唯有源头活水来——数学高考试题与教材探究
寻思沉潜如深海_为有源头活水来——2023年新高考数学Ⅰ卷第21题的源与流
)
１
１ １
１
,则 p１ － ＝ ,所 以 pi －
是首
２
３ ６
３
{
}
１
２
,公比为 的等比数列 ．
６
５
１ １
２
所以 pi － ＝ ×
３ ６
５
( )
故 pi ＝
１
２
×
６
５
(Ⅲ )作差法
( )
i－１
＋
i－１
pi ＝p１ ＋ (
p２ －p１ )＋ ＋ (
pi －pi－１ )
１－０．
４
＝０．
５＋ (－０．
掉 １ 元,赌徒 就 会 一 直 玩 下 去,直 到 遇 到 如 下 两 种 情
况才会结束 赌 博 游 戏:一 种 是 手 中 赌 金 为 ０ 元,即 赌
徒输光;一种是赌金达到预 期 的 B 元,赌 徒 停 止 赌 博 ．
∗
记赌徒的本金为 A (
A ∈N ,
A ＜B )赌 博 过 程 如 图 ４
的数轴所示 ．
ú ３ １８ êë
５
úû
( )
n
ùú n
úû ＋ ３ ．
思路 ２:利用结论,突出本质 ．
１
２ i－１ １
×
＋ ,
i＝１,
２,
n．
６
５
３
设在 第i 次 投 篮 中 甲 的 投 篮 次 数 为 Yi ,则 Yi 服
( )
从两点分布,且
P(
Yi ＝１)＝１－P (
Yi ＝０)＝pi ．
由题干中给出的结论,则
计算用传统方法非常复 杂,而 直 接 采 用 马 尔 可 夫 转 移
“问渠哪得清如许，为有源头活水来”——构建生活化的数学课堂
综合2014·12随着课程改革的深入实施，数学课堂发生了可喜的变化，但还是有很多学生对数学不感兴趣，甚至害怕数学，究其原因主要是数学离学生的生活太远。
数学源于生活，应用于生活。
所以，在数学课堂教学中，教师要有意识地加强数学与生活的联系，使学生感受到生活中处处有数学，数学就在自己身边，体验到数学的应用价值，从而增强学生学习数学的兴趣。
那么，怎样让数学教学走向学生的生活实际，使学生学好数学呢？下面，结合自己的教学实践，谈一些认识和做法。
一、生活化的课堂语言，拉近数学与生活的距离同样的教学内容，不同的教师会产生不同的教学效果，这主要取决于教师的教学语言水平。
当然，学生的素质也起着不可忽视的作用。
数学具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性等特性，要使数学知识被学生接受、理解，教师要具有较高的教学语言水平。
所以，教师应结合学生的认知特点、兴趣爱好、心理特征等因素，对教学语言进行加工、设计，使其通俗易懂，富有情趣。
例如，教学“百分数的认识”一课时，教师提问：“成语‘一举两得’的意思谁能用百分数来表示？”学生稍作思考后回答：“百分之二百。
”教师继续说：“请同学们找一些能用百分数来表示的成语，让大家猜一猜。
”学生兴趣盎然地找出一些成语，先在小组内讨论，再选出代表进行全班交流。
“‘百发百中’指百分之百的命中率。
”“‘百里挑一’指有百分之一的可能被选中。
”“‘十拿九稳’指十次出手，九次得手。
”“‘一分为二’指可能性为一半。
”……简洁的百分数还可以用来表示含义丰富的成语，多有趣呀！让数学语言生活化，能使学生爱上数学，让学生觉得数学学习不再枯燥乏味，真正体验到数学的魅力。
又如，学习“１０以内加法”一课时，教师创编了一个“凑十法”的顺口溜：“一加九，十只小蝌蚪；二加八，十只老花鸭；三加七，十只老母鸡；四加六，十只金丝猴；五加五，十只大老虎。
”枯燥无味的计算，对刚入学的一年级学生来说有一定的难度，这个富有童趣的顺口溜可以帮助学生记忆１０以内的加法。
唯有源头活水来——数学高考试题与教材探究
唯有源头活水来——数学高考试题与教材探究教材中的例题、课后习题是高考试题的重要来源之一。
纵观近几年数学高考试题，大多都是课本中的例题、习题或者例题、习题的改编，源于课本而高于课本。
因此我们在教学中要善于利用课本资源，引导学生对课本中的例题、习题进行深入探究，从而提高学生高考应试能力。
下面通过一些例子说明全国各地每年高考试题无论形式还是方法上很多都来源于课本。
