北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》定积分的简单应用(三)利用定积分求简单几何体的体积
x
轴旋转而成的旋转体体积为 .其侧面积为 V [ f ( x)] dx
a
a
求体积的过程就是对定积分概念的进一步理解 过程，总结求旋转体体积公式步骤如下： 9 1．先求出 y f x 的表达式；2．代入公式
S侧 2 f ( x) 1 [ f ( x)] dx
' 2
x 2 y2 (1) 1 49 98 Ａ’ 8 8 1 2 2 ( 2)V x dy ( y 49)dy 12 12 2 Ｂ’
取3.14）
Ｃ’ Ｃ Ａ
8Ｂ
归纳总结：求旋转体的体积和侧面积
由曲线
x a, x b及
b
b
y f ( x) ，直线
x
轴所围成的曲边梯形绕
10
a
11
12 1 4 224 2 2 3 (2 x ) dx ( x 6) dx (cm) 4 2 3 0
7
变式引申:某电厂冷却塔外形如图所示,双曲线的一部分 绕其中轴(双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中A,A’是 双曲线的顶点，C,C’是冷却塔上口直径的两个端点， B,B’ 是下底直径的两个端点，已知 AA’=14m,CC’=18m,BB’=22m,塔高20m. (1)建立坐标系，并写出该曲线方程． (2)求冷却塔的容积（精确到10m3塔壁厚度不计，
（一）、复习：（1）、求曲边梯形面积 的方法是什么？(2)、定积分的几何意义 是什么？（3）、微积分基本定理是什么？ （二）新课探析
x
问题：函数 y f x， x a, b的图像绕 轴旋转一周，所得到的几何体的体积 V b 。 2
V [ f ( x)] dx
a
3
例题研究 利用定积分求曲边旋转体的体积
例1、求由曲线 y 4 x, x 1 所围成的图形绕 x 轴旋转所得旋转体的体积。
2
Hale Waihona Puke 分析： y （1）分割; (2)以直代曲； （3）求和； (4)逼近。 o 1 V＝ 4 xdx 2
y2 4x
x=1 x
4
0
1 x 0， x 与 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋2
，设抛物线弧OA所在的抛物线方程为： 2 y 2 px ，
6
代入
2
y 4x （
y 0） 设直线AB的方程为： x qy 12 ，代入B(4,4) 求得： q 2
∴所求“冰激凌”的体积为：
2
B(4,4) 求得：p 2 ∴抛物线方程为：
1 ∴直线AB的方程为： y x6
变式练习1、求曲线 y e ，直线
x
转体的体积。 答案： (e 1) ； 2 例2、如图，是常见的冰激凌的形状，其下方是 一个圆锥，上方是由一段抛物线弧绕其对称轴 旋转一周所成的形状，尺寸如图所示，试求其 体积。
5
分析：解此题的关键是如何建立数学模型。 将其轴载面按下图位置放置，并建立坐标系。 则A，B坐标可得，再求出直线AB和抛物线 方程， “冰激凌”可看成是由抛物线弧OB 和线段AB绕X轴旋转一周形成的。 解：将其轴载面按下图位置放 置，并建立如图的坐标系。则 A(12,0)， B(4,4)
V f 2 x dx，即可求旋转体体积的值。
a
b
（三）、课堂小结：求体积的过程就是对 定积分概念的进一步理解过程，总结求旋 转体体积公式步骤如下：1．先求出 y f x b 的表达式；2．代入公式 V f 2 x dx ，即可求旋转体体积的值。 （四）、作业布置：课本P90页练习题中2；习 题4-3中6、7 五、教后反思：
北师大版高中数学选修2-2第 四章《定积分》
利用定积分求简单几何 体的体积
1 法门高中姚连省制作
一、教学目标 1、理解定积分概念形成过程的思想；2、会根据该思 想求简单旋转体的体积问题。 二、 学法指导 本节内容在学习了平面图形面积计算之后的更深层次 的研究，关键是对定积分思想的理解及灵活运用， 建立起正确的数学模型，根据定积分的概念解决体积 问题。 三、教学重难点： 重点：利用定积分的意义和积分公式表解决一些简单 的旋转体的体积问题； 难点；数学模型的建立及被积函数的确定。 四、教学方法：探究归纳，讲练结合 五、教学过程 2
高中数学北师大版选修2-2第4章 典型例题：定积分的简单应用
