第九章板壳结构有限元案例
板壳结构线弹性静力分析实例
有限元练习板壳结构线弹性静力分析实例摘要:有限元分析是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。
它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的近似解，然后推导求解这个域总的满足条件，从而得到问题的解。
由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。
随着计算机技术的快速发展和普及，有限元方法迅速从结构工程强度分析计算扩展到几乎所有的科学技术领域，成为一种丰富多彩、应用广泛并且实用高效的数值分析方法。
正文:一、题目内容的描述:分析结构是一个四周固支的方板，其尺寸为1m×1m，厚度为0.01m。
承受的均匀横向面荷载为1000Pa。
材料为线弹性材料，弹性模量E=2.1×1011N/m2,泊松比=0.3。
二、分析步骤(一)、前处理1、网格划分采用10×10的网格,在xy平面添加点,最终生成的有限元网格如下图a所示a) 有限元网格2、定义边界条件定义结构上的荷载和边界条件,约束方板四条边上节点的所有自由度,表面上施加均匀分布面荷载,如下图b所示b) 有限元网格和边界条件3、定义材料特性定义各向同性线弹性材料特性, 设定材料的杨氏模量与泊松比并指定到全部单元4、定义几何特性设定三维框架厚度为0.01m(二)、选取作业参数并提交运行分析1、改变单元类型2、选择应力分析作业类型为3-D3、选择22号单元,输出结果选择等效Von Mises 应力4、保存模型并提交,对运行过程进行监控(三)、后处理1、进入后处理菜单,打开后处理文件,显示等效Von Mises应力2、显示Z方向位移图, 且显示方式为云图显示三、操作步骤1、创建网格MESH GENERATIONPOINT ADD0 0 01 0 01 1 00 1 0SURFACE ADD1 2 3 4CONVERT （将几何体转化为网格实体）SURFACE TO ELEMENTS （选底部的所有曲面，并单击右键确认）ALL EXSITRETURNCHANGE CLASSQUAD(8)ELEMENTSALL EXISTINGRETURNSWEEPALLRETURNRENUMBERNODES DIRECTED1 0.01 0.001ELEMS DIRECTED1 0.01 0.001RETURNMAIN2、定义边界条件BOUNDARY CONDITIONSNEWSTRUCTURALFIXED DISPLACEMENT （边界条件为指定位移）DISPLACEMENT X (on)DISPLACEMENT Y (on)DISPLACEMENT Z (on)ROTATION X (on)ROTATION Y (on)ROTATION Z (on)OKNODES ADD(选择边界上所有节点)#NEWFACE LOADPRESSURE1000OKSURFACE ADD1#MAIN3、定义材料特性MATERIAL PROPERTIESNEWISOTROPICYOUNG’S MODULUS2.1e11POISSON’S RATIO0.3OKElements ADDMAIN4、定义几何特性GEOMETRIC PROPERTIESNEW3-DSHELLTHICKNESS0.01elements ADDall : EXISTMAIN5、创建作业选择22号单元,输出结果选择等效应力JOBSELEMENT TYPESSTRUCTURAL3-D MEMBERANE/SHELL22OKall : EXISTRETURNNEWSTRUCTURALJOB RESULTSEquivalent Von Mises