5-2相似矩阵详解

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相似矩阵的性质与判定条件

相似矩阵的性质与判定条件相似矩阵是线性代数中一个重要的概念，它在矩阵理论和应用中都有广泛的应用。

本文将介绍相似矩阵的性质以及判定条件，以便更好地理解和应用这个概念。

一、相似矩阵的定义在线性代数中，给定一个n阶矩阵A和一个可逆矩阵P，如果满足$P^{-1}AP = B$，则称矩阵B是矩阵A的相似矩阵，矩阵A和B互为相似矩阵，记作A~B。

其中，矩阵P是相似变换矩阵。

二、相似矩阵的性质1. 相似矩阵具有相同的特征值。

即矩阵A和B的特征值相同，即$det(A-\lambda I) = det(B-\lambda I)$，其中I为单位矩阵，$\lambda$为特征值。

2. 相似矩阵有相同的特征多项式。

矩阵A和B的特征多项式相同，即$|A-\lambda I| = |B-\lambda I|$。

3. 相似矩阵有相同的迹。

矩阵A和B的迹相同，即$tr(A) = tr(B)$，其中tr(A)表示矩阵A的迹。

4. 相似矩阵具有相同的秩。

矩阵A和B的秩相同，即$r(A) = r(B)$，其中r(A)表示矩阵A的秩。

5. 相似矩阵的乘积不变。

如果A和B是相似矩阵，那么对于任意的矩阵C，都有$CAC^{-1} = CBC^{-1}$。

三、相似矩阵的判定条件1. 相似矩阵具有相同的标准型。

如果两个矩阵A和B的标准型相同，那么它们互为相似矩阵。

2. 相似矩阵具有相同的秩和相同的特征多项式。

如果两个矩阵A和B具有相同的秩和相同的特征多项式，那么它们互为相似矩阵。

3. 相似矩阵具有相同的Jordan标准型。

如果两个矩阵A和B的Jordan标准型相同，那么它们互为相似矩阵。

四、相似矩阵的应用相似矩阵在矩阵表示、特征值计算、矩阵对角化等方面有着广泛的应用。

在线性代数的教学和研究中，相似矩阵的概念和性质是不可或缺的基础内容。

总结：相似矩阵是线性代数中的一个重要概念，矩阵A和B互为相似矩阵意味着它们具有相同的特征值、特征多项式、迹和秩。

相似矩阵

(1) 由 A E 2 2
2 4
2
4 2
0
2 7
得 1 2 2, 3 7.
将 1 2 2代入 A 1 E 0, 得方程组
x1 2 x2 2 x3 0 2 x1 4 x2 4 x3 0 2x 4x 4x 0 1 2 3
即矩阵 P 的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应．
课堂练习：习题册P37 第1题、第2题习题册P38 第3题
由 P 1 AP , 得AP P ,
1 p1 , 2 p2 ,, n pn . 1 p1 , p2 ,, pn
A p1 , p2 ,, pn Ap1 , Ap2 ,, Apn
于是有
Api i pi
i 1,2,, n.
总结矩阵对角化的条件： ① n 阶矩阵 A 可对角化的充分必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量
② n阶矩阵A可对角化的充分必要条件是A的每
一个特征值对应的线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重数 ③若n阶矩阵A有n个互不相同的特征值，则A可对角化补充：实对称矩阵可对角化
例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？ 1 2 2 2 1 2 (1) A 2 2 4 ( 2) A 5 3 3 2 1 0 2 4 2 解 1 2 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
所以1 , 2 , 3线性无关.
2 1 2 ( 2) A 5 3 3 1 0 2 2 1 A E 5 1 3 0
2
3 3 1 2
所以A的特征值为1 2 3 1. 把 1代入 A E x 0, 解之得基础解系 T (1,1,1) ,

5-2-1相似矩阵

第五章矩阵的特征值与特征向量第二节相似矩阵及对角化相似矩阵的定义与性质1相似对角化2一、相似矩阵的定义与性质性质.,,,,, 1相似与或说矩阵的相似矩阵是则称使若有可逆矩阵阶矩阵都是设B A A B B AP P P n B A =-定义.,的特征值亦相同与从而多项式相同的特征与相似则与阶矩阵若B A B A B A n ,相似与因B A .,1B AP P P =-使即有可逆矩阵P E P AP P E B )(11λλ---=-故P E A P )(1λ-=-P E A P λ-=-1.E A λ-=推论相似矩阵还具有相同的行列式、相同的迹、相同的秩。