定积分的简单应用定积分是高中新增的数学的内容，是高等数学的基础。
它在初等数学中有着广泛的应用。
下面举例说明如下，供同学们学习时参考。
一．求函数表达式 例1.设)(x f 连续，且⎰+=1)(2)(dtt f x x f ，求)(x f .解：记⎰=10)(dtt f a ，则a x x f 2)(+=两端积分得：⎰⎰+=+=101221)2()(a dx a x dx x fa a 221+=，21-=a 1)(-=∴x x f 。
二、计算平面图形的面积 例2计算正弦曲线y=sinx 在上与x 轴所围成的平面图形的面积。
解：。
例3.求曲线22)2(,-==x y x y 与x 轴围成的平面图形的面积.解：如图，由⎪⎩⎪⎨⎧-==,)2(,22x y x y 得两曲线交点（1取x 为积分变量，]2,0[∈x , 所求面积323)2(3d )2(d 213103212102=-+=-+=⎰⎰x x x x x x A . 三、平行截面面积为已知的立体体积例4曲线()1522=-+y x 绕x 解：⎰--+=11222)15(dx x V π，⎰---=11221)15(dx x V π2)2-12V V V -=⎰--+=1122)15(dx x π⎰----1122)15(dx x π211210220120ππππ=⋅=-=⎰-dx x四、求旋转体的体积例5求底圆半径为r ，高为h 的圆锥体的体积。
解：建立如右图坐标系，则圆锥体可看成是由直线 ,x hry =h x =及x 轴所围成三角形绕x 轴旋转一 周而成，故圆锥体体积h r x hr x x h r V hh2003222π313πd )(π=⋅==⎰. 五、求函数利润问题 例6六、在物理中的应用例7汽车以每小时32公里速度行驶，到某处需要减速停车。
设汽车以等减速度a =1.8米/秒2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？解首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间。
北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》定积分的概念
这个常数为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，记作
a
b
即 f (x)dx，即 a
a
bb
ba (x x)) dx lim x fi。 (i ) lim f( dx f ( i) n 0 n i 1 i 1
n n
2
定积分的概念 一般地，设函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上连续，用分点 a x0 x1 x2 xi 1 xi xn b 将区间 [a, b] 等分成 n 个小区间，每个小区间长度为 x ba （ x ） ，在每个小区间 xi 1 , xi 上取一点 n i i 1, 2,, n ，作和式：
b
a
kf ( x )dx k f ( x )dx
a
b b
b
性质2.
b
a
[ f ( x ) g( x )]dx f ( x )dx g( x )dx
a a
10
三:
定积分的基本性质
性质3.
定积分关于积分区间具有可加性
b
a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
ba Sn f (i )x f (i ) n i 1 i 1 如果 x 无限接近于 0（亦即 n ） 时， 上述和式 S n
n n
无限趋近于常数 S ，那么称该常数 S 为函数 f ( x) 在区 间 [a, b] 上的定积分。记为： S f ( x)dx
a b
3
定积分的定义： 即
b
a
ba f ( x)dx lim f (i ) n n i 1
n
高中数学 第四章 定积分 4.3.1 平面图形的面积课件 北师大版选修2-2
10
2.曲线y=x2-1与x轴所围成图形的面积等于 ( )
A .1B .2C .1 D .4
33
3
11
【解析】选D.函数y=x2-1与x轴的交点为(-1，0)，
(1，0)，且函数图像关于y轴对称，所以所求面积为
S=
(11-x2)dx=2 1
(1-x 210)dx=2
2× 2 4 .
