初二几何漏解剖析

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解几何题常见错误剖析

解几何题常见错误剖析教学中发现，许多同学在解几何题时存这样或那样的错误，其中，最常见的有如下几类，愿通过对这几类错误的剖析，能对正忙于中考复习的同学有所帮助．一、忽视分类对于一些没有给出图形的几何问题，同学们往往凭自已的想象或习惯匆忙画图求解，怱视了分类讨论得出不完整的答案．例1 ⊙O中，弦AB和AC的夹角为62，P、Q分别是的中点，求∠POQ 的度数．误解：如图1，∵P、Q分别是的中点，由垂径定理的推论知：OP⊥AB，OQ⊥AC．∴∠POQ＝180－∠A＝180－62＝118．剖析：上述过程乍看没什么问题，但本题并没有给出现成的图形，题目中也并没有说明圆心O一定在∠BAC的内部，故应分类考虑圆心O与∠BAC的位置关系．事实上，当圆心O在∠BAC的一边上时（如图2），∠POQ＝118或62；当圆心O在∠BAC的外部时（如图3），∠POQ＝62．因此，∠POQ＝118或62．二、忽视对应某些几何问题隐含对应关系，若不细致分析亦会产生答案不全的错误．例2 在△ABC和△ABD中，∠ACB＝∠ABD＝90，BC＝a，AC＝b，如果△ABD 与△ABC相似，试求斜边AD上的高．误解：如图4，过B作BE⊥AD于E，则∠AEB＝∠ACB＝90．∵△ABD与△ABC 相似，∴∠BAD＝∠CAB，又AB＝AB，∴△BAE≌△BAC，∴BE＝BC＝a．即斜边AD上的高为a．剖析：题目给出了“△ABD与△ABC相似”并不等于指明了这两个三角形的对应边（它不等同于表达式“△ABD∽△ABC”那样指明了对应顶点）．而上述解答误认为“△ABD与△ABC相似”已锁定了两三角形的对应边．其实，根据题意还存在另一种情形（如图5），在此情形下，不难求得BE＝AC＝b，故斜边AD上的高为a或b．三、以偏概全所谓“以偏概全”，就是用极端或特殊情形下得出的结论代替一般的结论．有些同学为了图方便，解题时却犯了以偏概全的错误．例3 求证：圆中直径是最长的弦．误证：如图6，AB是圆O的直径，BC是弦，连结OC，∵AB＝OA＋OB＝OC＋OB＞BC，∴直径是圆中最长的弦．剖析：要证明直径是圆中最长的弦，即证：圆中任意一条弦都比直径小．非直径的弦不一定要画成有一个端点与已知直径的一个端点重合，上述证明只能说明弦BC比直径AB小，不能代表该圆中所有的弦都比直径AB小，因而犯了以偏概全的错误．其正确证法是：如图7，AB是⊙O的直径，设CD是⊙O中任意一条非直径的弦，连结OC、OD，则OC＝OD＝OA，在△OCD中，∵OC＋OD＞CD，∴AB＝2OA ＝OC＋OD＞CD．故圆中直径是最长的弦．这里要强调：CD是任意一条弦．四、循环论证所谓“循环论证”，就是把所要证的结论不知不觉的当成条件使用，最后又得出所证的结论．例4 如图8，⊙O中，AB为直径，AC是弦，∠A＝30，延长AB至D，使BD ＝AB，连DC．求证：DC是⊙O的切线．误证：连OC、BC，∵OA＝OC，∠A＝30，∴∠BOC＝60，又OB＝OC，∴△BOC 是等边三角形，从而∠BCO＝∠OBC＝60．（☆）∵BD＝AB＝OB，∴CB是Rt△OCD斜边上的中线，∴CB＝BD，∴∠BCD＝×60＝30，故∠OCD＝60＋30＝90，即DC是⊙O的切线．剖析：表面上看，似乎看不出错在哪里，但只要细心观察，不难发现“CB是Rt△OCD斜边上的中线”这一步令人费解．为什么△OCD是直角三角形？如果△OCD 是直角形（∠OCD是直角），那么DC岂不是圆的切了吗？本题证明的最终目标是：“DC是⊙O的切线”，而这里不知不觉的把要证明的结论“DC是⊙O的切线”当成已知条件使用了．因此，上述解答正是犯了循环论证的错误．如果在（☆）号后这样叙述：∵BD＝AB，又△BOC是等边三角形，∴BD＝OB＝BC，∴∠BCD＝×60＝30，故∠OCD＝60＋30＝90，即DC是⊙O的切线．那就完美无缺了！五、自以为是所谓“自以为是”，就是对于一些较复杂的问题，在理不清头序时想当然的或糊编乱造的写出缺少依据的解答．例5 如图9，矩形ABCD中，E、G、F分别是边AD、AB和对角线AC上的点，EF∥DC，FG∥BC．求证：四边形AEFG∽四边形ABCD．误证：∵EF∥DC，∴△AEF∽△ADC．同理，△AFG∽△ACB．∴△AEF＋△AFG∽△ADC＋△ACB，即四边形AEFG ∽四边形ABCD．剖析：问题出在“△AEF＋△AFG＝△ADC＋△ACB”上，其原因可能是把“∽”号误认为了“＝”号，从而套用了等式的性质（或者是想当然），自以为是．这是没有依据的．其正确的证法是运用相似多边形的定义，从两个方面来论证：一是证明这两个四边形的对应角相等，二是证明它们的对应边的比相等．事实上，这两个四边形是位似图形，运用位似性质亦可证明．。

