25.8正多边形的性质
正多边形的性质与判定解析
正多边形的性质与判定解析正多边形是指所有边相等且所有角相等的多边形。
本文将探讨正多边形的性质以及如何判定一个多边形是否为正多边形。
1. 什么是正多边形正多边形是指所有边相等且所有角相等的多边形。
正多边形的每个内角都等于(n-2)×180°/n，其中n为正多边形的边数。
2. 正多边形的性质正多边形具有以下几个重要性质：- 所有边相等：正多边形的每条边长度均相等。
- 所有角相等：正多边形的所有内角均相等，并且每个内角等于(n-2)×180°/n。
3. 正多边形的判定如何判定一个多边形是否为正多边形呢？我们可以通过以下两种方法进行判定：方法一：边长相等法- 方法：测量多边形的各条边长度，如果它们的长度都相等，则该多边形是正多边形。
- 解析：正多边形的边长相等是其最基本的性质，因此只需检查多边形的边长是否一致即可。
方法二：角度相等法- 方法：测量多边形的各个角度，如果它们的度数都相等，则该多边形是正多边形。
- 解析：由于正多边形的所有内角度数相等，因此只需检查多边形的内角度数是否一致即可。
4. 实例分析假设我们有一个五边形ABCDE，各边和角度如下：AB = BC = CD = DE = EA∠ABC = ∠BCD = ∠CDE = ∠DEA = ∠EAB我们可以通过测量边长和角度来判断该五边形是否为正多边形。
方法一中，我们测量各边长度，发现AB = BC = CD = DE = EA，因此符合边长相等法的要求。
方法二中，我们测量各角度，发现∠ABC = ∠BCD = ∠CDE =∠DEA = ∠EAB，因此符合角度相等法的要求。
综上所述，五边形ABCDE满足正多边形的定义，是一个正五边形。
5. 结论正多边形具有所有边相等和所有角相等的性质。
我们可以通过测量边长或角度来判定一个多边形是否为正多边形。
边长相等法和角度相等法是常用的判定方法。
对于一个n边形，我们只需测量n条边的边长或n个角的度数，如果它们都相等，则该多边形为正多边形。
正多边形特性
正多边形特性正多边形是指所有边长相等、所有角度相等的多边形。
在几何学中，正多边形具有很多独特的特性和性质。
本文将详细介绍正多边形的特性，包括边长、内角、对角线、对称性等方面。
1. 边长特性：正多边形的所有边长相等。
设正多边形的边长为a，则它的周长等于n个边长之和，即周长L = na，其中n为正多边形的边数。
2. 内角特性：正多边形的所有内角相等。
设正多边形的内角为α，则它的内角和等于(n-2)个内角之和，即内角和S = (n-2)α。
由于所有内角相等，所以每个内角的度数为180°×(n-2)/n。
3. 外角特性：正多边形的每个外角等于360°/n，其中n为正多边形的边数。
由此可知，正三角形的外角为120°，正四边形的外角为90°，正五边形的外角为72°，以此类推。
4. 对称性：正多边形具有很强的对称性，包括轴对称和旋转对称。
以正三角形为例，它具有3条对称轴，分别是三条中线，它们互相重合，将三角形分割成3个等边小三角形。
5. 对角线特性：正多边形的对角线是指连接正多边形内非相邻顶点的线段。
正多边形的每个顶点都可以连接到其他n-3个顶点，因此正多边形的对角线总数为n × (n-3)/2。
6. 内切圆和外接圆：正多边形可以围绕两个圆进行构造，即内切圆和外接圆。
内切圆是指与正多边形的每条边都有内切接触的圆，内切圆的半径r等于正多边形的边长的一半。
外接圆是指正多边形的所有顶点都位于圆上的圆，外接圆的半径R等于正多边形的边长的一半除以正弦函数的值，即R = a/(2sin(π/n))。
7. 面积特性：正多边形的面积可以通过边长和边数来计算。
设正多边形的边长为a，则其面积为S = 0.25 × n × a^2 × cot(π/n)。
综上所述，正多边形具有边长相等、角度相等、对角线特性、对称性等各种特性。
这些特性使得正多边形在数学和几何的研究中扮演着重要的角色，并应用于各种领域，如建筑设计、艺术创作等。
正多边形的性质与特征