StressOKRUNSUBMIT 1MONITOROKMAIN6、后处理打开后处理文件,显示等效应力,如图c所示RESULTSOPEN DEFAULTDEF & ORIGCONTOUR BANDSSCALAREquivalent Von Mises StressOk(显示Z方向位移图,如图d所示) RESULTSCONTOUR BANDSDISPLACEMENT ZOK绘制节点N1(左边界中点)到N2(右边界中点)路径上所有节点Z方向的位移曲线,如图e 所示RESULTSPATH PLOTNODE PATH N1 N2（从节点N1到节点N2的路径）#VARIABLESADD CURVEADD CURVEARC LENGTHDISPLACEMENT ZFITRETURN四、运行结果c)等效Von Mises 应力图d) Z方向位移图e) 节点N1到N2路径上所有节点Z方向的位移曲线五、参考文献《MARC有限元实例分析教程》陈火红编著.机械工业出版社2002版六、设计心得通过查找相关资料和自己的不断思考总结，我发现以前从未意识到MARC竟有如此广泛的用途和强大的功能，这次的设计让我学到了如何简单定义材料属性如何模拟求解工程问题，并用简捷的处理方法处理问题，这让我对MARC知识产生了极大地兴趣，其实MARC并没有那么难，但也并不简单，通过上课的认真学习和课后的反复练习,熟练的掌握，我们才能灵活的运用，才能可能的真正的把MARC知识应用于生活和实践，让MARC更好的服务于生活。
板壳弯曲问题的有限单元法幻灯片
1. 薄板弯曲问题的基本方程 2. 薄板弯曲问题的非协调矩形单元 3. 非协调三角形板单元 4. 薄板弯曲问题的协调元
1
6.1 薄板弯曲问题的基本方程
1 弹性薄板的基本假设（克希霍夫假设） 无挤压 薄板弯曲时，平行于中面的各层面之间无挤压。这意
味着薄板弯曲后厚度保持不变，因此可取 zw/z0。显
(u )z 0 0 , (v )z 0 0
结合几何方程可知，中面内形变分量均为零,即
(x ) z 0 0 ,(y ) z 0 0 ,(x) z y 0 0 .
从上述的附加假设出发，可以将位移u、v用w表示。推导得
uwz, vwz
x
y
(2 )
这就是薄板弯曲问题的克希霍夫(Kirchhoff)假设，使用克希霍夫 假设计算的板称为克希霍夫板。
{}zh/2
6{M} h2
5
2 弹性薄板的几点简化 应力分量的减少
z 0
应变分量的减少
zx0，yz0
位移之间有了附加关系
w
w
w w (x ,y ),u xzy z , v yz x z
应力应变关系的简化
xxyy1E2
1
0
1 0
1002xxyy
6
6.2 矩形薄板单元
1 薄板弯曲问题节点位移参数的选择
A1 A2 x A3 x2 A4 x3
w(d , y) 1 2d 3 y 4d 2 5dy 6 y 2 7d 3 8d 2 y 9dy 2 10 y3 11d 3 y 12dy3
B1 B2 y B3 y 2 B4 y3
9
位移连续性问题。 在 ij 边上，y=const，
2x2wyT
有限元分析及应用课件
设置材料属性、单元类型等参数。
求解过程
刚度矩阵组装
根据每个小单元的刚度，组装成全局的刚度矩阵。
载荷向量构建
根据每个节点的外载荷，构建全局的载荷向量。
求解线性方程组
使用求解器（如雅可比法、高斯消元法等）求解线性方程组，得到节点的位移。
后处理
01
结果输出
将计算结果以图形、表格等形式输 出，便于观察和分析。
有限元分析广泛应用于工程领域，如结构力学、流体动力学、电磁场等领域，用于预测和优化结构的 性能。
有限元分析的基本原理
离散化
将连续的求解域离散化为有限 个小的单元，每个单元具有特
定的形状和属性。
数学建模
根据物理问题的性质，建立每 个单元的数学模型，包括节点 力和位移的关系、能量平衡等。