33
=
(x
1 3
7
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)曲线y=sin x，x∈ [与 ，x3轴 ]围成的图形的面积
22
3
为 2
sin xdx.
(
)
2
(2)曲线y=x3与直线x+y=2，y=0围成的图形的面积为
1 0
x3dx+
(22 -x)dx. 1
(
)
8
(3)曲线y=3-x2与直线y=-1围成的图形的面积为
24
【习练·破】 (2019·衡阳高二检测)如图，阴影部分的面积是( )
25
A.32
B.16
C. 3 2
D. 8
3
3
26
【解析】选C.由已知，阴影部分的面积
S=
1
3(3-x2-2x)dx=(3x13x3x2)|13332.
27
【加练·固】 若函数f(x)=Asin （ (Ax >0，） ω>0)的图像如图所示，则图
所以S=
1 0
(x2+1)dx+
3 1
(3-x)dx
( x 3 3 x ) |1 0 ( 3 x x 2 2 ) |1 3 1 3 1 ( 9 9 2 ) ( 3 1 2 ) 1 3 0 .
高中数学北师大版选修2-2第4章 拓展资料：定积分问题
有关定积分问题的常见题型解析定积分是高中课程中新增加的内容，对函数进行积分运算这种题目占有超级重要的地位，它能解决很多实际应用问题。
在解题时也会出现很多问题，下面研究一下有关定积分的问题的常见题型及注意的一些问题。
题型一 用概念求定积分例1、用概念求dx x 301⎰。
分析：利用概念求定积分可分为四步：分割，近似代替，求和，取极限，按步骤求解 。
解：（1）分割[0，1]：11210=<-<<<<n n n n n n 。
（2）作和 nn i n n n n n n n n i 11121131323⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∑= 。
（因为x 3持续，所以i ξ可随意取而不影响极限，故咱们此处将i ξ取为[x i ，x 1+i ]的右端点也无妨。
）（3）取极限()41211112413413lim lim lim =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+==⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→=∞→=∞→∑∑n n n i nn n i n n i n n i n 。
（此处用到了求和公式 ()()22333212121⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+++=+++n n n n 。
） 因此dx x 301⎰＝41。
评注：求定积分四个步骤：分割、近似代替、求和、取极限，关键环节是求和。
表现的大体思想就是先分后合，化曲为直，通过取极限，形成整体图形的面积。
题型二 利用微积分大体定理求积分例2、求下列定积分：（1）()13031x x dx -+⎰ （2）41x x dx ⎰ 分析：按照求导数与求原函数互为逆运算，找到被积函数得一个原函数，利用微积分大体公式代入求值。
解：（1）因为3221312x x x x x '⎛⎫-+=-+⎪⎝⎭， 所以()13031x x dx -+⎰=321102x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=32。
（2）因为()121x x x x +=+，312222132x x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 所以 ()941x x dx +⎰=3229211454326x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭。
4.2.2 定积分的简单应用 课件(北师大版选修2-2)
【解析】根据定积分的几何意义可知 D 正确.
导.学. 固. 思
2
由 y=x2,x=0 和 y=1 所围成的平面图形绕 x 轴旋转所 得的旋转体的体积可以表示为( B ).
A.V=π 0 ( ������ ) ������������ B.V=π C.V=π D.V=π
1 2 2 2 [ 1 -(������ ) ]������������ 0 1 2 2 ( ������ ) ������������ 0 1 2 2 ( 1 ������ )������������ 0 1 2
������
导.学. 固. 思
问题3
如图,当 x∈[a,b]时,若 f(x)>g(x)>0 时,由直线 x=a,x=b(a≠b)和曲线 y=f(x),y=g(x)所围成的平面 ������ 图形的面积 S= ������ [ ������(������)-������(������)]������������..
x=a,x=b(a≠b),y=0 和曲线 y=f(x)所围成的曲 ������ 边梯形的面积 S= ������ (������)������������ .