正多边形的性质与特征正多边形，顾名思义，是指所有边的长度相等且所有角的度数相等的多边形。
正多边形具有许多有趣的性质和特征，这使得它成为了数学研究中重要的对象之一。
本文将就正多边形的性质与特征展开讨论。
一. 正多边形的几何特征正多边形具有以下几个几何特征。
1. 边长相等：正多边形所有边的长度都相等，这是它的最基本的特征。
2. 内角度数相等：正多边形中的每个内角的度数都相等。
以n边正多边形为例，每个内角的度数为(180° × (n-2))/n。
3. 外角度数相等：正多边形中的每个外角的度数也相等。
每个外角的度数等于360°/n。
二. 正多边形的性质除了上述的几何特征外，正多边形还具有其他一些性质。
1. 对称性：正多边形具有多个对称轴。
以正三角形为例，它具有三条对称轴，分别是连接各顶点与各边中点的线段。
2. 中心对称：正多边形的中心是所有顶点的交点。
以正四边形为例，它的中心即为正方形四个顶点的交点。
3. 圆周角：正多边形的外角和所对的弧长相等。
以正五边形为例，五边形的外角和所对的弧长都是72°。
4. 正切线：正多边形的对角线也是其内角的正切线。
以正六边形为例，内角为120°，对角线与内角的正切值都为sqrt(3)。
5. 外接圆：正多边形的顶点都位于一个圆上，这个圆叫做该正多边形的外接圆。
外接圆的圆心与正多边形的中心重合。
6. 内切圆：正多边形的内切圆是一个与该多边形内切且圆心与正多边形中心重合的圆。
正多边形具有许多其他有趣的性质和特征，上述仅为其中的一部分。
通过研究正多边形的性质与特征，我们可以深入理解其几何结构，并将其应用于实际问题中。
结论正多边形是一个具有边长相等和内角度数相等特征的多边形。
它的性质包括对称性、圆周角相等、正切线特性等。
正多边形在数学研究和实际应用中都具有重要意义。
深入研究正多边形的性质与特征，有助于扩展我们对几何学的认识，并提供了解决实际问题的数学工具。
正多边形的性质
正多边形的性质正多边形是指所有边长相等，且所有角都相等的多边形。
它是几何学中的重要概念，具有一些独特的性质和特点。
本文将介绍正多边形的性质，包括边长、内角、外角、对角线、面积等，并讨论它们之间的关系。
首先，正多边形的边长是相等的。
这意味着正多边形的所有边长都相等，以及所有的角都是相等的。
这个性质使得正多边形在几何学中非常有用，它的对称性和稳定性使得它在建筑设计、工程结构和艺术创作中经常被使用。
其次，正多边形的内角是相等的。
在正多边形中，任意两个相邻角的和等于180度。
以三角形为例，它是最简单的正多边形，其中的三个内角是相等的，每个角都是60度。
同样地，四边形（正方形）的每个内角是90度，五边形的每个内角是108度。
这个性质可以通过数学推导和证明。
与内角相对应的是外角。
正多边形的外角可以通过内角的补角得到。
例如，三角形的外角是180度减去内角的度数，所以是120度。
同样地，四边形的外角是90度减去内角的度数，所以是90度。
这个性质在几何学中也经常被使用。
正多边形的对角线是指从多边形的一个顶点到另一个顶点之间的线段。
正多边形中的每个顶点都可以通过对角线连接到其他顶点。
以五边形为例，它有5个顶点，所以可以通过对角线连接5个顶点。
在正多边形中，任意两个顶点之间的对角线数量等于顶点数减去3。
例如，五边形有5个顶点，所以对角线的数量是5-3=2。
正多边形的面积可以通过一些公式计算。
对于任意正多边形，可以使用边长和高度来计算它的面积。
对于正多边形的面积，我们可以根据其边长和高度的关系使用公式 A=1/2×边长×高度来计算。
也可以使用公式 A=1/2×边长×周长来计算正多边形的面积。
这些公式可以根据不同的情况灵活应用。
总结起来，正多边形具有边长相等、内角相等、外角补角相等、对角线数量等于顶点数减去3、以及面积可以通过不同的公式计算等性质。
这些性质使得正多边形在几何学中有着重要的地位，被广泛应用于各个领域。
正多边形的性质与定理
正多边形的性质与定理正多边形是一个经过严格定义和规定的几何形状，它具有一些独特的性质和定理。
本文将探讨正多边形的性质和一些相关的定理。
