云南省宣威市第五中学2020-2021学年度高二上学期期中考试文科数学试题

云南省宣威市第五中学2020-2021年度高二上学期期中考试文科数学一、选择题：本大题共12小题.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 直线x -y ＋1＝0的倾斜角为（ ） A. 4π B.6π C.3π D.56π A根据直线方程，先得到斜率，再利用tan θk 求解.∵k ＝1， ∴tanθ＝1， ∵[0,)θπ∈ ∴θ＝4π.故选：A 2. 命题“x R ∀∈，2230x x -+>”的否定为（ ） A. x R ∀∈，2230x x -+≥B. x R ∀∈，2230x x -+≤C. 0x R ∃∈，200230x x -+>D. 0x R ∃∈，200230x x -+≤D该题命题的否定是：0x R ∃∈，200230x x -+≤．特称命题和全程命题的否定，固定的变换方式是：换量词，否结论，不变条件． 故答案选D ．3. 从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是（ ） A. 16B.13C.12D.23C利用列举法以及古典概型的概率公式可求得求过. 三个正品记为1，2，3，一个次品记为a ，则基本事件分别为（1，2），（1，3），（2，3），（1，a ），（2，a ），（3，a ），共6个， 其中全是正品的基本事件有3个，故概率为36=12.故选：C 4. 如图所示，用符号语言可表达为（ ）A. =m αβ⋂，,,n A m A n α⊂∈∈B. =m αβ⋂，,n m n A α∈=C. =m αβ⋂，,,n A m A n α⊂⊂⊂D. =m αβ⋂，,,n A m A n α∈∈∈A根据课本点、线、面及其关系的符号表示规定逐一判断.点为元素，线和面是集合，根据点与集合、集合与集合之间的关系易得.故选:A 5. 设a R ∈，则“1a <”是“220a a +-<”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件B根据二次不等式的解法得到：220a a +-<21a ⇒-<< ，由条件知道小范围推大范围，大范围推不出小范围，21 1.a a -<<⇒< 反之推不出．故选必要不充分条件． 故答案选B ．6. 已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F （1，0），离心率为12，则C 的方程是（ ） A. 22134x y +=B. 22143x += C. 22143x y +=D. 2214x y +=C由焦点坐标得到c ，再由离心率求出a ，由222b a c =-求出2b ，则椭圆的方程可求． 因为椭圆C 的右焦点为(1,0)F ，所以1c =， 又离心率等于12c a =，所以2a =，则2223b a c =-=． 所以椭圆的方程为22143x y +=． 故答案为：22143x y +=．故选：C. 7. 命题:p “若ac bc >，则a b >”，命题:q “若sin sin A B =，则A B =”有（ ） A. p 真，q 假B. “p 且q ”为真C. “p 或q ”为假D. p 假，q 真C利用特殊值法判断出命题p 、q 的真假，结合复合命题的真假与简单命题真假之间的关系可得出合适的选项.对于命题p ，若0c <，由ac bc >，可得a b <，命题p 为假命题， 对于命题q ，取2B A π=+，则sin sin A B =，但A B ≠，命题q 为假命题， 所以，“p 且q ”为假，“p 或q ”为假.故选：C.8. 若在一次试验中，测得(),x y 的四组数值分别是()()()()1,3,2,3.8,3,5.2,4,6A B C D ，则y 与x 之间的回归直线方程是( ) A. 1.9y x =+ B. 1.04 1.9y x =+ C. 0.95 1.04y x =+ D. 1.050.9y x =-B 由四组数值()()()()1,3,2,3.8,3,5.2,4,6A B C D ，可得12343 3.8 5.262.5, 4.544x y ++++++====，则41132 3.83 5.24650.2i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯=∑，4222221123430i i x ==+++=∑，b 412221450.24 2.5 4.51.043042.54()i ii nii x y xyxx ==-⨯-⨯⨯===-⨯-⨯∑∑，a y =-b 4.5 1.04 2.5 1.9x =-⨯=， y ∴与x 之间的回归直线方程是 1.04 1.9y x =+，故选B.9. 若圆()()22235x y r -++= ，上有且只有两个点到直线432x y -= 的距离等于1，则半径r 的取值范围是（ ） A. （4，6） B. （4，5] C. （4，7） D. [4，6]A利用圆心到直线的位置关系来判断. 详解】∵圆心()3,5- ，直线432x y -=，∴5d ==，∴46r << 故选:A.10. 