第09章组合变形题解
第9章 组合变形教学课件
M z M ez FyF
杆件各横截面上的内力均与m-m截面相同，故杆件各横截面均为危险截面。
⑶应力分析 m-m截面上任意一点B(y,z)处的正应力分别为
在轴力作用下
N
FN A
F A
9.2 拉伸（压缩）与弯曲的组合
厂
房
夹
立
具
柱
9.2 拉伸（压缩）与弯曲的组合
现以图示具有两个对称轴的偏心受拉等直杆为例，分析偏心受力构 件的强度计算。
偏心受压构件
9.2 拉伸（压缩）与弯曲的组合
⑴外力分析 根据力的平移定理将作用在杆端A点处的偏心拉力F向截面形 心O点简化，得到轴向拉力F和力偶矩Me，其中Me=Fe。Me可分解为对形心 轴y轴的力偶矩Mey和对形心轴z轴的力偶矩Mez，其中Mey=FzF，Mez=FyF 。
⑷强度计算 杆件危险点处为单向应力状态，对于抗拉、抗压能力相同的材 料，其强度条件为
max
FN A
M max Wz
9.2 拉伸（压缩）与弯曲的组合
【例9.1】三角形托架如图所示，横梁AB采 用16号工字钢。已知作用在B点的集中荷 载F=10kN，材料的许用应力[σ]=90MPa， 试校核AB梁的强度。
第9章 组合变形
9.1 组合变形的概念 9.2 拉伸（压缩）与弯曲的组合 9.3 斜弯曲 9.4 扭转与弯曲的组合
9.1 组合变形的概念
工程实际中的受力杆件所发生的变形，经常是两种或两种以上基本 变形的组合，这种变形称为组合变形。
工程中常见的组合变形有下面三种形式：
①拉伸（压缩）与弯曲的组合
②斜弯曲
【解】： ⑴外力分析
由横梁AB的受力图列出平衡方程 M A 0
FC sin 300 2m F 3m 0
材料力学-组合变形
组合变形
§8-2 两相互垂直平面内的弯曲
z Fz φ Fy y F
x
对载荷进行分解、分组和叠加。 对载荷进行分解、分组和叠加。
一、应力与变形的计算
1. 应力计算
z x Fy y z Fz x 中性轴 σamax σlmax
y
z Fz φ x l My z Mz Fy y F
x
M y = Fz (l x) = F sin φ (l x) M z = Fy (l x) = F cos φ (l x) M y = M sin φ = F (l x) sin φ M z = M cos φ = F (l x) cos φ
x
M z = Fy (l x)
M y = Fz (l x)
FN M y z A M z y A σ= + + A Iz Iy
Fx = bh
-
Fz (l x) × 30
b h / 12
3
+
Fy (l x) × 20
bh 3 / 12
2. 3. 4. 5.
