题。 复合命题——由若干个简单命题复合而成的命题。 真值表——把组成复合命题的各命题变元的真值的所有 组合及其相对应的复合命题的真值列成表，称为真值表。
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1.1 命题及其表示法
【例3 】求公式 (P→R)∨(Q→R)的真值表。 解：∵公式含有３个命题变元P、Q、R,
∴真值表有２3=8行。其真值表如下表 所示：
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1.2 联结词
命题和原子命题常可通过一些联结词构成新命题, 这
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且 n=max(i,j)； (c) A=BC, 其中 B,C 的层次及 n 同(b)； (d) A=BC, 其中B,C 的层次及 n 同(b)； (e) A=BC, 其中B,C 的层次及 n 同(b). (3) 若公式A的层次为k, 则称A为k层公式.
例如 公式 A=p, B=p, C=pq, D=(pq)r,
E=((pq) r) (rs)
分别为0层，1层，2层，3层，4层公式.
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公式赋值
定义1.8 设p1, p2, … , pn是出现在公式A中的全部命题变项, 给p1, p2, … , pn各指定一个真值, 称为对A的一个赋值或解释. 若使A为1, 则称这组值为A的成真赋值; 若使A为0, 则称这组
基本要求 深刻理解各联结词的逻辑关系, 熟练地将命题符号化 会求复合命题的真值 深刻理解合式公式及重言式、矛盾式、可满足式等概念 熟练地求公式的真值表，并用它求公式的成真赋值与成假
赋值及判断公式类型 24
练习1
1. 将下列命题符号化 (1) 豆沙包是由面粉和红小豆做成的. (2) 苹果树和梨树都是落叶乔木. (3) 王小红或李大明是物理组成员. (4) 王小红或李大明中的一人是物理组成员. (5) 由于交通阻塞，他迟到了. (6) 如果交通不阻塞，他就不会迟到. (7) 他没迟到，所以交通没阻塞. (8) 除非交通阻塞，否则他不会迟到. (9) 他迟到当且仅当交通阻塞.
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命题概念
例1 下列句子中那些是命题？ (1) 2是有理数. (2) 2 + 5 = 7.
(3) x + 5 > 3. (4) 你去教室吗？ (5) 这个苹果真大呀！ (6) 请不要讲话！ (7) 2050年元旦下大雪.
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定义2.1设A,B是两个命题公式，若A，B构成的等价 式AB为重言式，则称A与B等值，记为AB。
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例2.1判断下面两个公式是否等值： (pq), pq 例2.2判断下面各组公式是否等值： （1）p(qr) 与 (pq)r （2） ( pq)r与 (pq)r
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置换规则 ： 设（A）是含公式A的命题公式， （B） 是用公式B置换了（A）中所有的A以后得到的命题公式， 若BA，则（B） （A）。
定义1.2 设p，q为两命题，复合命题“p并且q”称为p与 q的合取式，记作“pq”。 pq为真当且仅当 p， q同 时为真。
定义1.3 设p，q为两命题，复合命题“p或q”称为p与q的 析取式，记作“pq”。 p q为假当且仅当 p， q同时为 假。
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例1.3将下列命题符号化 （1）吴影既用功又聪明。 （2）吴影不仅用功而且聪明。 （3）吴影虽然聪明，但不用功。 （4）张辉与王丽都是三好学生。 （5）张辉与王丽是同学
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例1.8求下列公式的真值表，并求成真赋值。 (1) (pq)r (2) (pp)(qq) (3) (p q) q r
