§3.1-§3.3向量组的线性相关性 (1) 华中农业大学线性代数
3.3 向量组的线性相关性
~ ~ (a1, a2, a3) 111
0 2 5
742
r
100
0 2 5
522
r
100
0 2 0
022
可见r(a1 a2 a3)2< 3 r(a1 a2)2 故向量组a1 a2 a3线性相关 向量组a1 a2线性无关.
n个 n维向量a1 a2 an线性相关｜a1 a2 an｜＝０； n个 n维向量a1 a2 an线性无关｜a1 a2 an｜≠０.
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二 、线性相关性的判定
定理3.1 向量组A a1 a2 am(m2)线性相关 向量组A中至少有一个向量能由其余m1个向量线性表示.
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向量组a1 a2 am线性无关r(a1 a2 am)m. n维单位坐标向量组e1 e2 en是线性无关的.
例3.2 已知
a1(1 1 1)T a2(0 2 5)T a3(2 4 7)T 试讨论向量组a1 a2 a3及向量组a1 a2的线性相关性.
不妨设k10 于是 a1(1/k1)(k2a2 kmam)
即a1能由a2 am线性表示.
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二 、线性相关性的判定
定理3.1 向量组A a1 a2 am(m2)线性相关 向量组A中至少有一个向量能由其余m1个向量线性表示.
证 充分性
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例3.3 已知向量组a1 a2 a3线性无关 b1a1a2 b2a2a3
b3a3a1 试讨论向量组b1 b2 b3线性相关性.
证
由于此方程组的系数行
设有x1 x2 x3使 x1b1x2b2x3b30
线性代数向量组线性相关性的判别定理
向量组B :1,,r ,r1 ,m 也线性相关 .
推论： 含有零向量的向量组是线性相关的向量组。
2
定理2
向量组A: j
a1 j , a2 j , anj
T
,
向量组B : j
a p1 j , a p2 j , a pn j
T
,
( j 1,2,, m),
a2 ，a3 ，a4 线性无关，证明
(1) a1 能由 a2 ，a3 线性表示；
(2) a4 不能由a1 ，a2 ，a3 线性表示 .
证 (1) 因 a2 ，a3 ，a4 线性无关 ，由定理1知a2 ，a3线性无关 ，
而a1 ，a2 ，a3线性相关，由上节定理 2 知 a1 能由 a2 ，a3 线性表示 .
ap1m
即（2）齐次方程组x1
a
p21
xm
a
p2m
0,
apn1
apnm
p1 pn 是自然数1，2，n的某个排列，
齐次方程组（1）与齐次方程组（2）同解，
则向量组A与向量组B相同的线性相关性
4
么么么么方面
• Sds绝对是假的
定理3向量组A : j a1 j a2 j arj T ,即 j添上一个分量得 j
则向量组必线性相关 .
7
例1 讨论下列向量组的线性相关性：
1.1 1,2T ,2 3,5T 2.1 1,0,0T ,2 0,1,0T ,3 0,0,1T ,4 1,2,4T
3.1 2,3,1,0T ,2 1,2,5,7T ,3 5,8,7,7T , 4.1 1,0,0,2T ,2 0,1,0,1T ,3 0,0,1,4T
线性代数-向量组的线性相关性
二、线性相关性的判定
定理 向量组 1,2 ,,（m 当 m 2时）线性相关
的充分必要条 m 1个向量线性表示．
证明 充分性：
设 a1 , a2 ,, am 中有一个向量（比如 am）
能由其余向量线性表示.
即有 am 11 22 m1m1
故 11 22 m1 m1 1am 0
R(B) R( A) 1.若向量组A线性相关, 则根据定理 2，有R( A) < m，从而R(B) R( A) 1 < m 1,因此, 根据定理2知向量组B线性相关. 说明 结论（1）可推广为: 一个向量组若有线性 相关的部分组，则该向量组线性相关.特别地， 含有零向量的向量组必线性相关.反之，若一个 向量组线性无关，则它的任何部分组都线性无关.
解 n维单位坐标向量组构成的矩阵 E (e1, e2 ,, en )
是n阶单位矩阵. 由 E 1 0，知R(E ) n. 即R( E )等于向量组中向量个数，故由定理2知此 向量组是线性无关的.
