高中数学经典解题技巧和方法：三角变换与解三角形.
三角恒等变换与解题技巧
三角恒等变换与解题技巧三角函数是数学中重要的一部分，与几何、物理等学科密切相关。
在解三角函数的问题时，常常需要运用恒等变换来简化计算或将复杂的式子转化为简单的形式。
恒等变换是指在等式两边同时做相同的运算而不改变等式的值。
掌握常用的三角恒等变换并灵活运用是解题的关键。
本文将介绍一些常用的三角恒等变换，并分享一些解题技巧。
一、正弦、余弦、正切的恒等变换1. 余切的逆关系根据余切的定义，我们知道cot(A)等于tan(A)的倒数，即cot(A) = 1 / tan(A)。
这是一个重要的恒等变换，在简化复杂式子、证明等题目中经常会用到。
2. 三角函数的平方和恒等式sin^2(A) + cos^2(A) = 1这是三角函数最基本的恒等式之一，也是勾股定理的三角形形式。
该恒等式可以用来将一个三角函数转化为其他三角函数的形式。
3. 正切的平方和恒等式1 + tan^2(A) = sec^2(A)这是正切函数的平方和恒等式，也是解析几何中的一条重要公式。
运用该恒等式可以将一个正切函数的式子转化为其他三角函数的式子。
4. 余切的平方和恒等式1 + cot^2(A) = csc^2(A)这是余切函数的平方和恒等式，与正切的平方和恒等式相对应。
在解题时运用该恒等式可以将一个余切函数的式子转化为其他三角函数的式子。
二、两角和与差的恒等变换1. 正弦的两角和与差sin(A ± B) = sin(A)cos(B) ± cos(A)sin(B)这是正弦函数的两角和与差公式，可以通过将两个三角函数用另外两个三角函数来表示。
在解题时，可以通过将复杂的三角函数式子转化为正弦函数的形式来简化计算。
2. 余弦的两角和与差cos(A ± B) = cos(A)cos(B) ∓ sin(A)sin(B)这是余弦函数的两角和与差公式，与正弦的两角和与差公式相似。
在解题时，也可以通过转化为余弦函数的形式来简化计算。
高中数学中的三角函数与解三角形方法
高中数学中的三角函数与解三角形方法在高中数学学习中，三角函数和解三角形方法是重要的内容之一。
本文将介绍三角函数的概念和常见的解三角形方法，以帮助同学们更好地掌握这些知识点。
一、三角函数的概念1. 正弦函数（sin）：正弦函数是一个周期函数，表示直角三角形中对边与斜边的比值。
用sin表示，公式为sinθ=对边/斜边。
2. 余弦函数（cos）：余弦函数也是一个周期函数，表示直角三角形中邻边与斜边的比值。
用cos表示，公式为cosθ=邻边/斜边。
3. 正切函数（tan）：正切函数用来表示直角三角形中对边与邻边的比值。
用tan表示，公式为tanθ=对边/邻边。
4. 正割函数（sec）、余割函数（csc）和余切函数（cot）是对应于正弦函数、余弦函数和正切函数的倒数函数。
二、常见的解三角形方法解三角形是指已知某些角度或边长，求解其余角度或边长的过程。
在高中数学中，常见的解三角形方法有以下几种。
1. 三角形的两边和夹角法（SAS法）：已知三角形的两条边和它们之间的夹角，可以利用余弦定理来求解第三边和其余角。
2. 三角形的两角和边法（ASA法）：已知三角形的两个角和它们之间的一条边，可以利用正弦定理和余弦定理求解其余边长和第三个角度。
3. 三角形的两边和一个对应角法（SSA法）：已知三角形的两条边和一个对应的角度，可以利用正弦定理来求解第三边和另外两个角度。
但要注意，SSA法可能有多解或无解的情况，需要根据具体情况进行讨论。
4. 直角三角形的特殊情况：如果已知三角形是直角三角形，可以直接根据已知边长关系来求解其余边长和角度。
在解三角形时，可以通过使用辅助线、引入辅助角等方法来简化问题，提高解题效率。
三、示例题以一个具体的示例来说明三角函数和解三角形方法的应用。
例题：已知直角三角形的一条直角边长为6cm，另一条直角边长为8cm，求解其余角度和斜边长。
解题过程：1. 根据已知条件，我们可以得知一个直角角度为90度，两条直角边的长度分别为6cm和8cm。
高中数学中的三角恒等变换利用恒等变换简化复杂三角式子的技巧
高中数学中的三角恒等变换利用恒等变换简化复杂三角式子的技巧在高中数学中，三角函数是一个非常重要的概念。
通过恒等变换，我们可以简化复杂的三角式子，使其更易于计算和理解。
本文将介绍一些常用的三角恒等变换以及利用恒等变换简化复杂三角式子的技巧。
一、基本恒等变换1. 正弦函数的基本恒等变换正弦函数的基本恒等变换包括：sin²θ + cos²θ = 1sin(90° - θ) = cosθsin(-θ) = -sinθsin(180° - θ) = sinθ2. 余弦函数的基本恒等变换余弦函数的基本恒等变换包括：cos²θ + sin²θ = 1cos(90° - θ) = sinθcos(-θ) = cosθcos(180° - θ) = -cosθ3. 正切函数的基本恒等变换正切函数的基本恒等变换包括：tanθ = sinθ/cosθtan(-θ) = -tanθtan(π/2 - θ) = 1/tanθtan(π + θ) = tanθ二、常用恒等变换1. 二倍角恒等变换二倍角恒等变换可以将一个角的正弦、余弦、正切函数转化为两倍角的正弦、余弦、正切函数。
