数学建模系列-常用模型
数学建模—函数模型及其应用
(k为常数,k≠0);
(4)指数型函数模型:f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a≠0,b>0,b≠1);
(5)对数型函数模型:f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,m≠0,a>0,a≠1);
(6)幂型函数模型:f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0);
1 (),∈1 ,
了该车相邻两次加油时的情况.
加油时间
2020年5月1日
2020年5月15日
加油量(升)
12
48
加油时的累计里程(千米)
35 000
35 600
注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.
在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为(
A.6升 B.8升
C.10升 D.12升
)
答案 B
解析 因为第一次油箱加满,所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量,
3
log 4 8 + = 1,
+ = 1,
解析依题意得
即 2
解得 a=2,b=-2.则
log 4 64 + = 4,
3 + = 4.
y=2log4x-2,当 y=8 时,即 2log4x-2=8,解得 x=1 024.
关键能力 学案突破
考点1
利用函数图像刻画实际问题
【例1】 (2020北京东城一模,10)
故耗油量V=48升.而这段时间内行驶的里程数S=35 600-35 000=600千米.
所以这段时间内,该车每100千米平均耗油量为
48
×100=8升,故选B.
600
3.(2020北京平谷二模,9)溶液酸碱度是通过pH计算的,pH的计算公式为
数学建模系列-常用模型-PPT
若选择队员i参加泳姿j 的比赛，记xij=1, 否则记xij=0
目标 函数
45
MinZ
cijxij
j1 i1
约束 每人最多入选泳姿之一 每种泳姿有且只有1人
条件
4
xij 1, i 1,5
j1
5
xij 1, j 1,4
i1
32
模型求解 输入LINDO求解
MIN 66.8x11+75.6x12+87x13+58.6x14 +… … +67.4x51+71 x52+83.8x53+62.4x54
22
4.计算总排序权向量并做一致性检验
计算最下层对最上层总排序的权向量。 利用总排序一致性比率
C R a 1 C1 Ia2C2 Iam CmI a 1R1 Ia2R2 Iam Rm I CR0.1
进行检验。若通过，则可按照总排序权向量表示的结果进 行决策，否则需要重新考虑模型或重新构造那些一致性比
j 1
m
a jbnj bn
j 1
20
层次总排序的一致性检验
设 B层 B1,B2,对上,B 层n( 层)中因A素
Aj(j1,2,,m )
的层次单排序一致性指标为
CI
，随机一致性指为
j
RI，j
则层次总排序的一致性比率为：
C R a 1 C1 Ia2C2 Iam CmI a 1R1 Ia2R2 Iam Rm I
性越严重。用最大特征值对应的特征向量作为被比较因素对上
层某因素影响程度的权向量，其不一致程度越大，
引起的判断误差越大。因而可以用 n数值的大小来衡量
A 的不一致程度。
定义一致性指标
常见数学建模模型
常见数学建模模型一、线性规划模型线性规划是一种常用的数学建模方法，它通过建立线性函数和约束条件，寻找最优解。
线性规划可以应用于各种实际问题，如生产调度、资源分配、运输问题等。
通过确定决策变量、目标函数和约束条件，可以建立数学模型，并利用线性规划算法求解最优解。
二、整数规划模型整数规划是线性规划的一种扩展形式，它要求决策变量为整数。
整数规划模型常用于一些离散决策问题，如旅行商问题、装箱问题等。
通过引入整数变量和相应的约束条件，可以将问题转化为整数规划模型，并利用整数规划算法求解最优解。
三、非线性规划模型非线性规划是一类目标函数或约束条件中存在非线性项的优化问题。
非线性规划模型常见于工程设计、经济优化等领域。
通过建立非线性函数和约束条件，可以将问题转化为非线性规划模型，并利用非线性规划算法求解最优解。
四、动态规划模型动态规划是一种通过将问题分解为子问题并以递归方式求解的数学建模方法。
动态规划常用于求解具有最优子结构性质的问题，如背包问题、最短路径问题等。
通过定义状态变量、状态转移方程和边界条件，可以建立动态规划模型，并利用动态规划算法求解最优解。
五、排队论模型排队论是一种研究队列系统的数学理论，可以用于描述和优化各种排队系统，如交通流、生产线、客户服务等。
