2.2提公因式法(2)
【数学课件】2.2提公因式(2)
3、自我教育需要有非常重要而强有力的促进因素——自尊心、自我尊重感、上进心。——苏霍姆林斯基 4、追求理想是一个人进行自我教育的最初的动力，而没有自我教育就不能想象会有完美的精神生活。我认为，教会学生自己教育自己，这是一种
最高级的技巧和艺术。——苏霍姆林斯基 5、没有时间教育儿子——就意味着没有时间做人。——（前苏联）苏霍姆林斯基 6、教育不是注满一桶水，而且点燃一把火。——叶芝 7、教育技巧的全部奥秘也就在于如何爱护儿童。——苏霍姆林斯基 8、教育的根是苦的，但其果实是甜的。——亚里士多德 9、教育的目的，是替年轻人的终生自修作准备。——R.M.H. 10、教育的目的在于能让青年人毕生进行自我教育。——哈钦斯 11、教育的实质正是在于克服自己身上的动物本能和发展人所特有的全部本性。——（前苏联）苏霍姆林斯基 12、教育的唯一工作与全部工作可以总结在这一概念之中——道德。——赫尔巴特 13、教育儿童通过周围世界的美，人的关系的美而看到的精神的高尚、善良和诚实，并在此基础上在自己身上确立美的品质。——苏霍姆林斯基 14、教育不在于使人知其所未知，而在于按其所未行而行。——园斯金 15、教育工作中的百分之一的废品，就会使国家遭受严重的损失。——马卡连柯 16、教育技巧的全部诀窍就在于抓住儿童的这种上进心，这种道德上的自勉。要是儿童自己不求上进，不知自勉，任何教育者就都不能在他的身
1、自编题：
以（a-b）为公因式， 自己编2道用提公因式法 分解因式的题目。
2、条件求值：
已知a-b=3，a+c=-5，则 代数式（ac-bc)+(a2-ab) 的值是（ A ）
A、-15； B、-2；
C、-6； D、6。
3、识别图形：
提公因式法(第2课时)
探究新知
因式分解： − + ( − )
因式分解
解： − + ( − )=( − )( + )
多项式乘多项式
注意：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以
是一个多项式的形式.
探究新知
素养考点 1 提公因式为多项式的因式分解
例
因式分解： + + ( + )
(n是偶数)
(n是奇数)
(n是整数)
探究新知
素养考点 1
提符号不同的多项式的因式分解
例1 因式分解： ( − ) −( − )
解：( − ) −( − )
=( − ) − −( − )
=( − ) − −
=( − ) ( − − )
因式分解： − + ( − )
（1）多项式的公因式是什么？（ − ）
（2）如何将多项式因式分解？ 可将( − )看做整体.
分析：设 − = ，则原式变形为 + ，
∴ + = ( + )，
整体思想 即 − + − = ( − )( + )
巩固练习
变式训练
把下列各式因式分解：
(1)( + ) + ( + )；
(2) − − ( − )；
解： (1)( + ) + ( + )=( + )( + )；
(2) − − − = − − ；
巩固练习
(3)( + ) −( + )；
D. − ( + − )
课堂检测
2.2提公因式法
把下列各式分解因式： 比较2002×20032003与 ① a（x-3）+2b（x-3）； 2003×20022002的大小。 解答：设2002=x ② 5（x-y）3+10（y-x）2。 ① a（x-3）+2b（x-3） ∵2002×200320032003×20022002=x·10001（x+1）=（x-3）（a+2b） （x+1）·10001 x=0 3 2 ② 5（x-y） +10（y-x） ∴2002×20032003=2003×20022002 =5（x-y）3+10[-（x-y）]2 已知a+b=13,ab=40, =5（x-y）3+10（x-y）2 求a2b+ab2的值； 2 =5（x-y） （x-y+2） 2 2
a
学校打算把操场重新规划一下，分为绿化带、运动 场、主席台三个部分，如下图，计算操场总面积。
b
c
m
方法一：S = m ( a + b + c ) 方法二：S = ma + mb + mc
下面两个式子中哪个是因式分解？
在式子ma + mb + mc中，m是这个 多项式中每一个项 都含有的因式，叫 做 公因式。
最大公因式的提取方法: 系数取分子和分母系数 的最大公约数,字母取分 子和分母共有的字母,指 数取公共字母的最小指 数,即 公因式，你有哪些找公因 式的方法？ 定义说明：初中一 般研究两个因式乘 积，高中就会扩展 到多个因式乘积
探究新知
(2)2b2+4b-6b
（3）2x2+6x3
议一议
8a3b2－12ab3c 的公因式是什么？
公因式
2.2 提公因式法(含答案)-