一、高考试题与教材的若干探究例1.（2012年高考数学全国卷理科第8题）已知F1、F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点，点P在双曲线C上，|PF1|=2|PF2|，则cos∠F1PF2=（）。
A. B. C. D.（人教版数学选修2-1第57页习题）已知F1、 F2为双曲线3x2-5y2=15的两个焦点，点A 在双曲线上，且△F1AF2的面积等于22，求∠F1AF2的大小。
这两个题目都要用双曲线的定义及标准方程和解三角形中的余弦定理来解决，考查内容和考查方法一样。
例2.（2015年高考数学广东卷理科第3题）若变量满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小值分别为M和m，则M-m=（）。
A.8B. 7C. 6D. 5（人教版数学必修5第91页习题）求z=2x+y的最大值，使满足约束条件。
这两个题目的题干内容一样，只是课本习题只求最大值，而高考题要求计算最大值与最小值之差，求解思路和过程一致。
二、数学高考复习的几点建议1.立足课本，回归基础。
目前很多教师在进行高考复习时都有一个误区就是：在复习课中偏爱各类参考资料，而将课本抛在一边，结果导致学生对课本中的概念、基本属性、思想、方法模糊不清，基本公式的来龙去脉不甚知晓，对通性通法不熟练，从而导致不必要的失分。
因此，教师在复习中首先要以课本为主，各类参考资料为辅。
这样，才能引导学生回归课本，重视课本，减少因课本不熟而丢分。
2.要以《考试说明》为向导，使知识体系框架化、网络化。
《考试说明》规定了考试的性质、内容和对每一部分内容要求的程度，以及考试的形式和试卷结构。
为有源头活水来——基于生活理念的小学数学教学探讨
和贴近 ，表现 出来 的学 习兴趣 也十分浓
厚 。接下来 ，我又列举 了其 他生活 中的
小 数 ，如 老师 的 身高 是 １ ． ７ ５ 米 、小 明 家 到学校 的距 离是 ３ ． ２千米 、珠 穆朗玛 峰 的海拔 是 ８ ８ ４ ８ ． １ ３ 米、某天 的气 温是
１ ５ ． ２摄 氏度 ，等等。在老师 的引导下 ， 孩子们都 能列 出一些 Ｅ ｔ 常生活 中常见 的 小数 ，都 学会 了如何用小数来表示数 ，
生与数学知识之 间的 “ 鸿 沟” ，拉 近两 者之间 的距离 ，消除小学生 的畏难 情绪 和抵触心理 。传统 的 “ 以本为本”的灌 输式教学模式 已经不 能适应新形 势下的
二 、开展生 活课 堂实 践 ， 解 决数 学问题
传 统 的数 学 课 堂教 学 过程 始 终 以 教材为核心 ，以教师为 主宰 ，在教学 材 料上 以本为本 ，一 味地按 照教材选取 的
生活与教学 的衔 接工作 。
情境 中认识人 民币，并学 习和运用 简单
例题进行新课 的教学 ； 教学方法 上传 统 死板 ，以理论教授 为主 ，满 堂灌 ，这容
沉 ，学生学得 昏昏欲睡 ，教 学效果可想
数的四则混合运算 ，从而 真切地体验数
学在生活 中的实 际应用 。这样 的数 学教
入 ，小 学数学教学呈现 出许多新 的问题 和方法。小学数学生活化课堂符合著 名 教育先驱陶行知先生 的 “ 生活 即教育 ” 理论 ，也 符合 新 形 势下 学 生 的认 知 心 理 。作为一名小学数学教师 ，应 发挥 自
“ 我们怎样 围才能使 图形 的面 积达到最 大？”Ａ组的学生围成 了一个长为 ２ 米、 宽为 １ 米 的长方形 ；Ｂ组 的学生将绳 子 平均分 为 四段 ，围成 了一个 以 １ ． ５ 米 为
唯有源头活水来——生活教学思想下的数学探究
教学研究唯有源头活水来——生活教学思想下的数学探究丁艳燕（浙江省金华市义乌宾王小学银苑校区，浙江 义乌 322000）摘要：教育课程在不断改革和发展，小学数学教学也在不断探索高效模式。
数学的最本质特征是生活性和工具性，《数学新课程标准》明确提出小学数学教学必须要能够建立起基础知识和学生生活实际的联系，要让学生增强在生活中应用数学的意识，促进学生对生活数学的理解和树立学生们对数学学习的信心。