中性轴离开坐标原点， 中性轴离开坐标原点，且与形心主轴斜交 截面上到中性轴距离最大的点， 截面上到中性轴距离最大的点，正应力值最大 多边形截面的最大的正应力均发生在角点， 多边形截面的最大的正应力均发生在角点， 曲线周边截面通过推中性轴平行线， 曲线周边截面通过推中性轴平行线，至截面周边的 方法来确定最大正应力的位置。 方法来确定最大正应力的位置。
压缩+ 压缩+平面弯曲
3)求应力 求应力
FN = 3kN M max = 8kN m
σ t ,max
FN M max ± = σ c,max A W
组合变形例题
F A C b
h
0.5L
L0
d
D L
材料力学
本章结束
A
5 kN
C
B
D
2 kN 5 kN
300 500
2 kN
500
(a)
1.5 kN A m
7 kN
C
1.5 kN m
B
D
5 kN
12 kN
(b)
T
1.5 kN m
如图c、d、e、f 所示
x (c )
1.5 kN A m
7 kN
C
1.5 kN m
B
D
M C (1.5) 2 (2.1) 2 2.58 kNm
M
2.58 kNm 2.48 kNm
因此，得：
x (e)
d 72 mm
(f) x
直径为20mm的圆截面水平直角折杆，受垂直力P=0.2kN，已知［σ］=170MPa 试用第三强度理论确定ａ的许可值。
解：内力图： 危险截面：A
Tmax Pa 0.2a M max 2Pa 0.4a
所以起重机架的最大起重量取决于杆AC的强度，为
Fmax 26.7 kN
图示横梁AC~立柱CD结构，均由Q235钢制成，C、D两处均为球 铰。在跨度中点受竖向载荷F作用。已知： (1) 横梁AC的L=4000mm，b=60mm，h=120mm，材料许用应力 [ ]=160MPa。 (2) 立柱CD直径d=20mm, L0=500mm；材料参数为 E=200GPa, 许 用应力 [ ] 160MPa , p 100, s 60 , cr (3041.12 ) MPa，稳 定安全系数 nst 4 。 试确定此横梁~立柱结构的许用载荷。
最新9组合变形汇总
例9-5：图示Z形截面杆，在自由端作用一集中力F，该杆的变 形设有四种答案：
（A）平面弯曲变形； （B）斜弯曲变形； （C）弯扭组合变形； （D）压弯组合变形。
F
F
例9-6：具有切槽的正方形木杆，受力如 图。求：
（1）m-m截面上的最大拉应力σt 和最 大压应力σc；
（2）此σt是截面削弱前的σt值的几倍？
大小有关，而与外力的大小无关；②一般情况下，I y I z 中性轴不与外力作用平面垂直；③对于圆形、正方形和正
多边形，通过形心的轴都是形心主轴，Iy Iz,
此时梁不会发生斜弯曲。
〈四〉强度校核：
对矩形截面，可以直接断定截面的 LmaxYmax必发生在
' '' 具有相同符号的截面角点处。
max
y
zP z iy2
0
根据该方程式可知中性轴是不过形心的直线。
现令：应力零线N-N，它在y、z轴上的截距分别为 a y a z 分别将
ay,0 0, az 代入 k 表达式得：
ay
iZ 2 yP
aZ
iy2 zP
由ay、az就可把应力零线的位置确定下来，应力零线就是该 截面的中性轴。上式表明ay、az 均与yp 、 zp符号相反，所以中性 轴与偏心压力分别在坐标原点的两侧，以中性轴为界，一侧受
曲。
思考题
正方形，圆形，当外力作用线通过截面形心时，为平面弯曲还 是斜弯曲？
目录
§9-3 拉伸(压缩)与弯曲的组合变形
例1：一折杆由两根圆杆焊接而成，已知 圆杆直径d=100mm，试求圆杆的最大拉应力σt 和最大压应力 σc 。
解： X A 3 kN
YA 4 kN
任 意 横 截 面 x上 的 内 力 :
09组合变形习题
图示矩形截面拉杆中间开一深度为h/2的缺口，与不开口的拉杆相比，开中处的最大应力的增大倍数有四种答案：
(A) 2倍；(B) 4倍；(C) 8倍；(D) 16倍；
正确答案是_________________。
04．三种受压杆件如图，设杆1、2、和杆3中的最大压应力(绝对值)分别用 、 和 表示，它们之间的关系有四种答案：
18．试作用图示空间折杆的内力图，(弯曲剪应力图可略)。
19．矩形截面木受力如图，已知 ， ， ，试验算木条的强度和刚度。
