材料力学笔记
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材料力学（土）笔记第三章 扭 转1．概 述等直杆承受作用在垂直于杆轴线的平面内的力偶时，杆将发生扭转变形 若构件的变形时以扭转为主，其他变形为次而可忽略不计的，则可按扭转变形对其进行强度和刚度计算等直杆发生扭转变形的受力特征是杆受其作用面垂直于杆件轴线的外力偶系作用其变形特征是杆的相邻横截面将绕杆轴线发生相对转动，杆表面的纵向线将变成螺旋线 当发生扭转的杆是等直圆杆时，由于杆的物性和横截面几何形状的极对称性，就可用材料力学的方法求解对于非圆截面杆，由于横截面不存在极对称性，其变形和横截面上的应力都比较复杂，就不能用材料力学的方法来求解2．薄壁圆筒的扭转设一薄壁圆筒的壁厚δ远小于其平均半径0r （10r ≤δ），其两端承受产生扭转变形的外力偶矩e M ，由截面法可知，圆筒任一横截面n-n 上的内力将是作用在该截面上的力偶 该内力偶矩称为扭矩，并用T 表示由横截面上的应力与微面积dA 之乘积的合成等于截面上的扭矩可知，横截面上的应力只能是切应力考察沿横截面圆周上各点处切应力的变化规律，预先在圆筒表面上画上等间距的圆周线和纵向线，从而形成一系列的正方格子在圆筒两端施加外力偶矩e M 后，发现圆周线保持不变，纵向线发生倾斜，在小变形时仍保持直线薄壁圆筒扭转变形后，横截面保持为形状、大小均无改变的平面，知识相互间绕圆筒轴线发生相对转动，因此横截面上各点处切应力的方向必与圆周相切。
相对扭转角：圆筒两端截面之间相对转动的角位移，用ϕ来表示圆筒表面上每个格子的指教都改变了相同的角度γ，这种直角的该变量γ称为切应变 这个切应变和横截面上沿沿圆周切线方向的切应力是相对应的 由于圆筒的极对称性，因此沿圆周各点处切应力的数值相等由于壁厚δ远小于其平均半径0r ，故可近似地认为沿壁厚方向各点处切应力的数值无变化 薄壁圆筒扭转时，横截面上任意一点处的切应力τ值均相等，其方向与圆周相切 由横截面上内力与应力间的静力学关系，从而得⎰=⨯AT r dA τ由于τ为常量，且对于薄壁圆筒，r 可以用其平均半径0r 代替，积分⎰==Ar A dA δπ02为圆筒横截面面积，引进π200r A =，从而得到δτ02A T=由几何关系，可得薄壁圆筒表面上的切应变γ和相距为l 的两端面间相对扭转角ϕ之间的关系式，式子中r 为薄壁圆筒的外半径γϕγsin /==l r 当外力偶矩在某一范围内时，相对扭转角ϕ与外力偶矩e M （在数值上等于T ）之间成正比 可得τ和r 间的线性关系为γτG =上式称为材料的剪切胡克定律，式子中的比例常数G 称为材料的切变模量，其量纲和单位与弹性模量相同，钢材的切边模量的约值为GPa G 80=剪切胡克定律只有在切应力不超过某材料的某极限值时才适用该极限称为材料的剪切比例极限p τ，适用于切应力不超过材料剪切比例极限的线弹性范围3．传动轴的外力偶矩·扭矩及扭矩图 传动轴的外力偶矩设一传动轴，其转速为n （r/min ），轴传递的功率由主动轮输入，然后通过从动轮分配出去 设通过某一轮所传递的功率为P ，常用单位为kW 1 kW=1000 W ；1 W=1 J/s ; 1 J=1 N ·m当轴在稳定转动时，外力偶在t 秒内所做的功等于其矩e M 与轮在t 秒内的转角α之乘积 因此，外力偶每秒钟所作的功即功率P 为310}{}{}{}{-⋅⨯=sradmN e kW t M P α 3/10}{}{-⋅⨯=s rad m N e M ω3min/1060}{2}{-⋅⨯⨯⨯=r m N e n M π 即得到作用在该轮上的外力偶矩为min/3min /3}{}{1055.9}{26010}{}{r kWr kW mN e n P n P M ⨯=⨯⨯=⋅π 外力偶的转向，主动轮上的外力偶的转向与轴的转动方向相同，从动轮上的外力偶的转向则与轴的转动方向相反扭矩及扭矩图可用截面法计算轴横截面上的扭矩为使从两段杆所求得的同一横截面上扭矩的正负号一致按杆的变化情况，规定杆因扭转而使其纵向线在某段内有变成右手螺旋线的趋势时 则该段杆横截面上的扭矩为正，反之为负 若将扭矩按右手螺旋法则用力偶矢表示，则当力偶矢的指向离开截面时扭矩为正，反之为负 为了表明沿杆轴线各横截面上扭矩的变化情况，从而确定最大扭矩及其所在横截面的位置 可仿照轴力图的作法绘制扭矩图4．等直圆杆扭转时的应力·强度条件 横截面上的应力与薄壁圆筒相仿，在小变形下，等直圆杆在扭转时横截面上也只有切应力 ①几何方面为研究横截面上任意一点处切应变随点的位置而变化的规律 在等直圆杆的表面上作出任意两个相邻的圆周线和纵向线 当杆的两端施加一对其矩为e M 的外力偶后，可以发现：两圆周线绕杆轴线相对旋转了一个角度，圆周线的大小和形状均为改变 在变形微小的情况下，圆周线的间距也未变化 纵向线则倾斜了一个角度γ假设横截面如同刚性平面般绕杆的轴线转动，即平面假设 上述假设只适用于圆杆为确定横截面上任一点处的切应变随点的位置而变化的规律 假想地截取长为dx 的杆段进行分析由平面假设可知，截面b-b 相对于截面a-a 绕杆轴转动了一个微小的角度ϕd 因此其上的任意半径也转动了同一角度ϕd由于截面转动，杆表面上的纵向线倾斜了一个角度γ 纵向线的倾斜角γ就是横截面周边上任一点A 处的切应变同时经过半径上任意一点的纵向线在杆变形后也倾斜了一个角度ργρ为圆心到半径上点的距离即为横截面半径上任意一点处的且应变 由几何关系可得dxd ϕργγρρ=≈tan即dxd ϕργρ=②物理方面由剪切胡可定律可知，在线弹性范围内，切应力与切应变成正比 令相应点处的切应力为ρτ，即得横截面上切应力变化规律表达式dxd G G ϕργτρρ== 由上式可知，在同一半径ρ的圆周上各点处的切应力ρτ 值均相等，其值与ρ成正比因ργ为垂直于半径平面内的切应变，故ρτ的方向垂直于半径③静力学方面由于在横截面任一直径上距圆心等远的两点处的内力元素dA ρτ等值且反向则整个截面上的内力元素dA ρτ的合力必等于零，并组成一个力偶，即为横截面上的扭矩T 因为ρτ的方向垂直于半径，故内力元素dA ρτ对圆心的力矩为dA ρρτ 由静力学中的合力矩原理可得⎰=AT dA ρρτ经整理后得⎰=A T dA dxd G2ρϕ 上式中的积分⎰AdA 2ρ仅与横截面的几何量有关，称为极惯性矩，用p I 表示⎰=Ap dA I 2ρ其单位为4m ，整理得pGI T dx d =ϕ 可得pI T ρτρ=上式即等直圆杆在扭转时横截面上任一点处切应力的计算公式当ρ等于横截面的半径r 时，即在横截面周边上的各点处，切应力将达到其最大值p I Tr =max τ 在上式中若用p W 代表r I p /，则有pW T =m ax τ 式中，p W 称为扭转截面系数，单位为3m推导切应力计算公式的主要依据为平面假设，且材料符合胡克定律 因此公式仅适用于在线弹性范围内的等直圆杆 