常用的二倍角恒等变换包括：sin2θ = 2sinθcosθcos2θ = cos²θ - sin²θtan2θ = 2tanθ/1 - tan²θ2. 和差角恒等变换和差角恒等变换可以将两个角的正弦、余弦、正切函数转化为一个角的正弦、余弦、正切函数。
常用的和差角恒等变换包括：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinBcos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinBtan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB)三、利用恒等变换简化复杂三角式子的技巧1. 利用二倍角恒等变换当我们遇到一个三角函数中带有角度为θ的复杂式子时，可以尝试使用二倍角恒等变换将其转化为两倍角的三角函数。
2023年高考数学解题技巧及规范答题：三角函数大题
202 年高考数学解题技巧及规范答题三角函数大题【规律方法】1、正弦定理、余弦定理：正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分基本量的情况下求解其余基本量，基本思想是方程思想.正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系.正弦定理、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，其解题方法主要有： （1）化边为角：通过正弦定理和余弦定理，化边为角，如：，等，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．此时要注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如：，或等．（2）化角为边：利用正弦定理、余弦定理化角为边，如，等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断．注意：（1）注意无论是化边还是化角，在化简过程中出现公因式不要约掉，否则会有漏掉一种形状的可能．（2）在变形过程中要注意角A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响．2、三角恒等变换综合应用的解题思路(1)将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式；(2)构造；(3)和角公式逆用，得(其中φ为辅助角)；(4)利用研究三角函数的性质；2sin a R A =2222cos a b c ab C +-=sin sin A B A B =⇔=sin 2sin 2A B A B =⇔=2A B π+=sin 2a A R =222cos 2b c a A bc+-=())f x x x =+())f x x ϕ=+())f x x ϕ=+3(5)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．【核心素养】以三角形为载体，以正弦定理、余弦定理为工具，以三角恒等变换为手段考查解三角形问题是高考一类热点题型，考查的核心素养主要有“逻辑推理”、“数学运算”、“数据分析”．【典例】【2020年全国II 卷】中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C.（1）求A ；（2）若BC =3，求周长的最大值.【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出的形式，进而求得；（2）利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，进而得到结果.【详解】（1）由正弦定理可得：，，，. （2）由余弦定理得：，即.ABC ABC cos A A ()29AC AB AC AB +-⋅=AC AB +222BC AC AB AC AB --=⋅2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅()0,A π∈ 23A π∴=222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB =+-⋅=++⋅=()29AC AB AC AB +-⋅=第二步，用定理、公式、性质：利用正弦定理、余弦定理、二倍角公式、辅助角公式等进行三角形中边角（当且仅当时取等号），，解得：（当且仅当时取等号），周长，周长的最大值为【解题方法与步骤】1、解三角形问题的技巧：（1）解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． ①应用正弦定理求角时容易出现增解或漏解的错误，要根据条件和三角形的限制条件合理取舍；②求角时易忽略角的范围而导致错误，因此需要根据大边对大角，大角对大边的规则，画图进行判断．(2)三角形解个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角规则进行判断．