20．图示矩形截面简支梁受均布载荷作用，载荷作用方向如图示， ，简支梁受均布载荷时平面弯曲的跨度挠度值 ，试求该梁的最大总挠度及挠曲线平面的位置。
21．悬重物架，如图所示。已知载荷 。
08用第三强度理论校核图示杆的强度时，有四种答案：
(A) ；
(B) ；
(C) ；
(D) ；
正确答案是__________________。
09．按第三强度理论计算等截面直杆弯扭组合变形的强度问题时，应采用的强度公式有四种答案：
(A) ；
(B) ；
(C) ；
(D) ；
正确答案是__________________。
06.图示正方形截面杆承受弯扭组合变形，在进行强度计算时，其任一截面的危险点位置有四种答案：
(A)截面形心；( B )竖边中点A点；( C )横边中点B点；( D )横截面的角点D点；
正确答案是__________________。
07．折杆危险截面上危险点的应力状态，现有四种答案：
正确答案是__________________。
第九章 组合变形部分
填空题
01．( 5 )偏心压缩实际不就是____________和____________的组合变形问题。
题9组合变形word精品文档11页
组合变形1. 偏心压缩杆，截面的中性轴与外力作用点位于截面形心的两侧，则外力作用点到形心的距离e 和中性轴到形心的距离d 之间的关系有四种答案： (A) d e =； (B) d e >； (C) e 越小，d 越大； (D) e 越大，d 越大。
答：C2. 三种受压杆件如图所示，杆1、杆2与杆3中的最大压应力（绝对值）分别为1m ax σ、2m ax σ和3m ax σ，现有下列四种答案： (A)3max 2max 1max σσσ==； (B)3max 2max 1max σσσ=>； (C)3max 1max 2max σσσ=>； (D)3max 1max σσσ=<max2。
答：C3.形形心重合）。
立柱受沿图示a-a (A) 斜弯曲与轴向压缩的组合； (B)平面弯曲与轴向压缩的组合； (C) 斜弯曲； (D)平面弯曲。
答：B4. 铸铁构件受力如图所示，种答案：(A) A 点； (B) B 点； (C) C 点； (D) D 点。
答：C5. 图示矩形截面拉杆，中间开有深度为2h的缺口，与不开口的拉杆相比，开口处最大正应力将是不开口杆的 倍：(A) 2倍； (B) 4倍； (C) 8倍； (D) 16倍。
答：C6. 三种受压杆件如图所示，杆1、杆2与杆3中的最大压应力（绝对值）分别为1m ax σ、2m ax σ和3m ax σ(A)max32max 1max σσσ<<； (B)3max 2max max1σσσ=<； (C)2max max3max1σσσ<<； (D)2max 3max 1max σσσ<=。
答：C 7. 正方形等截面立柱，受纵向压力作用。
当力F 点由A 移至B 时，柱内最大压应力的比值maxmaxB A σσ有四种答案：(A) 1:2； (B) 2:5； (C) 4:7； (D) 5:2。
答：C8. 图示矩形截面偏心受压杆，其变形有下列四种答案： (A) 轴向压缩和平面弯曲的组合； (B)轴向压缩、平面弯曲和扭转的组合； (C)缩和斜弯曲的组合；(D)轴向压缩、斜弯曲和扭转的组合。
材料力学(机械工业出版社)知识小结第九章组合变形
第九章组合变形 9–1概述一、组合变形 ：在复杂外载作用下，构件的变形会包含几种简单变形，当几种变形所对应的应力属同一量级时，不能忽略之，这类构件的变形称为组合变形。
二、组合变形的研究方法——叠加原理①外力分析：外力向形心(或弯心)简化并沿形心主惯性轴分解。
②内力分析：求每个外力分量对应的内力方程和内力图，确定危险面。
③应力分析：画危险面应力分布图，叠加，建立危险点的强度条件。
9–2斜弯曲一、斜弯曲：杆件产生弯曲变形，但弯曲后，挠曲线与外力（横向力）不共面。
二、斜弯曲的研究方法：1.分解：将外载沿横截面的两个形心主轴分解，于是得到两个正交的平面弯曲。
2.叠加：分别对两个平面弯曲进行研究；然后将计算结果叠加起来。
解：1.将外载沿横截面的形心主轴分解ϕsin P P y =ϕcos P P z =2.研究两个平面弯曲 ①内力ϕϕsin sin M Px x P M y z === ϕϕcos cos M Py x P M x y ===M y 引起的应力：ϕσcos yyy I M I z M z-=-=' M z 引起的应力：ϕσsin zz z I M I y M y-=-='' 自：注意这里M y M z 所取的惯性矩是不同的。
