(积分法)欧拉积分,余元公式

欧拉积分的运用及余元公式的证明王国俊 01211071徐州师范大学 数学系 徐州 221116摘要 欧拉积分的应用十分广泛，本文着重讲了欧拉积分及其变形在积分计算中的运用,并给出了余元公式的一种新的证明方法,而且意外得到了欧拉积分的一种新的变形. 关键词 欧拉积分；Gamma 函数；Beta 函数；余元公式现在我们很多时候解决问题的工具还是用初等函数来解决问题，这给我们研究带来很多不便.利用含参变量积分是引进非初等函数的一个重要途径.所谓欧拉积分正是如此.下面先介绍点预备知识：在一般的数学教材中，欧拉积分定义如下：)0,0()1(),()0()(111010>>-⎰=B >⎰=Γ----+∞q p dx x xq p dxe x q p x ααα两者分别称为Gamma 函数和Beta 函数,简称为函数函数和B Γ.欧拉积分的几个基本变形：函数Γ)1(令2y x =, 就有)0(2)(212010>⎰=⎰=Γ--+∞--+∞ααααdy e ydx e xy x令py x =, 则有)0,0()(1010>>⎰=⎰=Γ--+∞--+∞p dy e y p dx e x py x ααααα特别地当21=α时，由华东师范大学编的数学分析第20章第二节例七有π=Γ)21(并且有)()1(αααΓ=+Γ函数B )2(令ϕ2cos =x 就有ϕϕϕπd q p p q 121220cos sin 2),(--⎰=B令yyx +=1，则有 dy y y q p qp p +-∞++⎰=B )1(),(1欧拉积分间的联系：)()()(),(q p q p q p +ΓΓΓ=B )0,0(>>q p以上介绍了欧拉积分的定义及相关变形，那么如何利用欧拉积分解决数学中某些积分运算呢?一 欧拉积分在求解积分中的运用1． 通过式子的变形将积分变成欧拉积分的形式，再利用欧拉积分的相关性质，计算出该积分的值.例1 求积分dx x x 21-⎰解 原式=8)3()23()23()23,23()1(212110π=ΓΓΓ=B =-⎰dx x x 例2 求积分dx xx 4211-⎰解 原式=421421431)1()(41dx x x x--⎰ =421421443410)1()()(41dx x x x ---⎰ =)21,43(41B 2.利用换元法将未知积分化为欧拉积分，然后再进行计算.例3 求积分dx x x240)1(+⎰∞+解 令t x x =+1则有 ttx -=1 从而有 dt t dx 2)1(1-=带入原式有 224sin 41)43()41(41)2()43()45()43,45()1()1(414110240πππ==ΓΓ=ΓΓΓ=B =-⎰=+⎰-∞+dt t t dx x x 例4 求xdx x qp cos sin 20π⎰解 原式=)(sin )sin 1()(sin 21)sin 1()(sin 221221220222220x d x x dx x x q p q p ---⎰=-⎰ππ令x u 2sin =得, 10<<u上式=)21,21(21)1(21212110++Γ=-⎰--q p du u uq p 3.在很多时候我们解决问题时，需要综合运用以上的两种方法. 例5 求积分dx e x x n 220-+∞⎰解 原式=)2(21202x d exx n --∞+⎰ 2120221dx e x x n --∞+⎰=令2,(0)t x x x ==>则则上式=)212(21212120+Γ=⎰--∞+n dt e tt n =πnn 2!)!12(-例6 求xdx cos 30-⎰π解 原式=2sin 121)2cos 1(222x dx xdx +⎰=-+⎰ππ令2sin2x u =得 上式=du u u du u u 2121210212110)1(21)1()1(21-----⎰=-+⎰令t u =2得上式=dt t tdt t t 12114310432110)1(221)1(221-----⎰=-⎰)21,41(221B =注 在利用欧拉积分进行积分计算时一定要注意欧拉积分的上下限及等价变形.二 余元公式的相关证明在几乎所有的数学分析教材中都对余元公式进行了介绍，但没有给出相应的证明，笔者查了很多资料，同时也有了自己对其证明的一种新的证明想法. 下面先介绍一种我所查到的余元公式的一种简单证明. 我们知道余元公式的表达式是)sin()1,(ππa a a =-B对dt t t a a B a a a a a 110)1()1,()1()(,10---⎰=-=-ΓΓ<< 令xt +=11，则 x xdx x x x x dt t t a a a a a +⎰=+++⎰-=-⎰-∞--∞--1)1(1)1()11()1(1210110 dx xx dx x x a a +⎰++⎰=-∞-111111当10<<x 时，由幂级数理论可得()10111-+∞=-∑-=+k a kk a x x x 此级数在[]t ,ε其中10<<<t ε上一致收敛，故可在[]t ,ε上逐项积分，从而dx x dx xk a k k tk a k kt101)1()1(-+∞=-+∞=∑∑-⎰=-⎰εε=()()k a k a kk t