某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了10场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，则10场比赛里甲运动员的平均得分与乙运动员得分的中位数分别为（ ）A. 18，11B. 18，12C. 16，12D. 16，13B利用平均数和中位数的定义可求得结果. 甲运动员的平均得分为()1689151719232526321810⨯+++++++++=， 因为乙运动员得分为5,7,9,10,11,13,13,16,24,29, 所以乙的中位数为()11113122⨯+=.故选：B 关键点点睛：正确识别茎叶图是解题关键.11. 已知双曲线22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）左支上一点P 到左焦点的距离为4，到右焦点的距离为8，且双曲线一条渐近线的倾斜角为60°，则该双曲线的方程为（ ）A. 2214x y -=B. 22112y x -=C. 22148x y -=D. 221412x y -=D根据双曲线左支上一点P 到左焦点的距离为4，到右焦点的距离为8，利用双曲线的定义求得a ，再由双曲线的渐近线的倾斜角为60°求得b 即可.因为双曲线左支上一点P 到左焦点的距离为4，到右焦点的距离为8， 所以2a ＝8-4＝4， 解得a ＝2，因为双曲线一条渐近线的倾斜角为60°，所以3ba=故23b =所以双曲线的方程为221412x y -=.故选：D 12. 1F 、2F 分别是双曲线C ：22221x y a b-=的左、右焦点，若2F 关于渐近线的对称点恰落在以1F为圆心，1OF 为半径的圆上，则双曲线C 的离心率为（ )A. 2 C. 3A求出2F 到渐近线的距离，利用2F 关于渐近线的对称点恰落在以1F 为圆心，1OF 为半径的圆上，可得直角三角形，即可求出双曲线的离心率． 由题意，()1,0F c -，()2,0F c ，一条渐近线方程为b y x a =，则2F b =． 设2F 关于渐近线的对称点为M ，2F M 与渐近线交于A ，22MF b ∴=，A 为2F M 的中点 又0是12F F 的中点，1//OA F M ∴，12F MF ∴∠为直角，12MF F ∴为直角三角形， ∴由勾股定理得22244c c b =+()22234c c a ∴=-，224c a ∴=，2c a ∴=，2e ∴=．故选A ．本题考查双曲线的几何性质，考查勾股定理的运用，考查学生的分析与计算能力，属于中档题． 二、填空题：本大题共4小题.13. 点()1,1P -到直线10x y -+=的距离是__________．点()1,1P -到直线10x y -+=2= 14. 一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积为________.48122+由三视图画出原图可得答案. .由题可知该三棱锥的底面是一个等腰直角三角形ABC ，顶点P 在地面上的射影在斜边AC 的中点H 处，如图所示，由三视图可知166182ABCS=⨯⨯=，4PH =，32HB HC ==，34PB PC PA ∴===，设M 是BC 的中点，则PM BC ⊥，且225PM PB BM =-=，所以15,122PBCPABPACSSS===，所以该棱锥的表面积为1812221548122++⨯=+，故答案为：48122+.本题主要考查了求三棱锥的表面积问题，解题关键是掌握三视图依据“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，考查了空间想象能力和计算能力，属于中档题.15. 已知直线3x ＋4y -12＝0与x 轴，y 轴相交于A ，B 两点，点C 在圆x 2＋y 2-10x -12y ＋52＝0上移动，则△ABC 面积的最大值和最小值之差为________.15根据直线3x ＋4y -12＝0可求得,A B 的坐标及||AB ，利用圆心到直线的距离求出点C 到直线AB 的距离的最小值和最大值，利用面积公式可求得结果.令0y =得4x =，令0x =得3y =，所以A （4，0），点B （0，3）， ∴|AB |＝5，由x 2＋y 2-10x -12y ＋52＝0得22(5)(6)9x y -+-=， 所以圆的半径为3，圆心为(5,6)， 圆心(5,6)到直线AB 的距离2234d ==+275，所以点C 到直线AB 的距离的最小值为2712355-=，最大值为2742355+=， 所以ABC S 的最大值为14252125⨯⨯=，最小值为1125625⨯⨯=，所以△ABC 面积的最大值和最小值之差为21615-=. 故答案为：15关键点点睛：利用圆心到直线的距离求出点C 到直线AB 的距离的最小值和最大值是解题关键.16. 已知直线1y x =-+与椭圆()222210x y a b a b +=>>相交于,A B 两点，且OA OB ⊥（O 为坐标原点），若椭圆的离心率13,22e ⎡∈⎢⎣⎦，则a 的最大值为___________． 