合应力：)sin cos (ϕϕσσσzy I yI z M +-=''+'=③中性轴方程0)sin cos (00=+-=ϕϕσzy I yI z M ϕαctg tg 00yzI I z y ==④最大正应力在中性轴两侧，距中性轴最远的点为拉压最大正应力点。
2max D L σσ=1max D y σσ=⑤变形计算22z y f f f +=，zy f f =βtg（自：横：123bh I z =竖：123hb I y =）（自：收均布载荷简支梁：82maxql M =）9–3拉（压）弯组合 偏心拉（压）截面核心一、拉(压)弯组合变形：杆件同时受横向力和轴向力的作用而产生的变形。
第九章：组合变形1
组合变形
斜弯曲中性轴
cos sin z y0 Iy Iz
z y P υ
（1）过截面形心的直线；
斜率
Iy z tg tg y Iz
α
中性轴
（2） 中性轴与荷载线不在同一象限内；
（3）当Iy≠Iz , 中性轴与荷载线不垂直。
组合变形
斜弯曲挠度的方向
P
l
z
fy
y
f
φ f z P β
D
f
max
+ + ++ + + + + - - - f P
y
E
z
组合变形
4.强度条件
对称材料：[+]=[-] x
z
Pz x Py
强度条件：
max
cos sin M max ( ) [ ] Wz Wy
y
C
水 平 面
垂直面
D
+ + ++ + + + + - - - f P
Pl 3 sin 自由端： f y 3 EI Z
方向：
Pl 3 cos fz 3 EI y
tg
tg
fy fz
Iy Iz
讨
挠度
论
fy
z y φ
组合变形
Iy tg tg Iz
Iy tg 中性轴 tg Iz
（1）当Iy≠Iz ，β ≠ υ
（2）若Iy＞Iz ，β ＞ υ
危险点：c、f点；强度条件
E C + + ++ 水 + 平 + 面 + + D - - - - f y
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第 9 章 组 合 变 形9-1 试分析下列构件在指定截面A 的内力分量（判断基本变形）解：（a ）拉伸与弯曲；（b ）压缩、扭转与两个方向的弯曲； （c ）压缩、扭转与两个方向的弯曲。
9-2 木制矩形截面悬臂梁受力如图，已知 F 1 = 0.8 kN ，F 2 = 1.65 kN ，木材的许用应力 [ σ ] =10 MPa ，若矩形 h ／b = 2 ，试确定其截面尺寸。
解：显然固定端是危险截面。
kNm 6.128.01=⨯==l F M ykNm 65.1165.122=⨯==lF M z =+=+=22max 66bh M hb M W M W M zy z z y yσ][)233(13σ≤+=z y M M b 代入数据得到363mm 727500101065.15.16.13=⨯⨯+⨯≥b ， mm 180h ,mm 90≥≥b 。
9-3 工字钢简支梁受力如图，已知 F = 7 kN ，[ σ ] =160 MPa ，试选择工字钢型号。
（提示：先假定 W z ／W y 的比值进行试选，然后校核。
） 解：显然中间截面是危险截面。
kNm 741max ==l F M kNm 394.220sin max == M M y ， kNm 578.620cos max == M M z（b ）车刀 （a ）机械构件][max σσ≤+=zzyy W M W M 选 6=y z W W 试算 33cm 8.21101606394.26578.6][66=⨯⨯⨯+=+≥σyz y M M W查表取 16 号工字钢 W y = 21.2 cm 3 ，W z = 141 cm 3 校核强度 ][M Pa 15910)2.21394.2141578.6(3max σσ≤=⨯+=+=z z yy W M W M 强度刚好够，所以选定 16 号工字钢。
9-4 证明斜弯曲时横截面仍然绕中性轴转动（提示：证明截面形心位移垂直于中性轴）。