为计算极惯性矩和扭转截面系数在圆截面上距圆心为ρ处取厚度为ρd 的环形面积作为面积因素 可得圆截面的极惯性矩为⎰⎰===Ad p d d dA I 32242032πρπρρ圆截面的扭转截面系数为162/3d d I rI W p p p π===由于平面假设同样适用于空心截面杆件，上述切应力公式也适用于空心圆截面杆 设空心圆截面杆的内、外直径分别为d 和D ，其比值Dd =α 则可得空心圆截面的极惯性矩为⎰⎰-===AD d p d D d dA I )(322442232πρπρρ所以)1(3244απ-=D I p扭转截面系数为)1(1616)(2/4344αππ-=-==D Dd D D I W p p斜截面上的应力在圆杆的表面处用横截面、径向截面及与表面相切的面截取一单元体 在其左右两侧（即杆的横截面）上只有切应力τ，其方向与y 轴平行 在其前后两平面（即与杆表面相切的面）上无任何应力 由于单元体处于平衡状态，故由平衡方程0=∑yF可知单元体在左右两侧面上的内力元素dydz τ应是大小相等，指向相反的一对力并组成一个力偶，其矩为dx dydz )(τ 为满足令两个平衡方程，0=∑xF和0=∑z M在单元体上、下两个平面上将有大小相等、指向相反的一对内力元素dxdz 'τ 并组成其矩为dy dxdz )('τ的力偶该力偶与前一力偶矩数值相等而转向相反，从而可得ττ='上式表明，两相互垂直平面上的切应力τ和'τ数值相等，且均指向（或背离）该两平面的交线，称为切应力互等定理该定理具有普遍意义纯剪切应力状态：单元体在其两对互相垂直的平面上只有切应力而无正应力的状态 等直圆杆和薄壁圆筒在发生扭转时，其中的单元体均处于纯剪切应力状态现分析在单元体内垂直于前、后量平面的任意斜截面上的应力 斜截面外法线n 与x 轴的夹角为α规定从x 轴至截面外法向逆时针转动时α为正，反之为负 应用截面法，研究其左边部分的平衡设斜截面ef 的面积为dA ，则eb 面和bf 面的面积分别为αcos dA 和αsin dA 选择参考轴ξ和η分别于斜截面ef 平行和垂直 由平衡方程∑=0ηF 和∑=0ξF即0cos )sin (sin )cos ('=++ααταατσαdA dA dA0sin )sin (cos )cos ('=+-ααταατταdA dA dA利用切应力互等定理公式，整理后即得任意一斜截面ef 上的正应力和切应力的计算公式ατσα2sin -= αττα2cos =单元体的四个侧面（ο0=α和ο90=α）上的切应力绝对值最大，均等于το45-=α和ο45=α两截面上正应力分别为τσσ+==max 45οτσσ-==min 45ο即该两截面上的正应力分别为ασ中的最大值和最小值，即一为拉应力，另一为压应力 其绝对值均等于τ，且最大、最小正应力的作用面与最大切应力的作用面之间互成45° 这些结论是纯剪切应力状态的特点，不限于等直圆杆在圆杆的扭转试验中，对于剪切强度低于拉伸强度的材料（如低碳钢），破坏是由横截面上的最大切应力引起，并从杆的最外层沿与杆轴线约成45°倾角的螺旋形曲面发生拉断而产生的在最大切应力相等的情况下，空心圆轴的自重较实心圆轴为轻，比较节省材料强度条件强度条件是最大工作切应力不超过材料的许用切应力，即][max ττ≤ 等直圆杆的最大工作应力存在于最大扭矩所在横截面即危险截面的周边上任一点，即危险点 上述强度条件可写为][maxτ≤pW T5．等直圆杆扭转时的变形·刚度条件 扭转时的变形 等直杆的扭转变形是用两横截面绕杆轴相对转动的相对角位移，即相对扭转角ϕ来度量的ϕd 为相距dx 的两横截面间的相对扭转角因此，长为l 的一段杆两端面间的相对扭转角 长为l 的一段杆两端间的相对扭转角ϕ为⎰⎰==lpldx GI Td 0ϕϕ 当等直圆杆仅在两端受一对外力偶作用时，则所有横截面上的扭矩T 均相同且等于杆端的外力偶矩e M对于由同一材料制成的等直圆杆，G 及p I 亦为常量，则可得pe GI l M =ϕ或p GI Tl=ϕϕ的单位为rad ，其正负号随扭矩T 而定由上式可见，相对扭转角ϕ与p GI 成反比，p GI 称为等直圆杆的扭转刚度由于杆在扭转时各横截面上的扭矩可能并不相同，且杆的长度也各不相同因此在工程中，对于扭转杆的刚度通常用相对扭转角沿杆长度的变化率dx d /ϕ来度量，称为单位长度扭转角，并用'ϕ表示pGI T dx d ==ϕϕ' 公式只适用于材料在线弹性范围内的等直圆杆例题3-5截面C 相对于截面B 的扭转角，应等于截面A 相对于B 的扭转角与截面C 相对于A 的扭转角之和AC BA BC ϕϕϕ+=刚度条件等直杆扭转时，除需满足强度条件外，有时还需满足刚度条件刚度要求通常是限制器单位长度扭转角'ϕ中最大值不超过某一规定的允许值]['ϕ，即][''max ϕϕ≤上式即为等直圆杆在扭转时的刚度条件式中，]['ϕ称为许可单位长度扭转角，其常用单位是m /)(ο需要将单位换算，于是可得][180'max ϕπ≤⨯p GI T 许可单位长度扭转角是根据作用在轴上的荷载性质以及轴的工作条件等因素决定的6．等直圆杆扭转时的应变能当圆杆扭转变形时，杆内将积蓄应变能计算杆内应变能，需先计算杆内任一点处的应变能密度，再计算全杆内所积蓄的应变能 受扭圆杆的任一点处于纯剪切应力状态设其左侧面固定，则单元体在变形后右侧面将向下移动dx ⋅γ当材料处于线弹性范围内，切应力与切应变成正比，且切应变值很小 因此在变形过程中，上、下两面上的外力将不作功只有右侧面上的外力dydz ⋅τ对相应的位移dx ⋅γ做功，其值为)(21))((21dxdydz dx dydz dW τγγτ=⋅⋅=单元体内所积蓄的应变能εdV 数值上等于dW 于是可得单位体积内的应变能即应变能密度εv 为τγεε21===dxdydz dW dV dV v 根据剪切胡克定律，上式可改写为Gv 22τε=或22γεG v =求得受扭圆杆任一点处的应变能密度εv 后，全杆的应变能εV 可由积分计算dAdx v dV v V Vl A⎰⎰⎰==εεεV 为杆的体积，A 为杆的横截面积，l 为杆长若等直杆仅在两端受外力偶矩e M 作用，则任一横截面的扭矩T 和极惯性矩p I 均相同可得杆内得应变能为222222222)(22ϕρτεlGI GI l M GI l T dA I T G l dAdx G V p p e A p p l A =====⎰⎰⎰以上应变能表达式也可利用外力功与应变能数值上相等的关系，直接从作用在杆端的外力偶矩e M 在杆发生扭转过程中所做的功W 算得7．等直非圆杆自由扭转时的应力和变形对于非等直圆杆，在杆扭转后横截面不在保持为平面取一矩形截面杆，事先在其表面绘出横截面的周线，则在杆扭转后，这些周线变成了曲线 从而可以推知，其横截面在杆变形后将发生翘曲而不再保持平面 对于此类问题，只能用弹性的理论方法求解 等直非圆杆在扭转时横截面发生翘曲，但当等直杆在两端受外力偶作用，且端面可以自由翘曲时，称为纯扭转或自由扭转这时，杆相邻两横截面的翘曲程度完全相同，横截面上仍然是只有切应力没有正应力若杆的两端受到约束而不能自由翘曲，称为约束扭转，则其相邻两横截面的翘曲程度不同，将在横截面上引起附加的正应力8．