2．2提公因式法一、选择题：1．多项式－4a2b2+12a2b2－8a3b2c的公因式是（）A．－4a2b2c B．－a2b2 C．－4a2b2D．－4a3b2c2．若多项式－6mn+18mnx+24mny的一个因式是－6mn,那么另一个因式是（）A．－1－3x－4y B．1－3x－4y C．－1－3x+4y D．1+3x－4y3．分解－3a2bc2+12a3b2c2+9a2bc3的结果是（）A．－a2bc2(3－12ab－9c) B．a2bc2(－3+12ab+9c)C．－3(a2bc2－4a3b2c2－3a2bc3) D．－3a2bc2(1－4ab－3c)4．下列提公因式法分解因式正确的是（）A．12abc－9a2b2=3abc(4－3ab) B．3x2y－3xy+6y=3y(x2－x+2y)C．－a2+ab－ac=－a(a－b+c) D．x2y+5xy－y=y(x2+5x)5．下列多项式中的公因式与多项式8x3+24x2+4x的公因式相同的有（）①8y3+24y2+4y；②32x3y+16xy2+28x3；③4x4－12x3+16x2+20x；④－8x3+4x2－24x A．1个B．2个C．3个D．4个6．下列各组多项式中,提取公因式后的剩余因式相同的是( )A．3m2n+6mn2与2m2n+4mn2+mn B．a3+a2+a与b3+b2+bC．6x3+4x2+2x与6x2y+4xy+2y D．a(m－n)3－b(n－m)3与a(m－n)3－b(m－n)3二、填空题：1.单项式4a3,8a2b2,－30a2bc的公因式是_________；单项式8x m y n－1与–4x m+1y n的公因式是_________。
2.在下列各式右边的括号前填写“+”号或“－”号，使等式成立：(1)（b－a）2=_________(a－b)2; (2)(x－y)3=________(y－x)3(3)－a－b=___________(a+b); (4)(－x－y)2=________(x+y)23．－6m3n2+12m2n3－3m2n2的公因式是_________；5a(x－y)－10b(y－x)的公因式是________．4．在下列括号内填写适当的多项式，使等式成立：（1）14abx－8ab2x=2abx( ); (2)－7ab－14abx+49aby=－7ab( ) 5．分解因式：3a(m+n)－6(m+n)=___________．6．利用分解因式计算：（－2）2003+（－2）2004－22003=__________。
因式分解和提公因式法
因式分解和提公因式法因式分解是代数中的一种重要的运算方法，在解题过程中往往可以起到简化问题、求解方程、找出公因数等作用。
而提公因式法是因式分解的一种特殊形式，通过提取公因式来简化多项式的表达式。
本文将详细介绍因式分解和提公因式法的概念、原理以及应用。
一、因式分解的概念和原理1.1 因式分解的概念因式分解是将一个多项式拆解成若干个因式的乘积，其中每个因式都是多项式的一个因子。
通过因式分解，我们可以将复杂的多项式化简为简单的因子形式，便于进一步求解方程、计算和进行其他代数运算。
1.2 因式分解的原理因式分解的原理是根据多项式的特点和运算规律，将其拆解为不可再分解的因子相乘的形式。
常用的分解方法有提取公因式法、配方法、根据特殊公式和因式定理等。
二、提公因式法的概念和步骤2.1 提公因式法的概念提公因式法是一种较为常见且简便的因式分解方法，通过提取多项式中的公因式，将多项式拆解为公因式和剩余部分的乘积。
这样可以达到简化表达式的效果，从而便于求解方程或进行其他计算。
2.2 提公因式法的步骤步骤一：观察多项式中是否存在公因式；步骤二：提取出公因式，并在多项式外面加上括号，表示公因式；步骤三：将多项式中去掉公因式后的部分作为括号内的剩余部分；步骤四：将公因式和剩余部分用乘号连接起来，得到最终的因式分解式。
三、因式分解和提公因式法的应用3.1 解方程因式分解和提公因式法在解方程中经常被使用。
通过因式分解，可以将原方程化简为简单的因子形式，从而更容易求解。
例如，对于二次方程ax^2 + bx + c = 0，如果可以进行因式分解成(a'x + b')(c'x + d') = 0，那么可以根据方程因式乘积为零的性质，得到x的取值。
3.2 简化计算在进行复杂的数学计算时，因式分解和提公因式法可以起到简化计算的作用。
通过将多项式化简为因子形式，可以减少计算的复杂性。
特别是在涉及多次相同运算的情况下，将公因式提取出来可以减少重复计算。
2.2提公因式法2
1.解：x(a b)2n y(b a)2n1
(a b)2n [ x y(b a)]
(a b)2n ( x by ay)
试证明： 81 27 9 能被45整除.