求解方程
通过建立和求解线性或非线性 方程组，得到每个节点的位移 和应力分布。
PART 05
有限元分析的工程应用实 例
桥梁结构分析
总结词
桥梁结构分析是有限元分析的重要应用之一，通过模拟桥梁在不同载荷下的响应，评估 其安全性和稳定性。
详细描述
桥梁结构分析主要关注桥梁在不同载荷（如车辆、风、地震等）下的应力、应变和位移 分布。通过有限元模型，工程师可以预测桥梁在不同工况下的行为，从而优化设计或进
刚性问题
刚性问题是有限元分析中的一种 特殊问题，主要表现在模型中某 些部分刚度过大，导致分析结果 失真
刚性问题通常出现在大变形或冲 击等动态分析中，由于模型中某 些部分刚度过高，导致变形量被 忽略或被放大。这可能导致分析 结果与实际情况严重不符。
解决方案：为避免刚性问题，可 以采用多种方法进行优化，如采 用更合适的材料模型、调整模型 中的参数设置、采用更精细的网 格等。同时，可以采用多种方法 对分析结果进行验证和校核，以 确保其准确性。
7_板壳问题有限元分析
1 1 2 h 1 1 2
h
BiT DB j abd d dz
(6.17)
21 /44
薄板问题的有限元法
代入 D 、 Bi 和 B j 于是有
D 1 1 b2 T kij N i , N j , uN iT, N T, uN iT, N T, j j 1 1 a 2 ab +2(1- )N
2
24 /44
薄板问题的有限元法
k23 15H ab(i j )(i j ) b2 b2 k31 3Ha (2 3 5 2 ) j0 15 2 j 5i0 a a k32 15H ab(i j )(i j )
23 /44
薄板问题的有限元法
其中
b2 a2 a2 b2 k11 3H 0 15( 2 0 2 0 ) (14 4 5 2 5 2 ) 00 b b a a a2 a2 k12 3Hb (2 3 5 2 ) 0i 15 2 i 5 0i b b b2 b2 k13 3Ha (2 3 5 2 )i0 15 2 i 50 j a a a2 a2 k21 3Hb (2 3 5 2 ) 0 j 15 2 j 5 0i b b a2 k22 Hb 2(1 ) 0 (3 50 ) 5 2 (3 0 )(3 0 ) b
1 E D 2 1 0
薄板问题的有限元法
图 6.2 平板内力
10 /44
薄板问题的有限元法
设 M x 、 M y 和 M xy 表示单位宽度上的内力矩，于是有
2w 2 x Mx h h3 2 w h3 M M y h2 z dz D DC D 'C (6.5) 2 12 y 12 2 M xy 2w 2 xy
有限元教案_壳单元
x cos( x , x) cos( x , y ) cos( x , z ) x x y = cos( y , x) cos( y , y ) cos( y , z ) y = φ y z cos( z , x) cos( z , y ) cos( z , z ) z z
16
4节点单元的节点位移变换公式为：
{δ }
(e)
= [T ]{δ }
(e)
[T]为变换矩阵，表达式为：
λ 0 0 0 0 λ 0 0 [T ] = 0 0 λ 0 0 0 0 λ
17
同理有单元节点力变换公式：
{F }
(e)
= [T ]{ F }
(e)
壳的整体坐标下的单元刚度方程：
δ ep = (δ 1pT
δ i p = (ui
δ 2pT
δ 3pT
δ 4pT )T
v i )T
7
单元分析（局部坐标系下） 单元分析（局部坐标系下）
对平板弯曲状态单元刚度方程为：
方程中角标b代表平板弯曲，其他矩阵符号的含义与平面应 力状态相似。
8
单元分析（局部坐标系下） 单元分析（局部坐标系下）
4
5