证明：假设在任意相距很近 dx 的截面之间作用两个M y ，M z ，其中下标 y ，z 为截面形心主惯性轴，中性轴方程由0=-=y I M z I M z z yy σ 确定为 ϕtan ==yz zy I M I M z y 两截面之间由M z 和M y 产生的相对位移分别为2)(dx EI M dx d Y z z z =⋅=θ，2)(dx EI M dx d Z y y y -=⋅=θ，tan =-=zy yz I M I M Z Y 显然tan α tan ϕ = -1 ，α = ϕ±90°即截面形心位移与中性轴互相垂直。
[反证法] 假设斜弯曲时横截面绕非中性轴转动，则中性轴上的纵向纤维将有伸长或缩短，这与斜弯曲时横截面存在有中性轴的结论是相矛盾的。
故斜弯曲时横截面绕中性轴转动。
9-5 证明对正多边形截面梁，横向力无论作用方向如何偏斜，只要力的作用线通过截面形心，都只产生平面弯曲。
证明：只要证明任意正多边形的形心坐标轴为形心主惯轴即可。
现以正三角形为例，图中y 、z 轴为一对正交形心主轴，y 和y 1轴为对称轴，显然，I y = I y 1，I yz = 0；由式（A-13）有β2cos 221yz y z y y I I I I I I -++== 即z y y z yz I I I I I I =⇒=-⇒=--00)2cos 1(2β设Y 、Z 为一对任意正交形心轴，由式（A-15）有 02cos 2sin 2=+-=ααyz yz YZ I I I I即任意形心轴都是主惯性轴，其惯性矩都相等，只可能发生平面弯曲，不会发生斜弯曲。
z9-6 求图示正六边形截面悬臂梁的最大应力。
（已知正六边形的形心主惯性矩 I y = I z ）解：显然 固定端是危险截面，l F M =m a x由于正六边形的形心主惯性矩 I y = I z ，只发生平面弯曲，中性轴与载荷作用线垂直，外凸角点中距离中性轴最远的点是A 点，如图（a ）所示，A 点到中性轴的距离15cos a h = ， 15cos max a I lF z =σ9-7 图示起重架的最大起吊重量（包括小车）为 F = 40 kN ，横梁 AB 由两根 18 号槽钢组成，[ σ ] =120 MPa ，试校核横梁强度。
解：以小车行至横梁中央作为危险工况，此时最大弯矩在梁的中间截面 C ， 最大弯矩 kNm 354==l F M C ，轴向压力 kN 64.3423==F F x AB 梁发生压缩与弯曲组合变形 AFW M x z C +=max σ查表得 18 号槽钢 3cm 2.152=z W ，2cm 29.29=A 代入上式MPa 9.1209.51151029.29264.34102.1522353max =+=⨯⨯+⨯⨯=σ略大于许用应力，一般情况下可以安全使用。
9-8 拆卸工具的勾爪受力如图，已知两侧爪臂截面为矩形，[ σ ] =180 MPa ，试按爪臂强度条件确定拆卸时的最大顶力 F 。
解：勾爪立柱发生拉伸与弯曲组合变形2F N = ， 2Fe M =M Pa 180][)261732626171(2)61(222max =≤⨯⨯+⨯==+=+=σσF bhe h b F W M A N z解得 F = 19 kN 。
9-9 压力机框架为铸铁材料，[ σ+ ] = 30MPa ，[ σ－] = 80 MPa ，立柱截面尺寸如图所示，试校核框架立柱的强度。
解：截面形心（a ）A －A 剖面mm 5.40420017200050202060100209020505020601010020==⨯+⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=c z4232323cm 4885.49205020501215.9602060201215.302010020100121=⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=yc I截面内力 kN 12==F N ， kNm 89.2)0405.02.0(12)(=+⨯=+=c z a F MMPa 9.2686.22410420012105.4048889.232max =+=⨯+⨯⨯=+σ MPa 3.3286.22.3510420012105.5948889.232max -=+-=⨯+⨯⨯-=-σ 9-10 图示矩形截面杆偏心受拉，由实验测得两侧的纵向应变 ε1 和ε2 ，试求偏心距 e 。