开口和闭口薄壁截面杆自由扭转时的应力和变形 开口薄壁截面杆薄壁截面的壁厚中线是一条不封闭的折线或曲线，责成开口薄壁截面如各种轧制型钢（工字钢、槽钢、角钢等）或工字形、槽形、T 字型截面等闭口薄壁截面杆薄壁截面的壁厚中线是一条封闭的折线或曲线，这类截面称为闭口薄壁截面 讨论这类杆件在自由扭转时的应力和变形计算设一横截面为任意形状、变厚度的闭口薄壁截面等直杆 在两自由端承受一对扭转外力偶作用杆横截面上的内力为扭矩，因此其横街满上将只有切应力 假设切应力沿壁厚无变化，且其方向与壁厚的中线相切在杆的壁厚远小于其横截面尺寸时，又假设引起的误差在工程计算中是允许的 取dx 的杆段，用两个与壁厚中线正交的纵截面从杆壁中取出小块ABCD 设横截面上C 和D 两点处的切应力分别为1τ和2τ，而壁厚分别为1δ和2δ 根据切应力互等定理，在上、下两纵截面上应分别有切应力2τ和1τ 由平衡方程0=∑xF，dx dx 2211δτδτ=可得2211δτδτ=由于所取的两纵截面是任意的，上式表明横截面沿其周边任一点处的切应力τ与该点处的壁厚δ乘积为一常数常数=τδ沿壁厚中线取出长为ds 的一段，在该段上的内力元素为ds ⋅τδ 其方向与壁厚中线相切，其对横截面内任意一点O 的矩为r ds dT )(⋅=τδr 是从矩心O 到内力元素ds ⋅τδ作用线的垂直距离由力矩合成原理可知，截面上扭矩应为dT 沿壁厚中线全长s 的积分，即得⎰⎰⎰===sssrds rds dT T τδτδrds 为图中阴影三角形面积2倍故其沿壁厚中线全长s 的积分应是该中线所围面积0A 的2倍，于是可得02A T ⨯=τδ或者δτ02A T=上式即为闭口薄壁截面等直杆在自由扭转时横截面上任一点处切应力的计算公式 可得杆截面上最大切应力为min0max 2δτA T =式子中，min δ为薄壁截面的最小壁厚闭口薄壁截面等直杆的单位长度扭转角可按功能原理来求得22022028)2(212δδτεGA T A T G G v === 根据应变能密度计算扭转时杆内应变能的表达式，得单位长度杆内得应变能为⎰⎰==V V dVGA T dV v V 22028δεε 式子中，V 为单位长度杆壁的体积，ds ds dV ⨯=⨯⨯=δδ1，代入上式⎰=s dsGA T V δε2028 计算单位长度杆两端截面上的扭矩对杆段的相对扭转角'ϕ所做的功，杆在线弹性范围内2'ϕT W =因为W V =ε，则可解得⎰=sdsGA T δϕ20'4即所要求得单位长度扭转角式子中的积分取决于杆的壁厚δ沿壁厚中线s 的变化规律，当壁厚δ为常数时，得到δϕ20'4GA Ts=式子中，s 为壁厚中线的全长。
材料力学考研复习笔记
材料力学考研复习笔记第一章绪论及基本概念一、材料力学的任务构件正常工作要求：强度、刚度、稳定性；合理选材、降低消耗、节约资金、减轻自重；材料力学要合理解决以上两方面的矛盾。
二、基本假设连续性假设：变形后（正常工作状态下）材料的主要性质不变，仍满足几何相容条件；均匀性假设：可取相应的单元体代替整体；各向同性假设：可以用简单的函数表达所要研究的问题。
材料力学的力学模型应满足以上三个假设。
另外在初级材料力学阶段，还有小变形假设、弹性变形假设。
三、研究的基本方法力的研究：静力学方面的知识运动（变形）的研究：几何学方面力与运动的关系研究：物理学方面四、杆件变形的基本形式轴向拉伸和压缩、剪切变形、扭转变形、弯曲变形。
五、体会绪论是一本书最显层次的部分，要完整地涵盖整本书或学科的最主要内容，虽然看不出什么具体的东西，但是已经讲清楚了学科的各个方面，之后的任何一章都是以此为出发点的。
因此这是全书最重要的三个章节之一，这一章是通过给出该学科的宏观的概念来起作用的，这与第二章不同。
所以对材料力学的学习，建议要从绪论开始再从绪论结束，这样才能使自己的把握具有层次。
第二章轴向拉伸和压缩首先要说明一点，根据前面知识框架的叙述，本章是《材料力学》最重要的章节之一，希望引起读者的重视。
这一章通过最简单的变形形式（轴向拉压）的介绍，给出了材料力学的大部分“微观”概念，这些概念对于其他的变形来说是大同小异的，所以介绍其他几种变形的章节就没有最重要章节的身份。
鉴于本章的重要性，记述时比较详细，以后各种变形大致均可按照这一章的思路进行学习。
一、基本概念及关系1、外力内力（轴力（图））应力强度条件以上公式所涉及的概念也是材料力学各种基本变形所共有的，区别只是计算方法和具体的意义有所不同，但统统可以归为同一种概念。
箭头则表示有已知条件推出未知条件（所求）。
其中所用到的截面法也是材料力学中的重要方法，可以代表一定的材料力学的思想，也可以反映材料力学的精度要求。
材料力学笔记(第九章)
材料力学（土）笔记第九章 压杆稳定1．压杆稳定性的概念当轴向压缩杆件横截面上的正应力不超过材料的许用应力时，强度上保证了杆件的正常工作 而在实际结构中，受压杆件的横截面尺寸一般都较按强度条件算出为大，且其横截面的形状往往与梁的横截面形状相仿，提高压杆的承载能力，需提高压杆额弯曲刚度压杆是否变弯，与杆横截面的弯曲刚度有关压杆在轴向压力作用下除发生轴向压缩变形外，还发生附加的弯曲变形对压杆的承载力进行研究时，通常将压杆抽象为由均质材料制成、轴线为直线，且轴向压力作用线与压杆轴线重合的理想“中心受压直杆”的模型在这一力学模型中，由于不存在使压杆产生弯曲变形的初始因素因此，在轴向压力下就不可能发生弯曲现象 在分析中心受压直杆时，当压杆承受轴向压力后假想地在杆上施加一微小横向力，使杆发生弯曲变形，然后撤去横向力实验表明，当轴向力不大时，撤去横向力后，杆的轴线将恢复其原来的直线平衡状态 则压杆在直线形态下的平衡是稳定平衡当轴向力增大到一定的界限值时，撤去横向力后，杆的轴线将保持弯曲平衡状态，而不再恢复其原有的直线平衡形态，则压杆原来在直线形态下的平衡时不稳定平衡中心受压直杆在直线形态下的平衡，由稳定平衡转化为不稳定平衡时所受轴向压力的界限值，称为临界压力，或简称临界力，并用cr F 表示中心受压直杆在临界力cr F 的作用下，其直线形态的平衡开始丧失稳定性，简称为失稳 通常说压杆的稳定性及其在临界力cr F 作用下的失稳，是就中心受压直杆的力学模型而言的 对于实际的压杆，由于存在前述几种导致压杆受压时弯曲的因素，通常可用偏心受压直杆作为其力学模型，其平衡稳定性问题是在偏心压力作用下，杆的弯曲变形是否会出现急剧增大而丧失正常的承载能力，其失稳的概念与中心受压直杆的力学模型截然不同2．