单元分析（局部坐标系下） 单元分析（局部坐标系下）
在平面壳体单元变形和受力可看作两状态叠加的基本 假定下,平面的单元刚度矩阵,角标p代表平面应力
k δ
ep
ep
=F +F
ep
ep E
平面应力状态的单元 结点位移
单元结点力 单元等效结点荷载矩阵
6
单元分析（局部坐标系下） 单元分析（局部坐标系下）
9有限元法在船体结构设计中的应用
第9章 有限元法在船体结构设计中的应用9.1概述近年来， 由于新型船舶的建造、船舶的大型化以及新结构、新材料不断出现，船舶结构的屈曲、弹塑性破坏、疲劳和断裂等问题日趋受到重视，迫使我们寻找新的、有效的船体结构分析方法。
有限元法是一种基于变分原理的把连续体离散化的数值解法，具有适应性强，效能较高等优点。
有限元法的实质是把求解区域分为有限个单元，这些单元只在求解区域的节点处和单元的边界上互相连接，这样求解区域被离散了，并且表示为有限个单元的组合体。
有关有限元的理论可参见有关教材。
应用有限元分析方法，可将船体结构离散为能精确模拟其承载模式和变形情况的有限个单元，可详尽地表述船体结构的微观细节，真实地表达出各个构件间的协调关系与变化，可以求出各个关心构件或区域的实际变形与应力。
这种方法是目前船体强度分析最准确、最完善的方法，也是在理性结构设计中，最能精确预报结构对载荷响应的结构分析方法。
有限元软件就是有限元方法的计算机程序或程序系统，有通用和专用两种。
自20世纪70年代后期，引入我国的各种大、中型专用和通用有限元著名软件有ABAQUS, ANSYS, ADINA, SAP, MARC, NASTRAN[24]等。
船舶行业中主流的有限元软件是NASTRAN，它具有开放式的、全模块化的组织结构使其不但拥有很强的分析功能而又保证很好的灵活性，使用者可针对自己的工程问题和系统需求通过模块选择、组合获得最佳的应用系统。
针对工程实际应用，NASTRAN中有近70余种单元独特的单元库。
所有这些单元可满足NASTRAN各种分析功能的需要，且保证求解的高精度和高可靠性。
模型建好后，NASTRAN即可进行分析，如动力分析、非线性分析、灵敏度分析、热分析等。
此外，NASTRAN的新版本中还增加了更为完善的梁单元库，同时新的基于P单元技术的界面单元的引入可有效地处理网格划分的不连续性(如实体单元与板壳单元的连接)，并自动地进行MPC约束。
石亦平ABAQUS有限元分析实例详解之读后小结完整版.pdf
目录第一章ABAQUS简介 (1)第二章ABAQUS基本使用方法 (1)第三章线性静力分析实例 (6)第四章 ABAQUS的主要文件类型 (8)第五章接触分析实例 (9)第六章弹塑性分析实例 (13)第七章热应力分析实例 (15)第八章多体分析实例 (16)第九章动态分析实例 (17)第十章复杂工程分析综合实例 (20)第一章ABAQUS简介[1] (pp7) 在[开始] →[程序] →[ABAQUS 6.5-1]→[ABAQUS COMMAND]，DOS提示符下输入命令Abaqus fetch job = <file name>可以提取想要的算例input文件。
第二章ABAQUS基本使用方法[2] (pp15) 快捷键：Ctrl+Alt+左键来缩放模型；Ctrl+Alt+中键来平移模型；Ctrl+Alt+右键来旋转模型。
(pp16) ABAQUS/CAE不会自动保存模型数据，用户应当每隔一段时间自己保存模型以避免意外丢失。
[3] (pp17) 平面应力问题的截面属性类型是Solid（实心体）而不是Shell（壳）。
ABAQUS/CAE推荐的建模方法是把整个数值模型（如材料、边界条件、载荷等）都直接定义在几何模型上。
载荷类型Pressure的含义是单位面积上的力，正值表示压力，负值表示拉力。
[4] (pp22) 对于应力集中问题，使用二次单元可以提高应力结果的精度。