������
问题2 当 x∈[a,b]时,若 f(x)<0,由直线
x=a,x=b(a≠b),y=0 ������和曲线 y=f(x)所围成的曲 边梯形的面积 S= ������ (������)������������ .
4.2.2
定积分的简单应用
导.学. 固. 思
1.会根据定积分的几何意义建立求简单平面图形面积的
数学模型,并能利用积分公式表进行计算.
2.会根据定积分概念形成过程中的基本思想分析求简单 旋转体的体积问题,建立它的数学模型,并能利用积分公式表 进行计算. 3.通过积分方法解决实际问题的过程,体会到微积分把
高中数学北师大版选修2-2第4章 拓展资料：例谈计算定积分的三种方法
例谈计算定积分的三种方法定积分是新课标的新增内容，它不仅为传统的高中数学注入了新鲜血液，还给学生提供了数学建模的新思路、“用数学”的新意识，它必将成为今后高考的新热点，本文通过三个例题谈谈定积分计算的三种方法。
一、用定积分的定义计算定积分例1. 求定积分⎰103xdx 的值. 解析：（1）分割：把区间[0，1]等分成n 个小区间[n i n i ,1-]（i=1，2，…，n ）.其长度为△x=n1，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，其面积记为△S i （i=1，2，…，n ）. （2）近似代替：用小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积，△S i =f （n i 1-）△x=3)1(312-=⋅-⋅i nn i n i ，（i=1，2，…，n ）. （3）求和：n n n n i n S ni n i i 123)]1(21[3)1(32121-⋅=-+++=-=∆∑∑== . （4）取极限：S=23123lim )1(3lim 12=-⋅=-∞→=∞→∑n n i nn n i n . ∴⎰103xdx 23=. 点评：本题如果用微积分基本定理或定积分的几何意义来求，更为简单，在此仅仅为了说明用定积分的定义可以计算定积分.通常在用微积分基本定理或定积分的几何意义计算定积分比较困难时，再用定积分的定义计算定积分。
二、用微积分基本定理计算定积分例2. 求定积分⎰+21221dx xx 的值. 解析：⎰+21221dx x x =)2ln 3(ln 21]12)2ln(12[ln 21)211(2121-=+-=+-⎰x x dx x x . 点评：本题由⎰+21221dx xx 想到被积函数的原函数可能是自然对数的形式，只是需要把x x 212+拆成x 1与21+x 的差.运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数。
三、用定积分的几何意义计算定积分例3. 求定积分⎰---102))1(1(dx x x 的值. 解析：⎰---102))1(1(dx x x 表示圆(x-1)2+y 2=1（y≥0） 的一部分与直线y=x 所围成的图形（如图所示）的面积， 因此⎰---102))1(1(dx x x =2141121412-=⨯⨯-⨯ππ. 点评：本题如果用定积分的定义或微积分基本定理求解都比较麻烦，由⎰---102))1(1(dx x x 联想到圆(x-1)2+y 2=1（y≥0）的一部分与直线y=x ，再联想到定积分的几何意义，从而简化了运算.这也是数学结合思想的又一体现。
北师版数学高二选修2-2课件 4.3 定积分的简单应用
解析答案
返回
达标检测
1 234
1.在下面所给图形的面积 S 及相应表达式中，正确的有( )
S＝ʃba[f(x)－g(x)]dx ①
S＝ʃ80(2 2x－2x＋8)dx ②
1 234
S＝ʃ14f(x)dx－ʃ74f(x)dx S＝ʃ0a[g(x)－f(x)]dx＋ʃ跟踪训练 1 (1)如图，阴影部分由曲线 所围成，则其面积为_23_＋__ln__2_.
y＝1x，y2＝x
与直线
x＝2，y＝0
解析
解方程组y＝1x， y2＝x，
得xy＝ ＝11，.
所以 S＝ʃ01
xdx＋ʃ121xdx＝
2 3
x
3 2
1 0
＋ln x|12＝32＋ln 2.