因而小学数学教师在教学时要将数学基础知识与生活实际联系起来，从学生已有的生活经验中出发，寻求提取、概括生活经验中蕴含着的数学知识的方法，促进学生更好地接受数学知识并掌握运用知识的能力。
关键词：小学数学；生活化；教学思想引言：小学数学教学生活化是教育改革的具体要求之一。
它就是指在具体的教学中，教师们从学生的生活经验出发，把生活问题数学化去传授知识。
它的目的就是让学生能够运用数学的思维方式去观察和分析现实社会情况，解决日常生活中的实际问题。
目前，在小学数学教学中，这种生活教学的思想越来越占据着重要地位，因此本文主要就生活教学思想下的数学探究进行论述和浅析。
一、生活化的引入教学数学是一门对学生们的抽象思维要求比较高的学科，很多小学生对数学都有不同程度的畏惧心理，因此在进行每一个新的数学知识的讲解时，教师要在一开始就消除学生与数学知识之间的距离感。
显然按照传统的生硬引入和强行灌输方式是行不通的，用生活化的实例来引入课堂数学知识才是有效的方法。
比如:在教学计算四边形的面积时，老师们可以创设一个生活化的情景来引入，老师们可以提问学生“现在我们每一个人要给自己的桌面贴上你们喜欢的贴画，你们知道该买多少贴画吗？如果要给你们的本子贴的话又该买多大的呢？桌面和本子的大小是一样的吗？它们的大小与什么有关呢？”等问题来引发学生的兴趣，学生们没有接触过四边形面积计算自然会在这些问题的探讨中遇到阻碍，然后教师再引导学生们去阅读数学教材，教给学生们四边形面积的概念和算法，让学生们在各种生活实际情况中运用这些知识。
问渠那得清如许,为有源头活水来——从教材习题到“圆”的中考考题
为 Ｄ．如 果 ＺＡ＝６３。，那 么ＺＡＢＣ＝
．
【解析】如图２，连接 ＣＥ、ＤＥ，根据同圆的半
径相等不难发现图中有三个等腰三角形：ＡＡＥＣ、
ａＣＥＤ、ＡＤＥＢ，由ＺＡ＝６３。算 出ＺＡＥＣ＝５４。，可
￣Ｄ／＿ＡＢＣ＝ ／＿ＡＥＣ＝１ ８。．
例 ２ （苏科版《数 学》九上 第４０页练 习 第
ｌ０） ，解得 ｒ＝２５，所 以 ＯＤ＝１５，在 Ｒｔ△ＯＥＧ中 ，
ＯＧ＝４ｒ２一ＥＧ ＝２０，ＧＤ＝ＯＧ一０Ｄ＝５（米 ）＜６
（米 ），故船不能顺利通 过这座桥． 【拓 展 ２】（２０１３·内江）如 图 １０，在平 面直
角 坐标 系 中，以原点 ０为 圆心 的 圆过 点 （１３， ０），直线 ，，＝ 一３ ＋４与ｏＤ交于 、Ｃ两点 ，则 弦
Ｊ ｙ
＜
一
：
Ｊ
＜ 暮Ｈ Ｃ～ ｉ
图 １０
图 ｌ１
ｌ ４７
【解析 】由直线 的解析式可以看出当ｘ＝３ 时 ，ｙ＝４，说明直线经过定 点（３，４），设这个定点 为点 ，如 图 １ｌ，当 ＢＣ￣ＯＨ时 ，ＢＣ最 短 ，连接
￣ＡＡＥＣ，昕 以 ＰＢ＝ＥＣ，故 ＰＡ＋ＰＢ＝ＰＣ． 【拓展 ２】（２０１５·宿 迁）已知 ：Ｑ ｏ上 两个定
们可 以利用厶４的正弦和 ＡＦ长度求 出 ＦＨ＝３．２，
于 是 Ｐ 删 一Ｐ １．２，即 点 Ｐ到 边 ＡＢ的最 小
距离是 １．２．
图 ８
、 、 、、、、、、、＼Ｉ
【解 析 】如图 ９，设弧形桥 所在圆 的圆心 为 Ｄ，半 径为 ｒ，ＥＦ＝３０，在 Ｒｔ△ＡＯＤ中 ，ｒ２＝２０ ＋（ｒ．－
线 于 点 Ｅ，由 ＣＤ＝２，ＭＤ＝１，／ＥＤＣ＝６０。，可 得
问渠那得清如许,为有源头活水来——两道高考真题的高观点透视
证 明．
故 最短路 径条数为Ｊ７、 ｃ ２乙ｆ ２ １ ８．
证明 ：设点Ｐｉ（Ａ ，Ｂ ）（ ０，１，２，…，ｍ ）．
高考真题 ２ （２０１６年全 国卷 Ⅲ高考 ）定义 “规范０ｌ 数 列 ”｛ 如下 ：｛ ）共有 ２ｍ项 ，其 中ｍ项 为０，ｍ项 为 １，且 对 任意ｋ≤２ｍ，ａ ，ａ，２，…吼中０的个数不 少 于 １的个 数．若 ｍ＝４，则不 同的“规范０１数列 ”共有 （ ）．
对 角线 ））的最短 路径 的 条 数 ．
图 ２
其实 ，我们 可 以将 问题 推 广到更 一般 的情 况 ：将 ｍ
图 １
Ａ．２４
Ｂ．１８
Ｃ．１２
Ｄ．９
解 析 ：小 明到老 年公 寓 的最短 路径可 以分步完成 ：
第一步 ，小 明从街 道的Ｅ处 出发 ，先 到助ｒ上与小红会合 ，共