[5] (pp23) Dismiss和Cancel按钮的作用都是关闭当前对话框，其区别在于：前者出现在包含只读数据的对话框中；后者出现在允许作出修改的对话框中，点击Cancel按钮可关闭对话框，而不保存所修改的内容。
[6] (pp26) 每个模型中只能有一个装配件，它是由一个或多个实体组成的，所谓的“实体”（instance）是部件（part）在装配件中的一种映射，一个部件可以对应多个实体。
材料和截面属性定义在部件上，相互作用（interaction）、边界条件、载荷等定义在实体上，网格可以定义在部件上或实体上，对求解过程和输出结果的控制参数定义在整个模型上。
有限元板壳——王勖成
弹性矩阵
t z [ D p ]{ }dz [ D p ]{ } [ D ][ ] 12
薄板弯曲问题中的弹性矩阵[D]
1 0 1 0 Et 3 1 [ D] 0 D0 1 0 2 12 (1 ) 1 1 0 0 0 0 2 2
Et 3 D0 12(1 2 )
内力矩表示薄板应力的公式
12 z { } 3 {M } t
平衡方程
2 M xy 2 M y 2M x 2 q ( x, y ) 0 2 2 x xy y
由广义应力应变关系及几何关系代入平衡方程得 由W的微分方程：
非协调板单元可以通过分片试验，当单元划分不断缩 小时，计算结果可以收敛于精确解答，但是收敛并非 一定是单调的，即不一定是精确解的上界或下界。
2.2 薄板三角形单元
a1 a 2 x a3 y a 4 x 2 a5 xy a6 y 2 a7 x 3 a8 x 2 y a9 xy 2 a10 y 3
基本方程
w v z y
(1)位移：由假设（1）、（3），有 w w w( x, y ) u z x (2)应变
由假设（1）、（2），薄板弯曲问题只需要考虑三 个分量。根据几何方程，应变可表示为
2w u 2 x x x 2w u { } y z 2 y y xy u v 2w 2 xy y x
形变分量：中面x和y方向的曲率与x，y方向 的扭率。
广 义 应 变
2w 2 x 2w { } 2 y 2 w 2 xy
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θx 1 1
3 2
y
θy1
z
w1
如果在直角坐标系下建立位移模式，则完全三次多项式需要 10个参数
若以此为基础构造位移函数，则必须去掉一项。无法保证对称。
薄板三角形单元
三角形单元采用直角坐标系建立位移模式的尝试：
Tocher方案
单元有两边分别平行于x轴和y轴时，上述位移模式中的待定系数将无法 确定，因此离散时，网格划分有局限性。
在局部坐标系下其实位移列阵和力列阵的最后一项没有意义， 但是考虑到最后还是要在整体坐标下进行计算，所以占一格。 单元结点位移、结点力矩阵为
平面壳单元有限元
有了刚才的位移列阵和力列阵，采用虚功原理，可以逐步完成 有限元格式的建立过程。 以经典的三结点平面壳单元为例 局部坐标系下
整体坐标系下
平面壳单元有限元
厚板结构有限元
厚板基础理论知识
对于厚板，基本假设： a．板的挠度w微小； b．板中性面法线在变形后仍保持直线，但不再垂直变形后 的中性面； c．垂直于中性面的应力可以忽略。 中性面法线在变形后不再垂直变形后的中性面则意味着还存在 横向剪切变形， 此时即需要采用Hencky理论进行分析， 这种情况下板任意一点有三个下面的变形
薄板基础理论知识
内力可以根据应力进行计算得到
使用记号
平面应力问题 中的弹性矩阵
于是
薄板基础理论知识
进行反向回代，可以得到
在板的上、下表面处，z=±0.5t，于是应力为
薄板基础理论知识
如果薄板在z方向承受分布荷载 此时薄板内部产生应力 则可以采用虚功原理 与之平衡，