解析答案
答案
知识点二 简单旋转几何体的体积 设旋转体是由连续曲线y＝f(x)和直线x＝a，x＝b(a<b)及x轴所围成的曲边 梯形绕x轴旋转而成，设在区间[a，b]上点x处垂直x轴的截面面积为A(x)＝ πf2(x)，则体积为V＝ʃabπf2(x)dx.
返回
题型探究
重点难点 个个击破
类型一 求平面图形的面积 例 1 求由曲线 y＝ x，y＝2－x，y＝－13x 所围成图形的面积.
1 234
解析 解方程组yy＝＝2x2x，，
得xy＝ ＝00， ，
x＝2， y＝4.
∴曲线y＝x2与直线y＝2x交点为(2,4)，(0,0).
∴S＝ʃ02(2x－x2)dx＝(x2－13x3)|20＝(4－83)－0＝43.
解析答案
规律与方法
1.在利用定积分求平面图形的面积时，要经历“画草图→求交点→确定被 积函数、积分上、下限→求定积分得面积”四步曲：在同一积分区间内， 若f(x)>g(x)，则被积函数为f(x)－g(x). 2.用定积分求旋转体的体积时，要注意被积函数为πf2(x).
高中数学第四章定积分4.3定积分的简单应用课件北师大版选修2_2
������
名师点拨
Hale Waihona Puke ������ ������
f(x)dx,
������ ������
|f(x)|dx 与
������ ������
������ ������
������(������) d������ 的异同.
B.V=π D.V=π
1 0 1 0
[12-(x2)2]dx (12-x2)dx
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在题后的括号内画“√”,错误的画 “×”. (1)任何曲线 y=f(x)及 x=a,x=b 与 x 轴围成的平面图形的面积都 可 ������ 以表示为 ������ f(x)dx. ( × )
直线y=x-4与x轴的交点为(4,0), 因此,所求图形的面积为S=S1+S2
8 4 8 = 0 √2������ dx+ 4 √2������d������- (������-4) d������ 4 2√2 3 4 2√2 3 8 1 40 = ������ 2 |0 + ������ 2 |4 − (x-4)2|8 = . 4 3 3 2 3
§4.3 定积分的简单应用
学 习 目 标 思 维 1.能用求定积分的方法 求 由已知曲线所围成的 平面图形的面积. 2.能用 求定积分的方法 求简单的几何体的体积. 3.注意 平面图形的面积 及几何体的体积与定积 分的内在联系与区别. 4.要学会 使用数形结合 和转化思想解决问题.
脉
络
1.一般地,设由曲线 y=f(x),y=g(x)以及直线 x=a,x=b 所围成的平面 ������ ������ 图形(如图)的面积为 S,则 S= ������ f(x)dx- ������ g(x)dx.
