§4[1].2Gauss消元法华中农业大学线性代数

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高斯消元法(完整)

高斯消元法解线性方程组在工程技术和工程管理中有许多问题经常可以归结为线性方程组类型的数学模型，这些模型中方程和未知量个数常常有多个，而且方程个数与未知量个数也不一定相同。

那么这样的线性方程组是否有解呢？如果有解，解是否唯一？若解不唯一，解的结构如何呢？这就是下面要讨论的问题。

一、线性方程组设含有n 个未知量、有m 个方程式组成的方程组a x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b n n n n m m mn n m11112211211222221122+++=+++=+++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ （3.1）其中系数a ij ，常数b j 都是已知数，x i 是未知量（也称为未知数）。

当右端常数项b 1,b 2, …, b m 不全为0时，称方程组（3.1）为非齐次线性方程组；当b 1=b 2= … =b m = 0时，即a x a x a x a x a x a x a x a x a x n n n n m m mn n 111122121122221122000+++=+++=+++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ （3.2）称为齐次线性方程组。

由n 个数k 1, k 2, …, k n 组成的一个有序数组（k 1, k 2, …, k n ），如果将它们依次代入方程组（3.1）中的x 1, x 2, …, x n 后，（3.1）中的每个方程都变成恒等式，则称这个有序数组（k 1, k 2, …, k n ）为方程组（3.1）的一个解。

显然由x 1=0, x 2=0, …, x n =0组成的有序数组（0, 0, …, 0）是齐次线性方程组（3.2）的一个解，称之为齐次线性方程组（3.2）的零解，而当齐次线性方程组的未知量取值不全为零时，称之为非零解。

（利用矩阵来讨论线性方程组的解的情况或求线性方程组的解是很方便的。

因此，我们先给出线性方程组的矩阵表示形式。

）非齐次线性方程组（3.1）的矩阵表示形式为：AX = B其中A = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211，X = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n x x x 21，B = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n b b b 21 称A 为方程组（3.1）的系数矩阵，X 为未知矩阵，B 为常数矩阵。

用高斯消元法求解线性代数方程组

用高斯消元法求解线性代数方程组12341115-413-2823113-21041513-21719x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 1111X *⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（X*是方程组的精确解）1 高斯消去法1.1 基本思想及计算过程高斯（Gauss ）消去法是解线性方程组最常用的方法之一，它的基本思想是通过逐步消元，把方程组化为系数矩阵为三角形矩阵的同解方程组，然后用回代法解此三角形方程组得原方程组的解。

为便于叙述，先以一个三阶线性方程组为例来说明高斯消去法的基本思想。

⎪⎩⎪⎨⎧=++II =++I =++III)(323034)(5253)(6432321321321x x x x x x x x x 把方程（I ）乘（23-）后加到方程（II ）上去，把方程（I ）乘（24-）后加到方程（III ）上去，即可消去方程（II ）、（III ）中的x 1，得同解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-I I -=-I =++III)(20223)(445.0)(64323232321x x x x x x x将方程（II ）乘（5.03）后加于方程（III ），得同解方程组： ⎪⎩⎪⎨⎧-=-I I -=-I =++III)(42)(445.0)(6432332321x x x x x x由回代公式（3.5）得x 3 = 2，x 2 = 8，x 1 = -13。

下面考察一般形式的线性方程组的解法，为叙述问题方便，将b i 写成a i , n +1，i = 1, 2,…,n 。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=+++++++1,3322111,223232221211,11313212111n n n nn n n n n n n n n n a x a x a x a x a a x a x a x a x a a x a x a x a x a（1-1）如果a 11 ≠ 0，将第一个方程中x 1的系数化为1，得)1(1,1)1(12)1(121+=+++n n n a x a x a x其中)0(11)0()1(1aa aijj=， j = 1, …, n + 1（记ij ij a a =)0(，i = 1, 2, …, n ; j = 1, 2, …, n + 1）从其它n –1个方程中消x 1，使它变成如下形式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++++++)1(1,)1(2)1(2)1(1,2)1(22)1(22)1(1,1)1(12)1(121n n n nn n n n n n n n a x a x a a x a x a a x a x a x（1-2）其中n i am a aij i ij ij,,2)1(1)1( =⋅-=，1,,3,211)1(11+==n j a a m i i由方程（1-1）到（1-2）的过程中，元素11a 起着重要的作用，特别地，把11a 称为主元素。