2、三角恒等变换要遵循的“三看”原则:一看“角”：通过看角之间的差别与联系，把角进行合理拆分，从而正确使用公式; 二看“函数名称”：看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”;三看“结构特征”：分析结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配方”等.3、解三角形与三角函数综合问题一般步骤：第一步，转化：正确分析题意，提炼相关等式，利用等式的边角关系合理将问题转化为三角函数的问题； 22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭AC AB =()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭AC AB +≤AC AB =ABC ∴ 3L AC AB BC =++≤+ABC ∴ 3+的的关系的互化；第三步，得结论：利用三角函数诱导公式、三角形内角和定理等知识求函数解析式、角、三角函数值，或讨论三角函数的基本性质等.【好题演练】1.（2021·河南中原高三模拟）在中，，，所对的角分别为，，，已知. （1）求；（2）若，为的中点；且，求的面积.【分析】（1）根据题意，由正弦定理得出，再由两角和的正弦公式化简得，由于，从而可求得，最后根据同角三角函数的平方关系，即可求出；（2）法1：在中由余弦定理得出，再分别在和中，由余弦定理得出和，再由，整理ABC a b c A B C 3cos 3a b A c +=sin B 3a =D AC BD =ABC sin 3sin cos3sin A B A C +=sin 3sin cos A A B =sin 0A >1cos 3B =sin B ABC 221936c b c+-=ABD △BCD △2cos ADB ∠=2cos CDB ∠=cos ADB cos DB 0∠+∠=C化简的出边，最后根据三角形的面积公式，即可求出结果. 法2：由平面向量的加法运算法则得出，两边平方并利用平面向量的数量积运算化简得，从而可求出边，最后根据三角形的面积公式，即可求出结果.【详解】（1）因为，由正弦定理得， 因为， 所以，因为，所以，所以，因为，所以（2）法1：在中，由余弦定理得，即， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得因为，c 1sin2ABC S ac B =△12BD BA BC →→→⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()213294c c =++c 1sin 2ABC S ac B =△3cos 3a b A c +=sin 3sin cos 3sin A B A C +=()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+sin 3sin cos A A B =()0,A π∈sin 0A >1cos 3B =()0,B π∈sin B ===ABC 222cos 2a c b B ac +-=221936c b c+-=ABD △2cos ADB ∠=BCD △2cos CDB ∠=πADB CDB ∠+∠=220=即，所以， 整理得，解得：或（舍去）， 所以. 法2：因为为的中点，所以，两边平方得，即，即，解得或（舍）， 所以. 2.记中内角，，的对边分别为，，.已知. （1）求；（2）点，位于直线异侧，，.求的最大值.【分析】（1，利用正弦定理化边为角结合利用两角和的正弦公式展开整理可求得的值，即可得角； （2）结合（1化角为边可得，即，在中由余弦定理求，利用三角恒等式变换以及三角函数的性质可得最大值.2262b c =+()222296219366c c c b c c+-++-==2230c +c -=1c =3c =-11sin 3122ABC S ac B ==⨯⨯=△D AC 12BD BA BC →→→⎛⎫=+ ⎪⎝⎭222124B BD B BA C BC A →→→→→⎛⎫=+⋅+ ⎪⎝⎭()213294c c =++2230c +c -=1c =3c =-11sin 3122ABC S ac B ==⨯⨯=△ABC A B C a b c a =3cos sin B b A =+A A D BC BD BC ⊥1BD =AD cos sin B b A =+sin sin()C A B =+tan A A cos sin sin C A B B A =+cos sin B a B =+sin c B B =ABD △2AD（1）求 A ；【详解】（1，.. 因为，，所以，，，又因为， 可得：，所以； （2）由（1，， 即，由余弦定理得，所以当且仅当时，取得最大值，所以.3.在中，内角的对边分别为，且满足. 3cos sin B b A =+a =cos sin B b A =+cos sin sin C A B B A =+πA B C ++=,,(0,π)A B C ∈sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+cos s cos sin s i in n A B A B A B B A +=+sin sin sin A B B A =sin 0B ≠sin A A =tan A =0πA <<π3A =cos sin sin C AB B A =+cos sin B a B =+cos sin c a B B B =+=+2222cos AD c BD c BD ABD =+-⋅∠()()()2sin 12sin sin B B B B B =+--222sin 3cos 212sin 2B B B B B =+++++42B =+π4B =2AD )241+=+AD 1+ABC 、、A B C ,,a b c 2sin cos b A B ()2sin c b B =-（2）若l 的取值范围.