假设发生虚位移 ， 应力做的虚功为
壳结构基础理论知识
曲面单元能够更好地模拟真实结构，相应得到的计算结果会 更有效。但是，曲面壳体的变形与平板变形有所区别。壳体 的中性面变形不能忽略，在壳体中的内力包括弯曲内力和中 性面内力。 对于曲面单元，现常采用考虑横向剪切变形的超参数曲面壳 单元。曲面壳元往往较难满足完备性和协调性要求，这里不 作具体介绍。
则薄板内部会发生虚应变
外力做的虚功为 在后面我们会利用虚功原理来建立有限元控制方程。
薄板矩形单元
设局部编号1、2、3、4， x 、y方向长度分别为2a、 2b的矩形板单元如图所示。
每个结点的位移分量为
每个结点的载荷分量为 则一个单元的位移向量和载荷向量为
薄板矩形单元
下面开始尝试建立形函数。 一个单元有12个位移分量，那么 位移函数应该为
位移场不能完全满足收敛的协调性准则，具体为挠度及切向转角跨单元协调， 法向转角跨单元不协调，因此该单元不是完全协调元。 要解决这一问题，可以通过增加结点数或结点自由度来构造高阶协调元，目 前国内较成熟的工作有大连理工大学唐立民教授等提出的拟协调元和龙驭球 院士提出的广义协调元等，这方面仍然处于研究之中。
Adini方案
舍去了二次项xy，致使常扭率无法保证，单元过刚、位移偏小，因此分析 结果只有一阶精度。
Bell方案
增加单元内部位移参数——三角形形心挠度。整体分析前需要消去内部自 由度（静力凝聚）， Zienkiewicz指出这种单元不能保证收敛。
薄板三角形单元
Zienkiewicz采用面积坐标解决了直角坐标下遇到的困难。
对应的应变矩阵为
厚板结构有限元
方式二： 对应的应变矩阵为
事实上这只是写法的区别，没有实质影响
厚板结构有限元
由应变矩阵获得应力矩阵
事实上这只是写法的区别，没有实质影响
厚板结构有限元
以最常用的8结点厚板单元给大家进行介绍 首先需要将一个厚板单元进行等参变换，注意其是二维问题
中面形状和厚度
厚板结构有限元
熟悉的二维8结点等参元形函数计算方法：
4
8
3
2
2
1
5
2
结点位移采用第一种方式表示，则： 单元的位移可以采用形函数和结点位移表示为：
其矩阵形式为：
厚板结构有限元
应变的表达
厚板结构有限元
应力的表达
分块形式：
厚板结构有限元
应力的表达
分块形式：
厚板结构有限元
单元刚度矩阵
具体数据计算如下：
厚板结构有限元
板中心挠度 wD/PL2
0.00614
4×4 6×6 理论解
0.00580 0.00571 0.00560
边中点弯矩 M/P -0.1178 -0.1233 -0.1245 -0.1257
薄板三角形单元
三角形单元能较好地适应斜边界，实 际中广泛应用。单元的结点位移仍然 为结点处的挠度wi和绕x，y轴的转角 θxi、θyi，独立变量为wi。三角形单元 位移模式应包含9个参数。
平面壳单元有限元
根据前面的假定，那么单元上任意一点(x,y,z)的位移为
平面应力位移
薄板弯曲位移
注意：上面的位移表达式是基于局部坐标系建立的，不然则不 成立。
平面壳单元有限元
根据上述位移关系，单元的应变矩阵为
注意：上面的位移表达式是基于局部坐标系建立的，不然则不 成立。
平面壳单元有限元
为进行以下的单元分析，定义单元结点i的位移列阵为 均为0 i结点力列阵为
以经典的三结点平面壳单元为例 三角形平面壳单元的3个结点i，j，m共有15个自由度，位移函 数可采用如下形式
平面壳单元有限元
以经典的三结点平面壳单元为例 将三个结点的位移代入进去，则可以反推出 单元位移=形函数×结点位移的三个表达式（u,v,w）。 根据位移函数的表达形式，不难看出其就是平面应力单元和 薄板弯曲单元的结合。后续分析过程较复杂，因此在这里只 做文字性叙述注意事项。 单元位移表达式（u,v,w）建立后，下面的工作就是进行应变 计算。但是注意up,vp并不是u,v