细长中心受压直杆临界力的欧拉公式细长中心受压直杆在临界力作用下，处于不稳定平衡的直线状态其材料仍处于理想的线弹性范围内，这类稳定问题成为线弹性稳定问题以两端球形铰支，长度为l 的等截面细长中心受压直杆为例中心受压直杆在临界力作用下将在微弯形态下维持平衡，此时压杆任一x 截面上的弯矩为()cr M x F ω=压力cr F 取为正值，挠度ω以沿y 轴正值方向者为正将弯矩方程代入公式，可得挠曲线的近似微分方程''()cr EI M x F ωω=-=-其中I 为压杆横截面的最小形心主惯性矩将上式均除以EI ，并令2cr F k EI= 则式子可以改写为二阶常系数线性微分方程''20k ωω+=其通解为sin cos A kx B kx ω=+式中，A 、B 和k 三个待定常数由挠度曲线的边界条件确定由0x =，0w =的边界条件，可得0B =由2l x =，ωδ=（δ为挠曲线中点的挠度）的边界条件，可得sin(/2)A kl δ= 最后又常数A 、B 及x l =，0ω=的边界条件，得 0sin 2cos(/2)sin(/2)kl kl kl δδ==上式仅在0δ=或cos(/2)0kl =时才能成立显然，若0δ=，则压杆的轴线并非微弯的挠曲线，欲使压杆在微弯形态下维持平衡，必须cos 02kl = 即得 22kl n π= (1,3,5,...)n = 其最小解为1n =时的解，于是kl π== 解得 22cr EI F l π=上式即两端铰支等截面细长中心受压直杆临界力cr F 的计算公式，通常称为欧拉公式 在kl π=的情况下，sin(/2)sin(/2)1kl π==，故由常数A 、B 可知，挠曲线方程为sin xl πωδ=即挠曲线为半波正弦曲线上述求解过程中，挠曲线中点得挠度δ是个无法确定的值即不论δ为任何微小值，上述平衡条件都能成立事实上这种随遇平衡状态不成立，δ之所以无法确定是因为推导过程中使用了挠曲线的近似微分方程3．不同杆端约束下细长压杆临界力的欧拉公式·压杆的长度因数不同杆端约束下细长中心受压直杆的临界力表达式，可通过类似方法来推导由表可以看出，中心受压直杆的临界力cr 受到杆端约束情况的影响 杆端越是约强，杆的抗弯能力就越大，其临界力也就越高对于各种杆端约束情况，细长中心受压等直杆临界力的欧拉公式可写成同一的形式22()cr EI F l πμ= 式中，因数μ称为压杆的长度因数，与杆端的约束情况有关l μ称为原压杆的相当长度其物理意义可从表中各种杆端约束下细长压杆失稳时挠曲线形状的比拟来说明： 由于压杆失稳时挠曲线上拐点处的弯矩为零故可设想拐点处有一铰，而将压杆在挠曲线两拐点渐的一段看作两端铰支压杆利用两端铰支压杆临界力的欧拉公式得到原支承条件下压杆的临界力cr F这两拐点之间的长度，即为原压杆的相当长度ul即相当长度为各支承条件下的细长压杆失稳时，挠曲线中相当于半波正弦曲线的一段长度 细长压杆临界力的欧拉公式中，I 是横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩若杆端在各个方向的约束情况相同，则I 应取最小的形心主惯性矩若杆端在不同的方向的约束情况不同，则I 应取挠曲时横截面对其中性轴的惯性矩4．欧拉公式的应用范围·临界应力总图假设材料处于线弹性范围内即压杆在临界力cr F 作用下的应力不得超过材料的比例极限p σ压杆临界力的欧拉公式有其一定的应用范围4.1 欧拉公式的应用范围当压杆受临界力cr F 作用而在直线平衡形态下维持不稳定平衡时横截面上的压应力可按公式F A σ=计算 于是，各种支承情况下压杆的横截面上的应力为2222cr cr F EI E ππσ=== cr σ称为临界应力cr F 为压杆的相当长度 两者的比值(/)l i μ，记为λ 其值越大，相应的cr σ就越小，即压杆越容易失稳l iμλ= 则临界力的式子可改写为22cr E πσλ= 欧拉公式仅适用于crp σσ≤的范围内则欧拉公式的应用范围可表示为22cr p E πσσλ=≤ 或写作p λπλ≥== 式中，p λ为能应用欧拉公式的压杆柔度的界限值通常称p λλ≥的压杆为大柔度压杆，或细长压杆当压杆的柔度p λλ<时，不能应用欧拉公式，通常称其为小柔度压杆这一界限值p λ的大小取决于压杆材料的力学性能将压杆临界应力cr σ与压杆柔度λ间的关系式用曲线表示称为欧拉临界应力曲线，实线部分是适用范围内的曲线，虚线部分无意义4.2 折减弹性模量理论4.3 压杆的临界应力总图中心受压直杆的临界应力的计算与压杆的柔度有关对于大柔度杆，临界应力可按欧拉公式计算对于小柔度杆，临界力的计算有很多，折减弹性模量理论仅是其中之一在不同λ范围内，压杆的临界应力与柔度间的关系图线称为压杆的临界应力总图5．实际压杆的稳定因数实际压杆可能存在引起截面上的残余应力等的不利因素，将降低压杆的临界应力 压杆的临界应力总是随压杆的柔度而改变柔度越大，临界应力值越低设计压杆时所用的许用应力也随压杆的柔度的增大而减小在压杆设计中，将压杆的稳定许用应力[]st σ写作材料的强度许用应力[]σ乘以一个随压杆柔度λ而改变的稳定因数()ϕϕλ=，即[][][][]crcr st st st n n σσσσϕσσ===，[]cr st n σϕσ= 以反映压杆的稳定许用应力随压杆柔度改变的这一特点在稳定因数()ϕϕλ=中，也考虑了压杆的稳定安全因数st n 随压杆柔度而改变的因素6．压杆的稳定计算·压杆的合理截面 压杆的稳定条件可表达为[]F A ϕσ≤，通常改写为[]F Aσϕ≤ 式中，F 为压杆承受的轴向压力；ϕ为压杆的稳定因数；A 为压杆的横截面面积 稳定计算中不必考虑截面局部削弱的影响，以毛面积进行计算在强度计算中，应按局部局部被削弱的净面积进行计算，[]σ为压杆材料的许用应力 在稳定计算中，若已知压杆的材料、杆长和杆端约束条件，而需选择压杆的截面尺寸时 由于压杆的稳定因数ϕ（或柔度λ）受截面形状和大小的影响，通常采用试算法 压杆的合理截面，由于压杆的稳定性与其柔度有关，柔度与截面的最小惯性半径i 成反比 对于各个方向的杆端约束条件相同的压杆，要求截面对两形心主惯性轴的惯性半径相等y z i i =（即y z I I =），且尽可能增大截面的i 值 例如，方形截面压杆比较合理，空心圆截面的压杆比较合理压杆多采用空心截面或型钢组合截面对于各个方向的杆端约束条件不同的压杆，为充分发挥材料的作用要求截面对两形心主惯性轴i 值不同，以使两个方向的柔度大致相等，即y z λλ≈。
材料力学笔记
第一章 绪论1.构件要求：1）强度要求：抵抗破坏；2）刚度要求：抵抗变形；3）保持原有平衡形态。
2.基本假设：1）连续性假设；2）均匀性假设；3）各向同性假设。
第二章 拉伸、压缩与剪切1.斜截面应力：p α=σcos α2.1）正应力：σα=σcos2α；2）切应力：τα=(σ/2)sin2α3.比例极限：σp ；弹性极限：σe ；屈服极限：σs ；强度极限：σb 。
4.强度指标：屈服极限、强度极限。
5.表面出现45º倾角的条纹原因：由于材料内部相对滑移而形成滑移线，因为拉伸时在与杆轴线45º倾角的斜截面上，切应力为最大值。
6.缩颈现象原因：由于在缩颈部分横截面面积迅速减小，使试样继续伸长所需要的拉力也相应减小。