【分析】（1）由正弦定理得，化简得， 利用的范围可得答案；（2）由正弦定理得，利用的范围和三角函数的性质可得答案.【详解】（1）由正弦定理得， 因为，所以， 所以，即，解得，因为，所以.（2）由正弦定理得， 所以，所以，因为，所以， a =()2sin sin cos 2sin sin sin B A B CB B =-1cos2A =A 4sin ,4sin bB cC ==()4sin sin l B C =++B ()2sin sin cos 2sin sin sin BA B C B B=-0B π<<sin 0B ≠2sincos 2sin sin A BC B =-2sin cos 2sin cos 2sin cos sin A B A B B A B =+-1cos 2A =0A π<<3A π=4sin sin sin a b cAB C===4sin ,4sin b B c C ==()24sin sin sin sin 3l B C B B π⎡⎤⎛⎫=+++-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦314sin cos 22B B B B ⎛⎫⎫=+++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭6B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭5,666B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭所以， 所以.4.（2021·天津高考）在，角所对的边分别为，已知． （I ）求a 的值；（II ）求的值；（III ）求的值．【分析】（I ）由正弦定理可得（II ）由余弦定理即可计算；（III ）利用二倍角公式求出的正弦值和余弦值，再由两角差的正弦公式即可求出.【详解】（I ）因为，由正弦定理可得，；（II ）由余弦定理可得； （III ），， ，， 所以. 1sin ,162B π⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦(l ∈ABC ,,A B C ,,a bc sin:sin :sin 2A B C =b =cos C sin 26C π⎛⎫- ⎪⎝⎭::2a b c =2C sin :sin :sin 2A B C =::2:1:ab c=b =2a c ∴==2223cos 24a b c C ab +-===3cos 4C =sin C ∴==3sin 22sin cos 24C C C ∴===291cos 22cos 121168C C =-=⨯-=sin 2sin 2cos cos 2sin 666C C C πππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭1182=⨯=5.（2021·南京市中华中学）在中，分别为内角的对边，且满足． （1）求的大小；（2）从①，②，③这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中，并解决问题．问题：已知___________，___________，若存在，求的面积，若不存在，请说明理由．注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分．【分析】（1）由正弦定理进行边角互化，再结合辅助角公式化简运算，可求出角的范围.（2）若选择条件①②，由余弦定理可计算的值，面积公式计算面积；若选择条件②③，正弦定理计算边，两角和的正弦计算，可求面积；若选择条件①③，由大边对大角可知三角形不存在. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得因为即因为所以因为即ABC ,,a b c ,,A B C b a =B 2a c =2b =4A π=ABC ABC ABC a c 、a sin C b a =sin sin B A =sin 0A ≠cos 1B B -=1sin()62B π-=0B π<<5666B πππ-<-<66B ππ-==3B π第 11 页 共 11 页（2）若选择条件①②，由余弦定理可得，解得， 故所以若选择条件②③由正弦定理可得，可得所以若选择条件①③这样的三角形不存在，理由如下： 在三角形中，， 所以， 所以，所以又因为所以与矛盾，所以这样的三角形不存在.2222cos b a c ac B=+-222442c c c +-=c =a =11sin sin 223ABC S ac B π=== sin sin a b A B =sin sin b A a B ==11sin 2sin 2234ABC S ab C ππ⎛⎫==⨯+= ⎪⎝⎭ ABC 43A B ππ==，53412C ππππ=--=A C <a c <2a c=a c >a c <。