第四章第一节 Gauss消元法

选主元的一种简单办法是，第 k 步消元时，在 A( k ) 的第 k列 (k ) 元素 aik (i k ) 中选取绝对值最大者作为主元，并将其对换到 k , k 位置上，然后再进行消元计算，这样选取的主元叫列主元。
另一种选主元的办法是选所谓全主元，也就是在第 k 步消 ( 元时，从 A( k ) 的右下方 n k 1 阶矩阵的所有元素 aijk ) (i, j k ) 中，选取绝对值最大者作为主元，并将其对换到 (k , k ) 位置上，再做消元计算。
主对角元以下的元素全化为0，得
1 1 a11 a12 a11 b11 n 2 2 2 a22 a2 n bn a 2 a 2 b 2 n2 nm n

A , b
左乘 ( A(2) , b(2) ), 即
M (2) ( A(2) , b(2) ) A(3) , b(3)
就是说，每消元一步相当于对方程组的增广矩阵左乘以相应的矩阵 M ( k ) , 此处
1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 mn , k 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1
第一节 Gauss 消元法
一、引言二、Gauss 消元法的基本思想
三、
主元消元法
四、 Gauss 消元法的矩阵形式五、小结
一、引言
在自然科学和工程技术问题中，涉及到许多数值计算问题，最终都要归结为解线性代数方程组 AX b 。其中 A Rnn , b Rn , A 是可逆的。本章和下一章分别讨论解方程组的直接方法和迭代方法。所谓直接方法就是通过有限次的精确运算能得到真解的一类数值方法。从本质上讲，直接方法的原理是找到一个可逆矩阵 M ，使得 MA 是一个上三角阵，这个过程称为“消元”过程。消元之后再进行 MAX “回代”，即求解 Mb 。实际计算过程中，不必明显 M MA 地计算出矩阵 ,而只须把 Mb和计算出来。这类直接 Gauss Gauss 方法中最基本和最简单的就是消元法，本章首先讨论消元法和矩阵分解法，以及 Gauss 消元法在各种情况下的变形，并分析其误差。

4[1].2_Gauss消元法

由矩阵（）由矩阵（3）可讨论原方程组的解的情况 1) 若d r +1 2) 若 d r +1 则方程组无解。 ≠ 0，则方程组无解。
= 0, 则方程组有解，则方程组有解，
有唯一解。 r = n 有唯一解。当有无穷多解。 r < n 有无穷多解。 3) 特别地，原方程组的导出组，即对应的齐次线性方程组特别地，原方程组的导出组，一定有解。一定有解。有唯一的零解。 r = n 有唯一的零解。当有无穷多解，即有非零解。 r < n 有无穷多解，即有非零解。
0 0 1 −1 −1 1 1 − 1 − 1 1 B = 1 − 1 1 − 3 1 ~ 0 0 2 − 4 1 1 − 1 − 2 3 − 1 2 0 0 − 1 2 − 1 2
1 − 1 0 − 1 1 2 ~ 0 0 1 − 2 1 2 . 0 0 0 0 0
由此即得
5 x1 = 2x3 + 3 x4 , 4 x2 = −2x3 − x4 , ( x , x 可任意取值 ). 3 4 3
5 x1 2 3 x2 − 2 c − 4 . ∴ = c1 + 2 3 x3 1 0 0 x 4 1
其通解为
x1 = 1 − x2 − x3 x2 = x2 x = x 3 3
( x 2 , x 3为任意实数 ).
(2) 当λ ≠ 1时,
1 1 λ B ~ 0 1 −1 0 0 2 + λ
这时又分两种情形：这时又分两种情形：
λ2 −λ 2 (1 + λ )