定义1.10设A为一命题公式 （1）若A在它的各种赋值下取值均为真，则称A是重 言式或永真式。 （2）若A在它的各种赋值下取值均为假，则称A是矛 盾式或永假式。 （3）若A不是矛盾式，则称A是可满足式。
离散数学
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离散数学课件
离散数学是计算机科学的核心理论课程， 是计算机专业的专业基础课。
第一部分 数理逻辑 第二部分 集合与关系代数 第三部分 图论
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第一部分数理逻辑
第一章 命题逻辑基本概念 第二章 命题逻辑等值演算 第三章 命题逻辑推理理论 第四章 一阶逻辑基本概念 第五章 一阶逻辑等值演算与推理
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例2.1判断下面两个公式是否等值： (pq), pq 例2.2判断下面各组公式是否等值： （1）p(qr) 与 (pq)r （2） ( pq)r与 (pq)r
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置换规则 ： 设（A）是含公式A的命题公式， （B） 是用公式B置换了（A）中所有的A以后得到的命题公式， 若BA，则（B） （A）。
定义1.2 设p，q为两命题，复合命题“p并且q”称为p与 q的合取式，记作“pq”。 pq为真当且仅当 p， q同 时为真。
定义1.3 设p，q为两命题，复合命题“p或q”称为p与q的 析取式，记作“pq”。 p q为假当且仅当 p， q同时为 假。
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例1.3将下列命题符号化 （1）吴影既用功又聪明。 （2）吴影不仅用功而且聪明。 （3）吴影虽然聪明，但不用功。 （4）张辉与王丽都是三好学生。 （5）张辉与王丽是同学
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例1.8求下列公式的真值表，并求成真赋值。 (1) (pq)r (2) (pp)(qq) (3) (p q) q r
定义1.10设A为一命题公式 （1）若A在它的各种赋值下取值均为真，则称A是重 言式或永真式。 （2）若A在它的各种赋值下取值均为假，则称A是矛 盾式或永假式。 （3）若A不是矛盾式，则称A是可满足式。
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离散数学是计算机科学的核心理论课程， 是计算机专业的专业基础课。
第一部分 数理逻辑 第二部分 集合与关系代数 第三部分 图论
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第一部分数理逻辑
第一章 命题逻辑基本概念 第二章 命题逻辑等值演算 第三章 命题逻辑推理理论 第四章 一阶逻辑基本概念 第五章 一阶逻辑等值演算与推理
《离散数学教案》课件
《离散数学教案》PPT课件第一章：离散数学简介1.1 离散数学的定义离散数学是研究离散结构及其相互关系的数学分支。
离散数学与连续数学相对，主要研究对象是集合、图、逻辑等。
1.2 离散数学的应用离散数学在计算机科学、信息技术、密码学等领域有广泛应用。
学习离散数学能够为编程、算法设计、数据结构等课程打下基础。
第二章：集合与逻辑2.1 集合的基本概念集合是由明确定义的元素组成的整体。
集合的表示方法：列举法、描述法、图示法等。
2.2 集合的基本运算集合的并、交、差运算。
集合的幂集、子集、真子集等概念。
2.3 逻辑基本概念命题：可以判断真假的陈述句。
逻辑联结词：与、或、非等。
逻辑等价式与蕴含式。
第三章：图论基础3.1 图的基本概念图是由点集合及连接这些点的边集合组成的数学结构。
图的表示方法：邻接矩阵、邻接表等。
3.2 图的基本运算图的邻接、关联、度等概念。
图的遍历：深度优先搜索、广度优先搜索。
3.3 图的应用图在社交网络、路径规划、网络结构等领域有广泛应用。
学习图论能够帮助我们理解和解决现实世界中的问题。
第四章：组合数学4.1 排列与组合排列：从n个不同元素中取出m个元素的有序组合。
组合：从n个不同元素中取出m个元素的无序组合。
4.2 计数原理分类计数原理、分步计数原理。
函数：求排列组合问题的有效工具。
4.3 鸽巢原理与包含-排除原理包含-排除原理：解决计数问题时，通过加减来排除某些情况。