等腰三角形常见漏解剖析

等腰三角形常见漏解剖析等腰三角形是八年级上学期的重点内容，除了“三线合一”外，也有多种易漏解题型。

等腰三角形的边分为腰长和底边长，角分为顶角和底角，如果题目中没有明确腰、底或顶角、底角的情况，求其余量时，需要分多种情况。

当然，三角形本身还分锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，这也是需要考虑的情况。

01类型一：已知两边如果题目中已知等腰三角形的两边，而没有明确说明腰或底时，求其周长需要分两种情况进行讨论。

我们在求解时，也需要通过三角形三边之间的关系进行验证，检验其是否构成三角形，若不能构成三角形，那么需要舍去。

例题1：已知一等腰三角形的两边长分别为6cm和13cm，求该三角形的周长分析：分类讨论，利用等腰三角形的性质，以及三角形三边关系确定出第三边的长，然后再求三角形的周长。

解：分两种情况考虑：若6cm为等腰三角形的腰长，则三边分别为6cm，6cm，13cm，6+6＜13，不符合题意，舍去；若13cm为等腰三角形的腰长，则三边分别为6cm，13cm，13cm，符合题意，则三角形的周长为：6+6+13=25cm。

02类型二：已知一内角已知等腰三角形的一个内角，没有明确说是什么角，那么我们需要分两种情况进行讨论，该角可能是顶角，也可能是底角。

例题2：等腰三角形的两个外角的度数比为1：4，求则它底角的度数分析：先设这两个外角等于x，4x，然后分类讨论，①若底角的外角是x；②若顶角的外角是x，再结合三角形内角和定理可求x，从而求解。

解：设这两个外角等于x，4x，①若底角的外角是x，则有2（180°-x）+（180°-4x）=180°，解得x=60°，则底角等于120°，不合题意，舍去．②若顶角的外角是x，则有（180°-x）+2（180°-4x）=180°，解得x=40°，则顶角等于140°，那么底角等于20°．类型三：已知一腰上的中线等腰三角形中一腰上的中线将等腰三角形分成两部分，一部分为腰长+一半的腰长，另外一部分为一半的腰长+底边，因此也需要分两种情况进行讨论。

