数学建模 席位分配问题(课堂PPT)
数学建模 名额分配问题
名额公平分配问题问题的提出名额分配问题是西方所谓的民主政治问题，美国宪法在第一条第二条款指出：‘众议院议员名额……将根据各州的人口比例分配。
’美国宪法从1788年生效以来200多年间，关于公平和人力的实现宪法中所规定的分配原则，美国的政治家和科学家们展开了激烈的讨论。
并提出了多种方法，但没有一种方法能够得到普遍的认可。
下面就日常生活中的实际问题，考虑合理的分配方案问题。
设某高校有5个系共2500名学生，各系学生人数见表格。
现有25个学生代表名额，赢如何分配较为合理。
5个系的学生人数系别一二三四五总和人数11056483622481372500模型假设1、要将名额尽可能的公平的分配，首先考虑的是公平量化，所谓公平，就是学生代表的名额占有率都相等，这样，基于名额占有率相等的分配的方案就是最公平的，在名额占有率不相等时，应要求差距尽可能的小，才能使分配方案更加公平。
2、在计算各个系别的名额分配占有量，这样就确定了公平的分配方案。
3、通常计算的名额占有量是小数，而名额只能整数的分配，这就需要将小数变成整数，解决小数变整数的问题通常采用四舍五入法。
名额占有率=总名额数÷总人数名额占有量=名额占有率×学生数模型建立模型一名额占有率分配=1%，即每一百人才有一个名额。
根据名额占有率可以算出全校名额占有率=252500分配：系别一二三四五总和人数11056483622481372500名额数11.05 6.48 3.62 2.48 1.3725取整11642124显然看出，这种方法出现了缺陷，分的总名额数多出一个，而这一个又无法可分，无论是四舍五入法，还是直接取整，分给二，四其中一个必定对另一个不公平。
所以需要改进。
模型二Hamilton 方法1790年，美国乔治·华盛顿时代的财政部长亚历山大·哈密尔顿（Hamilton）提出了一种解决名额分配的办法，并于1792年被美国国会通过。
数学建模---席位分配
材料1202 包阳201298306席位分配问题问题：甲乙两个部门分别有人数a1，a2。
现有代表的名额数为N，如何分配代表人数才能维持相对公平？解决：在公平的条件下，让甲乙各分配n1，n2个代表，然后采取相对不公平度（(a1/n1-a2/n2)/(a2/n2)）指导分配，采用递推法，即对哪个部门不公平，则下一个名额就相应分配给这个部门。
编写程序如下：#include<stdio.h>int main (){double a1,a2;int N,n1,n2;printf("请输入甲乙两个部门的人数a1,a2：\n");scanf("%lf%lf",&a1,&a2);printf("请输入代表总数及甲乙两部门在公平的情况下已经分得的代表人数N,n1,n2：\n");scanf("%d%d%d",&N,&n1,&n2);L1:if ((a1/n1-a2/n2)/(a2/n2)>=0){if (n1+n2<N){n1++; goto L1;}elsegoto L2;}else if((a1/n1-a2/n2)/(a2/n2)<0){if (n1+n2<N){n2++;goto L1;}elsegoto L2;}L2:printf("甲部门分得n1=%d\n乙部门分得n2=%d\n",n1,n2);return 0;}可以通过在程序中输入两部门人数，以及代表名额数，获得相对公平的分配方案。
运行如下：。
数学模型 数学论文指导 初等模型分配问题
❖ 问题一：公平的席位分配问题 ❖ 公平的席位分配是人类社会中相当普遍的一
类权益分配问题，这个问题来源于美国众议 院议员在各州的名额分配问题。
A
1
席位分配问题
某校有200名学生，甲系100名，乙系60名，
丙系40名，若学生代表会议设20个席位，问三系各
有多少个席位？
1 问题的提出
按惯例分配席位方案，即按人数比例分配原则
mq p N
m 表示某单位的席位数 p 表示某单位的人数
N 表示总人数 q 表示总席位数
20个席位的分配结果
10 6 4 现丙系有6名学生分别转到甲、乙系各3名。
10 6 4
现象1 丙系虽少了6人，但席位仍为4个。（不公平！）
为了在表决提案时可能出现10：10的平局，再设一个席位。 21个席位的分配结果