1. 定义正多边形是一种具有相等边长和相等内角的多边形。
其中，边长表示多边形的边的长度，内角表示多边形内部两条边之间的夹角。
2. 性质（1）边数与内角数的关系：正多边形的边数n决定了它的内角数。
根据数学定理，正多边形的内角数等于(n-2)×180度。
因此，正三角形的内角数为180度，正四边形为360度，正五边形为540度，以此类推。
（2）内角的大小：由于正多边形的内角数相等，所以每个内角的大小等于总的内角和除以内角数。
举例来说，正六边形的内角等于720度除以6，即每个内角为120度。
（3）外角的大小：与内角相对应的是正多边形的外角。
正多边形的外角等于360度除以内角数。
以正五边形为例，它的内角数为540度，所以每个外角为360度除以5，即72度。
3. 定理（1）正多边形的对角线：正多边形的对角线是指连接多边形任意两个不相邻顶点的线段。
根据需要，根据多边形的边数，我们可以对正多边形的对角线进行分类讨论。
对于正三角形，它只有三条边，没有对角线。
对于正四边形，它有两条对角线，且两条对角线相等且互相垂直。
对于正五边形，它有五条对角线，且五条对角线相等。
对于正六边形，它有九条对角线，且三条对角线相等且互相平行，另外六条对角线相等且交于中心点。
（2）正多边形的面积：正多边形的面积可以通过不同的公式计算，具体的公式取决于已知的信息。
对于正三角形，它的面积等于边长的平方乘以根号3除以4。
对于正四边形，它的面积等于边长的平方。
对于正五边形，它的面积等于(边长的平方乘以根号5乘以(5+根号5)除以4)。
对于正六边形，它的面积等于(3乘以边长的平方乘以根号3除以2)。
4. 结论正多边形具有以上所述的性质和定理。
这些性质和定理奠定了正多边形在几何学中的重要地位，并且在实际应用中也具有广泛的意义。
正多边形的性质与相关问题
正多边形的性质与相关问题正多边形是几何学中的重要概念之一，它具有独特的性质和特点。
在本文中，我将为大家介绍正多边形的性质，并探讨与之相关的一些问题。
一、正多边形的定义与性质正多边形是指所有边相等且所有角相等的多边形。
以正三边形、正四边形和正五边形为例，它们的边数分别为3、4和5，边长相等，内角也相等。
正多边形的性质如下：1. 内角和公式正多边形的内角和公式为：(n-2) × 180°，其中n为正多边形的边数。
以正五边形为例，它的内角和为(5-2) × 180° = 540°。
2. 外角和公式正多边形的外角和公式为：360°/n，其中n为正多边形的边数。
以正五边形为例，它的外角和为360°/5 = 72°。
3. 对角线的数量正多边形的对角线数量为n(n-3)/2，其中n为正多边形的边数。
以正五边形为例，它的对角线数量为5(5-3)/2 = 5。
二、正多边形的应用问题正多边形的性质在数学和日常生活中都有广泛的应用。
下面我将介绍一些与正多边形相关的问题，并给出解决方法。
1. 如何判断一个多边形是否为正多边形？要判断一个多边形是否为正多边形，需要满足两个条件：所有边相等，所有角相等。
可以通过测量多边形的边长和内角来进行判断。
2. 如何计算正多边形的面积？正多边形的面积可以通过以下公式计算：面积 = (边长 ×边长 × n) / (4 ×tan(π/n))，其中n为正多边形的边数。
通过测量正多边形的边长，可以代入公式计算出面积。
3. 如何在平面上画出一个正多边形？要在平面上画出一个正多边形，可以通过以下步骤进行：首先确定一个顶点，然后以该顶点为中心，根据正多边形的内角和公式计算出每个顶点的位置，依次连接各个顶点即可。
4. 如何计算正多边形的周长？正多边形的周长等于边长乘以边数。
可以通过测量正多边形的边长，然后代入公式计算出周长。
正多边形的性质与计算
正多边形的性质与计算正多边形是指所有边的长度相等，所有内角的度数也相等的多边形。
在几何学中，正多边形具有许多独特的性质和特点，同时也可以通过一些数学计算方法来求解其各个参数。
本文将介绍正多边形的基本性质，并探讨如何计算其边长、面积和内角度数。
一、正多边形的性质1. 边长相等：正多边形的每条边长度都相等。