高中数学重难点归纳：解三角形常考题型有三种类型.doc
高中数学重难点归纳：解三角形常考题型有
三种类型
题型一：三角变换与解三角形的综合问题方法归纳：
（1）解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的，其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向。
第二步：定工具，即根据条件与所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化。
第三边：求结果（2）三角变换与解三角形的综合问题要关注三角形中的隐藏条件，如A+B+C=π，sin（A+B）=sinC，cos（A+B）=-cosC，以及在△ABC中，A＞B→sanA＞sinB等。
题型二：解三角形与平面向量结合解三角形与平面向量综合问题的一般思路
（1）求三角函数值，一般利用向量的相关运算把向量关系转化为三角函数关系。
利用同角三角函数关系式及三角函数中常用公式求解
（2）求角时通常由向量转化为三角函数问题，先求值再求角。
（3）解决与向量有关的三角函数问题的思想方法是转化与化归的数学思想，即通过向量的相关运算把问题转化为三角函数问题。
题型三：以平面图形为背景的解三角形问题以平面图形为背景的解三角形问题的一般思路
（1）建联系：在平面几何图形中求相关的几何量时，需寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，通过公共条件形成等式，常常将所涉及的已知几何量与所求几何集中在某一个三角形。
（2）用定理：①“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采取正弦定理②“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采取余弦定理。
高中数学三角函数与解三角形的方法
高中数学三角函数与解三角形的方法三角函数是高中数学中重要的一部分内容，它与解三角形的方法密切相关。
在本文中，我们将探讨三角函数的基本概念和性质，并介绍解三角形的常用方法。
一、三角函数的基本概念和性质1. 正弦函数和余弦函数在一个直角三角形中，假设某一锐角的对边长度为a，邻边长度为b，斜边长度为c。
则该锐角的正弦和余弦分别定义为：sinθ = a / ccosθ = b / c其中，θ表示锐角的度数。
2. 正切函数和余切函数正切和余切是两个常用的三角函数。
它们定义如下：tanθ = a / bcotθ = b / a3. 三角函数的周期性和奇偶性正弦函数和余弦函数的周期都是2π，即sin(x+2π) = sinx，cos(x+2π) = cosx。
而正切函数和余切函数的周期是π，即tan(x+π) = tanx，cot(x+π) = cotx。
此外，正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sinx；余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cosx。
而正切函数和余切函数既不是偶函数也不是奇函数。
二、解三角形的方法1. 已知两边和夹角解三角形的常用方法之一是利用已知两边和夹角的关系。
根据三角函数的定义，可以得到以下公式：a / sinA =b / sinB =c / sinC其中，a、b、c分别表示三角形的三条边长，A、B、C分别表示对应的内角度数。
2. 利用余弦定理当已知三角形的两条边和夹角时，可以利用余弦定理来求解第三条边的长度。
余弦定理的公式如下：c² = a² + b² - 2abcosC3. 利用正弦定理当已知三角形的两条边和夹角时，可以利用正弦定理来求解第三条边的长度。
正弦定理的公式如下：a / sinA =b / sinB =c / sinC三、实例分析现假设有一个三角形，已知两边长分别为3和4，夹角为60°，我们将运用前面讲到的解三角形的方法来求解该三角形的其他属性。
数学解答题技巧
高考数学解答题技巧1、三角变换与三角函数的性质问题解题方法：①不同角化同角;②降幂扩角;③化f(x)=Asin(ωx+φ)+h ;④结合性质求解。
答题步骤：①化简：三角函数式的化简，一般化成y=Asin(ωx+φ)+h的形式，即化为“一角、一次、一函数”的形式。
②整体代换：将ωx+φ看作一个整体，利用y=sin x，y=cos x的性质确定条件。
③求解：利用ωx+φ的范围求条件解得函数y=Asin(ωx+φ)+h的性质，写出结果。
2、解三角形问题解题方法：(1) ①化简变形;②用余弦定理转化为边的关系;③变形证明。
(2) ①用余弦定理表示角;②用基本不等式求范围;③确定角的取值范围。
答题步骤：①定条件：即确定三角形中的已知和所求，在图形中标注出来，然后确定转化的方向。
②定工具：即根据条件和所求，合理选择转化的工具，实施边角之间的互化。
③求结果。