例２ 已知
1
0
2
1
1
，
2
2
，
3
4
，
1
5
7
试讨论向量组1， 2， 3及1， 2的线性相关性.
性相关 .
二、线性相关性的判定
证明（2）记Arm (1 ,m )，B(r1)m (b1 ,,bm ), 有R( A) R(B).若向量组A线性无关,则R( A) m， 从而有 R(B) m . 但 R(B) m (因 B 只有 m 列）， 故R(B) m，因此向量组B线性无关.
说明 结论（2）是对增加一个分量（即维数增加1 维）而言的，若增加多个分量, 结论也成立.
二、线性相关性的判定
3章3节 向量组的线性相关性
即：部份相关, 则全组相关； ?全组无关, 则部份无关。 ?
定理4 若向量组1 ,2 ,, s， 线性相关，而向量组
则向量 可由1 ,2 ,, s线性表示， 1 ,2 ,, s线性无关，
且表示法唯一。
无关组加一个后相关， 则后加者由原组表出法唯一。
定理5 设有两向量组 A:1 , 2 ,, s ; B:1 , 2 ,, t ;
定义1 给定向量组A : 1 , 2 ,, s , 如果存在不全为零的数
k1 , k2 ,, ks , 使k11 k22 ks s 0, 则称向量组
线性相关 ，否则称为线性无关 。
与上一节对应，本定义相当于零向量由一组向量线性表出
(线性组合)， 但这里要求k1 , k2 ,, ks不全为零。
§ 3.3 向量组的线性相关性
上一节分析了某向量与一组向量的线性组合关系，
以及线性组合的表示， 这一内容对应非齐次线性方程组
的有解判断以及求解的内容。为下一步学习向量之间的
相关性做好了理论准备，
本节将分析一组向量内各向量之间的线性相关性。 这一内容则对应齐次线性方程组的有解判断以及求解的
内容。
一、线性相关性概念
秩小于向量的个数s。
即为齐次线性方程组系数矩阵的秩小于未知数个数 ——有非零解。
推论1 s个n维列向量1 ,2 ,, s线性无关(线性相关)的
充要条件是: 矩阵A (1 ,2 , s )的秩(等于)小于向量的个数s。
齐次线性方程组系数矩阵的秩等于未知数个数 ——仅有零解；
推论2 n个n维列向量1 ,2 ,, s线性无关(线性相关)的
1 0 2 r r = 1 2 4 2 1 r3 r1 1 5 7
线性代数课件向量组的线性相关性
基变换公式推导及应用
• 基变换公式推导：设α1,α2,...,αn与β1,β2,...,βn是n维线性空间V的两组基，则由基的定义可知，存在一组不全为零的数 k1,k2,...,kn，使得
基变换公式推导及应用
β1=k1α1+k2α2+...+knαn β2=l1α1+l2α2+...+lnαn
基变换公式推导及应用
• ... • βn=m1α1+m2α2+...+mnαn • 将上述n个等式联立起来，即可得到基变换公式。 • 基变换公式的应用：基变换公式在向量空间的坐标变换、线性
方程组求解、矩阵对角化等问题中有着广泛的应用。通过基变 换公式，我们可以将问题在不同基下进行转化，从而简化问题 的求解过程。
05
线性方程组解的结构与性 质分析
证明过程
首先证明充分性，若 $R(A) < n$，则齐次线性方程组 $Ax = 0$ 有非零解，即存在不全为零的实数 $k_1, k_2, ldots, k_n$，使得 $k_1alpha_1 + k_2alpha_2 + ldots + k_nalpha_n = 0$，因此向量组线性相关。然后证明必要性， 若向量组线性相关，则存在不全为零的实数 $k_1, k_2, ldots, k_n$，使得 $k_1alpha_1 + k_2alpha_2 + ldots + k_nalpha_n = 0$，即齐次线性方程组 $Ax = 0$ 有非零解， 从而 $R(A) < n$。
求解方法举例
观察法
通过直接观察向量组中的向量是否共线或共 面来判断其线性相关性。例如，对于二维向 量组，若两个向量共线，则它们线性相关； 对于三维向量组，若三个向量共量组的秩来判断其线性相关性。 具体步骤包括构造矩阵、进行初等行变换、 计算秩等。例如，对于向量组 $alpha_1 = (1, 2, 3), alpha_2 = (4, 5, 6), alpha_3 = (7, 8, 9)$，可以构造矩阵 $A = (alpha_1, alpha_2, alpha_3)$，然后进行初等行变换得到最简形 式，从而计算出 $R(A)$ 并判断向量组的线性
§3.3 向量组的线性相关性
1 T 2 Qt s T s
16
设矩阵A经初等行变换变成 ，则B的每个行 B 向量都是A的行向量组的线性组合 ，即B的行向量 组能由A的行向量组线性表示 由初等变换可逆性 . 可知，A的行向量组能由 的行向量组线性表示， B 于是A的行向量组与B的行向量组等价 .