2. 内角度数相等：正多边形的每个内角的度数都相等。
3. 外角度数相等：正多边形的每个外角的度数都相等。
4. 顶角小于180度：正多边形的顶角（内角的对角）度数小于180度。
5. 对角线相等：正多边形的任意两个对角线的长度都相等。
6. 中心对称：正多边形以中心为对称轴具有对称性。
二、计算正多边形的边长要计算正多边形的边长，我们可以使用以下公式：边长 = 周长 / 边数其中，周长是指正多边形的所有边的总长度，边数则表示正多边形的边数。
三、计算正多边形的面积正多边形的面积计算有多种方法，根据不同情况可以选择相应的公式：1. 如果已知边长：面积 = 0.25 * n * 边长² * cot(180度 / n)其中，n代表正多边形的边数，边长则表示正多边形的边长。
2. 如果已知内角度数：面积 = 0.5 * n * 边长² * tan(180度 / n)其中，n代表正多边形的边数，边长则表示正多边形的边长。
3. 如果已知外接圆半径：面积 = 0.5 * n * 边长 * 外接圆半径其中，n代表正多边形的边数，边长则表示正多边形的边长。
四、计算正多边形的内角度数计算正多边形的内角度数，可以使用以下公式：内角度数 = (n - 2) * 180度 / n其中，n代表正多边形的边数。
五、应用案例以正五边形为例，假设边长为a，则可以使用上述公式进行计算：1. 计算周长：周长 = 5 * a2. 计算面积：面积 = 0.25 * 5 * a² * cot(36度)3. 计算内角度数：内角度数 = (5 - 2) * 180度 / 5 = 108度通过以上计算公式和案例，我们可以根据给定的正多边形参数，灵活计算出正多边形的边长、面积和内角度数等重要参数。
正多边形的性质课件教学
归纳：正多形的性质定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆.
并且这两个圆是同心圆。
数学阅读
A
B
O
E
CF D 二、正多边形中的有关概念：
中心 半径 边心距 中心角 既是外接圆的圆心，也是内切圆的圆心
1. O是正△ABC的中心，它是△ABC的_外__接__
圆与___内__切___圆的圆心。
第24章 圆
24.6 正多边形与圆
第2课时 正多边形的性质
F
E
A
B
.. O
D
rR
PC
复习引入
问题1 什么是正多边形？ 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.
问题2 如何作出正多边形？ 将一个圆n (n≥3)等份
1、依次连接各分点所得圆的内接正n边形. 2、经过各分点做圆的切线，以相邻切线的交点为 顶点的多边形是圆的外切正n边形.
A
2. OB叫正△ABC的_半__径__, 它是正△ABC的_外__接___圆
的半径。
3. OD叫作正△ABC边___心__距_,
它是正△ABC的_内__切___
圆的半径。
B
.O
D
C
4. ∠BOC是正△ABC的__中__心____ 角∠; BOC=_1__2_0_度; ∠BOD=__6_0__度.
5、⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，弦AB的
弦心距OF叫正五边形ABCDE的_边__心__距___， 它是正五边形ABCDE的__内__切____圆的半径。
6、∠AOB叫做正五边形ABCDE的__中__心___角， 它的度数是_7_2_度_____
D
E
C
.O
A FB
练一练 完成下面的表格：
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
C
O
3
B
定理：任何正多边形都有一个外接圆和
内切圆，这两个圆同心。
二. 正多边形有关的概念 E
正多边形的中心: 一个正多边形的 外接圆的圆心.
D
F
正多边形的半径: 外接圆的半径
正多边形的中心角: 正多边形的每一条 边所对的圆心角.
中心角
. O
半径R
C B
边心距r
A
正多边形的边心距： 中心到正多边形的 一边的距离.