第五章：命题逻辑与谓词逻辑5.1 命题逻辑命题逻辑关注命题及其逻辑关系。
命题逻辑的基本运算：联结词、逻辑等价式、蕴含式等。
5.2 谓词逻辑谓词逻辑是命题逻辑的推广，引入量词和谓词。
谓词逻辑的基本结构：个体、谓词、量词、逻辑运算等。
5.3 谓词逻辑的应用谓词逻辑在计算机科学中用于描述和验证程序正确性。
学习谓词逻辑能够提高对问题本质的理解和表达能力。
第六章：组合设计6.1 组合设计的基本概念组合设计是指从给定的有限集合中按照一定规则选取元素，构成满足特定条件的组合。
离散数学第一章PPT课件
R 0 1 0 1 0 1 0 1
Assignments（作业）
第30页: 4
1.3 公式分类与等价式
1.3.1 公式分类 1.3.2 等价公式（等值演算） 1.3.3 基本等价式----命题定律 1.3.4 代入规则和替换规则 1.3.5 证明命题公式等价的方法
1.3.1 公式分类
定义1.13 设A是一个命题公式，对A所有可能的解释： (1)若A都为真，称A为永真式或重言式。
(2)若A都为假，称A为永假式或矛盾式。
(3)若至少存在一个解释使得A为真，称A为可满足式。
例1 从上一节真值表可知，命题公式(PQ)(P∨Q)为 重言式，(PQ)∧Q为矛盾式，PQ)∧R为可满足式。
注： 1、 永真式必为可满足式，反之则不然；永真式的否定是永 假式，反之亦然； 2、 决定一个公式是否是一个永真式、永假式或可满足式有 三种方法：真值表法（适用于变元少而简单的公式）、求主范
1.否定词(negation connective )﹁
定义1.4 复合命题“非P”称为命题P的否定，记作
P，读作非P。 P为真当且仅当P为假。
例3 设 P：离散数学是计算机专业的核心课程， 则 P:离散数学不是计算机专业的核心课 程。
2.合取词(conjunction connective )∧
命题符号化的目的在于用五个联结词将日 常语言中的命题转化为数理逻辑中的形式命题， 其关键在于对自然语言中语句之间的逻辑关系 以及命题联结词的含义要有正确的理解，使用 适当的联结词： （1）确定语句是否是一个命题；
（2）找出句中连词，用适当的命题联结词表
示。
Assignments（作业）
第30页: 3（偶数小题）
定义1.12 设A是含有n个命题变元的命题 公式，将命题公式A在所有赋值之下取值的情 况汇列成表，称为A的真值表( truth table )。 为列出一个公式的真值表，我们约定： ①命题变元按字典序排列；②对公式的每个 解释，以二进制从小到大列出；③当公式较 复杂时，可先列出子公式的真值，最后列出 所给公式的真值。
离散数学第一章课件
表示“或者” “或者”有二义性，看下面两个例子： 例1-2.3. 灯泡或者线路有故障。 例1-2.4. 第一节课上数学或者上英语。 例3中的或者是可兼取的或。即析取“∨” 例4中的或者是不可兼取的或，也称之为异或、 排斥或。即“ ”.
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1. 析取“∨”
例1-2.3. 灯泡或者线路有故障。 P：灯泡有故障。 Q：线路有故障。 例中的复合命题可表示为：P∨Q P∨Q读成P析取Q，P或者Q。 P∨Q的真值为F，当且仅当P与Q均为F。
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数理逻辑把推理符号化之二
设M(x): x是金属 . 设C(x): x能导电. 设x 表示: 所有的x . 设 a 表示铜. 例2的推理过程表示为： 前提:x(M(x)C(x)) (所有金属都导电.) 前提:M(a) (铜是金属.) 结论:C(a) (铜能导电.) (其中符号M(x)是谓词，所以这就是第二章 “谓词逻辑”中所讨论的内容.）
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四.条件 (蕴涵)“”
表示“如果… 则 …”， 例1-2.5： P表示：缺少水分。 Q表示：植物会死亡。 PQ：如果缺少水分，植物就会死亡。 PQ：也称之为蕴涵式，读成“P蕴涵Q”， “如果P则Q”。 也说成P是PQ 的前件，Q是PQ的后件。还 可以说P是Q的充分条件，Q是P的必要条件。
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1-2 联结词