北师版高中数学选修2-2课后习题版 第四章 §3 定积分的简单应用
第四章DISIZHANG定积分§3定积分的简单应用课后篇巩固提升A组1.设f(x)在区间[a,b]上连续,则曲线f(x)与直线x=a,x=b,y=0围成的图形的面积为( )A.∫ba f(x)dx B.|∫f(x)badx|C.∫ba|f(x)|dx D.以上都不对f(x)在区间[a,b]上满足f(x)<0时,∫baf(x)dx<0,排除A;当围成的图形同时存在于x轴上方与下方时,∫baf(x)dx是两图形面积之差,排除B;无论什么情况C都正确.2.下列各阴影部分的面积S不可以用S=∫ba[f(x)-g(x)]dx求出的是( )S=∫ba[f(x)-g(x)]dx的几何意义是求函数f(x)与g(x)之间的阴影部分的面积,必须注意f(x)的图像要在g(x)的图像上方,对照各选项可知,D项中的f(x)的图像不全在g(x)的图像上方.故选D.3.如图,由函数f(x)=e x-e的图像,直线x=2及x轴围成的阴影部分的面积等于( )A.e2-2e-1B.e2-2eC.e 2-e 2D.e2-2e+1S=∫21f(x)dx=∫21(e x-e)dx=(e x-e·x)|12=e2-2e.4.直线y=2x,x=1,x=2与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周得到一个圆台,则该圆台的体积为( )A.28π3B.32π C.4π3D.3πV=∫21π·(2x)2dx=π∫214x2dx=4π·13x3|12=4π3(8-1)=28π3.5.如图所示,在边长为1的正方形OABC中,任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为( )A.14B.15C.16D.17{y=√x,y=x,得O(0,0),B(1,1).则S阴影=∫1(√x-x)dx=(23x 32-x 22)|01=23−12=16.故所求概率为S 阴影S 正方形=161=16.6.曲线y=cos x (π2≤x ≤3π2)与x 轴围成的平面图形的面积为 .解析由图可知,曲线y=cosx (π2≤x ≤3π2)与x 轴围成的平面图形的面积S=∫3π2π2cos xdx=-sin xπ23π2=(-sin3π2)−(-sin π2)=2.7.在同一坐标系中,作出曲线xy=1和直线y=x 以及直线y=3的图像如图所示,则阴影部分的面积为 . ∫113(3-1x )dx+∫31(3-x)dx=(3x-lnx)|131+(3x -12x 2)|13=3-(1-ln 13)+(9-12×32)−(3-12)=4-ln3.8.计算由y 2=x,y=x 2所围成图形的面积.,为了确定图形的范围,先求出这两条曲线的交点的横坐标.解方程组{y 2=x ,y =x 2,得出交点的横坐标为x=0或x=1.因此,所求图形的面积S=∫10(√x -x2)dx,又因为(23x 32-13x 3)'=x 12-x 2,所以S=(23x 32-13x 3)|01=23−13=13.9.求由曲线y=x 2+4与直线y=5x,x=0,x=4所围成的平面图形的面积.,如图所示.所求平面图形为图中阴影部分.解方程组{y =x 2+4,y =5x ,得交点为A(1,5),B(4,20).故所求平面图形的面积S=∫1(x 2+4-5x)dx+∫41(5x-x 2-4)dx=(13x 3+4x -52x 2)|01+(52x 2-13x 3-4x)|14=13+4-52+52×42-13×43-4×4-52+13+4=193.10.求抛物线y 2=2x 与直线y=4-x 围成的平面图形的面积.{y 2=2x ,y =4-x得抛物线和直线的交点为(2,2)及(8,-4).方法一:选x 作为积分变量,由图可得S=S A 1+S A 2.在A 1部分:由于抛物线的上部分方程为y=√2x ,下部分方程为y=-√2x ,所以S A 1=∫2[√2x -(-√2x )]dx=2√2∫20x 12dx=2√2·23x 32|02=163.S A 2=∫82[4-x-(-√2x )]dx =(4x -12x 2+2√23x 32)|28=383.所以S=163+383=18.方法二:∵y 2=2x,∴x=12y 2. 由y=4-x.得x=4-y,∴S=∫2-4(4-y -12y 2)dy=(4y -12y 2-16y 3)|-42=18.B 组1.如图,已知曲线y=f(x)与直线y=0,x=-32,x=2围成的图形面积为S 1=1,S 2=3,S 3=32,则∫2-32f(x)dx 等于( )A.112B.12C.