102试题分析：设1122(,),(,)A x y B x y ，由22221{1y x x y a b=-++=，得2222222()20a b x a x a a b +-+-=，42222244()()0a ab a a b∆=-+->，221a b+>，2 1222222 12222{a x xaba a bx xa b+=+-=+，∵OA OB⊥，∴1212OA OB x x y y⋅=+=，即12122()10x x x x-++=，∴222222222()210a ab aa b a b--+=++，整理得22222a b a b+=，2222222()a a c a a c+-=-，222222222()a a e a a a e-=-，2222212111eae e-==+--，∵13[,]2e∈，∴272[,5]3a∈，即51022a==最大．考点：椭圆的几何性质．三、解答题：本大题共6小题.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17. 编号为1，2的两个纸箱中各有6个相同的小球（分别标有数字1，2，3，4，5，6），从1，2两个纸箱中各摸出一个小球，分别为,x y，求满足条件2y x=的概率.112.利用古典概型公式求解.从1，2两个纸箱中各摸出一个小球的事件总数有36种.又2y x=，其中{},1,2,3,4,5,6x y,满足条件的有()()()1,2,2,4,3,6,故所求概率313612P.18. 如图所示的四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为矩形，AE＝EB＝BC＝2，AD⊥平面ABE，且CE上的点F满足BF⊥平面ACE.（1）求证：AE∥平面BFD；（2）求三棱锥C-AEB的体积.（1）证明见解析；（2）43. （1）由ABCD 为矩形，易得G 是AC 的中点，又BF ⊥平面ACE ，BC ＝BE ，则F 是EC 的中点，从而FG ∥AE ，再利用线面平行的判定定理证明.（2）根据AD ⊥平面ABE ，易得AE ⊥BC ，再由BF ⊥平面ACE ，得到AE ⊥BF ，进而得到AE ⊥平面BCE ，然后由C AEB A BCE V V --=求解. （1）如图所示：因为底面ABCD 为矩形，所以AC ，BD 的交点G 是AC 的中点，连接FG ， ∵BF ⊥平面ACE ，则CE ⊥BF ，而BC ＝BE ， ∴F 是EC 的中点， ∴FG ∥AE .又AE ⊄平面BFD ，FG ⊂平面BFD ， ∴AE ∥平面BFD .（2）∵AD ⊥平面ABE ，AD ∥BC ， ∴BC ⊥平面ABE ，则AE ⊥BC . 又BF ⊥平面ACE ，则AE ⊥BF ， ∴AE ⊥平面BCE .∴三棱锥C -AEB 的体积11142223323C AEB A BCE BCE V V S AE --⎛⎫==⋅=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭△.方法点睛：1、判断或证明线面平行的常用方法：（1）利用线面平行的定义，一般用反证法；（2）利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；（3）利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)；（4）利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)．19. 对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：分组 频数 频率 [10，15） 10 0.25 [15，20） 25 n [20，25） m p [25，30] 2 0.05 合计M1（1）求出表中M ，p 及图中a 的值；（2）若该校高一学生有360人，试估计该校高一学生参加社区服务的次数在区间[10，15）内的人数.（1）M ＝40，0.075p =，0.125a =；（2）90人.（1）根据频数与频率的统计表和频率分布直方图计算可得结果； （2）根据频数=样本容量⨯频率可求得结果. （1）由[10，15）内的频数是10，频率是0.25知，100.25M=，所以M ＝40. 因为频数之和为40，所以10＋25＋m ＋2＝40，m ＝3.330.07540p M ===. 因为a 是对应分组[15，20）的频率与组距的商，所以250.125405a ==⨯. （2）因为该校高一学生有360人，分组[10，15）内的频率是0.25，所以估计该校高一学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为3600.25⨯=90人.关键点点睛：根据频数与频率的统计表和频率分布直方图计算求解是解题关键.20. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，其中一个焦点在直线33y x =-上.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线:l y x t =+与椭圆交于,P Q 两点，试求三角形OPQ 面积的最大值.