复合命题的构成：是用“联结词”将原子命题 联结起来构成的。 归纳自然语言中的联结词，定义了六个逻辑联 结词，分别是： (1) 否定“” (2) 合取“∧” (3) 析取“∨” (4) 异或“ ” (5) 蕴涵“” (6) 等价“”
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一. 否定“” (Negation)
北京工业大学《离散数学》课件-第一章 逻辑和证明
第一章基础：逻辑和证明1内容提要◦逻辑（logic）：思维的规律和规则，是研究推理的科学公元前四世纪由希腊哲学家亚里士多德首创◦数理逻辑：用数学方法研究逻辑，又称符号逻辑十七世纪由德国数学家莱布尼兹提出2内容提要命题逻辑数理逻辑谓词逻辑34日常使用的自然语言，往往易产生二义性：•冬天，能穿多少穿多少；夏天，能穿多少穿多少。
•中国足球，谁也打不赢；中国乒乓球，谁也打不赢。
引入形式符号体系5本节摘要◦命题（离散对象）◦命题逻辑（离散对象之间的关系）◦命题逻辑的应用6命题◦命题是一个陈述语句，可判定真假◦举例：◦月亮是绿色奶酪做的。
◦1+0=1◦别的星球有生物。
◦坐下！◦几点了？◦X+1=2。
◦我正在说谎。
7命题非命题说明：◦只有具有确定真值的陈述句才是命题。
一切没有判断内容的句子，无所谓是非的句子，如：感叹句、祈使句、疑问句等，都不是命题。
◦命题只有两种真值，“命题逻辑”又称“二值逻辑”。
◦“具有确定真值”指客观上的具有，与我们是否知道它的真值是两回事。
8命题逻辑◦命题变量：表示命题的变量，习惯上用p, q, r, s, ...表示；真命题用T表示，假命题用F表示◦命题逻辑：涉及命题的逻辑领域研究对象：复合命题由已知命题用逻辑运算符（联结词）组合而来只有成绩好和竞赛获奖的同学才能保研操作符：逻辑联结词包括[否定，合取，析取，异或，条件，双条件]9复合命题：否定联结词◦令p为一命题，则p的否定记为 p，读作“非p”，一元运算符。
命题之否定的真值表T FF T“非”放在命题最前面表意更清晰。
p：地球是圆的；p：并非地球是圆的。
p：咱们班上都是男同学；p：咱们班上都不是男同学(×)or 咱们班上不都是男同学(√)。
10◦令p 和q 为命题，p 和q 的合取（conjunction ）记作pq 。
11复合命题：合取联结词T T T T F F F T F F F F两命题析取的真值表阳光灿烂，但是正在下雨= 阳光灿烂正在下雨我在吃饭我女朋友在吃饭我和女朋友一起吃饭= 我和女朋友都在吃饭复合命题：析取联结词◦令p和q为命题，p和q的析取（disjunction）记作p q。
《离散数学》完整课件
第三节 复合关系与逆关系
本节讨论关系的复合运算与逆运算极其 性质;主要考虑了下列问题:
1.关系的复合是否满足交换律、结合律、 关系的复合对于集合的并(交)是否有分 配律;
2.关系的复合运算与逆运算在关系图和 关系矩阵上的反应;
3.关系的复合运算与关系的逆运算之间 的运算规律.
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11 2021/6/7
|A|<|B|三条中有且仅有一条成立；
2.Bernstein定理:设A,B是两个集合,若|A|≥|B| 且|A| ≤ |B|,则集合A,B等势;
3.设A是任意集合,P(A)为A的幂集,则P(A)的基 数大于A的基数.
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本章小结
本章的主要内容有：集合的等势、有限 集与无限集、可数集与不可数集、较为 常见的集合的基数等.集合的基数反映了 集合的元素的多少，它是集合的一种性 质，一种与该集合等势的集合构成的集 合族的共同性质.
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17 2021/6/7
第九节 复合映射与逆映射
映射的复合就是关系的复合,须注意的是 复合的次序,主要内容有:
1.映射的复合具有结合律,但不符合交换律; 2.区分了左逆与右逆；给出里左逆、右逆
与单射、满射之间的关系； 3.可逆与左、右逆之间的关系.
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本章小结
1.本节首先给出了公式的蕴涵关系的三个等价定 义,及蕴涵关系具有的性质,给出了15个基本蕴 涵式；
2.把蕴涵概念推广,得到公式的逻辑结果的定义；
3.为了研究推理，还引进演绎的概念；
4.用实例说明推理方法.