平板：分薄板和厚板。载荷作用在垂直于板面的方向。对于薄 板小挠度对于厚板，应考虑横向剪切 变形的影响。 壳体：壳体的变形除了横向弯曲变形外，同时存在中面变形。 因此可以认为壳体是平面应力问题和平板弯曲问题的组合。当 然，对于厚壳结构，仍需要横向剪切变形的影响。
x
θx 1
1
3
那么
y
θy1
z
w1 2
薄板三角形单元
应用实例 四边简支板的中心挠度系数计算 单元数 （1/4板） 2×2 4×4 8×8 解析解 板中心挠度wD/qL4 0.004249 0.004153 0.004098 0.004042
薄板单元
关于薄板单元，要提醒大家注意的：不管是三角形单元还是 矩形单元，事实上其都是非完全协调元。 对左图所示的相邻单元 公共边挠度 公共边切向转角 公共边法向转角
结点荷载的等效 设单元表面作用有均布荷载q(x,y)，等效结点荷载为
应用举例 承受均布荷载q的方板，四边简支。4×4网格，挠度=？
h/L 有限元 厚板 薄板
0.01
0.1 0.2 0.3 0.4
0.04438
0.04628 0.05202 0.06160 0.07500
0.04439
0.04632 0.05217 0.06192 0.07557
壳结构有限元
壳结构基础理论知识
壳体的中性面是一个曲面，壳单元受力状态及应力状态见图。
在作结构分析时，一般采用平面单元（板）或者曲面单元处理。 平面单元是平面应力单元和平面弯曲单元的组合体，它依赖 于平板理论。在几何上以平板代替壳体，结构模拟是一种近 似。但是，这种单元简单，只要结构离散化分合理，完全可 以满足工程上的要求。
0.04437
0.04437 0.04437 0.04437 0.04437
厚板结构有限元
一个问题：
薄板单元是非协调元，所以总是让我们感觉不适，厚板单元 认为两个转角与挠度独立，而且根据前面等参元的使用我们 知道厚板单元一定是协调的，那么为什么不就采用厚板单元 进行薄板的计算呢？
用厚板单元进行薄板的计算在数学构造上并没有太大的问 题，无非是现在转角是挠度的偏导数，所以不需要对一个 矩形设置8个结点，4个结点已经足够表达。 计算结果表明：当采用2×2高斯数值积分时，厚板单元也可 用于薄板的分析，但是太薄时将产生剪切闭锁现象（进行刚 度矩阵计算时与剪切变形相关的剪切刚度时会出现无穷大而 导致单元刚度矩阵变成奇异矩阵）。
第九章
板壳结构有限元
板壳结构基本知识
板壳结构在工程上应用十分广泛。在设计分析中采用板壳单元 进行结构分析，可以得到足够的精度和良好的效果。
板壳结构基本知识
厚度方向的尺寸小于长度和宽度方向尺寸的结构。其中，表面 为平面的成为板，表面为曲面的称为壳。
1 1 h 1 1 ~ ~ 100 80 b 8 5
由第（2）条可知挠度w与z无关，
由第（1）条可知 zx和 yz等于零，另外根据第（3）条中面无变形
薄板基础理论知识
薄板弯曲问题只需要考虑三个分量。
根据几何方程，应变可表示为
对于薄板问题， 一般采用形变分量表示
x向曲率
y向曲率
扭率
薄板基础理论知识
相应的内力可表示为：
[D]为平面应力问题的弹性矩阵：
薄板结构有限元
薄板基础理论知识
薄平板，取其中性面为坐标面，z轴垂直于中性面。其中 t 为 板厚。当板受有垂直于板中性面的外力时，板的中性面将发 生弯扭变形，从而变成一个曲面。板变形的同时，在板的横 截面上将存在内力——弯矩和扭矩。
薄板基础理论知识
对于薄板问题采用如下假设： （1）直法线假设：薄板中面法线 变形后仍保持为法线且长度不变。 （2）忽略板中面的法线应力分量， 且不计其引起的应变。 （3）薄板中面内的各点没有平行 于中面的位移，即中面不变形。
展开进行积分
单元刚度矩阵由16个子矩阵组成，其表示如下
薄板矩形单元
具体的元素计算为：