因此该向量组线性无关。
22
由向量组线性相关的定义不难得到： 1. 向量组只包含一个向量α时，其线性相 关的充要条件是α=0。 2. 向量组只包含两个向量α和β时，其线性 相关的充要条件是α与β对应的分量成比例。 3.任何一个包含零向量的向量组必线性相 关。
T m
T 2
T 1
T i
T m
向量组 , , …， 称为矩阵A的行向量组．
3
线性方程组的向量表示
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 , a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 , a m 1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm .
（ 1 , 2 ,, m ) 1 , 2 ,, t )Qtm （ （ 1 , 2 ,, t ) 1 , 2 ,, s ) Pst （ 故有（ 1 , 2 ,, m ) 1 , 2 ,, t ) Pst Qtm （ 1 , 2 ,, s ) Rsm （ 所以向量组 1 , 2 ,, m可由向量组 1 , 2 ,, s线性表示。
线性相关. 事实上，由于 3 21 2 故有一组不全为零的数2，1 ，-1 使得 21 2 (1) 3 0 又例如，向量组 1 1, 1, 1, 2 2, 3, 2, 3 0, 1, 2
线性代数向量组的线性相关性
第三节 向量组的线性相关性分布图示★ 线性相关与线性无关★ 例1★ 例2★ 证明线性无关的一种方法线性相关性的判定★ 定理1 ★ 定理2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6★ 定理3 ★ 定理4 ★ 定理5★ 例7★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题3-3内容要点一、线性相关性概念定义1 给定向量组,,,,:21s A ααα 如果存在不全为零的数,,,,21s k k k 使,02211=+++s s k k k ααα 1则称向量组A 线性相关, 否则称为线性无关.注: ① 当且仅当021====s k k k 时,1式成立, 向量组s ααα,,,21 线性无关; ② 包含零向量的任何向量组是线性相关的;③ 向量组只含有一个向量α时,则10≠α的充分必要条件是α是线性无关的； 20=α的充分必要条件是α是线性相关的；④ 仅含两个向量的向量组线性相关的充分必要条件是这两个向量的对应分量成比例；反之,仅含两个向量的向量组线性无关的充分必要条件是这两个向量的对应分量不成比例. ⑤ 两个向量线性相关的几何意义是这两个向量共线, 三个向量线性相关的几何意义是这三个向量共面.二、线性相关性的判定定理1 向量组)2(,,,21≥s s ααα 线性相关的充必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余1-s 个向量线性表示.定理 2 设有列向量组),,,2,1(,21s j a a a nj j j j =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=α 则向量组s ααα,,,21 线性相关的充要条件是: 是矩阵),,,(21s A ααα =的秩小于向量的个数s .推论 1 n 个n 维列向量组n ααα,,,21 线性无关线性相关的充要条件是: 矩阵),,,(21n A ααα = 的秩等于小于向量的个数n .推论2 n 个n 维列向量组n ααα,,,21 线性无关线性相关的充要条件是:矩阵),,,(21n A ααα = 的行列式不等于等于零.注: 上述结论对于矩阵的行向量组也同样成立.推论3 当向量组中所含向量的个数大于向量的维数时, 此向量组必线性相关. 定理3 如果向量组中有一部分向量部分组线性相关,则整个向量组线性相关. 推论4 线性无关的向量组中的任何一部分组皆线性无关.定理4 若向量组βαα,,,1s 线性相关, 而向量组s ααα,,,21 线性无关, 则向量β可由s ααα,,,21 线性表示且表示法唯一.定理5 设有两向量组,,,,:;,,,:2121t s B A βββααα向量组B 能由向量组A 线性表示, 若t s <, 则向量组B 线性相关.推论5 向量组B 能由向量组A 线性表示, 若向量组B 线性无关, 则.t s ≥推论6 设向量组A 与B 可以相互线性表示, 若A 与B 都是线性无关的, 则.t s =例题选讲例1 设有3个向量列向量:,421,221,101221⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ααα不难验证,02321=-+ααα 因此321,,ααα是3个线性相关的3维向量.