ka ++∞=-+-∑ε110 ()()k a kk k a k k k a t k a +∞=+∞=+--+-=∑∑ε111100 （1）因级数()ka kk t ka +∞=+-∑110的收敛半径为1，且1,0=t 时级数均收敛，由阿贝尔定理知： ()ka kk t ka +∞=+-∑110在[]1,0上一致收敛，故有 ()()ka kk kk t +-=-∑∑∞=∞=→111lim 001同理有()011lim 0=+-+∞=→∑+k a kk ka εε在（1）式中，令+→→0,1εt 便有:=+⎰-dx xx a 1110()ka kk +-∑∞=110对得令t x dx xx a 1,111=+⎰-∞+dx x x a +⎰-∞+111==+⎰--dt tta 11)1(10()ak kk -+-∑∞=1110综上可得：=-ΓΓ)1()(a a dx x x a +⎰-∞+110=dx xxdx x x a a +⎰++⎰-∞+-1111110 ()k a k k +-=∑∞=110+()a k kk -+-∑∞=1110=+a1)11()1(0ka k a k k --+-∑∞= （2） 再由)cos(ax 在],[ππ-的Fourier 级数展式有)cos(ax =+aax 1[sin π())11(11k a k a kk -++-∑∞=)]cos(kx , ],[ππ-∈x令0=x 可得+=aa 1)sin(ππ())11(11ka k a kk -++-∑∞= (3) 从而由（2），（3）知余元公式成立.在查资料的过程中，我还发现了余元公式的另两种证明方法：一种是利用复变函数中的留数定理来证明；另一种是利用Γ函数的另一种定义来证明，下面是我利用二重积分对该问题的加以的讨论.dy e y dx e x p p p p y p x p --+∞--+∞⎰⎰=-ΓΓ=-B 010)1()()1,(dxdy e y e x y p x Dp ----⎰⎰=1其中D={G y R x y x ≤≤≤≤ελ,),(} ,先考虑dxdy e y e xy p D xp ----⎰⎰11 , 221:{(,),0,0}D x y x y R x y λ=≤+≤>>从此出发有两条路径：一种是利用格林公式的逆运用把此二重积分化为第一型曲线积分，再进行计算，最后令∞→→R ,0λ即可，其理由是因为有人已经使用留数定理证明过了，而复变函数的留数定理与数学分析中的第一型曲线积分相通.所以该方法有很大可行性.但是这个过程需要偏微分方程的知识，以我现在的知识储备解决不了. 另一种方法是换元，我进行的过程如下：令θθsin ,cos r y r x ==，则有 则积分变为dxdy e y e xyp D xp ----⎰⎰11 =θθθθθλπd rdre r e r r p r p R))sin ()cos ((sin cos 120----⎰⎰=θθθθθλπd dre e r p r p R))(sin )(cos (sin cos 120----⎰⎰θθθθθλθθθθπd e e R p p ][)(sin )(cos )cos (sin )cos (sin 1)cos (sin 120+-+---+--⎰=令0,→∞→λR 得有)cos (sin )cos (sin θθλθθ+-+--e eR 1-→从而θθθθθθθλθθπd dre e R p p ][)(sin )(cos )cos (sin 1)cos (sin )cos (sin 120+-+----+-⎰=θθθθθπd p p --+⎰)(sin )(cos cos sin 112令sin ,arcsin (0)2t t πθθθ==<<有上式=dt tt t t pp 2122111)1(111---+⎰--=dt t t t p p ----+⎰2221)1(111=dt t t t p p 222210)1)(11(------⎰=dt tt p p 22210)1(----⎰dt t t p p 21210)1(----⎰-令sin ,arcsin t w w t ==则 上式=wdw w w wdw w w p p p p cos )(sin )(cos cos )(sin )(cos 21202220------⎰-⎰ππ=dw w w dw w w p p p p 2202120)(sin )(cos )(sin )(cos -----⎰-⎰ππ=)]21,21()2,21([21+--B ---B p p p p即有=-B )1,(p p )]21,21()2,21([21+--B ---B p p p p 证明进行到此，发现用换元这条路行不通了，但意外得到了欧拉积分关于余元公式的一种新的变形，在查了很多资料后没发现这个变形公式，想必在知识储备越来越多的情况下第一种方法还是可行的欧拉积分和一些应用Gamma 函数: Gamma 函数定义为.有递推公式,特别地.Beta 函数: Beta 函数定义为.两个函数之间有关系.利用这个可以计算很多积分.例如旧贴里面有一题(卧龙先生): 解: 作变量代换,原积分化为而 其中.又如计算. 解:作变量代换,则原积分化为.容易计算得当时,.时,。