7.伸长率：δ=((l 1-l)/l)*100%。
8.断面收缩率：ψ=（（A-A 1）/A ）*100%。
9.各类碳素钢中，随着含碳量的增加，屈服极限和强度极限都相应地提高，但伸长率却减小。
10.伸长量：△l=Fl/EA （EA 为抗拉压刚度）。
11.泊松比：1）μ=|ε'/ε|；2）ε’=-με。
12.1）切应力：τ=Fs/A ；2）挤压应力：σbs =F/A bs 。
第三章 扭转1.外力偶矩：{M e }N·m=9549（{P}kW/{n}r/min ）。
2.纯剪切外加扭转力偶：M e =2πr δτr 。
3.切应变：γ=r φ/l 。
4.切应力：τρ=G γρ=G ρ（d φ/dx ）=T ρ/I p 。
5.切变模量：G=E/2（1+μ）。
6.扭矩：T=⎰A ρτρdA=G （d φ/dx ）⎰A ρ2dA=GIp （d φ/dx ）。
7.极惯性矩：I p =⎰A ρ2dA （m 4）。
8.抗扭截面系数：W t =I p /R （m 3）。
9.最大切应力：τmax =T/W t 。
10.实心轴：I p =πR 4/2=πD 4/32； W t =πR 3/2=πD 3/16。
材料力学笔记(附录)
材料力学（土）笔记附录I 截面的几何性质1．截面的静矩和形心位置设任意形状的截面，其截面面积为A ，从截面中坐标为(,)x y 处取一面积元素dA 则xdA 和ydA 分别称为该面积元素dA 对于y 轴和x 轴的静矩或一次矩y AS xdA =⎰定义为该截面对y 轴的静矩x AS ydA =⎰定义为该截面对x 轴的静矩上述积分应遍及整个截面面积A截面的静矩是对一定的轴而言的，同一截面对不同坐标轴的静矩不同 静矩可能为正值也可能为负值，也可能等于零，常用单位为m ³或mm ³ 由理论力学可知，在Oxy 坐标系中，均质等厚度薄板的重心坐标为y AxdA S x AA==⎰，xAydA S y AA==⎰ 均质薄板的重心与该薄板平面图形的形心是重合的上式可计算形心坐标，在知道截面对y 轴和x 轴的静矩以后，即课的截面形心坐标 将上式改写为y S Ax =，x S Ay =则在已知截面的面积A 及其形心的坐标x 、y 时 就可求得截面对y 轴和x 轴的静矩，由上式可看出，截面对通过其形心的轴的静矩恒等于零反之，若截面对于某一轴的静矩等于零，则该轴必通过截面的形心当截面由若干简单图形组成时，由于简单图形的面积及其形心位置均为已知由静矩定义可知，截面各组成部分对某一轴的静矩之代数和等于该截面对同一轴的静矩 即得整个截面的静矩为1n y i i i S A x ==∑，1nx i i i S A y ==∑式中，i A 和i x 、i y 分别代表任一简单图形的面积及其形心的坐标n 为组成截面的简单图形个数可得组合截面的星系坐标为11ni ii nii A xx A===∑∑，11ni ii nii A yy A===∑∑2．极惯性矩·惯性矩·惯性积设一面积为A 的任意形状截面，从截面坐标为(,)x y 处取一面积元素dA 则dA 与其至坐标原点距离平方的乘积2dA ρ 称为面积元素对O 点的极惯性矩或截面二次极矩2p AI dA ρ=⎰定义为整个截面对O 点的极惯性矩上述积分应遍及整个截面面积A ，极惯性矩的数值恒为正，单位为4m 或4mm面积元素dA 与其至y 或x 轴距离平方的乘积2x dA 或2y dA 分别称为该面积元素对y 轴或x 轴的惯性矩或截面二次轴距22y Ax A I x dA I y dA ⎫=⎪⎬=⎪⎭⎰⎰ 分别定义为整个截面对y 轴或x 轴的惯性矩 上述积分遍及整个截面的面积A222x y ρ=+，故有222()p y x AAI dA x y dA I I ρ==+=+⎰⎰任意截面对一点的极惯性矩，等于截面对以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和面积元素dA 与分别至y 轴和x 轴距离的乘积xydA ，称为该面积元素对两坐标轴的惯性积 定义为整个截面对x 、y 两坐标轴的惯性积，其积分也应遍及整个截面的面积 从上述定义可见，同一截面对于不同坐标轴的惯性矩或惯性积一般是不同的 惯性矩的数值恒为正值，而惯性积可能为正值也可能为负值，也可能等于零 若x 、y 两坐标轴有一为截面的对称轴，则其惯性积恒等于零因在对称轴两侧，处于对称位置的两面积元素dA 的惯性积xydA ，数值相等而正负号相反 致使整个截面的惯性积必等于零，惯性矩和惯性积的单位相同在某些应用中，将惯性矩表示为截面面积A 与某一长度平方的乘积，即2y y I i A =，2x xI i A = 式中，y i 和x i 分别称为截面对y 轴和x 轴的惯性半径，其单位为m 或mm 当已知截面面积A 和惯性矩y I 和x I 时，惯性半径即可从下式求得y i =x i =3．惯性矩和惯性积的平行移轴公式·组合截面的惯性矩和惯性积 3.1 惯性矩和惯性积的平行移轴公式 面积为A 的任意形状的截面截面对任意的x 、y 两坐标轴的惯性矩和惯性积分别为x I 、y I 和xy I 通过截面的形心C 有分别与x 、y 轴平行的C x 、C y 轴称为形心轴 截面对形心轴的惯性矩和惯性积分别为xC I 、yC I 和xCyC I截面上任一面积元素dA 在两坐标系内的坐标(,)x y 与(,)C C x y 间的关系为C x x b =+，C y y a =+式中，a 、b 是截面形心在Oxy 坐标系内的坐标值，即两平行坐标系间的间距 将其代入可得2222()2x C C C AAAAAI y dA y a dA y dA a y dA a dA ==+=++⎰⎰⎰⎰⎰根据惯性矩和静矩的定义，上式右端的各项积分分别为2C xC Ay dA I =⎰，C xC Ay dA S =⎰，AdA A =⎰其中xC S 为截面形心轴C x 的静矩，恒等于零，则原式子可写为2x xC I I a A =+，同理2y yC I I b A =+，xy xCyC I I abA =+a 、b 有正负号，可由截面形心所在的象限来确定，上式称为平行移轴公式应用上式即可根据截面对形心轴的惯性矩或惯性积，计算截面对于形心轴平行的坐标轴的惯性矩惯性矩或惯性积，或进行相反运算3.2 组合截面的惯性矩及惯性积组合截面对某坐标的惯性矩（或惯性积）就等于其各组成部分对同一坐标轴的惯性矩（或惯性积）之和，若截面是由n 个部分组成，则组合截面对x 、y 两轴的惯性矩和惯性积为1n x xi i I I ==∑，1n y yi i I I ==∑，1nxy xyi i I I ==∑式子中，xi I 、yi I 、xyi I 分别为组合截面中组成部分i 对x 、y 两轴的惯性矩和惯性积4．