（1）2214x y +=；（2）1. （1）根据直线与x 轴的交点，求得c 的值，再利用离心率求得a 的值，进而求得b 的值，得到椭圆的方程；（2）将直线方程与椭圆方程联立，根据判别式大于零，得到t <<两根和与两根积，利用弦长公式求得PQ ，利用点到直线的距离，求得三角形的高，利用三角形的面积公式，得到S 关于t 的式子，利用基本不等式求得最大值.（1）椭圆的一个焦点即为直线与x 轴的交点)，所以c =2a =,1b =，所以椭圆方程为2214x y +=； （2）联立若直线:l y x t =+与椭圆方程得()2258440*x tx t ++-=，令()()22845440t t ∆=-⨯->，得t <<()*的两根为12,x x ，则1285t x x +=-，212445t x x -=，PQ ==，点O 到直线的距离d =()225121252OPQ t t S PQ d -+==≤⨯=当且仅当225t t -=，即t =t =时取等号，而t =或t =满足t << 所以三角形OPQ 面积最大值为1.该题考查的是有关直线与椭圆的问题，涉及到的知识点有椭圆方程的求解，直线与椭圆的位置关系，直线被椭圆截得的弦长，三角形的面积，属于中档题目.21. 矩形ABCD 的两条对角线相交于点M （2，0），AB 边所在直线的方程为x -3y -6＝0，点T （-1，1）在AD 边所在直线上.（1）求AD 边所在直线的方程；（2）求矩形ABCD 外接圆E 的方程；（3）已知点P 是（2）中圆E 上一动点，点Q （8，0），求线段PQ 的中点R 的轨迹方程. （1）3x ＋y ＋2＝0；（2）（x -2）2＋y 2＝8；（3）（x -5）2＋y 2＝2.（1）根据AD 与AB 垂直可求出斜率，再由点斜式即可求出；（2）可得M 即为外接圆圆心，根据直线AB 和AD 方程可求出点A 坐标，即可求出半径，得出圆的方程；（3）设R （x ，y ），利用中点坐标公式表示出点P ，代入圆E 即可求出.解：（1）因为AB 边所在直线的方程为x -3y -6＝0，且AD 与AB 垂直，所以直线AD 的斜率为-3.又因为点T （-1，1）在直线AD 上，所以AD 边所在直线的方程为y -1＝-3（x ＋1），即3x ＋y ＋2＝0；（2）由360320x y x y --=⎧⎨++=⎩解得点A 的坐标为(0,2)-. 因为矩形ABCD 两条对角线的交点为M （2，0）.所以M 为矩形ABCD 外接圆的圆心.又AM 从而矩形ABCD 外接圆E 的方程为（x -2）2＋y 2＝8；（3）设点P （x 0，y 0），点R （x ，y ），则由中点坐标公式得082x x +=，002y y +=， 即x 0＝2x -8，y 0＝2y .因为点P 在圆E 上，所以()220028x y -+=，故有22(282)(2)8x y --+=， 即22(5)2x y -+=，即点R 的轨迹方程为圆22(5)2x y -+=.22. 设双曲线C ：22x a－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A ，B ． (1)求双曲线C 的离心率e的取值范围；(2)设直线l 与y 轴的交点为P，且512PA PB =，求a 的值． （1）e e （2）a ＝1713. （1）由直线与双曲线联立得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0，结合条件得()2422104810.a a a a ⎧-≠⎪⎨+->⎪⎩，，从而可得离心率范围；（2）设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由512PA PB =可得x 1＝512x 2，由根与系数的关系可得－2221a a -＝28960，从而得解. (1)将y ＝－x ＋1代入双曲线22x a－y 2＝1中，得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0.① ∴()2422104810.a a a a ⎧-≠⎪⎨+->⎪⎩，解得0<a且a ≠1. 又双曲线的离心率e=e>2且e. (2)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．有P (0,1)． ∵512PA PB =，∴(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)． 由此得x 1＝512x 2.由于x 1，x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，因此由根与系数的关系，得1712x 2＝－2221a a -，512 22x ＝－2221a a-. 消去x 2，得－2221a a-＝28960.由a >0，得a ＝1713. 本题考查双曲线的几何性质、向量问题坐标化，直线与双曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、考查化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想，属于中档题.。