浅谈初中数学问题中几种漏解情况

浅谈初中数学问题中几种漏解情况数学思想是对数学知识和方法的本质认识，而数学方法是解决数学问题、体现数学思想的手段和工具。

因此，加强数学思想方法的教学，对于抓好双基，培养能力，提高学生的思维品质具有重要的作用。

在数学学习中，学生在对许多常见方法、图形、定理使用时，容易忽视定理的使用条件，忽视非常规图形，因而造成失解或错误解法。

教师教学时应强调定理和方法应用条件，引导学生运用分类思想处理问题，培养学生思考问题的周密性，以排除学生定向思维产生的错误解法，下面就浅谈初中数学中几个问题漏解情况：例1：已知===k，求k的值。

分析：此题学生容易用等比性质k=2，忽视等比性质使用条件x+y+z≠0，产生丢解。

正确解法：（1）x+y+z≠0时，由等比性质∴k=2（2）x+y+z=0时，即x+y+z=－z，k=－1∴此题有两解：k=2或k=－1例2：已知方程（1－a）x2－2x－2=0有实数根，求实数a的取值范围。

分析：学生看到x2即想到△≥0，忽视了判别式定理使用的条件。

正确解法：（1）当1－a=0时，x=－1有实数根，a=1（2）当1－a≠0时，△≥0，4－8（1－a）≥0，a≥ 1/2 且a≠1综上所述，当a≥时，方程有实数根。

例3：已知：方程2x2－kx－2k＋1=0的两实根的平方和是，求实数k的值。

分析：学生容易想到利用韦达定理来解决，忽视韦达定理对一元二次方程没有实数根也成立，不去检验△≥是否成立，产生增根。

正确解法：设x1、x2是方程2x2－kx－2k＋1=0的两实根。

由韦达定理x1＋x2 =x1 x2 =由题意：x12 ＋x22=。

∴（x1 ＋x2）2 －2 x1 x2=，即：k2－2·= .∴（x1 ＋x2）2 －2 x1 x2=，即：k2－2·=.解得：k1=3，k2=－11当k1=3时，方程2x2－3x－5=0，△﹥0.当k2=－11时，方程2x2＋11x＋23=0. △﹤0.应舍去。

初中数学典型“漏解”例析

（）腰长为６ｃ时，边长为４ｃ，２当ｍ底ｍ
三角形的周长为：＋６４１ｍ；６＋ — ６ｃ
‘
（如图２当顶角２），为钝角时，
‘ ‘
一
Ｃ
．
．
三角形的周长为１ｍ或１ｍ．４ｃ６ｃ
．
两人相距３千米？
‘ ．
．ｃ：ｈ５：等一２：１．－５２
分析：由于受思维定势的影响，为３４认、分别是直角三角形的两直边，以造成漏解．所
错解：ｚ小时后，、两人相距３千设甲乙米，据题意得：根
４ｃ，ｍ，三角形的周Ｆ．ｍ６ｃ求－．
错解：．三角形的腰Ｆ为４ｃ，边长为 ‘ ’ －－ｍ底
错解：如图
１，等腰
△ ＡＢＣ中，’ ＡＢＤ一４。． ‘ ０，
‘ ．
６ｃ，’三角形的周－．：＋４６１ｍ。ｍ．．Ｆ￣４－＋ — ４ｃ
如下．
一
＝：＝１６
故斜边与斜边上的高的比为２：１５２或
１６：２１．
、
受思维定势影响，成漏解造
【３等腰三角形一腰上的高与另一例】
腰的夹角为４。则顶角为０，．
【１已知等腰三角形的两边分别是例】
千米，造成漏解．而