例2 设有二个2维向量:,10,0121⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=e e 如果他们线性相关, 那么存在不全为零的数,,21λλ 使,02211=+e e λλ也就是 ,0100121=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλ 即 .0002121=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλλλ于是,0,021==λλ 这同21,λλ不全为零的假定是矛盾的. 因此1e ,2e 是线性无关的二个向量.例3 E01 n 维向量组T n T T )1,,0,0(,,)0,1,0(,)0,,0,1(21 ===εεε称为n 维单位坐标向量组, 讨论其线性相关性.解 n 维单位坐标向量组构成的矩阵)(21n E εεε,,, =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100010001 是n 阶单位矩阵.由,01≠=E 知.n E r =即E r 等于向量组中向量的个数, 故由推论2知此向量是线性无关的.例4 E02 已知,1111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a ,5202⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=7423a , 试讨论向量组321,,a a a 及21,a a 的线性相关性.解 对矩阵)(321a a a A ,,=施行初等行变换成行阶梯形矩,可同时看出矩阵A 及),(21αα=B 的秩,利用定理2即可得出结论.),,,321(ααα=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7514212011213r r r r --→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛550220201−−→−-2125r r ,000220201⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ 易见,,2)(=A r ,2)(=B r 故向量组,,,321ααα线性相关. 向量组21a a ,线性无关.例5 判断下列向量组是否线性相关:.11134,1112,5121321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ααα解 对矩阵)(321ααα,,施以初等行变换化为阶梯形矩阵:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1115111312421 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----990330550421⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000000110421秩,,,32)(321<=ααα所以向量组321ααα,,线性相关.例6 证明：若向量组γβα,,线性无关, 则向量组,βα+,γβ+αγ+亦线性无关. 证 设有一组数,,,321k k k 使0)()()(321=+++++αγγββαk k k 1成立,整理得0)()()(322131=+++++γβαk k k k k k 由γβα,,线性无关,故⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+000322131k k k k k k 2 因为110011101,02≠=故方程组2仅有零解.即只有0321===k k k 时1式才成立.因而向量组,βα+,γβ+αγ+线性无关.例7 E03 设向量组321,,a a a 线性相关, 向量组432,,a a a 线性无关, 证明 1 1a 能由32,a a 线性表示; 2 4a 不能由321,,a a a 线性表示.证明1因432ααα,,线性无关,故32,αα线性无关,而321ααα,,线性相关,从而1α能由32αα,线性表示；2用反证法. 假设4α能由321ααα,,线性表示,而由1知1α能由32αα,线性表示,因此4α能由32αα,表示,这与432ααα,,线性无关矛盾.证毕.课堂练习1. 试证明:1 一个向量α线性相关的充要条件是0=α;2 一个向量α线性无关的充分条件是0≠α;3 两个向量βα,线性相关的充要条件是βαk =或者αβk =两式不一定同时成立; 2. 判断向量组T T T )0,1,1,1(,)1,0,3,1(,)1,0,2,1(321--=-==ααα是否线性相关.3. 判断向量组T T T )11,1,3,4(,)1,1,1,2(,)5,1,2,1(321-=-=-=ααα是否线性相关.。
3.3 向量组的线性相关性
法２ a1 , a2 , a3 1 2 1 4 0 行列式法 0 1 2
a1 , a2 , a3线性无关
2 1 0
线性代数
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结束
§3.3
向量组的线性相关性
例4 标准单位向量组 : T T T e1 1,0,,0 , e2 0,1,,0 ,, en 0,0,,1