线性代数—解线性方程组的消元法PPT课件

0 0 0 0 0
其中 cii 0 (i 1,, r ),
方程组有解的充分必要条件是
dr1 0 .
15
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实际上 r 即为系数矩阵 A 的秩, r r( A) , 若 dr1 0 ,则 r( A) r( A) r ,
若 dr1 0 ,则 r( A) r( A) 1 ,
20
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例6 下面的线性方程组当a、b为何值时有解？在有解
的情况下，求出全部解。
2 x1 x2 x3 x4 1
7
x1 x1 2
x2 x2
x3 x4 2x3 4
x4
2
a
7 x1 x2 x3 5 x4 b
解
2 1 1 1 1 1 1 1 1
2
本章讨论关于线性方程组的两个问题：一、探讨n个未知数m个方程的线性方程组的解法（即下面介绍的高斯消元法）。二、从理论上探讨线性方程组解的情况：何时有解，何时无解。若有解，则有多少组解；若有无穷多解，如何表示。
运用n维向量的理论可全面地解决第二个方面的问题。
1
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第一节解线性方程组的消元法
2 1 1 1 2
2 3
3 6
1 9
1 7
92
r2 r3
r3 2r1
r4 3r1
1 1 2 1 4
0 2 2 2 0
0 0
5 3
5 3
3 4
63
r2 2 1 1 2 1 4
r3 5r2 0 1 1 1 0
r4 3r2
0 0
0 0
0 0
2 1
36
10
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例1

Gauss消元法解解线性方程组

Gauss消元法解解线性⽅程组摘要本⽂叙述了Gauss 顺序消元法解线性⽅程的算法思想以及其求解过程，同时简要叙述了Gauss 主元素消元法以及Gauss 全主元消元法。

紧接着给出了Gauss Seidel -迭代法的算法思想，本⽂给出了这三个消元⽅法以及⼀个迭代法的算法流程图，由于全主元消元法是前两个算法的基础上改进⽽来，故本⽂采⽤第三种⽅法进⾏编程计算，前两种⽅法不再重复编程，然后给出⼀个实例的计算结果，运⾏时间，在⽂章最后分析该实例的计算结果，针对同⼀实例，⼜采⽤Gauss Seidel -⽅法编程实现，然后对结果进⾏分析和对⽐。

最后给出了本⼈在编程时遇到的⼀些问题和解决办法。

关键词：Gauss 顺序消元法 Gauss 主元素消元法 Gauss 全主元消元法⼀、算法的简要描述1.1Gauss 顺序消元法Gauss 消元法在中学⾥已经学习过，其⽅法实质，就是运⽤初等变换，将线性⽅程组Ax b =转化为同解的上三⾓矩阵⽅程组1Ux L b -=（1.1.1）其中，U 为上三⾓矩阵，L 为下三⾓矩阵。

然后对式（1.1.1）进⾏回代求解，即得⽅程组的解。

⼿算的过程是⾮常清楚的，现在需回答的是计算机求解，如何实现上述计算过程。

设线性⽅程组为1111221331121122223322112233n n n n n n n nn n na x a x a x a xb a x a x a x a x b a x a x a x a x b ++++=??++++=??++++= 写成矩阵形式为1112111212222221222m m m n n a a a x b aa a xb a a a x b=???????（1.1.2）设线性⽅程组如上式所⽰，记(1)A A =，(1)b b =，与是增⼴矩阵具有形式(1)(1)[][]A b A b =，此时⽅程组为(1)(1)A x b =。