3、数列的通项、求和问题解题方法：①先求某一项，或者找到数列的关系式;②求通项公式;③求数列和通式。
答题步骤：①找递推：根据已知条件确定数列相邻两项之间的关系，即找数列的递推公式。
②求通项：根据数列递推公式转化为等差或等比数列求通项公式，或利用累加法或累乘法求通项公式。
③定方法：根据数列表达式的结构特征确定求和方法(如公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法等)。
④写步骤：规范写出求和步骤。
4、离散型随机变量的均值与方差解题思路：(1)①标记事件;②对事件分解;③计算概率。
(2)①确定ξ取值;②计算概率;③得分布列;④求数学期望。
答题步骤：①定元：根据已知条件确定离散型随机变量的取值。
②定性：明确每个随机变量取值所对应的事件。
③定型：确定事件的概率模型和计算公式。
④计算：计算随机变量取每一个值的概率。
⑤列表：列出分布列。
⑥求解：根据均值、方差公式求解其值。
5、圆锥曲线中的范围问题解题思路;①设方程;②解系数;③得结论。
答题步骤：①提关系：从题设条件中提取不等关系式。
三角恒等变换与解三角形
三角恒等变换与解三角形三角恒等变换是解决三角形相关问题中常用的工具。
通过利用三角函数之间的关系，可以在一些情况下简化问题的求解，或者将复杂的三角形相关问题转化为更简单的形式。
本文将介绍一些常见的三角恒等变换，并结合实例说明其在解三角形问题中的应用。
1. 正弦定理正弦定理是三角形中常用的定理之一，用于求解三角形的边或角。
假设有一个三角形ABC，边长分别为a、b、c，对应的内角为A、B、C，正弦定理的数学表达式为：```a/sinA = b/sinB = c/sinC```其中，等式两边都表示边与对应角的正弦值的比例关系。
举例：已知三角形的两边a、b和它们夹角C，求第三边c。
根据正弦定理可得```c/sinC = a/sinA = b/sinB```通过这个等式可以解出c的值，进而求得整个三角形的相关信息。
2. 余弦定理余弦定理也是解决三角形问题时常用的定理之一，可以用于求解三角形的边或角。
假设有一个三角形ABC，边长分别为a、b、c，对应的内角为A、B、C，余弦定理的数学表达式为：```c^2 = a^2 + b^2 - 2*a*b*cosC```其中，等式右侧表示边长和夹角的余弦值的比例关系。
举例：已知三角形的两边a、b和它们的夹角C，求第三边c。
根据余弦定理可得```c^2 = a^2 + b^2 - 2*a*b*cosC```通过解这个方程可以求得c的值。
3. 正切定理正切定理是利用正切函数关系来解决三角形问题的定理，可以用于求解三角形的边或角。
假设有一个三角形ABC，边长分别为a、b，对应的内角为A、B，正切定理的数学表达式为：```tanA = (b*sinA)/(a - b*cosA)```其中，等式右侧表示两个边长度和夹角的正切值的比例关系。
举例：已知三角形的一边a和它的内角A，求另一边b。
根据正切定理可得```tanA = (b*sinA)/(a - b*cosA)```通过这个等式可以解出b的值。
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高中数学经典解题技巧：三角变换与解三角形
一、三角变换及求值
解题技巧： 1．在涉及两角和与差的三角函数公式的应用时，常用到如下变形（1）；
（2）角的变换；
（3）。
2．利用两角和与差的三角函数公式可解决求值求角问题，常见有以下三种类型：
（1）“给角求值”，即在不查表的前提下，通过三角恒等变换求三角函数式的值；
（2）“给值求值”，即给出一些三角函数值，求与之有关的其他三角函数式的值；
（3）“给值求角”，即给出三角函数值，求符合条件的角。
例1：已知向量,且
(Ⅰ求tan A的值；(Ⅱ求函数R的值域
解析：（Ⅰ）由题意得m·n=sinA-2cosA=0,
因为cosA≠0,所以tanA=2.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知tanA=2得
因为x R,所以.当时，f(x有最大值，
当sinx=-1时，f(x有最小值-3
所以所求函数f(x的值域是
二、正、余弦定理的应用
解题技巧：1．在三角形中考查三角函数式变换，是近几年高考的热点，它是在新的载体上进行的三角变换，因此要时刻注意它重要性：一是作为三角形问题，它必然要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解决问题的思路；其二，它毕竟是三角形变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，是使问题获得解决的突破口。
2．在解三角形时，三角形内角的正弦值一定为正，但该角不一定是锐角，也可能为钝角（或直角），这往往造成有两解，应注意分类讨论，但三角形内角的余弦为正，该角一定为锐角，且有惟一解，因此，在解三角形中，若有求角问题，应尽量避免求正弦值。
例2：（2010·辽宁高考理科·Ｔ17）在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C 的对边，且
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）求的最大值.