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30 2021/6/7
第六节 形式演绎
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例:具有二个命题变元的命题公式,小项最多有22=4 个,即Ｐ∧Ｑ、¬Ｐ∧Ｑ、Ｐ∧ ¬Ｑ、 ¬Ｐ∧ ¬Ｑ
具有三个命题变元的命题公式，小项最多有23=8个， 即：Ｐ∧Ｑ∧Ｒ、Ｐ∧Ｑ∧¬Ｒ、Ｐ∧¬Ｑ∧Ｒ、
Ｐ∧¬Ｑ∧¬Ｒ、¬Ｐ∧Ｑ∧Ｒ、¬Ｐ∧Ｑ∧¬Ｒ、 ¬Ｐ∧¬Ｑ∧Ｒ、¬Ｐ∧¬Ｑ∧¬Ｒ
推广：具有ｎ个命题变元的命题公式的小项最多有2n
∴ ¬Ａ（P1，P2．．．Pn）¬Ｂ（P1，P2．．．Pn）
由摩根推广定理
∴Ａ*（¬P1，¬P2．．．¬Pn）Ｂ*（¬P1，¬P2．．．¬Pn）
∴Ａ*（¬P1，¬P2．．．¬Pn）Ｂ*（¬P1,¬P2．．．¬Pn） 为永真式 由于永真式的代换实例仍为永真式，所以用 ¬Pi代换A*和B*中
的Pi （1≤i≤n) 则得： Ａ*（ ¬¬P1， ¬¬P2．．． ¬¬Pn）
成由联结词Λ ， ∨，组成的等价的命题公式， 然后求它的对偶式； 例：求(PQ)(PR)的对偶式 (PQ)(PR) （¬Ｐ∨Ｑ） Λ （¬Ｐ∨R） 则其对偶式为： （¬ＰΛ Ｑ）∨ （¬ＰΛ R）
（２）在写对偶式时，原命题公式中括号不能省 去，必须按优先级的次序画上括号，并在求其 对偶式时仍将保留括号。
Ｂ*（ ¬ ¬P1， ¬ ¬P2．．． ¬ ¬Pn） 即为： Ａ*（P1，P2．．．Pn）Ｂ*（P1，P2．．．Pn）
判定二个命题公式等价，还可以使用范式方法。
范式
把命题公式化归为一种标准的形式，称此标准形式为范式。
1．析取范式和合取范式： [定义]一个命题公式称为析取范式，当且仅当它具有形式： A1∨A2∨…∨An(n≥1),其中A1，A2，…，An都是由命题变元 或其否定所组成的合取式。
[定义]一个命题公式称为合取范式，当且仅当它具有 形式：A1∧A2∧…∧An(n≥1),其中A1，A2，…，An 都是由命题变元或其否定所组成的析取式。
如：（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ） ∧（¬Ｐ∨Ｑ）∧（Ｐ∨¬Ｑ）是
一个合取范式。
求一个命题公式的合取范式的方法和求析取范式 的方法类同：
（１）利用等价公式：化去“→”、“”联结词， 把命题公式变为与其等价的用{¬，∧，∨}表达的 公式。
（２）将“¬”深入到原子命题变元之前，并使变元之前 最多只有一个“¬”词。
例：¬（¬Ｐ∨¬Ｑ）¬¬Ｐ∧ ¬¬Ｑ Ｐ∧Ｑ
（３）利用“∧”对“∨”的分配律，将公式化为 析取范式。
（４）除去永假项得最简析取范式。
例：求¬(（Ｐ∧¬Ｑ）→R) ∨ ( (P →¬Q) ∧ Q)的析取范式 原式 ¬(¬（Ｐ∧¬Ｑ）∨R) ∨ (（¬Ｐ∨¬Ｑ）∧Q)
个（n∈I+）。
ＰΛＱΛＲ 有Ａ（ ¬Ｐ， ¬Ｑ， ¬Ｒ） ¬A*（Ｐ，Ｑ，Ｒ）