7 9 13
证明： 81 27 9 （9 ) (9 3) 9
7 9 13 2 7 9
13
914 99 39 913 914 99 (32 ) 4 3 913
9 3 9 9
14 13 13
分解下列因式 (1)a( x y) b( y x); (2)6(m n)3 12(n m)2 ;
(x x y y) y x x)) 解： (1)a( ) b((y a( x y) b( x y)
( x y)(a b)
开 阔 视 野
(2)6(m n)3 12(n m)2
展 示 自 我
912 (9 2 3 9 9)
9 45
12
817 279 913能被45整除.
这节课你学到些什么？
1.用到哪些数学思想？
2.知道哪些解决的方法？
构 建 网 络
3.学到哪些数学知识？
作业：书上第47页习题2.3
补充作业：
1.分解因式： x( x y )(a b) y ( y x)(b a );
课 后 韵 味
2.解关于x的方程： 5 x( x 2) 4( x 2） 0.
结束寄语
• 要珍惜时间，思考一下一天之中做
2.2提公因式法(2)
化归、 转化 整体方法 《2.2提公因式法（2）》导学案一、教学目标知识与技能：1.掌握用提公因式法分解因式的方法；2.通过观察能合理地进行分解因式的推导，并能清晰地阐述自己的观点。
过程与方法：采用化归的数学思想，在上一节课所提取的公因式是单项式的分解因式的基 础上，解决所提取的公因式是多项式的分解因式。
情感态度与价值观：通过观察，合作交流解决公因式为多项式的分解因式问题，培养学生的化归、转化能力。
二、教学重点： 含有公因式是多项式的分解因式三、教学难点： 整体思想的运用以及代数式的法号变换处理四、教学过程：（一）导入新课检查学生完成课前导读-评价单1、2，导入，公因式不仅可以是单项式，还可以是多项式。
导入语：这节课我们继续学习提公因式法分解因式。
（二）自主探索 探究新知A.基础训练问题1：把多项式(3)-x 看做一个整体，让学生感知公因式可以是多项式。
问题2：在问题1的基础上进一步解决符号问题。
教学时要引导学生正确理解()-x y 与()-y x ，2()-m n 与2()-n m 的关系。
B.能力训练问题1：解题的关键是确定公因式：（1）22()()-=-x y y x ；（2）把+mx ny 提公因式；（3）()--=-y x x y 。
问题4：提取公因式5535+x ，分解因式再解方程。
（三）课堂反思1.本节课你学习了哪些方法？2.本节课应用了转化的数学思想：公因式为多项式的分解因式问题 公因式为单项式的分解因式问题（四）布置作业《课外巩固—评价单》《2.2提公因式法（2）》课前导读—评价单班级 姓名 组别（一）学习目标：1.掌握公因式是多项式时的分解因式；2.掌握用提公因式法分解因式的方法。
（二）学习流程：1.做一做：请在下列等号右边的括号前填入“＋”或“－”，使等式成立。
（1）2-=a (2)-a （2）-=y x ()-x y（3）+=b a ()+a b （4）2()-=b a 2()-a b（5）--=m n ()+m n （6）22-+=s t （22-s t ）2.你能找出下列多项式的公因式吗？公因式是单项式还是多项式？（1）()()+++x a b y a b （2）3()()---a x y x y（3）236()12()+-+p q q p （4）2()()()+--+x y x y x y3.把下列各式分解因式：（1）()()+++x a b y a b （2）3()()---a x y x y（3）236()12()+-+p q q p （4）2()()()+--+x y x y x y（5）22()3()-+-y x x y （6）2()()---mn m n m n m由2、3题可以看出，提公因式法分解因式时，公因式不仅可以是单项式，还可以是 项式。
提公因式法