【命题立意】考查了正弦定理，余弦定理，考查了三角函数的恒等变换，三角函数的最值。
【思路点拨】（I）根据正统定理将已知条件中角的正弦化成边，得到边的关系，再由余弦定理求角
（II）由（I）知角C＝60°-B代入sinB+sinC中，看作关于角B的函数，进而求出最值
【规范解答】（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得
即由余弦定理得故，A=120°
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：
故当B＝30°时，sinB+sinC取得最大值1。
【方法技巧】
(1利用正弦定理，实现角的正弦化为边时只能是用a替换sinA，用b替换sinB,用c替换sinC。
sinA,sinB,sinC的次数要相等，各项要同时替换，反之，用角的正弦替换边时也要这样，不能只替换一部分。
(2以三角形为背景的题目，要注意三角形的内角和定理的使用。
象本例中B+C ＝60°
三、三角函数的实际应用
例3：（2010·江苏高考·Ｔ１7）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=，
∠ADE=。
(1该小组已测得一组、的值，算出了
tan=1.24，tan=1.20，请据此算出H的值；
(2该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度。
若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，-最大？
【命题立意】本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。
【思路点拨】（1）分别利用表示AB、AD、BD，然后利用AD—AB=DB求解；
（2）利用基本不等式求解.
【规范解答】（1），同理：，。
AD—AB=DB，故得，解得：。
因此，算出的电视塔的高度H是124m。
（2）由题设知，得，
，（当且仅当时，取等号）
故当时，最大。
因为，则，由的单调性可知：当时，-最大。
故所求的是m。
例4．（2010·福建高考文科·Ｔ2）计算的结果等于（）
A. B. C. D.
【命题立意】本题考查利用余弦的倍角公式的逆用，即降幂公式，并进行三角的化简求值。
【思路点拨】直接套用倍角公式的逆用公式，即降幂公式即可。
【规范解答】选B，。
【方法技巧】对于三角公式的学习，要注意灵活掌握其变形公式，才能进行灵活的恒等变换。
如倍角公式：，
的逆用公式为“降幂公式”，即为
，，在三角函数的恒等变形中，降幂公式的起着重要的作用。
例5．（2010 海南宁夏高考理科T16）在中，D为边BC上一点，
BD=DC,=120°，AD=2，若的面积为，则= .
【命题立意】本题主要考查了余弦定理及其推论的综合应用.
【思路点拨】利用三角形中的余弦定理极其推论。
列出边与角满足的关系式求解. 【规范解答】设，则，由的面积为可知
，可得，由余弦定理可知
，所以
，所以
由，及
可求得
【答案】60°
【方法技巧】熟练三角形中隐含的角的关系，利用余弦定理或正弦定理找边与角的关系，列出等式求解.
例6．（2010·天津高考理科·Ｔ7）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是
a,b,c，若，，则A= (
（A）（B）（C）（D）
【命题立意】考查三角形的有关性质、正弦定理、余弦定理以及分析问题、解决问题的能力。
【思路点拨】根据正、余弦定理将边角互化。
【规范解答】选A，根据正弦定理及得：
，。
【方法技巧】根据所给边角关系，选择使用正弦定理或余弦定理，将三角形的边转化为角。
例7．（2010·天津高考理科·Ｔ１7）已知函数
（Ⅰ）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若，求的值。
【命题立意】本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦公式、函数
的性质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识，考查基本运算能力。
【思路点拨】化成一个角的三角函数的形式；变角，
【规范解答】（1）由，得
所以函数的最小正周期为
因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又
，所以函数在区间上的最大值为2，最小值为-1
（Ⅱ）由（1）可知又因为，所以
由，得从而
所以。