注意相似矩阵的特征向量不一定相同！设为矩阵的特征值，为对应的特征向量，λA ξ与矩阵相似，则为特征值对应的的特征向量，这是因为，A 1P AP -1P ξ-λ1111P APP P A P ξξλξ----==20010022,020,~31100A x B A B y --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭例1,x y 求:解因为相似矩阵具有相同的特征值、相同的行列式、相同的迹，所以，2112x y -++=-++即2x y -=迹相同显然-1是特征值，肯定也是特征值B A 则1002120312A E x -+=+=0x=进而2y =-例2求解所以，可逆A E +A 为3阶矩阵, 是线性无关的3维列向量组,满足3211αααα++=A 3222ααα+=A 32332ααα+=A 123,,ααα123,,ααα是线性无关的3维列向量组,123(,,)ααα123123100(,,)(,,)122113A αααααα⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1123123100(,,)(,,)122113A αααααα-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭100~122113A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭相似矩阵特征值相同可以求出矩阵特征值100122113⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭100122113⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的特征值为:1,1,4的特征值也为:1,1,4A A E +的特征值也为:2,2,522520A E +=⨯⨯=所以，。

5-2 矩阵范数

= ( ∑ ∑ aik )( ∑ ∑ bkj )
2 i =1 k =1 2 F j =1 k =1
n
2
= A
B
2 F
Cauchy-Schwarz inequality
于是有 :
Department of Mathematics
AB
F
≤ A
F
B
F
例4 ：对于任意 A ∈ C
n ×n
，定义
A = [Tr ( A A)]
= tr[( AV)H ( AV)] = tr[V H ( AH AV)] = tr( AH AV)V H = A F
UAV
F
= AV
F
= AF
Department of Mathematics
关于矩阵范数的性质和定理定理1:设定理设
Aα, A
β
是矩阵 A 的任意两种范数，的任意两种范数，
m×n
则总存在正数 d1 , d 2 使得
d1 A β ≤ A α ≤ d2 A β , ∀A∈C
A, B ∈ C n×n ( R n×n ) ,则: 定理2:设定理设则
(1) On×n = 0 (3)
( 2) A − B ≥ A − B
A 是关于 A 中各元素
a ij 的连续函数
C n×n ( R n×n ) 上任意两个矩阵范数是等价的 (4)
矩阵论电子教程
哈尔滨工程大学理学院应用数学系
Department of Mathematics, College of Sciences
第五章
向量与矩阵的重要数字特征
Department of Mathematics
§5.2 矩阵范数

矩阵论课件Matrix5-2

( A2 (t )) A(t ) A(t ) A(t ) A(t );
初等函数的微分性质
(e At ) Ae At e At A;
(sin At ) A cos At (cos At ) A; (cos At ) A sin At (sin At ) A;
g ( j ) (i ) f ( j ) (i ), j 0,1,2,, ri 1; i 1,2,, s
也可以用特征多项式代替最小多项式！例题2 （P129 eg14）用法2计算上例
例题3
（P129 eg15）计算eAt
2、最小多项式方法
例题4 设
1 1 0 A 0 0 1 ，计算A10。 0 0 1
§ 5.6 函数矩阵的微积分
一、函数矩阵及其分析性质
函数矩阵：A(t) = [aij (t)]m×n，分析性质： A(t) 连续、可微分、可积分 aij (t)
lim A(t ) [lim aij (t )]mn
t t0 t t0
连续可微分
可积分
dA(t ) daij (t ) [ ]mn dt dt
e A B I (e 2 1) E11
例题1 设A为反对称矩阵，证明eA为正交矩阵。 3 2 0 2 例题2 设 3 ，讨论 lnA 是否有 A 1 0 意义 2 0 0 1
(A-I) = 5/2 > 1
二、矩阵函数的计算
2、最小多项式方法
定理5.12 设n阶方阵A的最小多项式为
mA ( ) ( 1 ) ( 2 ) ( s ) ,
n1 n2 ns
n
i 1
Байду номын сангаас