第⼀次消元。

Gauss消元法

a12 a22
a1n a2n
am1
am 2
amn
mn
增广系数矩阵
综上，设方程组(2.1)中x1的系数不全为零，总可以通过对
换，使得a11≠0,
于是，把第一个方程的െ
ࢇ࢐૚ 倍加到第j个方程上
ࢇ૚૚
(2≤ j ≤ m)，即可在第2～m个方程中消去未知量x1. 按类似的步
骤，考察第2～m个方程，对其他未知量继续做下去。以此类推
，便可求解线性方程组.
这样的计算方法就称为Gauss消元法.
特别地，行数与列数相同的矩阵(即m = n)，称为 n 阶方阵，全体n
阶方阵组成的集合，记为Mn(Թ).
11
线性方程组
a11x1 a12 x2 a1nxn b1
a21x1 a22 x2 a2nxn b2
am1x1 am2x2 amnxn bm来自系数矩阵a11 a21
Q6 线性方程组 Q1
无解有解
Q2
求近似解唯一解解不唯一
Q5 Q3 Q3,Q4
例1（教材例2.1）解三元线性方程组
x1
3x2 2x2
x3 x3
9 0
解:
3x1 3x2 x3 6
x1
-
3x2 2x2
x3 x3
9 0
3x1 3x2 - x3 6
(1)(2)
x1
2x2 3x2
x1 x2
1 2
x3 3
总结一下，中学所用的消元法解方程组，只是对方程进行如下变形：
交换两个方程的位置用一个非零数乘以某个方程把一个方程的倍数加到另一个方程上
把上述操作简称为：
对换倍乘倍加
统称为方程组的初等变换

高斯消元法线性方程组的解法

高斯消元法线性方程组的解法高斯消元法是一种常用于解决线性方程组的方法，能够有效地求解方程组的解。

它利用矩阵的初等行变换将方程组转化为简化的阶梯型矩阵，进而求得方程组的解。

本文将介绍高斯消元法的原理和步骤，并通过一个具体的例子来演示如何使用高斯消元法求解线性方程组。

一、高斯消元法的原理高斯消元法基于以下原理：通过矩阵的初等行变换，可以将线性方程组转化为行简化阶梯型矩阵，从而得到方程组的解。

其基本思想是通过逐行消元，将矩阵的主对角线以下的元素全部变为0，最终得到行简化阶梯型矩阵。

二、高斯消元法的步骤1. 将线性方程组的系数矩阵和常数矩阵合并为增广矩阵；2. 选择一个元素作为主元，并将该列的其他元素消为0；3. 逐行进行行交换，使主元非零；4. 重复上述步骤，直到将增广矩阵转化为行简化阶梯型矩阵。

三、高斯消元法的具体操作为了更好地理解高斯消元法，我们将通过一个具体的例子来演示其求解过程。

考虑以下线性方程组：```2x + 3y - z = 13x - 2y + 5z = -2x + y - z = 0```首先将系数矩阵和常数矩阵合并为增广矩阵：```[2 3 -1 | 1][3 -2 5 | -2][1 1 -1 | 0]```选择第一行的第一个元素2作为主元，通过初等行变换将主元所在列的其他元素消为0：```[2 3 -1 | 1][0 -13 7 | -5][0 -1 1 | -1]```接下来选择第二行的第二个元素-13作为主元，通过初等行变换继续消元：```[2 3 -1 | 1][0 1 -7/13 | 5/13][0 0 -6/13 | -8/13]```最后一次消元选择第三行的第三个元素-6/13作为主元：```[2 3 -1 | 1][0 1 -7/13 | 5/13][0 0 1 | 4/3]```现在我们得到了行简化阶梯型矩阵，接下来可以使用回代法求解方程组。

从最后一行开始，依次代入上一行的解，最终求得方程组的解为：```x = 5/6y = 3/2z = 4/3```四、总结高斯消元法是一种常用的线性方程组解法，通过矩阵的初等行变换将方程组转化为行简化阶梯型矩阵，进而求得方程组的解。