秩法
cor n维n个向量组 a1 ,, an线性相关 a1 , ,, an 0
行列式法
线性无关 a1 , ,, an 0
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§3.3
向量组的线性相关性
2 1 0 例3 讨论a1 1 ，a2 2 ，a3 1 线性相关性 0 1 2 2 1 0 1 2 1 秩法 解：法１ A (a1 , a2 , a3 ) 1 2 1 ~ 2 1 0 0 1 2 0 1 2 1 1 2 1 1 2 ~ 0 3 2 ~ 0 1 2 阶梯形矩阵 2 0 0 4 0 1
1 1 2 , 2 2 3 , , n n 1 ,
证明:当 n为奇数时,向量组1 , 2 , , n 线性无关； 当 n为偶数时，向量组 1 , 2 , , n 线性相关. 证：设一组数 k1 , k2 ,kn使k11 k2 2 kn n 0 即k （ （ （ 1 a1 a2 ) k 2 a2 a3 ) k n an a1 ) 0 亦即 （ k1 kn )a1 ( k1 k2 )a2 ( k2 k3 )a3 ( kn1 kn )an 0, a1，a2， , an线性无关，有
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判断题
1、如果向量组1,
线
性
组
合
等
于
零向
量
，
那么该向量组线性相关
2、如果向量组1,2 ,
,
线
n
性
相
关,那
么
其
中
每
个
向 量 都 是 其 余 向 量 的 线性 组 合
3、 假 定能 用1,2 ,
,
表
n
示
为
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k11 k22 knn , ki为 任 意 常 数
i 1,2, , n，1,2 , ,n ,线性相关
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 ,
am1 x1 am2 x2 amn xn bm .
a1 x1 a2 x2 an xn b
§3.2 n 维向量的线性运算
向量的线性运算就是矩阵的线性运算.
设 [a1 , a2 , , an ]T [b1 , b2 , , bn ]T
三、线性组合与线性相关性的关系
定理3.1 向量组1,2 , ,s (s 2)线性相关
其中至少有一个向量可由其余向量线性表示. 向量组线性无关
其中任何一个向量都不能由其余向量线性表示.
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定理3.2
设向量组1,2 ,
,
线性无关，
s
,1 ,2 ,
,
线性相关
s
则可由1,2 , ,s线性表示且表示法唯一.
(8)1 .
退出
§3.3 向量组的线性相关性
一、 线性组合
定义1
给定向量组A :1,2 ,
,
，
m
对于任何一
组实数k1，k2， , km，向量
k11 k2 2 km m
称为向量组的一个线性组合，.
上一页 下一页
(linear combination).
退出
定义2 若向量 k11 k22 knn
a1n a2n a11 a21 线性无关 a12 a22
ann an1 an2 0
a1n a2n ann 由此可知n维基本向量是线性无关的.( I 1)
例
试证：若向量组1,2 ,
,
线性无关，
s
则它的任一部分组也线性无关.
（反证法）
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部分与全体（向量个数变化）: 全体无关 部分无关 部分相关 全体相关
向量的线性运算满足以下运算性质：
设 , , Rn , k, l R,则 有
(1) ;
(2) ( ) ( ) ;
(3) 0 ; (4) Rn, Rn,使 () 0;
(5)k( ) k k;
(6)(k l) k l;
上一页
下一页 (7)(kl) k(l );
即：若1,2 ,
则1 2 ,2
,n线性无关,
3, ,n 1
线 线
性相关 性无关
n偶, n奇.
课堂练习
设 向 量可 由1 ,2 , ,m线 性 表 示 ，
但 不 能 由 向 量 组(1)1 ,2 ,
,
线
m1
性
表
示
，
记 向 量 组(2)1 ,2 , ,m1 , ,则 B
(
A)
不
m
能
由
（1）
线
性
一、n维向量的概念
定义1 n 个有次序的数a1, a2 , , an 所组成的数 组 称 为n维 向 量 ， 第i个 数ai 称 为 第i个 分 量.
注: 如无特殊说明,向量均指列向量.
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例如
(1,2,3, , n)T
n维实向量
(1 2i,2 3i, , n (n 1)i)T
2. 线性相关
① 定义
② 至少有一个向量可由其余向量线性表示.
3. 线性无关
① 定义
上一页 下一页
②
任一向量都不能由其余向量线性表示.
退出
二、相关与无关的联系
若1,2 ,
,s线性无关， ,1,2 ,
,
线性相关
s
则可由1,2 , ,s线性表示且表示法唯一.