❖ 公理1显然满足Young公理的公理IV（公平分摊 性），公理2显然满足Young公理的公理I（人口单 调性）和公理III（名额单调性）
A
14
设总人数为n，总席位数为m，第
个部门的人数为
，令
称其为对第
个部门的绝对不公平值。令 称其为对第 个部门的相对不公平值，或称为相对尾数。
A
15
❖ 由于人口数是整数，为使分配公平，需 所有的 ri 越小越好，所以公平的分配方 案应该是最大的 ri 达到最小，亦即所 有的达到最小。
11 7 3 现象2 总席位增加一席，丙系反而减少一席。（不公平！） 惯例分配方法：按比例分配完取整数的名额后，剩下的名额 按惯例分给小数部分较大者。
存在不公平现象，能否给出更公平的分配席位的方案？
2 建模分析 目标：建立公平的分配方案。
反映公平分配的数量指标可用每席位代表的人数来衡量。
数学建模席位分配问题[完美版]PPT
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若A、B两方已占有席位数为 n1, n2 ,
记
Qi
pi2 ni(ni 1)
i1,2
则增加的一个席位应分配给Q值较大的一方。
这样的分配席位的方法称为Q值法。
4 推广 有m方分配席位的情况
设 A i 方人数为 p i ，已占有 n 个i 席位，i1,2,,m
当总席位增加1席时，计算 Qi ni(npii21) i1,2,,m 则1席应分给Q值最大的一方。
表示每个席位代表的人数，总人数一定时， 此值越大，代表的人数就越多，分配的席位 就越少。
则A吃亏,或对A是不公平的。
定义“相对不公平度”
若
p1 n1
p2 n2
，则称rA(n1,n2)p1
n1p2 p1 n1
n2
对A的相对不公平值；
若
p1 n1
p2 ，则称rB(n1,n2)p2
n2
n2p1 p2 n2
从 ni 1 开始，即每方至少应得到1席，
（如果有一方1席也分不到，则把它排除在外。）
10
乙 63 63/200=31.5% 31.5%•20=6.3
6
丙 34 34/200=17.0% 17.0%•20=3.4
4
Halmiton(1790)
现象1
丙系少了6人，但席位仍为4个。(不公平！）
先按整数分配 再按余数较大者
分配
由于在表决提案时可能出现10：10的平局，再设一 个席位。
21个席位的分配结果（Halmiton方法）
计算对A的相对不公平值
r A (n 1 ,n 2 1 ) p 1n 1 p 1 p 2 n 1 (n 2 1 ) 1 p 1 ( p n 2 2 n 11 )
数学建模席位分配
情形2
说明当对A 不公平时，给A 单 位增加1席，对B 又不公平。
计算对B 的相对不公平值
情形3
说明当对A 不公平时，给B 单
位增加1席，对A 不公平。
计算对A 的相对不公平值
则这一席位给A 单位，否则给B 单位。
结论：当（*）成立时，增加的一个席位应分配给A 单位， 反之，应分配给 B 单位。
若A、B两方已占有席位数为
按Q值方法：
甲1 2 2 3 4 … 乙1 1 2 2 2 … 丙1 1 1 1 1 …
甲：11，乙：6，丙：4
练习 学校共1000学生，235人住在A楼，333人住 在B楼，432住在C楼。学生要组织一个10人 委员会，试用惯例分配方法， d’Hondt方法和 Q值方法分配各楼的委员数，并比较结果。
记
则增加的一个席位应分配给Q值 较大的一方。 这样的分配席位的方法称为Q值方法。 4 推广 有m 方分配席位的情况 设 方人数为 ，已占有 个席位， 当总席位增加1 席时，计算
则1 席应分给Q值最大的一方。从
开始，即每方
至少应得到以1 席，（如果有一方1 席也分不到，则把 它排除在外。）
5 举例
甲、乙、丙三系各有人数103，63，34，有21个 席位，如何分配？
丙
40
4
40/4=10
系别 人数 席位数 每席位代表的人数 公平程度
甲 103 10
103/10=10.3
中
乙 63 6
63/6=10.5
差
丙 34 4
34/4=8.5
好
系别 人数 席位数 每席位代表的人数
甲 103 11 103/11=9.36
乙 63 7
63/7=9
数学建模
摘要：席位分配是日常生活中经常遇到的问题，对于企业、公司、、学校政府部门都能解决实际的问题。