排队论模型通常包括到达过程、服务过程、队列长度等要素，并通过概率和统计方法分析系统性能，如平均等待时间、系统利用率等。
六、图论模型图论是一种研究图结构和图算法的数学理论，可以用于描述和优化各种实际问题，如网络优化、路径规划、社交网络等。
图论模型通过定义节点、边和权重，以及相应的约束条件，可以建立图论模型，并利用图算法求解最优解。
七、随机模型随机模型是一种考虑不确定性因素的数学建模方法，常用于风险评估、金融建模等领域。
随机模型通过引入随机变量和概率分布，描述不确定性因素，并利用概率和统计方法分析系统行为和性能。
八、模糊模型模糊模型是一种用于处理模糊信息的数学建模方法，常用于模糊推理、模糊控制等领域。
数学建模系列-常用模型
A1, A2 , A3, A4 , A5
分别表示 景色、费用、 居住、饮食、 旅途。
由上表，可得成对比较矩阵
1
2
1 2 1
4 7
3 5
3
5
A
1 4Βιβλιοθήκη 1 711 1 2 3
1 3
1 3
1 5
1 5
2 3
1 1
1
1
旅游问题的成对比较矩阵共有6个（一个5阶，5个3阶）。
问题：两两进行比较后，怎样才能知道，下层各因素对上 层某因素的影响程度的排序结果呢？
3 层次单排序及一致性检验
层次单排序：确定下层各因素对上层某因素影响程度的过程。 用权值表示影响程度，先从一个简单的例子看如何确定权值。
例如 一块石头重量记为1，打碎分成 n各小块，各块的重量
分别记为：w1, w2, , wn
则可得成对比较矩阵 由右面矩阵可以看出，
wi wi wk
wj
wk w j
决策层对总目标的权向量为： 0.3, 0.246, 0.456
又 CR (0.263 0.003 0.475 0.001 0.055 0 0.099 0.005 0.110 0) / 0.58 0.015 0.1
故，层次总排序通过一致性检验。
0.3, 0.246, 0.456 可作为最后的决策依据。
率 CR 较大的成对比较矩阵。
三 层次分析法建模举例
1 旅游问题 (1)建模
Z
A1
A2 A3
B1
B2
A4 A5
B3
A1, A2 , A3, A4 , A5
分别分别表示景色、费用、 居住、饮食、旅途。
B1, B2 , B3
常见数学建模模型
常见数学建模模型一、线性规划模型线性规划是一种常见的数学优化方法，广泛应用于工程、经济、管理等领域。
线性规划模型的目标是在给定的约束条件下，求解一个线性目标函数的最优解。
其中，约束条件通常是线性等式或不等式，而目标函数是一个线性函数。
在实际应用中，线性规划模型可以用于生产计划、资源分配、运输问题等。
例如，一个工厂的生产计划中需要确定每种产品的产量，以最大化利润为目标，并且需要满足一定的生产能力和市场需求的约束条件。
二、整数规划模型整数规划是线性规划的一种扩展形式，其目标函数和约束条件仍然是线性的，但变量需要取整数值。
整数规划模型常用于离散决策问题，如项目选择、设备配置等。
例如，一个公司需要决定购买哪些设备以满足生产需求，设备的数量必须是整数，且需要考虑成本和产能的约束。
三、动态规划模型动态规划是一种求解多阶段决策问题的数学方法。
该模型通常包含一个阶段决策序列和一个状态转移方程，通过递推求解最优解。
动态规划模型被广泛应用于资源分配、路径规划、项目管理等领域。
例如，一个工程项目需要确定每个阶段的最佳决策，以最小化总成本或最大化总效益。
在每个阶段，决策的结果会影响到下一个阶段的状态和决策空间，因此需要使用动态规划模型进行求解。
四、图论模型图论是研究图和网络的数学理论。
图论模型常用于解决网络优化、路径规划、最短路径等问题。
例如，一个物流公司需要确定最佳的送货路径，以最小化运输成本或最短时间。
可以将各个地点看作图中的节点，道路或路径看作边，利用图论模型求解最优路径。
五、回归分析模型回归分析是研究变量之间关系的一种统计方法。
回归分析模型通常用于预测和建立变量之间的数学关系。
例如，一个销售公司需要预测未来销售额与广告投入、市场份额等因素的关系。
可以通过回归分析模型建立销售额与这些因素之间的数学关系，并进行预测和决策。
六、排队论模型排队论是研究排队系统的数学理论。
排队论模型常用于优化服务质量、降低排队成本等问题。
数学建模经典模型
正规战争模型 双方均以正规部队作战
• 甲方战斗减员率只取决于乙方的兵力和战斗力
f(x, y)=ay, a ~ 乙方每个士兵的杀伤率
a=ry py, ry ~射击率， py ~命中率
xayxu(t) ybxyv(t) gb,x brxpx
x ay
• 忽略非战斗减员
y bx
• 假设没有增援
x(0) x0, y(0) y0
1）总人数N不变，病人和健康
人的 比例分别为 i(t),s(t) .
SI 模型
2）每个病人每天有效接触人数 ~ 日
为, 且使接触的健康人致病.