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x1 3 x2 1.
x3 1
例2 求解线性方程组
x1 x2 1 x1 x2 3
x1 2 1 0 1 1
0 0 2
r( Ab) r( A)
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由最后一行可知0x1 0x2 2 这是一个矛盾方程，所以原方程组无解.
称为线性方程组的初等变换 (elementary operation).
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二、Gauss消元法思想
用初等变换逐个消去未知数把线性方程组化为与其同解且易直接求解的方程组.
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idea
三、Gauss消元法步骤
1)写出增广矩阵（Ab）;
2（) Ab）行变换行最简形(阶梯形)；
万元, 则
0.07xx11
0.08 x2 x2
4.48 60
(1) (2)
解得
x1 x2
32 28
答: 该集团在项目A上投资了32万元、
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在项目B上投资了28万元.
一、线性方程组的初等变换
定义对线性方程组施行的下列三种变换：（1）互换两个方程的位置；（2）以非零数乘以某个方程；（3）把某个方程的k倍加到另一个方程上.
0 0 0 0 0
组故 x1 1
1
1 2
解 r(A) = r(A⋮b) < n
x2
x3 x4
0 0 0
k1
1 0 0
k2
0
3 2
1
.
四、 Gauss消元法应用
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四、Gauss消元法应用
椭圆的一般方程为： a1 x2 2a2 xy a3 y2 2a4 x 2a5 y 1 0 (*)
1
.
(k1 , k2 R)
基本未知量 (basic variable):
行标准形中首非零元对应的未知量. r(A)
自由未知量 (free variable):
其余未知量. n- r(A)
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例2
求解线性方程组
x1 x2 1 x1 x2 3
x1 2x2 2
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给定五个点的坐标：（ 1，0）（3，2）（ 5，2）（ 1，4）（2，1）
代入（*）可以得到关于a1 , a2 , a3 , a4 , a5 上一的页五个方程!!!
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椭圆的一般方程为：
a1 x2 2a2 xy a3 y2 2a4 x 2a5 y 1 0
(*)
给定五个点的坐标：
略解： ( Ab)
1 0 0 1
0 0
x1 3 x2 1.
x3 1
0 3 0 1 1 1
例3 求解线性方程组
2xx1 1x22
x2
x3
x4 x4
1 2
x1 x2 x3 2 x4 1
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无
略解：
1
1
0
1 2
1
穷多
(
Ab)
0
0
1
3 2
0
3)由同解的行最简形方程组得解.
step
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例1
求解
线
性方
程组
x1 x2 x3 5 2x1 x2 x3 4
3x1 x2 2x3 12
1)写出（Ab）;
2)化（Ab）为行最简形；
略解： ( Ab)
1 0 0 3 0 1 0 1
0 0 1 1
3)由行最简形得解.
无
略解： ( Ab)
1 1 1 0 1 1
解
0 0 2
由最后一行知0x1 0x2 2
r( Ab) r( A) 所以原方程组无解.
例1
求解线性方程组
x1 x2 x3 5 2x1 x2 x3 4
3x1 x2 2x3 12
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唯一解
r(A) = r(A⋮b) = n
§4.2 Gauss消元法
高斯消元法(Gaussian Elimination)
是一种求解线性方程组的古老方法，也是目前计算机上使用于直接求解线性方程组最常用有效的方法．
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高斯(德国数学家、天文学家和物理学家 )
19岁发现正十七边形的尺规作图法, 24岁创立行星椭圆轨道法…
（ 1，0）（3，2）（ 5，2）（ 1，4）（2，1）
代入（*）可以得到关于a1 , a2 , a3 , a4 , a5 的五个方程!!!
解出a1 , a2 , a3 , a4 , a5即得绕月轨道方程！
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§4.2 小结
一、 Gauss消元法思想二、 Gauss消元法步骤
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(1777—1855)
高斯消元法是又一大成果, 至今仍广泛应用于计算机.
实例分析
富士康集团用60万元投资A、B两个项目. 其中项目A的收益为7％, B的收益为8％, 最终总收益为4.48万元．
问:该集团在A、B项目上各投资了多少万元?
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解: 设该集团在A、B项目上各投资了x1、x2
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例3
求
解
线
性
方
程
组2xx1 1x22
x2
x3
x4 x4
1 2
x1 x2 x3 2 x4 1
略解：
1
1
0
1 2
1
(
Ab)
0
0
1
3 2
0
0 0 0 0 0
x1 1
1
1 2
故
x2 x3 x4
0 0 0
k1
1 0 0
k2
0
3 2