席位可以是代表大会、股东会议、公司企业员工大会、等的具体座位。
假设说，有一个学校要召集开一个代表会议，席位只有20个，三个系总共200人，分别是甲系100，乙系60,丙系40.如果你是会议的策划人，你要合理的分配会议厅的20个座位，既要保证每个系部都有人参加，最关键的就是要对个公平都公平，保证三个系部对你所安排的位置没有异议。
那么这个问题就要靠数学建模的方法来解决。
问题的重述：三个系部学生共200名，（甲系100.乙系60，丙系40）代表会议共20席，按比例分配三个系分别为10、6、4席。
老情况变为下列情况怎样分配才是最公平的，现因学生转系三系人数为103.63.34.（1）问20席该如何分配。
（2）若增加21席又如何分配。
问题的分析：一、通常分配结果的公平与否以每个代表席位所代表的人数相等或接近来衡量。
目前沿用的惯例分配方法为按比例分配方法，即：某单位席位分配数= 某单位总人数比例 总席位如果按上述公式参与分配的一些单位席位分配数出现小数,则先按席位分配数的整数分配席位,余下席位按所有参与席位分配单位中小数的大小依次分配之。
这样最初学生人数及学生代表席位为系名甲乙丙总数学生数100 60 40 200学生人数比例100/200 60/200 40/200席位分配10 6 4 20学生转系情况，各系学生人数及学生代表席位变为系名 甲 乙 丙 总数 学生数 103 63 34 200 学生人数比例 103/200 63/200 34/200按比例分配席位 10.3 6.3 3.4 20 按惯例席位分配 10 6 4 20 （1）20席应该甲系10席、乙系6席,丙系4席这样分配二、学院决定再增加一个代表席位，总代表席位变为21个。
重新按惯例分配席位,有系名 甲 乙 丙 总数 学生数 103 63 34 200 学生人数比例 103/200 63/200 34/200按比例分配席位 10.815 6.615 3.57 21 按惯例席位分配 11 7 3 21 这个分配结果出现增加一席后，丙系比增加席位前少一席的情况，这使人觉得席位分配明显不公平。
数学建模“如何进行人员分配”问题
数学建模竞赛试题B题：如何进行人员分配“A公司”是一家从事建筑工程的公司，现有41个专业技术人员，其结构和相应的工资水平分布如表1所示：表1 人员结构及工资情况目前，公司承接4个工程项目，其中2项是现场施工，分别在A地和B地，主要工作在现场完成；另外2项是工程设计，分别在C地和D地，主要工作在办公室完成。
由于4个项目来源于不同客户，并且工作的难易程度不同，因此，各项目的合同对有关技术人员的收费标准不同，具体情况如表2：表2 不同项目和各种人员的收费标准为了保证工程质量，各项目中必须保证专业人员结构符合客户的要求，具体情况如表3所示：表3 各项目对专业技术人员结构的要求说明：（1）项目D，由于技术要求较高，人员配备必须是助理工程师以上，技术员不能参加；（2）高级工程师相对稀少，而且是保证质量的关键，因此，各项目客户对高级工程师的配备要求不能少于一定数目的限制。
各项目对其他专业人员也有不同的限制或要求；（3）各项目客户对总人数都有限制；（4）由于C，D两项目是在办公室完成，所以每人每天有50元的管理费开支；由于收费是按人工计算的，而且4个项目总共同时最多需要的人数是10+16+11+18=55，多于公司现有人数41，应如何合理地分配现有的人员力量，使公司每天的直接受益最大？题目如何进行人员分配目录一、问题重述二、问题分析三、问题假设四、模型建立五、模型求解六、结果分析七、模型评价八、模型改进一、问题重述企业的人力资源管理是一门科学，而人力资源管理最主要的任务是如何把企业现有的人力资源安排到合适的工作岗位，以使企业能够获得更高的经济效益。
尤其是在人力资源稀缺的情况下，合理的安排各人员的任务更是显得至关重要。
接下来我们将要解决的就是一个企业人员分配的问题。
在这个问题中，A建筑工程公司有高级工程师、工程师、助理工程师、技术员等四种不同级别的工作人员，并且公司同时承接了A、B、C、D四个不同的工程项目。
公司不同级别的技术人员的工资是固定不变的，各级别技术人员的数量也是一定的，为了保证工程质量，各项目中必须保证专业人员结构符合客户的要求，在各项目的收费标准也是一定的情况下，合理的安排现有的技术人员的任务，将使公司获得一个最大的利润。