圆的问题漏解剖析

圆的问题漏解剖析
诸城市瓦店初中管延玲王亮
圆这一章中有些题目部分学生有漏解现象，为了提高认识，加深了解。

为在今后的学习中不出现类似错误，现对照有关题目加以分析，以引起同学们的注意。

例1、⊙o1和⊙o2相交于A、B两点，若AB＝4。

⊙o1和⊙o2的半径为3和2，求O1O2的长。

分析：本题的难点是根据题意，画出两个图形。

①当O1、O2在公共弦AB的两侧时。

②当O1、O2在公共弦AB同侧时；一些同学往往忽略了O1O2在AB同侧的情况，原因是对相交两圆的圆心及公共弦的位置关系不熟悉，因此只计算了一种情况。

例2：圆内接等腰三角形ABC中，圆心到BC的距离为3厘米，圆的半径为7厘米，求腰长AB。

分析：本题要考虑两种情况：①锐角三角形外接圆的圆心在三角形的内部。

②钝角三角形外接圆的圆心在三角形的外部。

如下图1
例3、AB、CD 是半径为5的⊙o的两弦，且AB//CD，AB＝8，CD＝6，求两弦的距离。

分析：此题要考虑两种情况。

①两弦在圆心的同侧。

②两弦在圆心的两侧。

如下图2
例4、一个点到圆的最大的距离是9厘米，最小距离是4厘米，求圆的半径。

分析：此题要考虑两种情况，①点在圆内。

②点在圆外。

例5、两圆内切，如果这两个圆的圆心距是3厘米，其中一个圆的半径是6厘米，求另一个圆的半径。

分析：本题要考虑所求的圆是大圆还是小圆。

根据d=R-r求出另一个圆的半径是3厘米或者9厘米。

由此可见，在解答与圆有关的几何问题时，一定要考虑圆的对称性，弄清圆心和弦的位置，想到应出现的几种情况，防止漏解。

浅析初中数学的漏解问题

。
．
．
２忽视某些三角形的不确定性例３已知 △ Ｂｃ中，Ｂ＝１，Ａ５ＡＣ＝１，Ｃ３Ｂ边上的高Ａ＝１，ＡＡＤ２求ＢＣ的周长．
错解：Ｄ上Ｂ于Ｄ．Ｂ＝９Ｃ＝５ＡＣ・Ｄ．，Ｄ．
・
．
Ａ的同侧．当、Ｄ在弦ＡＢ的同侧时，Ｂ ’
＝
去口＋ｃ＋＋２一（６＋＋ｚ一ａｘ
＝
拓思路，现解题途径，到事半功倍的效果．发收
去（一）（（】，［６）ｃ）口＋一＋ — ０
浅析初中数学的漏解问题
福建安溪县教师进修学校苏杰民
足＜２．
ＯＬＯ：Ｐ：Ａ５
．
２
评析：题只考虑Ｐ为直角顶点，视了本忽
Ａ也可以作为直角顶点．Ａ为直角顶点时当
可求得ＯＰ＝２．Ｏ
４忽视图形位置多种可能性例５半径为４ｌ的ｏ和半径为ｌ０Ｉ５的
‘
‘ ．
．
即当＝一
或ＰＣ＝ＰＡ—ＡＣ＝８．
则
２
有最…
・
・
・
南小
・２２・
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
值吾一．
评析：本题只考虑Ａ为等腰三角形顶点，忽然了曰、Ｐ也可以作为顶点．曰为顶点当时，Ｐ＝Ｂ．ＰＣ＝ＣＢＡ＇．．Ａ＝５当Ｐ为顶点时，；设