提公因式法(一)●课题§2.2.1 提公因式法(一)●教学目标(一)教学知识点让学生了解多项式公因式的意义，初步会用提公因式法分解因式.(二)能力训练要求通过找公因式，培养学生的观察能力.(三)情感与价值观要求在用提公因式法分解因式时，先让学生自己找公因式，然后大家讨论结果的正确性，让学生养成独立思考的习惯，同时培养学生的合作交流意识，还能使学生初步感到因式分解在简化计算中将会起到很大的作用.●教学重点能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来.●教学难点让学生识别多项式的公因式.●教学方法独立思考——合作交流法.●教学过程Ⅰ.创设问题情境,引入新课一块场地由三个矩形组成，这些矩形的长分别为，，，宽都是,求这块场地的面积.解法一：S=× + × + × =++=2解法二：S=× + × + × = ( ++)=×4=2［师］从上面的解答过程看，解法一是按运算顺序：先算乘，再算和进行的，解法二是先逆用分配律算和，再计算一次乘，由此可知解法二要简单一些.这个事实说明，有时我们需要将多项式化为积的形式，而提取公因式就是化积的一种方法.Ⅱ.新课讲解1.公因式与提公因式法分解因式的概念.［师］若将刚才的问题一般化，即三个矩形的长分别为a、b、c，宽都是m，则这块场地的面积为ma+mb+mc,或m(a+b+c)，可以用等号来连接.ma+mb+mc=m(a+b+c)从上面的等式中，大家注意观察等式左边的每一项有什么特点？各项之间有什么联系？等式右边的项有什么特点？［生］等式左边的每一项都含有因式m，等式右边是m与多项式(a+b+c)的乘积，从左边到右边是分解因式.［师］由于m是左边多项式ma+mb+mc的各项ma、mb、mc的一个公共因式，因此m叫做这个多项式的各项的公因式.由上式可知，把多项式ma+mb+mc写成m与(a+b+c)的乘积的形式，相当于把公因式m从各项中提出来，作为多项式ma+mb+mc的一个因式，把m从多项式ma+mb+mc各项中提出后形成的多项式(a+b+c)，作为多项式ma+mb+mc的另一个因式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.2.例题讲解3.议一议［师］通过刚才的练习，下面大家互相交流，总结出找公因式的一般步骤.［生］首先找各项系数的最大公约数，如8和12的最大公约数是4.其次找各项中含有的相同的字母，如(3)中相同的字母有ab,相同字母的指数取次数最低的.4.想一想［师］大家总结得非常棒.从例1中能否看出提公因式法分解因式与单项式乘以多项式有什么关系？［生］提公因式法分解因式就是把一个多项式化成单项式与多项式相乘的形式.Ⅲ.课堂练习(一)随堂练习1.写出下列多项式各项的公因式.(1)ma+mb (m)(2)4kx－8ky (4k)(3)5y3+20y2 (5y2)(4)a2b－2ab2+ab (ab)2.把下列各式分解因式(1)8x－72=8(x－9)(2)a2b－5ab=ab(a－5)(3)4m3－6m2=2m2(2m－3)(4)a2b－5ab+9b=b(a2－5a+9)(5)－a2+ab－ac=－(a2－ab+ac)=－a(a－b+c)(6)－2x3+4x2－2x=－(2x3－4x2+2x)=－2x(x2－2x+1)(二)补充练习1．把3x2－6xy+x分解因式［生］解：3x2－6xy+x=x(3x－6y)［师］大家同意他的做法吗？［生］不同意.改正：3x2－6xy+x=x(3x－6y+1)［师］后面的解法是正确的，出现错误的原因是受到1作为项的系数通常可以省略的影响，而在本题中是作为单独一项，所以不能省略，如果省略就少了一项，当然不正确，所以多项式中某一项作为公因式被提取后，这项的位置上应是1，不能省略或漏掉.在分解因式时应如何减少上述错误呢？将x写成x·1,这样可知提出一个因式x后，另一个因式是1.2．Ⅳ.课时小结1.提公因式法分解因式的一般形式，如：ma+mb+mc=m(a+b+c).这里的字母a、b、c、m可以是一个系数不为1的、多字母的、幂指数大于1的单项式.2.提公因式法分解因式，关键在于观察、发现多项式的公因式.3.找公因式的一般步骤(1)若各项系数是整系数，取系数的最大公约数；(2)取相同的字母，字母的指数取较低的；(3)取相同的多项式，多项式的指数取较低的.(4)所有这些因式的乘积即为公因式.4.初学提公因式法分解因式，最好先在各项中将公因式分解出来，如果这项就是公因式，也要将它写成乘1的形式，这样可以防范错误，即漏项的错误发生.5.公因式相差符号的，如(x－y)与(y－x)要先统一公因式，同时要防止出现符号问题.Ⅴ.课后作业习题2.2(7)－2x2－12xy2+8xy3=－(2x2+12xy2－8xy3)=－2x(x+6y2－4y3);(8)－3ma3+6ma2－12ma=－(3ma3－6ma2+12ma)=－3ma(a2－2a+4);2.利用因式分解进行计算(1)121×0.13+12.1×0.9－12×1.21=12.1×1.3+12.1×0.9－1.2×12.1=12.1×(1.3+0.9－1.2)=12.1×1=12.1(2)2.34×13.2+0.66×13.2－26.4=13.2×(2.34+0.66－2)=13.2×1=13.2(3)Ⅳ.