数学建模 席位分配问题共21页文档
数学建模 席位分配问题
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
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19
从 ni 1 开始，即每方至少应得到1席，
（如果有一方1席也分不到，则把它排除在外。）
12
5 举例
甲、乙、丙三系各有人数103，63，34，有21个
席按位Q，值如法何：分配Q？i ni(npii21) i1,2,3
n11,n21,n31
103 2 Q 1 1 (1 1 ) 5304.5,
103 2 Q 1 2 ( 2 1 ) 1 768 . 2
甲：11，乙：6，丙：4 14
模型分析
►存在公平的分配方法么？
1）比例加惯例法（H法）——悖论 2）Q值法——存在不合理 3）其它方法：D’hondt方法 理想化原则——不存在完全“合理”的分配 方法
15
练习
系 人数Pi 比例分配 A 9215 92.15 B 159 1.59
C 158 1.58 D 157 1.57 E 156 1.56 F 155 1.55 总和 10000 100
r B (n 1 1 ,n 2 ) r A (n 1 ,n 2 1 ),
p1n2 p2n1
p2(n11) p1(n2 1)
p2
p2
2
1
n2(n21) n1(n11)
(*)
结论：当（*）成立时，增加的一个席位应分配给A
单位，反之，应分配给B单位。
10
若A、B两方已占有席位数为 n1, n2 ,
记
Qi
63 2 Q 2 1 (1 1 ) 1 984 . 5 ,
63 2 Q 2 1 (1 1 ) 1 984 . 5 ,
34 2 Q 3 1 (1 1 ) 5 78
34 2
Q 3 1 (1 1 ) 5 78
13
103 2
Q1
1 768 2(2 1)
.2
63 2
Q2
661 2(2 1)
计算对A的相对不公平值
r A (n 1 ,n 2 1 ) p 1n 1 p 1 p 2 n 1 (n 2 1 ) 1 p 1 ( p n 2 2 n 11 )9
若 r B (n 1 1 ,n 2 ) rA (n 1 ,n 2 1 )则,这一席位给A单位，否则给B单位。
rB(n11,n2)1p2(pn11n 21) rA(n1,n21)1p1(pn22n 11)
.5
34 2 Q 3 1 (1 1 ) 5 78
103 2
Q1
888 3(3 1)
.4
63 2
Q2
661 2(2 1)
.5
34 2 Q 3 1 (1 1 ) 5 78
甲 1 4 6 7 10 11 13 16 17 19 20 乙 1 5 8 12 14 18 丙 1 9 15 21
pi2 ni(ni 1)
i1,2
则增加的一个席位应分配给Q值较大的一方。
这样的分配席位的方法称为Q值法。
11
4 推广 有m方分配席位的情况
设 A i 方人数为 p i ，已占有 n 个i 席位，i1 ,2,,m
当总席位增加1席时，计算 Qi ni(npii21) i1,2,,m 则1席应分给Q值最大的一方。
20个席位的分配结果
系别 人数 所占比例
分配方案
甲 100 100/200 (50/100)•20=10
乙
60
60/200 (30/100)•20=6
丙
40
40/200 (20/100)•20=4
席位数 10 6 4
现丙系有6名学生分别转到甲、乙系各3名。
系别 人数 所占比例
分配方案
席位数
甲 103 103/200=51.5% 51.5 %•20 =10.3
参照惯例分配 92 2
Q值法 92 2
2
2
2
2
1
1
1
1
100
10016d’Hond Nhomakorabea方法有k个单位，每单位的人数为 pi ，总席位数为n。 做法：
用自然数1,2,3,…分别除以每单位的人数， 从所得的数中由大到小取前 n 个，（这 n 个数来自各个单位人数用自然数相除 的结果），这n 个数中哪个单位有几个 所分席位就为几个。
17
/1 /2 /3 /4 /5 /6 /7 /8 /9 /10
A 103 61.5 34.3 25.75 20.6 17.2 14.7 12.875 11.4 10.3