数学漏解问题剖析

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．．
．．
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．．
．．
▲ 数掌大世界０ｐ．ｐ ◆ ．．。．。．。．。＋。＋。．。．。．。．
数学漏解问题剖析
… 一
查一煎造吏韭１黑煎 …量净蓥…．拳互
所在象限．（１）错在此时在第三象限内，忽略了Ｙ的值是负值；（２）错在忽略了第一象限内的点也符合题目要求．
正解
’ ．．
△肘ⅣＰ中，分别再作／＿ＰＭＮ、ＰＮＭ、ＮＰＭ的外角平
分线，交于Ｂ、Ｃ、Ｄ三点 …… ，． ‘ ．内、外角平分线的交点
又‘ ． ’ 当：一２时，Ｙ＝一１
。．．
同学们往往只从内角平分线
出发．而忽视外角平分线的情况．正解如图３。在
（２）解法同（１），当＿ｙ ≥ 一１时， ≤一２
分析利用反比例函数的性质解题时，一定要弄清
角三角形两种情况．
正解（１）如图４，高ＢＤ在
ＡＡＢＣ内，Ａ＝３０。；（２）如图５，高
ＢＤ在 △ＡＢＣ外，Ａ＝１５０。，即：３０。或１５０。．
１．已知反比例函数的图象经过点（一２，１），当＞２时，Ｙ的取值范围是— — ．

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初二几何漏解例析
江苏海安紫石中学黄本华 226600
学生在解题中常常因考虑不周而造成漏解，要想克服这一现象，就要对漏解现象产生的原因作一些分析。

一、概念或性质理解肤浅
例1、4、9的比例中项是
误解：6
剖析：误解的原因是因为比例中项的概念是在几何中学的，所以有些学生会误以为比例中项总是正值。

而正确答案应是±6。

类似的还有：设x===
则x=______。

由于等比性质也是在几何中学的，故一些学生也会误以为a+b+c ≠0，从而只得到一解x=-1,而失去当a+b+c=0时，x=2这一解。

二、被图形误导
例2、如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AD=24cm,BC=28cm,动点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，点P 以每秒1cm 的速度向D 点移动，点Q 以每秒3cm 的速度向B 移动，问：P 、Q 两点从出发开始几秒时，PQ=CD?
误解：设出发x 秒后，PQ=CD 则四边形PQCD 是平行四边形，所以PD=QC
所以有24-x=3x 解得 x=6 答：出发6秒后PQ=CD
剖析：此题解错的原因是受所给图形的影响，误认为四边形PQCD 是平行四边形，而遗漏了当四边形PQCD 等腰梯形时，也有PQ=CD ，这时，作DE ⊥BC ，PF ⊥BC ，垂足为E 、F 根据题意有4+(24-x)+4=3x
解得 x=8
答：出发6秒或8秒后PQ=CD 三、思维定势作梗
例3、已知等腰三角形腰上的高长等于腰长的一半，则顶角是
误解：30°
剖析：本题没有给出图形，学生在自己画图时由于思维定势的影响，只画出高在三角形内部的情形，从而只得到30°这一解，而失去高在三角形外部的解情况，即失去150°这一解。

又如：已知线段AB 的长是10cm,C 是AB 的黄金分割点，则AC= cm 。

学生也易受思维定势的影响误以为AC 为较长线段，从而只得到5
-5这一解，而失去
AC 为较短线段时AC=15-5这一解。

四、忽视分类讨论
例4、有一个等腰三角形两边长是5和6，则其周长为
A B D
C P Q
A B D
C P Q E F
误解：5+5+6=16
剖析：5可能为腰也可能为底，故要分类讨论，当5为腰时，周长为5+5+6=16，当5为底时，周长为6+6+5=17
所以三角形周长为16或17。

综上所述，要想克服解题时产生的漏解现象，就要对数学概念、性质有深刻的理解，同时要克服学习过程中形成的思维定势，要养成在解题后多总结，多归纳的好习惯，有意识地培养自己缜密的思维习惯，就一定能克服漏解现象。

牛刀小试
1、已等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是20°，则等腰三角形的顶角为
2、已知，如图：正方形ABCD的边长为2，E是AB边的中点，M、N分别是BC、
CD的动点，MN=1，当CM= 时，△CNM与△AED相似。

3、矩形ABCD中∠A的平分线AE分BC为3和1两部分，
则矩形的面积为
4、等腰三角形一腰上的中线把它的周长分成15cm和12cm的
两部分，则这个三角形的三边长为多少？
5、有一个直角三角形两边长是3和5，则斜边的中线长为
C
D M
N。