接触率
N [ i( t t) i( t) [ ]s ( t)N ] ( t) ti
di si
dt
s(t)i(t)1
di dt
i (1 i )
f0
K0 K 0
y(t) f0
[1(1 K K 0 0)e (1 )t] 1 1
3) 经济增长的条件 产值Q(t)增长 dQ/dt > 0
Q f0L(y g )g ,(y)y
d dQ tf0Lg(y)d dy t f0g(y)d dL tf0 L2 1 y [f0 (1 )y 1 ]
y(t) f0
[1(1 K K 0 0)e (1 )t] 1 1
d dQ t0 1K 0 /K 0 e(1)t 1 1
0 d/Q d t0 ~ 劳动力相对增长率
0 当 t ( 1 1 )l1 n )( 1 (K 0 /K 0 )d ,/d Q 0 t
3) 经济增长的条件
有效接触人数，称为接触数.
模型3
di/dt
dii[i(11)]
dt
接触数 (感染期内每个
数学建模常用模型及代码
数学建模常用模型及代码
一.规划模型
1.线性规划
线性规划与非线性规划问题一般都是求最大值和最小值，都是利用最小的有限资源来求最大利益等，一般都利用lingo工具进行求解。
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2.整数规划
求解方式类似于线性规划，但是其决策变量x1,x2等限定都是整数的最优化问题。
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3. 0-1规划
决策变量只能为0或者为1的一类特殊的整数规划。
n个人指派n项工作的问题。
传送门
４.非线性规划
目标函数或者存在约束条件函数是决策变量的非线性函数的最优化问题。
传送门
５.多目标规划
研究多于一个的目标函数在给定区域上的最优化。
把求一个单目标，在此单目标最优的情况下将其作为约束条件再求另外一个目标。
传送门
6.动态规划
运筹学的一个分支。
求解决策过程最优化的过程。
传送门
二. 层次分析法
是一种将定性和定量相结合的，系统化的，层次化的分析方法，主要有机理分析法和统计分析法。
传送门
三.主成分分析
指标之间的相关性比较高，不利于建立指标遵循的独立性原则，指标之间应该互相独立，彼此之间不存在联系。
传送门。
数学建模常用模型方法总结
数学建模常用模型方法总结数学建模是指用数学方法对实际问题进行抽象和描述，进而建立数学模型来解决实际问题的方法。
数学建模是现代科学技术的重要手段之一，它在实际应用中起着重要的作用。
下面将介绍一些常用的数学建模方法。
一、线性规划线性规划是在约束条件下求解线性目标函数的问题，广泛应用于经济、工程等领域。
它的数学模型可以表示为：$$\begin{align*}\text{maximize}\quad & \mathbf{C}^T\mathbf{X} \\\text{subject to}\quad & \mathbf{A}\mathbf{X} \leq \mathbf{b} \\& \mathbf{X} \geq \mathbf{0}\end{align*}$$其中，$\mathbf{C}$是一个列向量，$\mathbf{X}$是要优化的目标变量，$\mathbf{A}$是一个矩阵，$\mathbf{b}$是一个列向量。
二、非线性规划非线性规划是在约束条件下求解非线性目标函数的问题。
非线性规划模型往往在现实问题中具有更广泛的适用性。
非线性规划的数学模型可以表示为：$$\begin{align*}\text{maximize}\quad & f(\mathbf{X}) \\\text{subject to}\quad & \mathbf{g}(\mathbf{X}) \leq\mathbf{0} \\& \mathbf{h}(\mathbf{X}) = \mathbf{0}\end{align*}$$其中，$f(\mathbf{X})$是一个目标函数，$\mathbf{g}(\mathbf{X})$是不等式约束条件，$\mathbf{h}(\mathbf{X})$是等式约束条件。
三、动态规划动态规划是一种通过将问题分解成子问题的方式来求解复杂问题的方法。
它通常适用于具有最优子结构性质的问题。
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同理B得2 ,，B3 对总目标的权值分别为： 0.246, 0.456,
决策层对总目标的权向量为：
0.3, 0.246 , 0.456
又 CR (0.263 0.003 0.475 0.001
0.055 0 0.099 0.005 0.110 0)
/ 0.58 0.015 0.1
建立选择旅游地层次结构
选择
旅游地
景
费
居
饮
旅
色
用
住
食
途
苏杭、
黄山、桂林
目标层Z 准则层A 方案层B
Z
A1