《定理》：若二个命题公式互为等价，则它们的对 偶式也互为等价，亦即若ＡＢ，则A*B*成立。
证明： 设：P1、P2．．．Pn 是出现在Ａ和Ｂ中的原子命题变元，
由ＡＢ， 即Ａ（P1，P2．．．Pn） Ｂ（P1，P2．．．Pn）
证明：由摩根定理
¬（Ｐ∨Ｑ）¬ＰΛ¬Ｑ—（１） ¬Ｐ∨¬Ｑ ¬（ＰΛＱ）—（２）
例：设Ａ（Ｐ，Ｑ，Ｒ）¬ＰΛ ¬（Ｑ∨Ｒ）， 验证上述定理ＱΛ ¬Ｒ ∴ ¬Ａ（Ｐ，Ｑ，Ｒ） Ｐ∨Ｑ∨Ｒ
A*（Ｐ，Ｑ，Ｒ） ¬Ｐ∨ ¬Ｑ∨ ¬Ｒ A*（ ¬Ｐ， ¬Ｑ， ¬Ｒ）Ｐ∨Ｑ∨Ｒ 有¬Ａ（Ｐ，Ｑ，Ｒ） = A*（ ¬Ｐ， ¬Ｑ， ¬Ｒ） （２）Ａ（ ¬Ｐ， ¬Ｑ， ¬Ｒ） ＰΛＱΛＲ ¬A*（Ｐ，Ｑ，Ｒ） ¬（ ¬Ｐ∨ ¬Ｑ∨ ¬Ｒ）
例：（ＰΛＱ）∨Ｒ对偶式写成 （Ｐ∨Ｑ）ΛＲ，而不能写成Ｐ∨ＱΛＲ
《定理》：（摩根推广定理）
设Ａ和A*为对偶式,P1,P2．．．Pn 是出现在Ａ和 A*中的所有原子命题变元，于是有： ¬Ａ（P1，P2．．．Pn）
A* （¬P1，¬P2．．．¬Pn）——（1） Ａ（¬P1，¬P2．．．¬Pn）
¬A*（P1，P2．．．Pn）——（２）
——化去“→”词 (（Ｐ∧ ¬Ｑ）∧¬R) ∨(（ ¬Ｐ∨¬Ｑ） ∧Q )
——“¬”深入到变元前，并最多保留一个 （Ｐ∧ ¬Ｑ∧¬R) ∨ （ ¬Ｐ∧ Ｑ）∨ （ ¬Q∧ Ｑ）
——“∧”对“∨”的分配 律 （Ｐ∧ ¬Ｑ∧¬R) ∨ （ ¬Ｐ∧ ¬Ｑ）
——去掉永假的合取项
注：给定一命题公式的析取范式不是唯一的，但同一命题公式的析 取范式一定是等价的。
§5 对偶与范式
对偶原理（对偶定律） 《定义》：给定命题公式Ａ，若用Λ代换∨，用∨
代换Λ，用Ｔ代换Ｆ，用Ｆ代换Ｔ，得到另一个 命题公式A*，则称Ａ和A*是互为对偶的。
例：写出下列命题公式的对偶式：
Ｐ∨（ＱΛＲ）
ＰΛ（Ｑ∨Ｒ）
Ｐ∨Ｆ
对偶式 A* ＰΛＴ
Ｐ∨Ｔ
ＰΛＦ
讨论定义： （１）若命题公式中有联结词，，则必须把化
（２）将“¬”深入到原子命题变元之前，并使变元 之前最多只有一个“¬”词。
（３）利用“∨”对“∧”的分配律，将公式化为 合取范式；
（４）去掉永真的析取项。
例：求(Ｑ∨¬（Ｐ→Ｑ）) ∧ ¬（Ｐ∧Ｑ）的合取范式 原式 (Ｑ∨¬（¬Ｐ∨Ｑ）) ∧ ¬（Ｐ∧Ｑ）
——化去“→”词 (Ｑ∨（Ｐ∧ ¬Ｑ）) ∧ （ ¬Ｐ∨ ¬Ｑ）
如：（Ｐ∧Ｑ∧Ｒ） ∨（¬Ｐ∧Ｑ）∨（Ｐ∧¬Ｑ）是一个析取范 式
求析取范式的方法可按下列三步（或四步）进行：
（１）利用等价公式：化去“→”、“”联结词，把 命题公式变为与其等价的用{¬，∧，∨}表达的公式。
例: Ｐ→Ｑ¬Ｐ∨Ｑ， Ｐ↔ Ｑ（Ｐ→Ｑ） ∧ （Ｑ→Ｐ） （¬Ｐ∨Ｑ）∧（ ¬Ｑ∨Ｐ）
——“¬”深入到变元前，并最多保留一个 （（Ｑ∨Ｐ）∧（Ｑ∨ ¬Ｑ）） ∧ （ ¬Ｐ∨ ¬Ｑ）
——“∨”对“∧”的分配 （Ｑ∨Ｐ） ∧ （ ¬Ｐ∨ ¬Ｑ） ）
——去掉永真的析取项