惯性矩和惯性积的转轴公式·截面的主惯性轴和主惯性矩 4.1 惯性矩和惯性积的转轴公式 设一面积为A 的任意形状截面截面对通过其上任意一点O 的两坐标轴x 、y 的惯性矩和惯性积分别为x I 、y I 和xy I 若坐标轴x 、y 绕O 点旋转α角（α角以逆时针转向为正）至1x 、1y 则该截面对新坐标轴1x 、1y 的惯性矩和惯性积分别为1x I 、1y I 和11x y I 截面上任一面积元素dA 在新、老两坐标系内的坐标11(,)x y 与(,)x y 的关系为1cos sin x x y αα=+ 1cos sin y y x αα=-经过展开逐项积分可得，该截面对坐标轴1x 的惯性矩1x I22221cos sin 2sin cos x AAAI y dA x dA xydA αααα=+-⎰⎰⎰根据惯性矩和惯性积的定义，右端的各项积分分别为2x Ay dA I =⎰，2y Ax dA I =⎰，xy AxydA I =⎰将其代入，即得1cos 2sin 222x y x y x xy I I I I I I αα+-=+- 1cos 2sin 222x yx yy xy I I I I I I αα+-=-+11sin 2cos 22x yx y xy I I I I αα-=+以上三式就是惯性矩和惯性积的转轴公式11x y x y I I I I +=+上式表明，截面对于通过同一点的任意一对相互垂直的坐标轴的两惯性矩之和为一常数 并等于截面对该坐标原点的极惯性矩4.2 截面的主惯性主和主惯性矩当坐标轴旋转时，惯性积11x y I 将随着α角作周期性变化，且有正有负 必有一特定的角度0α，使得截面对该坐标轴0x 、0y 的惯性积等于零 截面对其惯性积等于零的一对坐标轴，称为主惯性轴 截面对于主惯性轴的惯性矩，称为主惯性矩当一对主惯性轴的交点与截面的形心重合时，则称为形心主惯性轴 截面对于形心主惯性轴的惯性矩，称为形心主惯性矩设0α角为主惯性轴与原坐标轴之间的夹角 则将0α角代入惯性积的转轴公式并令其等于零，即00sin 2cos 202x yxy I I I αα-+=移项后得02tan 2xy x yI I I α-=-由上式解得的0α的值，即为梁主惯性轴中0x 轴的位置将所得的0α值代入，即得截面的主惯性矩0cos 2I I α-==02sin 2I α-==经化简后即得主惯性矩的计算公式0022x yx x y y I I I I I I +=+=惯性矩1x I 、1y I 都是α角的正弦和余弦函数，α角在0°到360°内变化 因此1x I 、1y I 必有极值由于对通过同一点的任意一对坐标轴的两惯性矩之和为一常数因此其中一个将为极大值，另一个则为极小值，由10x dI d α=和10y dI d α= 解得时惯性矩取得极值的坐标轴的位置的表达式，与上式完全一致可知，截面对通过任一点的主惯性轴的主惯性矩的值也就是通过该点所有轴的惯性矩中的极大值max I 和极小值min I在通过截面形心的一对坐标轴中，若有一个为对称轴，则该对坐标轴就是形心主惯性轴 因为截面对于包括对称轴在内的一对坐标轴的惯性积等于零 在计算组合截面的形心主观性轴是，首先应确定其形心位置 然后通过形心选择一对便于计算惯性矩和惯性积的坐标轴 算出组合截面对这一对坐标轴的惯性矩和惯性积最后利用主惯性矩的计算公式即可确定形心主惯性轴的位置和形心主惯性矩的数值 若组合截面具有对称轴，则包含对称轴的一对相互垂直的形心轴就是形心主惯性轴。
材料力学笔记
J1任务1作用在建筑物上的外力通常称为荷载；2在建筑物中承受荷载而起骨架作用的部分称为结构；3衡量构件承载能力的三因素是强度、刚度、稳定性；3.1强度是构件在荷载作用下抵抗破坏的能力；3.2刚度是构件在荷载作用下抵抗变形的能力；3.3稳定性是构件在荷载作用下抵抗失去原有平衡形式的能力；4材料力学的任务就是满足强度、刚度和稳定性要求的条件下，为设计即安全有经济的构件，提供必要的理论基础和计算方法。
C1J2变形固体的基本假设1材料力学所研究的对象为理想弹性体；1.1建筑构件是由在外力作用下会产生变形的固体材料所制成；1.2荷载作用下的变形按性质分为弹性变形和塑性变形（残余变形）；1.3弹性变形是随荷载解除而消失的变形；1.4残余变形是荷载解除后而不能消失的变形；2变形固体的基本假设包括连续性、均匀性、各向同性和小变形假设；3材料力学的研究对象是连续的、均匀的、各向同性的变形固体，并把它们看作完全弹性体，其研究范围仅限于小变形的情况。
C1J3内力、截面法和应力1构件内部各部分间因相对位置改变而引起的相互作用力，称为内力。
材料力学里内力是指由于外力的作用而引起的上述相互作用力的改变量，称为附加内力，简称内力。
2构件中荷载任一截面上的内力是指截面上分布内力的合力；3假如要求得一截面上的内力，假想地用一个截面将构件截分为二，取其中一部分为研究对象，建立平衡方程以确定截面上的内力，称为截面法。
4构件某一截面上任一点分布内力集度称之为总应力；5通常把总应力F分解为垂直于截面的分量（正应力σ）和与截面相切的分量（切应力τ）；6应力的量纲为N/m2,帕斯卡；106N/m2，兆帕；103N/m2,千帕；109N/m2,GPa；C1J4位移和应变1变形的大小是用位移和应变来度量的；2位移是指构件发生变形后，构件内部各质点及各截面空间位置的改变；2.1线位移是指构件内某点变形后移动的距离；2.2角位移是指构件内某一截面变形后转过的角度，或称转角；3线应变是指每单位长度的伸长或缩短的比值；4单元体直角的改变量为切应变τ，用弧度来度量。
材料力学(清华大学)-学习笔记
第一章1.工程上将承受拉伸的杆件统称为拉杆，简称杆rods；受压杆件称为压杆或柱column；承受扭转或主要承受扭转的杆件统称为轴shaft；承受弯曲的杆件统称为梁beam。
2.材料力学中对材料的基本假定：a)各向同性假定isotropy assumptionb)各向同性材料的均匀连续性假定homogenization and continuity assumption3.弹性体受力与变形特征：a)弹性体由变形引起的内力不能是任意的b)弹性体受力后发生的变形也不是任意的，而必须满足协调compatibility一致的要求c)弹性体受力后发生的变形与物性有关，这表明受力与变形之间存在确定的关系，称为物性关系4.刚体和弹性体都是工程构件在确定条件下的简化力学模型第二章1.绘制轴力图diagram of normal forces的方法与步骤如下：a)确定作用在杆件上的外载荷和约束力b)根据杆件上作用的载荷以及约束力，确定轴力图的分段点：在有集中力作用处即为轴力图的分段点；c)应用截面法，用假象截面从控制面处将杆件截开，在截开的截面上，画出未知轴力，并假设为正方向；对截开的部分杆件建立平衡方程，确定轴力的大小与正负：产生拉伸变形的轴力为正，产生压缩变形的轴力为负；d)建立F N-x坐标系，将所求得的轴力值标在坐标系中，画出轴力图。
2.强度设计strength design 是指将杆件中的最大应力限制在允许的范围内，以保证杆件正常工作，不仅不发生强度失效，而且还要具有一定的安全裕度。