全体无关，则部分无关；部分相关，则全体相关
上一页 下一页 退出
上一页 下一页 退出
因
为1
,
2
,
3
,
线
4
性
无
关
，
故
有
x1
x4 0
x1
x2 x2
x3
0 0
x3 x4 0
1001
由于 1
1
0
0 0
0110
0011
上一页 下一页 退出
故 有 非 零 解,即x1 , x2 , x3 , x4不 全 为 零.
所以1 2 ,2 3 ,3 4 ,4 1线性相关.
n维复向量
第2个分量
上一页 下一页 退出
第1个分量
第n个分量
注1：Rn {( x1, x2, , xn )T | xi R,i 1,2, ,n}
叫做 n维向量空间．
注2：n阶 单 位 矩 阵 的 列 向 量 组
e1 (1,0, ,0)T , e2 (0,1, ,0)T , , en (0,0, ,1)T . 称为 n 维基本向量.
的线性相关性.
解 设 x11 x22 x33 0
用行列式来解 11 1
A 1 3 1 0 1 5 3
上一页 方程组有非零解, 所以1，2，3线性相关.
下一页 退出
上一页 下一页 退出
推广：n个n维向量i (ai1, ai2, , ain )T ,
a11 a21 an1
线性相关 a12 a22 an2 0
第三章 向量空间
重点:
(vector space)
向量组的相关性、极大无关组
难点:
上一页 下一页 退出
相关性概念、向量空间
§3.1 n 维向量的定义
一、n 维向量的概念
以前我们接触过一维向量、二维向量、三
维向量，现在很自然地推广到 n 维向量.
o
上一页
x
下一页
退出
y
(x, y)
o
x
§3.1 n 维向量的定义
退出
4、若有一组不全为零的数k1, k2 kn使
k11
k2 2
kn n
0,则1,2 ,
,
线
n
性
无
关
5、如果零向量只能用唯一的方式表示成1,2 , ,
的
n
一
个
线
性
组
合
，
那
么1
,
2
,
,
线
n
性
无
关
6、包含零向量的向量组一定是线性相关的.
上一页 下一页 退出
小结
一、基本概念
1. 线性组合、线性表示.
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注3：向量与矩阵
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矩
阵A
(a
ij
) mn
有n个m维
列
向
量
a1 a2
aj
an
a11 a12 a1 j a1n
A
a21
a22 a2 j a2n
am1 am2 amj amn
注4：向量与线性方程组
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a11 x1 a12 x2 a1n xn b1,
退出
此定义也可表述为：
若齐次线性方程组 x11 x22 xnn 0
有非零解，则 称 向 量 组1 ,2 ,
,
线
n
性
相
关.
否则就称向 量 组1 ,2 ,
,
线
n
性
无
关.
显然包含零向量的向量组一定是线性相关的.
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例 讨论向量组1 (1,1,1)T ,2 (1,3,5)T ,3 (1,1,3)T
例
设
向
量
组1
,
2
,
3
,
线
4
性
无
关
，
试
证
向
量
组
1 2 ,2 3 ,3 4 ,4 1线 性 相 关.
证: 设
x1(1 2 ) x2 (2 3 ) x3(3 4 ) x4 (4 1 ) 0
整理得
( x1 x4 )1 ( x1 x2 )2 ( x2 x3 )3 ( x3 x4 )4 0
伸长与缩短组（维数变化）: 无关 伸长组无关；相关 缩短组相关
如： (1,0,0,1,2,3), (0,1,0,3,4,5),
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(0,0,1,5,6,7) 线性无关.
退出
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个数与维数：个数大于维数 线性相关
特别，n+1 个 n 维向量必线性相关。
伸长与缩短组（维数变化）: 无关 延长组无关 相关 缩短组相关
部分与全体（个数变化）: 全体无关 部分无关 部分相关 全体相关
则称是向量组1,2 ,
,
的线性组合，或
n
称
可由1,2 , ,n线性表示.
例：任何一个n维向量 (a1, a2 , , an )T 可
由n维 基 本 向 量 线 性 表 示.
注：可由1,2 ,
,
线性表示
n
上一页 线性方程组x11 x22 xnn 有解
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二、向量组的线性相关性
定义设 向 量 组1,2 , ,n ,
表
示
，
也
不
能
由（2）
表
示