高 中 ．？茁 ．
教 学 参 谋
解 法 探 究
高中数学教学生学会解 题的策略研究
⑧广 东 省 广 ＇ ｋｌ１市 番 禺区 石 楼 中学 刘 新 萍
教会 学生在 解题 中怎样探 寻解题 突破 与思路 是值 得广 大高 中数学 教师尤为重 视的课题．有些 教师面对课 堂教学 中的例题往往会 直接进行求解 ，这样的 做法往往 会令学生 的思维形 成定式且 不能拓展．本文结 合解题指 导 的顺 序 与实际案 例对解题 应有 的策略进 行 了大概 的 分 析 ．
若其不 满足题 意 ，则必然有路径点在直线ｙ＝ｘ＋１）２． 作 （０，０）关于直线ｙ＝ｘ＋１的对称点为 （一１，１）． 记Ａ＝｛从 到 ＋ 不 满 足题 意 的路径 ｌ，Ｂ＝｛从Ｐ０ 到 Ｐｍ＋ 的总路径ｌ，下证 ：Ａ与 为一一映射 ． （１ 一 ：设路径点第 一次 出现在直线ｙ＝ｘ＋ｌＪ２的
问渠哪得清如许,为有源头活水来”
“问渠哪得清如许，为有源头活水来”—— 一道周练三角函数题思考与发散一：问题与思考（2021届高二上数学周练（5）） 如图（1），在ABC ∆中，332=∠ABC sin，2=AB ，点D 在线段AC 上，且DC AD 2=，334=BD 。
（1）求BC 的长； （2）求DBC ∆的面积。
这是我校2018函数是我们必拿分的知识点，但是从老师讲解的情况来看，第一问 我侧面和几个数学成绩好的同学讨论，普遍反映难以建构等式，且运算要求很高，推理路径很长，其求解过程绕来绕去，难以把握方向，最后导致整题失分。
解 （1）,ABC cos ,ABC sin31332=∠∴=∠ 设a a b ,b AC ,a BC 3449322-+=∴==①，在DBC ,ABC ∆∆由余弦定理，得,b 4b ADB cos 233164316-+=∠,b a b CDB cos 23383162-+=∠，CDB ADB ∠-=∠π b 4b 233164316-+,b a b 23383162-+-=② 由①②得,b ,a 13==即3BC = （2）322223223221=∴=⨯⨯⨯=BC D ABC S ,S ∆∆上面是编者所给的答案，老师讲解后，仔细分析，确实如此，难怪我们会失分。
但是在叹息失分的同时，能否进行学后反思？二：探究与发现平时老师在评讲试卷时，告诫我们不要就题论题，要注重知识交汇点，才能突破知识上的思维定势，因此要突破知识上的瓶颈，拓展我们的思维能力，就必须在课下对知识进行反思、重组。
于是，在老师讲解这道题目后，我回忆老师讲解的两个问题: 1、余弦定理的向量推导大家是否记得？2、在ABC ∆中，已知D 是AB 边上一点，若DB AD 2=，如图（2），若μλ+=，则μλ,分别等于_______.简解：∵2,,=-=-=∴,32312+=-=-. ∴3231==μλ, 通过因势利导，我们马上意识到题中DC 2AD =这个条件的合理运用。
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唯有源头活水来——数学高考试题与教材探究
发表时间：2016-05-31T10:56:58.257Z 来源：《中小学教育》2016年5月总第242期作者：田育亮
[导读] 甘肃省庆城县陇东中学教材中的例题、课后习题是高考试题的重要来源之一。
——数学高考试题与教材探究
田育亮甘肃省庆城县陇东中学745100
教材中的例题、课后习题是高考试题的重要来源之一。
纵观近几年数学高考试题，大多都是课本中的例题、习题或者例题、习题的改编，源于课本而高于课本。
因此我们在教学中要善于利用课本资源，引导学生对课本中的例题、习题进行深入探究，从而提高学生高考应试能力。
下面通过一些例子说明全国各地每年高考试题无论形式还是方法上很多都来源于课本。
一、高考试题与教材的若干探究
例1.（2012年高考数学全国卷理科第8题）
已知F1、F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点，点P在双曲线C上，|PF1|=2|PF2|，则cos∠F1PF2=（）。