对于拉伸与压缩杆件，也就是杆件中的最大正应力满足：，这一表达式称为轴向载荷作用下杆件的强度设计准则criterion for strength design，又称强度条件。
其中称为许用应力allowable stress，与杆件的材料力学性能以及工程对杆件安全裕度的要求有关，由下式确定：，式中为材料的极限应力或危险应力critical stress，n为安全因数，对于不同的机器或结构，在相应的设计规范中都有不同的规定。
材料力学-整理笔记
材料力学第1章绪论1.1材料力学的任务构件应满足以下基本要求：强度，刚度，稳定性要求1.2材料力学的基本假设连续性，均匀性，各向同性假设1.3杆件的基本变形形式拉伸或压缩，剪切，扭转，弯曲1.4内力一截面法1.5应力平均应力-p：应力p：应力，切应力，正应力：1.6应变1.棱边长度的改变（原长为△x，变形后成为△x+△u）该点处沿x方向的线应变：2.棱边间夹角的改变切应变：y。
切应变的单位为rad第2章拉伸压缩与剪切2.1拉压杆的内力及应力2.1.1轴力、轴力图Fn=FFn即为横截面n—n上的内力。
由于F的作用线与杆轴线重合，故称为轴力。
规定拉伸的轴力为正，压缩为负。
2.1.2轴力图2.1.3拉压杆横截面上的应力轴向载荷作用下杆件是否破坏，不仅与轴力的大小有关，还与横截面面积有关。
正应力：。
拉应力为正，压应力为负。
2.1.4斜截面上的应力斜面上的全应力Pa：将全应力Pa分解为沿斜面法向的正应力和沿切向的切应力思考：a=0/45/90°时，正应力，切应力大小2.2拉压杆的变形2.2.1 轴向与横向变形轴向线应变为：。
以伸长为正，缩短为负。
横向线应变为：。
正负号与轴向线应变相反。
材料的泊松比u（量纲一）：2.2.2 拉压胡克定律当应力o未超过某一极限值时，拉压杆的轴向变形与外力F及杆的原长l 成正比，与横截面面积Ａ成反比。
引进比例常数E，则有胡克定律公式：E为材料的弹性模量，其量纲为ML^-1T^-2。
EA反映了杆件抵抗拉压变形的能力，称为杆件的抗拉(压)刚度。
由Fn/A=正应力，△l/l=线应力，故。
（在弹性范围内，正应力与线应变成正比。
）2.3金属拉压时的力学性能2.3.1低碳钢拉伸时的力学性质1.在拉伸过程中，标距l的伸长量与试件所受载荷F之间的关系曲线F—△l 称为拉伸曲线。
工程应力：将纵坐标值F除以原始的横截面面积A，即为正应力=F/A工程应变：将横坐标值除以原始的标距长度l，即为线应变=△l /l将拉伸曲线F—△l变为应力应变曲线（消除试件尺寸的影响）（1）弹性阶段Ob：弹性阶段的应力最高限称为材料的弹性极限（用符号6e表示）。
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材料力学笔记第一章绪论材料应满足的基本要求:强度要求（抵抗破坏的能量），刚度要求（抵抗变形的能力），稳定性要求（保持原有平衡形态的能力）。
基本假设：连续性假设,均匀性假设、各向同性假设内力：物体内部各部分之间因相对位置改变而引起的相互作用.垂直于截面的应用分量称为正应力sigma（σ），切于截面的应力称为切应力tau(τ）；应变epsilon ε：研究对象某点沿某个方向的伸长或缩短值;切应变γ:研究对象在某个平面内角度的变化；材料变形的基本形式：拉伸或压缩；剪切；扭转第二章拉伸、压缩与剪切截面应力：σ=F NA ；斜截面正应力:σα=σcos2α;斜截面切应力:τα=12σsin2α低碳钢材料力学性能:弹性阶段，屈服阶段,强化阶段，局部变形阶段。
相关概念有比例极限σp，弹性极限σe，屈服极限σs，强度极限σb断裂和塑性变形统称为失效。
许用应力，对塑性材料[σ]=σsn s ; 对于脆性材料：[σ]=σbn b应力应变关系胡克定律：σ=Eε,Δl=FlEA,EA为杆件的抗拉或抗压刚度抽象拉伸或压缩的应变能,应变能密度：vε=σ22E（J/m3）剪切面切应力：τ=F sA ≤[τ]；挤压应力：σbs=F NA bs≤[σbs ]第三章扭矩计算外力偶矩｛M e}=9549Pn，P为功率，n为转速。
切应力互等定理:在相互垂直的两个平面上,切应力必然成对存在，且数值相等。
切应变：γ=rφlφ表示圆柱两端截面的相对转角，称为扭转角剪切胡克定律:切应变γ与切应力τ成正比τ=Gγ、剪切应变能密度：vε=τ22G（J/m3）圆柱扭转时最大切应力：τmax=TW ，T内力系对圆心的力矩T=∫ρτρdAA， W=I pRI p=∫ρ2dAA为极惯性矩（截面二次矩）;W为抗扭截面系数扭转角φ=TlGI p，其中GI p为圆轴的抗扭刚度第四章弯曲内力受弯杆件的简化：简支梁，外伸梁，悬臂梁统称为静定梁 剪力和弯矩相关推论：（1） 在梁的某段内，若无载荷作用,q (x )=0,dFs(x)dx=q (x )=0，剪切图平行于x 轴的直线，M(x)是x 的一次函数，弯矩图是斜直线。
（2） 若作用的是均匀载荷，q (x )=常数，M （x ）是x 的二次函数，剪切图斜率为q (x )的斜线；弯矩图是抛物线,若q (x )<0, 弯矩图向上凸，否则向下凸。
（3） 若某截面上F s (x)=0，则弯矩的极值发生于剪力为0的截面上；在集中力作用的左右两侧 ，弯矩图的斜率也发生突然变化（4） 在两个截面上剪力之差等于两截面载荷图的面积；两个截面的弯矩之差，等于两截面间剪力图的面积。
实质上反映了载荷、剪力与弯矩之间的积分关系.第五章 弯曲应力纯弯曲的正应力σ=Eε=E yρ，其中y 为距中性层的距离，ρ为中性层的曲率半径1ρ=M EI z， θ=Ml EI z，EI z 为梁的抗弯曲刚度，1ρ为梁轴线变形后的曲率σ=My I z，I z =∫y 2dA 为横截面对中性轴的惯性矩。
σ=M max y maxI z=MW ， W =I zymax，W 称为抗弯截面系数矩形截面梁弯曲切应力τ=F s S z∗I z b,S z ∗=∫y1dA A1，横截面的部分面积A1对中性轴的静矩。