活动与探究利用分解因式计算：(1)32004－32003;(2)(－2)101+(－2)100.解：(1)32004－32003=32003×(3－1)=32003×2=2×32003(2)(－2)101+(－2)100=(－2)100×(－2+1)=(－2)100×(－1)=－(－2)100=－2100●板书设计§2.2.1 提公因式法(一)一、1.公因式与提公因式法分解因式的概念2.例题讲解(例1)3.议一议(找公因式的一般步骤)4.想一想二、课堂练习1.随堂练习2.补充练习三、课时小结四、课后作业●备课资料参考练习一、把下列各式分解因式：1.2a－4b;2.ax2+ax－4a;3.3ab2－3a2b;4.2x3+2x2－6x;5.7x2+7x+14;6.－12a2b+24ab2;7.xy－x2y2－x3y3;8.27x3+9x2y.参考答案：1.2(a－2b);2.a(x2+x－4);3.3ab(b－a);4.2x(x2+x－3);5.7(x2+x+2);6.－12ab(a－2b);7.xy(1－xy－x2y2);8.9x2(3x+y).提公因式法(二)●课题§2.2.2 提公因式法(二)●教学目标(一)教学知识点进一步让学生掌握用提公因式法分解因式的方法.(二)能力训练要求进一步培养学生的观察能力和类比推理能力.(三)情感与价值观要求通过观察能合理地进行分解因式的推导，并能清晰地阐述自己的观点.●教学重点能观察出公因式是多项式的情况，并能合理地进行分解因式.●教学难点准确找出公因式，并能正确进行分解因式.●教学方法类比学习法●教学过程Ⅰ.创设问题情境,引入新课［师］上节课我们学习了用提公因式法分解因式，知道了一个多项式可以分解为一个单项式与一个多项式的积的形式，那么是不是所有的多项式分解以后都是同样的结果呢？本节课我们就来揭开这个谜.Ⅱ.新课讲解一、例题讲解［例2］把a(x－3)+2b(x－3)分解因式.分析：这个多项式整体而言可分为两大项，即a(x－3)与2b(x－3)，每项中都含有(x－3),因此可以把(x －3)作为公因式提出来.解：a(x－3)+2b(x－3)=(x－3)(a+2b)［师］从分解因式的结果来看，是不是一个单项式与一个多项式的乘积呢？［生］不是，是两个多项式的乘积.［例3］把下列各式分解因式:(1)a(x－y)+b(y－x);(2)6(m－n)3－12(n－m)2.分析：虽然a(x－y)与b(y－x)看上去没有公因式，但仔细观察可以看出(x－y)与(y－x)是互为相反数，如果把其中一个提取一个“－”号，则可以出现公因式，如y－x=－(x－y).(m－n)3与(n－m)2也是如此.解：(1)a(x－y)+b(y－x)=a(x－y)－b(x－y)=(x－y)(a－b)(2)6(m－n)3－12(n－m)2=6(m－n)3－12［－(m－n)］2=6(m－n)3－12(m－n)2=6(m－n)2(m－n－2).二、做一做请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“－”号，使等式成立:(1)2－a=__________(a－2);(2)y－x=__________(x－y);(3)b+a=__________(a+b);(4)(b－a)2=__________(a－b)2;(5)－m－n=__________－(m+n);(6)－s2+t2=__________(s2－t2).解：(1)2－a=－(a－2);(2)y－x=－(x－y);(3)b+a=+(a+b);(4)(b－a)2=+(a－b)2;(5)－m－n=－(m+n);(6)－s2+t2=－(s2－t2).Ⅲ.课堂练习把下列各式分解因式：解：(1)x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y);(2)3a(x－y)－(x－y)=(x－y)(3a－1);(3)6(p+q)2－12(q+p)=6(p+q)2－12(p+q)=6(p+q)(p+q－2);(4)a(m－2)+b(2－m)=a(m－2)－b(m－2)=(m－2)(a－b);(5)2(y－x)2+3(x－y)=2［－(x－y)］2+3(x－y)=2(x－y)2+3(x－y)=(x－y)(2x－2y+3);(6)mn(m－n)－m(n－m)2=mn(m－n)－m(m－n)2=m(m－n)［n－(m－n)］=m(m－n)(2n－m).