第五章相似矩阵(2)

i的特征向量。因为 P可逆，得 A的n个特征向量线性无关。
(2) 充分性（命题：已知n阶方阵A有n个线性无关的特征向量，则A相似于）
14
设A有n个线性无关的特征向量 P , P2 ,...Pn , 它们分别属于 1 A的特征值 1，2， n ..., AP A( P , P2 ,...Pn ) ( AP , AP2 ,...APn ) 1 1 (1 P , 2 P2 ,...n Pn ) 1 1 2 ( P , P2 ,...Pn ) 1 P n P 1 AP A相似于对角矩阵
2 1
T X 1 X 2 0 X 1与X 2正交。
20
定理10：设A为n阶实对称矩阵，则一定存在正交矩阵Q，使 1 2 T 1 Q AQ Q AQ ..., , 其中1，2， n为A的特征值
n
1
(2)当A可逆时, A是A的伴随矩阵A*的特征值;

是A-1的特征值;
(3)f(x)是x的一个一元多项式,则f()是f(A)的一个特征值,并且x仍是矩阵A-1,A*,f(A)的分别对应于特征值
1

,
A

, f()的特征向量.
定理3：设1，2，m 是方阵A的m个互不相同的特征值， X1，X2，Xm依次为与之相对应的特征向量，则X1，X2，Xm线性无关。证明：采用数学归纳法进行证明（1）当m=1时，∵X10，所以X1线性无关
令P ( X 1 , 2 ,... n ),则P正交， P 1 AP P T AP 1 0 B 0 1 1 T T T T T T 又( P AP ) P A P P AP T B 0 B 0, B T B , 所以B为n 1阶实对称矩阵，由归纳假设存在n 1阶正交矩阵P1 , 使 P1 BP1 P1 BP1 diag{2 ,...,n }

5-2矩阵的相似关系

0 b 0
0 0 相似， 6
。
解：因为 A ~ B ，故它们有相同的特征值，从而 tr ( A ) tr ( B ) ，由此：
1 5 a 1 b 6 a b 1，
(1)
(2)
又
A ~ B

A B
a 4 6b ，
由(1) (2)两式联立求得： a
1
1
将前一个式子代入后一个式子，得 P2 P1 A P1 P2 C ，即有
( P1 P2 )
1
A ( P1 P2 ) C ，
令 P P1 P2 ，则 P
A P C ，从而 A ~ C 。
信息系刘康泽
【定理】设 A , B 都是 n 阶方阵，且 A 与 B 相似，则（1）若 A , B 都可逆时， A
P
1
( E A ) P P
1
E A P E A ，
故 A 与 B 有相同的特征多项式，进而有相同的特征值。
信息系刘康泽
【注】若是 A 的属于的特征向量，且
P
1
AP B
则P 是B P
B(P ) (P
1 1
1
1
A P 的属于的特征向量。
2 5
, b
3 5
。
信息系刘康泽
第 5-2 节矩阵的相似关系
信息系刘康泽
矩阵的相似关系是矩阵间的一种重要的关系。
【定义】 A , B 都是 n 阶方阵，设若存在可逆矩阵 P ，
P AP B ，则称 A 与 B 是相似的矩阵，记为 A ~ B ，且称 P 为由 A 到 B 的相似变换矩阵。

502相似矩阵

2013-7-21
思考题
判断下列两矩阵 , B是否相似. A
1 1 A 1
1 1 n 0 0 1 1 1 0 0 , B . 1 0 0 1 1
2013-7-21
x 0 x
1 x 2 x 0 x y 0。 0
2
2013-7-21
三、小结与思考
１．相似矩阵相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好的性质，除了课堂内介绍的以外，还有： (1) A与B相似, 则det( A) det( B);
( 2)若A与B相似, 且A可逆, 则B也可逆, 且A 1与 B 1相似; ( 3) A与B相似, 则kA与kB相似, k为常数;
(8) 相似矩阵的幂仍相似。
A ~ B A ~ B ,k Z A ~ A ~ , k Z
k k k k 0 0
(9) 相似矩阵的特征值相等,即
B ；
(10) 相似矩阵的秩相等.
2013-7-21
例证明
若A ~ B，则A ~ B 。
2 2
1
2013-7-21
解
A PP 1 A2 ( PP 1 )( PP 1 ) P ( P P )P
1 1
PIP
11 1
1
P P
2
1
A P P
11
而
P
1
4 1 0 1 0 1 1 11 1 1 0 2 0 211 3
一、相似矩阵的定义
二、相似矩阵的性质三、小结与思考
一、相似矩阵的定义
定义5.3