因为弯曲时梁截面上的点离中性轴越远,正应力越大，为充分利用材料，应尽量把材料放到离中性轴较远处（竹子为什么空心），所以一般将实心圆截面改成空心圆截面，相应的矩形截面则将中心轴附近的材料移到上下边缘处（工字钢）；第六章 弯曲变形挠度 w =f(x)的坐标为x 的横截面形心沿y 方向的位移； 截面转角：梁的横截面对其原来位置转过的角度 tagθ=dw dx挠曲线的近似微分方程：d 2w dx 2=M EI积分法求弯曲变形得到转角方程为： θ=dw dx=∫MEI dx+Cw =∫∫MEI d x+C x +D叠加法求弯曲变形：在弯曲变形很小且材料服从胡克定律的情况下,挠曲线的微分方程式线性的，则两种载荷M F 和M q 的共同作用时弯矩M=M F +M q ，通过d 2wdx 2=MEI 可以推导出 EId 2w F dx 2=M F ，EId 2w q dx 2=M q ， M= EId 2(w F +w q )dx 2第七章 应力和应变分析,强度理论在单元体中三个相互垂直的面上都无切应力，这种切应力为0的面称为主平面，主平面上的正应力称为住应力二向应力状态分析的解析法主要步骤: 1） 用式 02tan 2xyx yτασσ=-确定主平面2）用下两式分别确定最大（小）正应力与切应力max min 2x yσσσσ+⎫=⎬⎭，max min ττ⎫=⎬⎭最大和最小切应力所在平面与主平面夹角为450 ,及102παα=+二向应力状态分析图解法主要步骤： 1） 通过x σ、xy τ确定AD 点 2） 通过y σ、yx τ确定BD'点3） 连接AD,BD’点交于C 点（圆心），以CD 为半径，C 为圆心作圆确定应力圆其中D 点代表以x 为法线的面上的应力, D’代表代表以y 为法线的面上的应力.三向应力状态222223231213()()()()22n n l σσσσστσσσσ+--+=+--222231312321()()()()22n n m σσσσστσσσσ+--+=+-- 222221123131()()()()22n n n σσσσστσσσσ+--+=+--正应力与切应力的正值， 13max 1min 3min ,,2σσσσσστ-===广义胡克定律： 1[()]x x y z Eεσμσσ=-+ 1[()]y y y z Eεσμσσ=-+ 1[()]z z x y E εσμσσ=-+,,xy yz zx xy yz zx GGGττττττ===复杂应力状态的应变能密度：2221231223311(2())2v Eεσσσμσσσσσσ=++-++ 弹性常数G ,μ和E 之间关系： 2(1)EG μ=+四种常用强度理论最大拉应力强度理论: (1[]σσ≤）;最大伸长线应变理论:（123()[]σμσσσ--≤) 最大切应力理论: 13[]σσσ-≤ 和畸变能密度理论:[]σ 其中第一、二强度理论比较适合于以断裂形式失效的材料； 以屈服形式失效的材料宜采用第三、四强度理论。
莫尔强度理论：13[][][]t c σσσσσ-≤，其中t σ、c σ分别为材料的抗拉和抗压许用应力。
第八章 组合变形由两种以上基本变形组合的情况称为组合变形,一般采用线性叠加原理进行计算。
在计算扭转与弯曲的组合时，长采用第三强度理论或第四强度理论来校核塑性材料的相关强度，相应的公式有第三强度理论[]σ≤ 第四强度理论]σ 其中W 为抗弯截面系数，M 为合成弯矩，T 为扭矩.第九章 压杆稳定计算压杆临界力的欧拉公式为22()cr EIF l πμ=,其中E 为弹性模量； I 为横截面的惯性矩;μ为长度因数，l 为压杆长度。
常见的几种约束条件下压杆的长度因数μ欧拉公式适用范围与经验公式：22()cr E πσλ=,其中柔度或长细比l i μλ=，只有临界应力cr σ小于比例极限p σ时，上述两个公式才适合欧拉公式，推演即可得1λλ≥=时才适合欧拉公式。
对于超过比例极限后的压杆失稳根据直线惯性经验公式 cr a b σλ=-秋季临界应力。
第十章 动载荷主要讨论了构件有加速度时的应力计算，冲击和振动的情况。
动应力与静应力的关系：d d st K σσ=, d σ为动应力,d K 为动荷因素，st σ为静应力. 对于受重力作用的动荷因素1d a K g=+。
拉伸、弯曲和扭转变形公式：Δl =Fl EA348Fl w EI=pMelGI ϕ=冲击载荷的1d K =T 为 冲击时的瞬时动能,P 为物体重量；若冲击是因P 从高为h处自由落下造成，则有1d K =对水平重庆,d F =，d st σ= 第十一章 交变应力随着时间周期性变化的应力称为交变应力。
最大应力：max σ 最大应力：min σ 平均应力:max min2m σσσ+=应力幅:max min2a σσσ-=最大最小应力比：minmaxr σσ=应力—寿命曲线S -N 曲线持久极限:只要应力不超过某一个极限，N 可以无限增长，即试样可以经历无限次循环而不发生疲劳，交变应力的这一极限称为疲劳极限或持久极限。
对称循环的持久极限计为1σ-，下标为—1表示对陈循环的循环特征为1r =-.影响持久极限的因素:构件外形:（11()()d k K σσσ--=）,11()()d k K τττ--=称为有效应力集中因素。
其中1()d σ-和1()d τ-表示无应力集中的光滑试样的持久极限；1()d σ-和1()d τ-表示有应力集中，且尺寸与光滑试验相同的持久极限.构件尺寸的影响：11()dσσεσ--=，11()dττετ--=称为尺寸因素构件表面质量的影响：11()()dβσβσ--=称为表面质量因素.1()βσ-为其他加工情况时构建的持久极限。
综合上述三种因素，在对称循环下,构建的持久极限为01111,K K στστεβεβσσττ----==对称循环下构件疲劳强度计算: 011[]nσσ--=，01max1[]n σσσ--≤=,01maxn n σσσ-=≥称为构件的工作安全因数,则其应大于或等于规定的安全因数n ，则可以得到max1n n K σσσσσεβ-=≥，max1n n K τττττεβ-=≥。
所以在计算时，需要首先计算maxσ（maxτ），然后根据构件特征查出K 、ε和β，最后再进行校核。
不对称循环下构件疲劳强度计算实质上只需要对上述n σ、n τ进行修正01aa mn n K σσσσσψσεβ-=≥+，1amn n K ττττττψσεβ-=≥+弯扭组合交变应力的强度计算实质上只需要对上述n σ、n τ进行修正n n στ=≥ ,max1n K σσσσσεβ-=,max1n n K τττττεβ-=≥变幅交变应力（积累损伤理论，线性损伤理论）设变幅交变应力中，超过持久极限的应力是12,,...σσ。
如构件在稳定常幅应力1σ作用下寿命为1N ,便可认为按1σ每循环一次造成的损伤为11N ，循环1n 此后形成的损伤为11n N .同理可以得到在 23,,...σσ作用下的循环次数分别是23,...n n 则引起的损伤分别是11n N ，33n N 。
.。
,则损伤总和为：12112...ki i in n n N N N =++=∑提高强度的措施：减缓应力集中，降低表面粗糙度,增强表层强度常用力学概念：(1) 力偶:大小相等，方向相反.但不在同一直线上的一对平行力(2) 力矩： 是必须要针对某个点来说(3) 力偶矩: 力偶矩是两个等大反向平行不共线力的大小乘以两个力作用线之间的距离 转动惯量，又称惯性距、惯性矩(惯性力矩，易与力矩混淆）：转动惯量是刚体转动时惯性的量度 21ni i i J m r ==∑，m i 表示刚体的某个质点的质量，r i 表示该质点到转轴的垂直距离，相应的惯性能：212E J ω=，其中类似于212E mv =，分析实际情况,J 的作用相当于牛顿运动平动分析中的质量m 的作用，都是一般不轻易变的量。