补充练习把下列各式分解因式解：1.5(x－y)3+10(y－x)2=5(x－y)3+10(x－y)2=5(x－y)2［(x－y)+2］=5(x－y)2(x－y+2);2. m(a－b)－n(b－a)=m(a－b)+n(a－b)=(a－b)(m+n);3. m(m－n)+n(n－m)=m(m－n)－n(m－n)=(m－n)(m－n)=(m－n)2;4. m(m－n)(p－q)－n(n－m)(p－q)= m(m－n)(p－q)+n(m－n)(p－q)=(m－n)(p－q)(m +n);5.(b－a)2+a(a－b)+b(b－a)=(b－a)2－a(b－a)+b(b－a)=(b－a)［(b－a)－a+b］=(b－a)(b－a－a+b)=(b－a)(2b－2a)=2(b－a)(b－a)=2(b－a)2Ⅳ.课时小结本节课进一步学习了用提公因式法分解因式，公因式可以是单项式，也可以是多项式，要认真观察多项式的结构特点，从而能准确熟练地进行多项式的分解因式.Ⅴ.课后作业习题2.3Ⅵ.活动与探究把(a+b－c)(a－b+c)+(b－a+c)·(b－a－c)分解因式. 解：原式=(a+b－c)(a－b+c)－(b－a+c)(a－b+c)=(a－b+c)［(a+b－c)－(b－a+c)］=(a－b+c)(a+b－c－b+a－c)=(a－b+c)(2a－2c)=2(a－b+c)(a－c)●板书设计§2.2.2 提公因式法(二)一、1.例题讲解2.做一做二、课堂练习三、课时小结四、课后作业●备课资料参考练习把下列各式分解因式：1.a(x－y)－b(y－x)+c(x－y);2.x2y－3xy2+y3;3.2(x－y)2+3(y－x);4.5(m－n)2+2(n－m)3.参考答案：解：1.a(x－y)－b(y－x)+c(x－y)=a(x－y)+b(x－y)+c(x－y)=(x－y)(a+b+c);2.x2y－3xy2+y3=y(x2－3xy+y2);3.2(x－y)2+3(y－x)=2(x－y)2－3(x－y)=(x－y)［2(x－y)－3］=(x－y)(2x－2y－3);4.5(m－n)2+2(n－m)3=5(m－n)2+2［－(m－n)］3=5(m－n)2－2(m－n)3=(m－n)2［5－2(m－n)］=(m－n)2(5－2m+2n).典型例题例题1 找出下列式子中的公因式：（1）；（2）；分析多项式中各项都含有的因式是公因式，公因式中的系数是各项系数的最小公倍数，各项中共同含有的字母的公因式是各项中这个字母次数最低的幂．解答（1）公因式是．（2）公因式是．说明字母的指数中含有字母时，要判断哪个指数是最小的．例题2．分解因式：解答说明观察到第一项的系数是负数，我们先把“－”号提出来，便于继续分解因式.例题3．分解因式： .分析观察题目结构特征：第一项系数是负数，且有因式，第二、三项有因式，这就启发我们只要把前面添上负号，就变成，这样三项中均有公因式了.解答说明对于与的符号有下面的关系：感兴趣的同学可以寻找其中的规律.例题4．解方程： .分析方程左边的第一项有因式，第二项有因式 . 所以我们应先提取公因式，再化简求解.解答原方程依次变形为：例题5．不解方程组求：的值.分析把所求的式子利用因式分解法转化为关于与的因式，再代入求解.解答∵∴原式 .说明在解题过程中，巧妙地运用了转化思想，用提公因式法分解因式作为桥梁，把题给方程组和所求多项式结合起来，体现了思维的广阔性.探究活动关灯问题一条长廊里依次装有100盏电灯，从头到尾编号为1，2，3…99，100．每盏灯由一个拉线开关控制．开始，电灯全部关着．有100个同学列队从长廊走过来．第一个同学把号码凡是1的倍数的电灯的开关拉一下；接着第二个同学把凡是2的倍数的电灯开关拉一下；接着第三个同学把凡是3的倍数的电灯的开关拉一下；如此继续下去，最后第一百个同学把号码凡是100的倍数的电灯的开关拉一下．当100个同学按此规定穿过长廊之后，长廊里还有几盏灯亮着？参考答案还有10盏灯亮着．即：编号为1，4，9，16，25，36，49，64，81，100的灯．思考·探索1．解方程．参考答案1．原方程可化为，即．解得．习题精选练习题一1．选择题（1）分解的结果是（）A． B．C． D．（2）若多项式的一个因式是，那么另一个因式是（）A． B． C． D．（3）多项式的公因式是（）A． B． C． D．（4）下列用提公因式法因式分解正确的是（）A． B．C． D．2．分解因式（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）3．分解因式（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）．参考答案1．（1）D （2）D （3）C （4）C2．