三、正多边形的有关计算
完成下表中正多边形的计算(把计算结果填入表中)：
例 有一个亭子它的地基是半径为4m的正六边形,
求地基的周长和面积(精确到0.1平方米).
F
E
O . . r
A
B
R
C
D
P
由于ABCDEF是正六边形，所以 F 360 它的中心角等于 60 ， 6 A OBC是等边三角形，从而正 六边形的边长等于它的半径.
25.8 正多边形的性质
E A D
B
C
刘桥中心校九年级数学备课组
观察下列图形他们有什么特点？
正三 角形
三条边相等， 三个角相等 正方形 （60度）。
四条边相等， 四个角相等 （900）。
一 .正多边形定义
各边相等,各角也相等的多边形叫做 正多边形. 如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形 叫做正n边形。
正多边形的性质及对称性
3.正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n 条对称轴，每条对称轴都通过n边形的中心。 1、正多边形的各边相等
2、正多边形的各角相等
4. 边数是偶数的正多边形还是中心对称图形， 它的中心就是对称中心。
正n边形与圆的关系
1.把正n边形的边数无限增多,就接近于圆. 2.将一个圆n等分，就可以作出这个圆的内接或外 切正n边形，反过来，是不是每个正多边形都有一 个外接圆与一个内切圆呢？ 我们仍以正五边形为例来进行研究。
• 6．以下有四种说法：①顺次连结对角线相等的 四边形各边中点，则所得的四边形是菱形；② 等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图 形；③顶点在圆周上的角是圆周角；④边数相 同的正多边形都相似，其中正确的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D 4个
• 7．正多边形的中心角与该正多边形一个内角的 关系是（） A.互余 B.互补 C.互余或互补 D.不能确定
三. 正多边形有关的计算 正多边形的内角:
(n 2) 180 内角 n 正多边形的半径: 外接圆的半径
E
半径R
D
F
中心角
. O 边心距r
B
r
2
C
正多边形的中心角:
中心角 360 n
A
2
正多边形的边心距：
1 1 正多边形的面积： S n( ar ) Lr 2 2
a ） R（ 2
思考: 过正五边形ABCDE的顶点A、B、C 作⊙O,连接OA、OB、OC、OD、OE，DE D 两点在⊙O上吗？
证明：如图：∵OB=OC ∴∠1=∠2 E 又∵∠ABC=∠BCD ∴∠3=∠4 ∵AB=DC ∴△OAB≌△ODC ∴OA=OD A 即点D在⊙O上，同理可以证明 点E也在⊙O上.
● 4 2 1
A O . N A M O . N D A E D
O . C
M B
M C
B N
C B
四.拓展练习
• 1、正八边形的中心角是 度;它的外角 是 度. • 2．圆内接正方形的半径与边长的比值是 ________ • 3．正多边形的边心距与边长之比为 3 形的边长为2，则该圆 的内接正六边形边长为__________． • 5． 圆内接正六边形的边长是8 cm用么该正 六边形的半径为________；边心距为 ________．
• 9．若一个正多边形的每一个外角都等于 36°,那么这个正多边形的中心角为（ ） A．36° B、 18° C．72° D．54° • 10．将一个边长为a正方形硬纸片剪去四 角，使它成为正n边形，那么正n边形的面 积为（ ）
A.(3 2 3)a
2
• 11．正六边形螺帽的边长为a，那么扳手 的开口b最小应是( ) 1 3 3 A、3a B、 a C. a D.
E
. .O
r R=4
D
P ∴亭子的周长 L=6×4=24(m) BC 4 在RtOPC中，OC 4，PC 2 2 2
根据勾股定理，可得边心距r
B
C
4 2
2
2
2 3
1 1 2 亭子的面积S Lr 24 2 3 41 .6(m ) 2 2
例2:如图,M,N分别是⊙O内接正多边形 AB,BC上的点,且BM=CN. (1)求图①中∠MON的度数; (2)图②中∠MON= ; 图③中∠MON= ; (3)试探究∠MON的度数与正n边形的边数 n的关系.
2 2 3
7 2 B. a 9
2 2 C. a 2
D. (2 2-2)a 2
小结： 1、怎样的多边形是正多边形？
①各边相等 ②各角相等
的多边形叫做正多边形。
2、怎样判定一个多边形是正多边形？ 3、正多边形有哪些性质？