注：给定一命题公式的合取范式不是唯一的，但同一命题公式的合 取范式一定是等价的。
2．主析取范式
[定义]在ｎ个变元的合取项中，若每个变元及其否 定并不同时存在，且二者之一出现一次且仅出现一 次，则称此合取项为小项。
具有三个命题变元的命题公式，小项最多有23=8个， 即：Ｐ∧Ｑ∧Ｒ、Ｐ∧Ｑ∧¬Ｒ、Ｐ∧¬Ｑ∧Ｒ、
Ｐ∧¬Ｑ∧¬Ｒ、¬Ｐ∧Ｑ∧Ｒ、¬Ｐ∧Ｑ∧¬Ｒ、 ¬Ｐ∧¬Ｑ∧Ｒ、¬Ｐ∧¬Ｑ∧¬Ｒ
推广：具有ｎ个命题变元的命题公式的小项最多有2n
∴ ¬Ａ（P1，P2．．．Pn）¬Ｂ（P1，P2．．．Pn）
由摩根推广定理
∴Ａ*（¬P1，¬P2．．．¬Pn）Ｂ*（¬P1，¬P2．．．¬Pn）
∴Ａ*（¬P1，¬P2．．．¬Pn）Ｂ*（¬P1,¬P2．．．¬Pn） 为永真式 由于永真式的代换实例仍为永真式，所以用 ¬Pi代换A*和B*中
的Pi （1≤i≤n) 则得： Ａ*（ ¬¬P1， ¬¬P2．．． ¬¬Pn）
成由联结词Λ ， ∨，组成的等价的命题公式， 然后求它的对偶式； 例：求(PQ)(PR)的对偶式 (PQ)(PR) （¬Ｐ∨Ｑ） Λ （¬Ｐ∨R） 则其对偶式为： （¬ＰΛ Ｑ）∨ （¬ＰΛ R）
（２）在写对偶式时，原命题公式中括号不能省 去，必须按优先级的次序画上括号，并在求其 对偶式时仍将保留括号。
Ｂ*（ ¬ ¬P1， ¬ ¬P2．．． ¬ ¬Pn） 即为： Ａ*（P1，P2．．．Pn）Ｂ*（P1，P2．．．Pn）
判定二个命题公式等价，还可以使用范式方法。
范式
把命题公式化归为一种标准的形式，称此标准形式为范式。
1．析取范式和合取范式： [定义]一个命题公式称为析取范式，当且仅当它具有形式： A1∨A2∨…∨An(n≥1),其中A1，A2，…，An都是由命题变元 或其否定所组成的合取式。
[定义]一个命题公式称为合取范式，当且仅当它具有 形式：A1∧A2∧…∧An(n≥1),其中A1，A2，…，An 都是由命题变元或其否定所组成的析取式。
如：（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ） ∧（¬Ｐ∨Ｑ）∧（Ｐ∨¬Ｑ）是
一个合取范式。
求一个命题公式的合取范式的方法和求析取范式 的方法类同：
（１）利用等价公式：化去“→”、“”联结词， 把命题公式变为与其等价的用{¬，∧，∨}表达的 公式。
（２）将“¬”深入到原子命题变元之前，并使变元之前 最多只有一个“¬”词。
例：¬（¬Ｐ∨¬Ｑ）¬¬Ｐ∧ ¬¬Ｑ Ｐ∧Ｑ
（３）利用“∧”对“∨”的分配律，将公式化为 析取范式。
（４）除去永假项得最简析取范式。
例：求¬(（Ｐ∧¬Ｑ）→R) ∨ ( (P →¬Q) ∧ Q)的析取范式 原式 ¬(¬（Ｐ∧¬Ｑ）∨R) ∨ (（¬Ｐ∨¬Ｑ）∧Q)
个（n∈I+）。
ＰΛＱΛＲ 有Ａ（ ¬Ｐ， ¬Ｑ， ¬Ｒ） ¬A*（Ｐ，Ｑ，Ｒ）
《定理》：若二个命题公式互为等价，则它们的对 偶式也互为等价，亦即若ＡＢ，则A*B*成立。
证明： 设：P1、P2．．．Pn 是出现在Ａ和Ｂ中的原子命题变元，