（1）（2）（3）（4）（5）（6）3．（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）练习题二1．把下列各式分解因式（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）．2．求满足下列等式的x的值（1）；（2）．3．若，求代数式的值．参考答案1．（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）2．（1）（2）3．，∴，当时，上式．古老的代数在古希腊时代，代数还不是一门独立的学科，许多代数公式是通过几何方法来推导的．如①式就可通过下图推导出来：现在，请你用纸片剪一个边长为的正方形，在它的右上角挖去一个边长为的小正方形（下图中有阴影的正方形），剩下的图形．我们来计算它的面积．为此，请你沿虚线把图形剪开，把小长方形按箭头所指的方向搬到的位置（不动），拼成一个长方形．请你量一量、算一算，然后回答问题：（1）正方形的面积是_________，（2）正方形的面积是_________，（3）因此，图形的面积是__________．（4）剪开HF后拼成的新矩形与图形的面积是________的．（5）矩形的边长为_______，JC边长为________，所以，矩形IJCE的面积为___________．（6）将（3）（5）的结果加以比较，就得到我们熟知的代数公式____________．电费催收单C城居民的生活用电每度收费1.5元，小英家一季度用电的数据如下：元月85度，2月73度，3月90度．奶奶要小英计算一下，一季度家里应交多少电费．小英很快就列出了算式：可是，供电所发来的收费单却是按月份别计算的．他们的算式是：现在我们来思考几个问题：（1）小英的算法与供电所的算法，结果是相同的吗？（口答）（2）根据回答可以写出等式：（3）一般地，如果电价每度为m元，某用户一季度用电的数字分别为：1月a度，2月b度，3月c度．那么，根据刚才写出的答案，就可以得出收费的一个一般公式：①①式就是分解因式的提公因式法．利用提公因式的方法分解因式的具体方法是：（1）先确定多项式中各项的公因式，再把公因式提到括号外，把原多项式除以公因式所得的商式写在括号内．确定公因式的方法是：先取各项数字系数的最大公的数，再取各项相同字母的最低次幕，合起来就是这个多项式的公因式．（2）在提取公因式时，要特别注意出现下列情况的时候：如果多项式的首项系数是负的，提公因式时要将负号提出，使括号内第一项的系数是正的，并且注意括号内其它各项要变号．如果公因式是多项式时，只要把这个多项式整体看成一个字母，按照提字母公因式的办法提出．有时要对多项式的项进行适当的恒等变形之后（如将变成才能提公因式，这时要特别注意各项的符号．。
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•课题
§2.2 提公因式法(二)
•教学目标
(一)教学知识点进一步让学生掌握用提公因式法分解因式的方法.
(二)能力训练要求进一步培养学生的观察能力和类比推理能力.
(三)情感与价值观要求通过观察能合理地进行分解因式的推导，并能清晰地阐述自己的观点.
•教学重点能观察出公因式是多项式的情况，并能合理地进行分解因式.
•教学难点准确找出公因式，并能正确进行分解因式.
•教学方法
类比学习法
•教具准备
无
•教学过程
I •创设问题情境，引入新课
［师］上节课我们学习了用提公因式法分解因式，知道了一个多项式可以分解为一个单项式与
一个多项式的积的形式，那么是不是所有的多项式分解以后都是同样的结果呢？本节课我们就来揭
开这个谜.
n •新课讲解
一、例题讲解
［例2］把a(x－3)+2b(x－3)分解因式.
分析：这个多项式整体而言可分为两大项，即 a (x—3)与2b (x—3)，每项中都含
有(x—3)，因此可以把(x—3)作为公因式提出来.
解：a( x—3) +2b( x—3) =( x—3)( a+2b) ［师］从分解因式的结果来看，是不是一个单项式与一个多项式的乘积呢？［生］不是，是两个多项式的乘积.
［例3］把下列各式分解因式:
( 1) a( x—y) +b( y—x) ;
( 2) 6( m—n) 3—12( n—m) 2.
分析：虽然a (x—y)与b (y —x)看上去没有公因式，但仔细观察可以看出( x —
y)
与（y — x ）是互为相反数，如果把其中一个提取一个“― －x=－（ x － y ） .（ m －n ） 3与（ n －m ） 2
也是如此 .