A. B. C. D.
（人教版数学选修2-1第57页习题）已知F1、 F2为双曲线3x2-5y2=15的两个焦点，点A在双曲线上，且△F1AF2的面积等于2 2，求∠F1AF2的大小。
这两个题目都要用双曲线的定义及标准方程和解三角形中的余弦定理来解决，考查内容和考查方法一样。
例2.（2015年高考数学广东卷理科第3题）
若变量满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小值分别为M和m，则M-m=（）。
A.8
B. 7
C. 6
D. 5
（人教版数学必修5第91页习题）求z=2x+y的最大值，使满足约束条件。
这两个题目的题干内容一样，只是课本习题只求最大值，而高考题要求计算最大值与最小值之差，求解思路和过程一致。
二、数学高考复习的几点建议
1.立足课本，回归基础。
目前很多教师在进行高考复习时都有一个误区就是：在复习课中偏爱各类参考资料，而将课本抛在一边，结果导致学生对课本中的概念、基本属性、思想、方法模糊不清，基本公式的来龙去脉不甚知晓，对通性通法不熟练，从而导致不必要的失分。
因此，教师在复习中首先要以课本为主，各类参考资料为辅。
这样，才能引导学生回归课本，重视课本，减少因课本不熟而丢分。
2.要以《考试说明》为向导，使知识体系框架化、网络化。
《考试说明》规定了考试的性质、内容和对每一部分内容要求的程度，以及考试的形式和试卷结构。
因此，《考试说明》是教师、考生复习备考的指南。
教师应引导学生依据《考试说明》安排计划，选择题目，切忌仅凭经验和猜题押题的传闻而影响高考复习的计划实施。
另外，中学数学课本知识顺序是按学生认知规律编排的，许多相关知识分散在课本的几个章节中，在复习的时候，老师要按知识体系加以梳理。
引导学生按知识体系顺序组织复习，使知识更具有系统性。
引导学生去改编课本的习题、例题，从而挖掘出课本的潜在功效。
3.深挖课本中例题习题的潜能。
由于高考试题源于课本的原型题或改编题所占比例非常高，这就要求教师要努力排除题海战术的干扰，精心筛选课本中典型的例题、习题，引导学生吃透课本的例题、习题，并能在此基础上举一反三，灵活变题、解题。
具体来讲，在复习时要引导学生进行以下几方面的思考：
(1)要善于从课本的例习题中归纳总结出基本数学思想，常见的解题方法。
(2)可以将近几年高考试卷中的课本原型题列表，并与学生共同分析试题是怎样从课本例、习题中变过来的，从而寻找到一些改变试题的规律，并将课本中尚未涉及到的课本原型题加以改编。
(3)重视部分典型例题习题的深层分析，有些典型例题习题不止一次在高考中出现。
对这部分典型例题、习题进行分析，并进行逆推、延伸、拓广等。
4.重视综合训练，提高综合运用知识的能力。
数学知识是各部分有机结合的整体。
因此，高考试卷注重突出知识的整体性，在考查知识点的内在联系的基础上考查综合运用知识的能力。
所以在高考复习的最后阶段，将已复习过的知识进行系统整理，并结合综合试题进行训练，使得学生对知识点的应用达到左右逢源、融会贯通的程度。
但在进行综合题选择上，要注意题量适当，难度适中，并且真正体现各种知识在不同情景中的应用价值，避免知识拼凑和人为地堆砌。
从以上的分析中可以看出，课本在高考复习中占据无可替代的作用。
课本的例题、习题蕴含着丰富的知识点、数学思想方法、解题技巧。
我们若能对一些典型的例题、习题进行认真的深究，在高三复习中合理地再利用，挖掘其内在的潜能，探求到更一般的结论，做到知识点、思想方法源于课本，但却又高于课本，如此不仅能提高学生解决似曾相识的问题的速度和能力，同时也有利于提高复习的质量。