由ＡＢ， 即Ａ（P1，P2．．．Pn） Ｂ（P1，P2．．．Pn）
证明：由摩根定理
¬（Ｐ∨Ｑ）¬ＰΛ¬Ｑ—（１） ¬Ｐ∨¬Ｑ ¬（ＰΛＱ）—（２）
例：设Ａ（Ｐ，Ｑ，Ｒ）¬ＰΛ ¬（Ｑ∨Ｒ）， 验证上述定理ＱΛ ¬Ｒ ∴ ¬Ａ（Ｐ，Ｑ，Ｒ） Ｐ∨Ｑ∨Ｒ
A*（Ｐ，Ｑ，Ｒ） ¬Ｐ∨ ¬Ｑ∨ ¬Ｒ A*（ ¬Ｐ， ¬Ｑ， ¬Ｒ）Ｐ∨Ｑ∨Ｒ 有¬Ａ（Ｐ，Ｑ，Ｒ） = A*（ ¬Ｐ， ¬Ｑ， ¬Ｒ） （２）Ａ（ ¬Ｐ， ¬Ｑ， ¬Ｒ） ＰΛＱΛＲ ¬A*（Ｐ，Ｑ，Ｒ） ¬（ ¬Ｐ∨ ¬Ｑ∨ ¬Ｒ）
例：（ＰΛＱ）∨Ｒ对偶式写成 （Ｐ∨Ｑ）ΛＲ，而不能写成Ｐ∨ＱΛＲ
《定理》：（摩根推广定理）
设Ａ和A*为对偶式,P1,P2．．．Pn 是出现在Ａ和 A*中的所有原子命题变元，于是有： ¬Ａ（P1，P2．．．Pn）
A* （¬P1，¬P2．．．¬Pn）——（1） Ａ（¬P1，¬P2．．．¬Pn）
¬A*（P1，P2．．．Pn）——（２）
——化去“→”词 (（Ｐ∧ ¬Ｑ）∧¬R) ∨(（ ¬Ｐ∨¬Ｑ） ∧Q )
——“¬”深入到变元前，并最多保留一个 （Ｐ∧ ¬Ｑ∧¬R) ∨ （ ¬Ｐ∧ Ｑ）∨ （ ¬Q∧ Ｑ）
——“∧”对“∨”的分配 律 （Ｐ∧ ¬Ｑ∧¬R) ∨ （ ¬Ｐ∧ ¬Ｑ）
——去掉永假的合取项
注：给定一命题公式的析取范式不是唯一的，但同一命题公式的析 取范式一定是等价的。
§5 对偶与范式
对偶原理（对偶定律） 《定义》：给定命题公式Ａ，若用Λ代换∨，用∨
代换Λ，用Ｔ代换Ｆ，用Ｆ代换Ｔ，得到另一个 命题公式A*，则称Ａ和A*是互为对偶的。
例：写出下列命题公式的对偶式：
Ｐ∨（ＱΛＲ）
ＰΛ（Ｑ∨Ｒ）
Ｐ∨Ｆ
对偶式 A* ＰΛＴ
Ｐ∨Ｔ
ＰΛＦ
讨论定义： （１）若命题公式中有联结词，，则必须把化
（２）将“¬”深入到原子命题变元之前，并使变元 之前最多只有一个“¬”词。
（３）利用“∨”对“∧”的分配律，将公式化为 合取范式；
（４）去掉永真的析取项。
例：求(Ｑ∨¬（Ｐ→Ｑ）) ∧ ¬（Ｐ∧Ｑ）的合取范式 原式 (Ｑ∨¬（¬Ｐ∨Ｑ）) ∧ ¬（Ｐ∧Ｑ）
——化去“→”词 (Ｑ∨（Ｐ∧ ¬Ｑ）) ∧ （ ¬Ｐ∨ ¬Ｑ）
如：（Ｐ∧Ｑ∧Ｒ） ∨（¬Ｐ∧Ｑ）∨（Ｐ∧¬Ｑ）是一个析取范 式
求析取范式的方法可按下列三步（或四步）进行：
（１）利用等价公式：化去“→”、“”联结词，把 命题公式变为与其等价的用{¬，∧，∨}表达的公式。
例: Ｐ→Ｑ¬Ｐ∨Ｑ， Ｐ↔ Ｑ（Ｐ→Ｑ） ∧ （Ｑ→Ｐ） （¬Ｐ∨Ｑ）∧（ ¬Ｑ∨Ｐ）
——“¬”深入到变元前，并最多保留一个 （（Ｑ∨Ｐ）∧（Ｑ∨ ¬Ｑ）） ∧ （ ¬Ｐ∨ ¬Ｑ）
——“∨”对“∧”的分配 （Ｑ∨Ｐ） ∧ （ ¬Ｐ∨ ¬Ｑ） ）
——去掉永真的析取项
注：给定一命题公式的合取范式不是唯一的，但同一命题公式的合 取范式一定是等价的。
2．主析取范式
[定义]在ｎ个变元的合取项中，若每个变元及其否 定并不同时存在，且二者之一出现一次且仅出现一 次，则称此合取项为小项。