解：（ 1） a （ x — y ） +b （ y — x ） =a （ x — y ）— b （ x — y ）
=（ x — y ）（ a — b ）
32 （
2） 6（ m — n ） 3— 12 （ n — m ）
2
二、做一做 5）— m — n=—（ m+n ）
2 2 2 2
6）— s 2+t 2=
—（ s 2— t 2
） 川•课堂练习 把下列各式分解因式：
解：（ 1） x （ a+b ） +y （ a+b ）
=（ a+b ）（ x+y ） ;
（ 2） 3a （ x — y ）—（ x — y ） =（ x — y ）（ 3a — 1） ;
（ 3） 6（ p+q ） 2— 12（ q+p ）
2
=6（ p+q ） 2— 12 （ p+q ） =6（ p+q ）（ p+q — 2） ;
（ 4） a （ m — 2） +b （ 2— m ） =a （ m — 2）— b （ m — 2）
=6 （ m — n ） 3— 12[—（ m — n ）] =6 （ m —
n ） 3— 12（ m — n ） 2 =6 （ m —
n ） 2（ m — n — 2） . （ 1） 2— a= ______
（ a — 2 ） ; （ 2） y — x= ______ （ x — y ） ; （ 3） b+a=
_______ （ a+b ） ; （ 4） （ b — a ） 2=__ ____ （ a —
b ） （ 5） — m — n= __ ___ —
（ m+n ） （ 6） 22
— s +t = _____ __ （ s 2— t 2） •
解：（ 1） 2— a= —（ a — 2） ; （ 2） y — x=—（ x — y ） J （ 3） b+a=+ （ a+b ） J
（ 4） （ b — a ） 2=+ （ a — b ） 2; 请在下列各式等号右边的括号前填入
« 号，则可以出现公因式，如 +”或“— 号，使等式成立
=（m －2）（a －b ）;
2
（5）2（y －x ） 2
+3（x －y ）
2 =2［－（ x －y ）］ 2
+3（ x －y ）
2 =2（x －y ）2+3（x －y ）
=（x －y ）（ 2x － 2y+3）
6）mn （m －n ）－ m （n － m ）
=mn （m －n ）－ m （m －n ）
=m （m －n ）［ n －（ m －n ）］
=m （ m －n ）（ 2n －m ） 补充练习
把下列各式分解因式
32 =5（x －y ）3+10（ x －y ）2
2
=5（x －y ）2［（ x －y ）+2］
2
=5（ x － y ） 2（x －y+2）
2. m （a －b ）－ n （b －a ）
=m （a －b ）+n （a － b ）
=（ a －b ）（ m+n ） ;
3. m （m －n ）+n （n － m ）
=m （ m －n ）－ n （m －n ）
2
=（m －n ）（ m －n ）=（m －n ） ;
4. m （m －n ）（ p －q ）－ n （n － m ）（ p －q ） = m （ m －n ）（ p －q ） +n （m － n ）（ p － q ） =（m －n ） （ p － q ）（ m +n ） ;
5. （ b — a ） 2
2+a （ a －b ） +b （ b －=（ b －a ） 2－a （ b －a ） +b （b － a ） =（ b －a ） ［（ b － a ）－ a+b ］
=（ b －a ） （ b －a －a+b ）
=（ b －a ） （ 2b －2a ）
=2（ b －a ） （ b －a ）
=2（
b －a ）
2
IV •课时小结
本节课进一步学习了用提公因式法分解因式，公因式可以是单项式，也可以是多项 式，要认真观察多项式的结构特点，从而能准确熟练地进行多项式的分解因式 V •课后作业
解： 3
1.5（x －y ）3+10（y －x ）
习题2.3
W .活动与探究
把(a+b —c)( a—b+c) + (b —a+c)・(b—a—c)分解因式解：原式=(a+b—c)( a—b+c) — ( b—a+c)( a —b+c) =(a —b+c)[( a+b—c) — ( b—a+c)]
=(a —b+c)( a+b —c—b+a—c)
=(a —b+c)( 2a—2c)
=2 (a —b+c)( a—c)
•板书设计
•备课资料
参考练习
把下列各式分解因式：
1.a (x —y)—b (y —x) +c (x —y);
2 2 3
2.x y—3xy +y ;
2
3.2 (x —y) +3 (y—x);
4.5 (m—n) 2+2 (n—m) 3.
参考答案：
解：1.a (x—y)—b ( y—x) +c (x—y)
=a (x—y) +b (x—y) +c (x —y) =(x—y)( a+b+c);
c 2 c 2 3
2.x y—3xy +y
2 2
=y (x —3xy+y )；
3.2 (x —y) 2+3 (y—x)
=2 (x—y) 2—3 (x—y)
=(x—y) [2 (x—y)—3:
=(x—y) (2x—2y—3); 2
4.5 ( m—n) +2 ( n—m)
2
=5（m－n）+2［－（m－n）］
=5（m－n）
2
2－2（m－n）
2 =
（m－n）2［5－2
（m－n）］
2
=（m－n）2（5－2m+2n）.。