B 63 31.5 21 15.75 12.6 10.5 9
C 34 17 11.3 8.5 6.8
21席 位
18
构造分析方法建模
惯例分配方法（Halmiton方法） ：按比例分配完取整数 的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。
存在不公平现象（Alabama悖论），能否给出更公平
的分配席位的方案？
3
2 建模分析
目标：建立公平的分配方案。
反映公平分配的数量指标可用每席位代表的人数来衡量。
系别 人数 席位数 每席位代表的人数
表示每个席位代表的人数，总人数一定时， 此值越大，代表的人数就越多，分配的席位 就越少。
则A吃亏,或对A是不公平的。
定义“相对不公平度”
若
p1 n1
p2 n2
，则称rA(n1,n2)p1
n1p2 p1 n1
n2
对A的相对不公平值；
若
p1 n1
p2 ，则称rB(n1,n2)p2
n2
n2p1 p2 n2
系别 人数 所占比例
分配方案
甲 103 103/200=51.5% 51.5 %•21 =10.815
乙 63 63/200=31.5% 31.5%•21=6.615
丙 34 34/200=17.0% 17.0%•21=3.570
席位数
11 7 3
现象2 总席位增加一席，丙系反而减少一席。（不公平！）
席位数
A p1 n1
B p2 n2
每席位代表的人 数
103/11=9.36 63/7=9
34/3=11.33
每席位代表的人
p1 数 n1
p2 n2
公平程度
中 好 差
当
p1 p2 n1 n2
席位分配公平
5
但通常不一定相等，席位分配的不公平程度用以 下标准来判断。
1) p1 p2 称为“绝对不公平准 ”。 标
10
乙 63 63/200=31.5% 31.5%•20=6.3
6
丙 34 34/200=17.0% 17.0%•20=3.4
4
Halmiton(1790)
现象1
丙系少了6人，但席位仍为4个。(不公平！）
先按整数分配 再按余数较大2者
分配
由于在表决提案时可能出现10：10的平局，再设一 个席位。
21个席位的分配结果（Halmiton方法）
n1
对B的相对不公平值；
7
3 模型构成
建立了衡量分配不公平程度的数量指标 rA , rB
制定席位分配方案的原则是使它们的尽可能的小。
若A、B两方已占有席位数 n1, n2 ,
为
用相对不公平值讨论当席位增加1个时， 应该给A还是B方。
不失一般性，若 p1 p2 ， 有下面三种情形。 n1 n2
8
情形1 情形2
n1 n2
此值越小分配越趋于公平，但这并不是一个好的衡量标准。
单位 人数p 席位数n 每席位代 绝对不公 表的人数 平标准
A
120 10
12
12-10=2
B
100 10
10
C
1020 10
102
102-100=2
D
1000 10
100
C,D的不公平程度大为改善！
6
2） 相对不公平
p n p1 p2 n1 n2
情形3
p1 p2 ， n1 1 n2
说明即使给A单位增加1席，仍对A 不公平，所增这一席必须给A单位。
p1 p2 ， n1 1 n2
说明当对A不公平时，给A单 位增加1席，对B又不公平。
计算对B的相对不公平值
r B (n 1 1 ,n 2 ) p 2n 2 p 2 p 1 n 2 (n 1 1 ) 1 p 2 ( p n 1 1 n 21 ) p1 p2 ， 说明当对A不公平时，给B单 n1 n2 1 位增加1席，对A不公平。
甲
100
10
100/10=10
乙
60
6
60/6=10
丙
40
4
40/4=10
系别 人数 席位数 每席位代表的人数 公平程度
甲 103 10
103/10=10.3
中
乙 63 6
63/6=10.5
差
丙 34 4
34/4=8.5
好
4
系别 人数 席位数
甲 103 乙 63 丙 34
一般地，
单位 人数
11 7 3
2.3 公平的席位分配
1 问题的提出（美国宪法 1788）
某校有200名学生，甲系100名，乙系60 名，丙系40名，若学生代表会议设20个席位， 问三系各有多少个席位？
按惯例分配席位方案，即按人数比例分配原则
m 表示某单位的席位数
mq p N
p 表示某单位的人数 N 表示总人数
q 表示总席位数 1