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的列向量 pi 就是 A的对应于特征值 i的特征向量.
p1 , p2 , 因此， , pn线性无关.
反之,由于A恰好有n个特征值, 并可对应地求得n个特征向量p1 , p2 , 构成矩阵P , 使AP P .
又由于p1 , p2 , , pn线性无关, 所以P可逆.
求得基础解系 3 (1, 2, 2)T
即A有 3个线性无关的特征向量 ,因而A可对角化.
证由 P 1 AP B , 得
(P 1 AP )k B k
(P 1 AP ) P 1 Ak P
而 (P 1 AP )k (P 1 AP )(P 1 AP )
所以 Ak 与B k 相似。定理5.1 相似矩阵有相同的特征多项式及相同的特征值. 证 A与B相似
可逆阵P , 使得P 1 AP B
9
pn ,这n个特征向量即可
命题得证.
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注：
（1）方阵A如果能够对角化，则对角矩阵Λ在
不计λk的排列顺序时Λ是唯一的，称为A的相
似标准形。（2）相似变换矩阵P就是A的n个线性无关的特征向量作为列向量排列而成的。
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推论1 如果 n 阶矩阵 A 的 n 个特征值互不相等，则 A 与对角阵相似．
的特征多项式相同, 但不相似. （2）若A与一个对角矩阵相似，则对角矩阵的对角线元素为A的特征值. 非零对角线元素的个数为A的秩, 对角线元素的乘积为A的行列式.
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二、利用相似变换将方阵对角化
对 n 阶方阵 A , 若可找到可逆矩阵 P , 使 P 1 AP 为对角阵, 这就称为把方阵A对角化 .
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矩阵的相似关系是一种等价关系，即有（1）自反性
因为E 1 AE A.
（2）对称性
因P AP B, 则
（3）传递性
1

P
1
1
1
BP 1 A
因为P AP B, Q BQ C ,
1
则 PQ A PQ C .
1
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B E P AP P
1 1
E P
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P 1 A E P P 1 A E P A E .
注：（1）定理的逆命题并不成立，即特征多项式
相同的矩阵不一定相似.例
1 A 0 1 1 , B 1 0 0 1
相似矩阵的性质: 性质1 证相似矩阵具有相同的秩及相同的行列式. 若A与B相似，则存在可逆矩阵P，使
P 1 AP B ,
则A与B等价，所以秩相同，且
B P 1 A P A .
性质2
相似矩阵若可逆，则逆矩阵也相似.
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性质3 若A与B相似,则Ak与Bk相似,其中k为自然数.
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例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？且求矩阵P 1 2 2 2 1 2 (1) A 2 2 4 ( 2) A 5 3 3 2 1 0 2 4 2
解
1
定理5 .2
n阶矩阵A与对角矩阵相似(即A能对角化)
的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量 .
证明假设存在可逆阵 P , 使P 1 AP 为对角阵,
把 P 用其列向量表示为P p1 , p2 ,, pn .
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1 2 即 A p1 , p2 ,, pn p1 , p2 ,, pn n
第二节相似矩阵
一、相似矩阵的概念与性质二、利用相似变换将矩阵对角化三、实对称矩阵的性质四、利用正交矩阵将实对称矩阵对角化五、小结
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一. 相似矩阵的概念与性质
定义5.2 设A，B都是n阶方阵，如果存在一个
可逆矩阵P，使
P 1 AP B ,
则称A与B是相似的，称 P 1 AP 为对A作相似变换，可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵.
说明如果 A的特征方程有重根，此时不一定有 n个线性无关的特征向量，从而矩阵 A不一定能对角化，但如果能找到 n个线性无关的特征向量， A 还是能对角化．推论2 如果对于n阶方阵A的任一k重特征值 λ，有 r(A－λ E)=n－k，则A可对角化。
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利用相似变换将矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为： 1. 由|A E | 0, 求 A的特征值; 2. 由 A i E x 0, 求出A的特征向量 ; 3. 将n个线性无关的特征向量组成矩阵P.
得基础解系
1 2 2 0 0 0 0 0 0
2 0 1 0 , 2 1 . 1 1
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同理 , 对3 7, 代入 A E x 0,
由 P 1 AP , 得AP P ,
1 p1 , 2 p2 ,, n pn . 1 p1 , p2 ,, pn
A p1 , p2 ,, pn Ap1 , Ap2 ,, Apn
于是有
Api i pi
i 1,2,, n.
2 2 4
2
2 4 2
(1) 由 A E 2 2
2 7 0
得 1 2 2, 3 7.
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将 1 2 2 代入 A E x 0, 由
1 2 2 A 2 E 2 4 4 2 4 4