-12D.72∫2-32f(x)dx=∫-1-32f(x)dx+∫1-1f(x)dx+∫21f(x)dx=S 1-S 2+S 3=1-3+32=-12.2.设直线y=1与y 轴交于点A,与曲线y=x 3交于点B,O 为原点,记线段OA,AB 及曲线y=x 3围成的区域为Ω.在Ω内随机取一点P,已知点P 取在△OAB 内的概率等于23,则图中阴影部分的面积为( )A.13B.14C.15D.16{y =1,y =x 3,解得{x =1,y =1. 则曲边梯形OAB 的面积为∫1(1-x 3)dx=(x -14x 4) 01=1-14=34.∵在Ω内随机取一个点P,点P 取在△OAB 内的概率等于23, ∴点P 取在阴影部分的概率等于1-23=13,∴图中阴影部分的面积为34×13=14.故选B.3.如图所示,直线y=kx 分抛物线y=x-x 2与x 轴所围成图形为面积相等的两部分,则k 的值为 .y=x-x 2与x 轴两交点横坐标为0,1,∴抛物线与x 轴所围成图形的面积为S=∫1(x-x 2)dx=(x 22-x 33)|01=16,抛物线y=x-x 2与直线y=kx 的两交点横坐标为0,1-k.∴S 2=∫1-k0(x-x 2-kx)dx=(1-k2x 2-x33)|01-k =16(1-k)3.又∵S=16,∴(1-k)3=12.∴k=1-√123=1-√432. 1-√4324.由直线y=x 和曲线y=x 3(x≥0)所围成的平面图形,绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为 .{y =x ,y =x 3(x ≥0),得{x =0,y =0,或{x =1,y =1.故所求体积V=∫1πx 2dx-∫10πx 6dx=π∫10x 2dx-π∫1x 6dx=π(13x 3|01-17x 7|01)=π(13-17)=4π21.5.已知函数f(x)=x 3-x 2+x+1,求其在点(1,2)处的切线与函数g(x)=x 2围成的图形的面积.(1,2)为曲线f(x)=x 3-x 2+x+1上的点,设过点(1,2)处的切线的斜率为k,则k=f'(1)=3×12-2×1+1=2,∴过点(1,2)处的切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.∴y=2x 与函数g(x)=x 2围成的图形如图.由{y =x 2,y =2x可得交点A(2,4). 又S △AOB =12×2×4=4,g(x)=x 2与直线x=2,x 轴围成的区域的面积S=∫20x 2dx=13x3|02=83,∴y=2x 与函数g(x)=x 2围成的图形的面积为S'=S △AOB -S=4-83=43.。
高中数学第四章定积分定积分的简单应用课件北师大选修
得xy＝＝5－，3， 或xy＝＝02，， 所以直线 y＝－x＋2 与抛物线 y＝x2－4 的交点为(－3，5)和(2,0)，
设所求图形面积为 S，根据图形可得
2
2
S＝-3 (－x＋2)dx－-3 (x2－4)dx
＝2x－12x2 |2－3－13x3－4x |2－3
＝225－－235＝1265.
[一点通] 求由曲线围成图形面积的一般步骤： ①根据题意画出图形； ②求交点，确定积分上、下限； ③确定被积函数； ④将面积用定积分表示； ⑤用牛顿－莱布尼兹公式计算定积分，求出结果．
由xy＝y＝x1，， 得xy＝＝11，， 或xy＝＝－－11，， (舍去)，故 B(1,1)；
由yy＝＝x3，， 得xy＝＝33，， 故 C(3,3)，
故所求面积
1
S＝S1＋S2＝ 1 3
3－1xdx＋13
(3－x)dx＝(3x－
ln
x)
|1
1
＋3x－12x2
|31＝4－ln
3.
3
[一点通] 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图 形，在不同的区间内位于上方和下方的函数有所变化，通过解 方程组求出曲线的交点坐标后，可以将积分区间进行细化分 段，然后根据图形对各个区间分别求面积进而求和，在每个区 间上被积函数均是由图像在上面的函数减去下面的函数．
定积分在几何中的简单应用主要是求平面图形的面积和旋转体 的体积，解题关键是根据图形确定被积函数以及积分上、下限．
不分割型图形面积的求解
[例 1] 求由抛物线 y＝x2－4 与直线 y＝－x＋2 所围成图形的 面积．
[思路点拨] 画出草图，求出直线与抛物线的交点，转化为定 积分的计算问题．
[精解详析] 由yy＝＝－x2－x＋4，2，