解：试件发生偏心拉伸 F N = ， Fe M =两测点应变分别为E bh Fe bhEF 2216±=εε ， b h E F 221=+εε ， Ebh Fe 22112=-εε 联立求解可得 62121he εεεε+-=9-11 求图示矩形截面立柱固定端 A ，B ，C ，D 四点的正应力，并确定中性轴的位置。
解：立柱发生压缩与弯曲组合变形，危险截面在固定端kN 25-=N ， kNm 36.05=⨯=y M ，kNm 25.105.025=⨯=z M362mm 105.13.01.061⨯=⨯⨯=y W 362mm 105.01.03.061⨯=⨯⨯=z W483mm 1025.23.01.0121⨯=⨯⨯=y I 483mm 1025.01.03.0121⨯=⨯⨯=z I ，A = 0.1×0.3 = 3×104 mm 2 M Pa 67.3=++=A N W M W M y y z z Aσ ， M Pa 33.0-=+-=AN W M W M y y z z B σ M P a 33.5-=+--=A N W M W M y y z z C σ ， M Pa 33.1-=++-=AN W M W My y z z D σ 中性轴方程为2ε1030010010251025.21031025.01025.138686=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=+-=z y A N z I M y I M y y z z σ 整理化简可得 250415=-z y9-12 确定图9-12所示矩形截面和圆形截面的截面核心大小。
解：由式（9-9），对矩形⇒±=-=22he i a y z y 6122223hbh bh hA I e z y === 同理可得 6b e z= 对圆形 ⇒±=-=R e i a 2 4RAa I e ==9-13 电动机工作时的最大转矩 T = 120 N ·m ，主轴 l = 120 mm ，d = 40 mm ，皮带轮直径 D = 250 mm ，皮带张力 F 1 = 2 F 2 ，[ σ ] = 60 MPa ，用第三强度理论校核该主轴强度。
解：由力偶矩平衡 T DF D F F ==-22)(221 N 96025.0120222=⨯==D T F ，N 28803221==+=F F F F 显然轴的根部是危险截面 Nm 6.34512.02880=⨯==l F M ，Nm 120==T M nMPa 5810401206.345323322223=⨯+=+=πσznr W M M 强度足够。
9-14 图示皮带轮传动轴尺寸及受力已知，[ σ ] = 80 MPa ，按第四强度理论选择轴的直径 d 。
解：（1）作轴的受力简图如图（a ）所示；F = 14 kN , T = 1.5 kNm（b ）M(a)（2）作轴的扭矩图、弯矩图如图（b ）、（c ）、（d ）所示；由图中可以看出 B 截面是危险截面，该截面的弯矩为My = 2.8 kNm , Mz = 1.4 kNm （3）危险点的相当应力 ][75.02224σσ=++=znz y r W M M M62223108014.35.175.04.18.232⨯⨯⨯++=d 解得 d = 75.6 mm 。
9-15 钢制圆轴在齿轮 B ，C 上受力如图所示， 已知 [ σ ] = 100 MPa ，按第四强度理论确定该齿轮轴的直径。
解：（1） 作轴的受力简图如图（a ）所示； F 1= 5 kN , F 2= 10 kN ， T = 0.75 kNm（2） 作轴的扭矩图、弯矩图如图（b ）（c ）（d ）所示；由图中可以看出 C 截面是危险截面，该截面的弯矩为My = 1.125 kNm , Mz = 0.188 kNm（3） 危险点的相当应力 ][75.02224σσ≤++=znzyr W M M M622231010014.375.075.0188.0125.132⨯⨯⨯++=d 解得1.51=d 9-16牙轮钻杆外径 D = 152 mm 内径d = 120 mm ，钻进压力F = 180 kN ，扭矩T = 17.3 kN ·m，[ σ ] = 100 MPa ，按第四强度理论校核钻杆强度。