A2
A3
B1
B2
A4
A5
B3
A1, A2 , A3 , A4 , A5
分别分别表示景色、费用、 居住、饮食、旅途。
B1, B2 , B3
分别表示苏杭、黄山、桂林。
2 构造成对比较矩阵
设某层有 个因n 素，
三 层次分析法建模举例
1 旅游问题 (1)建模
Z
A1
A2
A3
B1
B2
A4
A5
B3
A1, A2 , A3 , A4 , A5
分别分别表示景色、费用、 居住、饮食、旅途。
B1, B2 , B3
分别表示苏杭、黄山、桂林。
（2）构造成对比较矩阵
1
2 1
1
2 1 1
4 7 1
3
5 1
3
5 1
A 4 7
b1m
a jb1 j b1 j 1
B2
b21 b22 b2m
m
a jb2 j b2
j 1
m
Bn
bn1 bn2 bnm
a jbnj bn j 1
层次总排序的一致性检验
设 层B B1对, B上2层,( ,层B)n中因素
A
的层次单排序一致性指标为
，随机一C致I 性j 指为
则层次总排序的一致性比率为：
若选择队员i参加泳姿j 的比赛，记xij=1, 否则记xij=0
目标函 数
45
Min Z
cij xij
j 1 i 1
约束 每人最多入选泳姿之一
X x1, x2 , , xn
要比较它们对上一层某一准则（或目标）的影响程度，确定
在该层中相对于某一准则所占的比重。（即把 个因素对上 n
层某一目标的影响程度排序）
上述比较是两两因素之间进行的比较，比较时取1~9尺度。
用 a表ij 示第 个因i 素相对于第 个因素的j比较结果，则
aij
1 a ji
一般，当一致性比率
CR CI 0.1 时，认为 RI
A
的不一致程度在容许范围之内，可用其归一化特征向量
作为权向量，否则要重新构造成对比较矩阵，对
A
加以调整。
一致性检验：利用一致性指标和一致性比率<0.1
及随机一致性指标的数值表，对 进行检验A的过程。
4 层次总排序及其一致性检验
确定某层所有因素对于总目标相对重要性的排序权值过程，
2 3
1 3
1 5
2
1
1
1
1
3
1
1
3 5
1 2 5
B1
1 2
1
2
1 5
1 2
1
1 B2 3
1 3 1
1
8 1
3
8 3 1
1 1 3
B3
1 1
1 1
3
3 3 1
1 3 4
B4
1 3
1
1
1 4
1
1
1 B5 1
1 1
1
4 1
4
4 4 1
(3)计算层次单排序的权向量和一致性检验
即 B层第 个i因素对
总目标的权值为：
B1 : a1b11 a2b12 amb1m B2 : a1b21 a2b22 amb2m
m
a jbij j 1
Bn : a1bn1 a2bn2 ambnm
A
A1, A2 , , Am
B层的层次
B
a1, a2 , , am
总排序
m
B1
b11 b12
1
w
2
A w1
wn w1
w1 w2 1
wn
w2
w1
wn w2
wn
1
即， aik akj aij i, j 1,2, , n
但在例2的成对比较矩阵中，
在正互反矩阵
中，A若
a23 7, a21 2, a13 4 a23 a21 a13
aik则称akj 为一a致ij阵。 A
一致阵的性质：
1.
aij
1 a ji
, aii
1, i, j 1,2,
,n
2. A的各行成比例，则 rankA 1
3. A的最大特征根（值）为 λ n, 其余n-1个
特征根均等于 0。
4. A的任一列(行)都是对应于特征根 的特征向量n。
若成对比较矩阵是一致阵，则我们自然会取对应于最
大特征根 的归n 一化特征向量
k 3.005 3.002 3 3.009 3
CI k 0.003 0.001 0 0.005 0 RI k 0.58 0.58 0.58 0.58 0.58
计算 CR可k知
B1, B2 , B3 , B通4 过, B一5致性检验。
（4）计算层次总排序权值和一致性检验
B1 对总目标的权值为： 0.595 0.263 0.082 0.475 0.429 0.055 0.633 0.099 0.166 0.110 0.3
1
1
A1, A2 , A3 , A4 , A5
分别表示 景色、费用、 居住、饮食、 旅途。
由上表，可得成对比较矩阵
1
2
1 2 1
4 7
3 5
3
5
A
1 4
1 7
1
1 1 2 3
1 3
1 3
1 5
1 5
2 3
1 1
1
1
旅游问题的成对比较矩阵共有6个（一个5阶，5个3阶）。
问题：两两进行比较后，怎样才能知道，下层各因素对上 层某因素的影响程度的排序结果呢？
故，层次总排序通过一致性检验。
0.3, 0.246 , 0.456 可作为最后的决策依据。
即各方案的权重排序为
B3 B1 B2
又 B1, B2 , B3 分别表示苏杭、黄山、桂林，
故最后的决策应为去桂林。
模型Ⅱ：线性规划
问题二 混合泳接力队的选拔
5名候选人的百米成绩
蝶泳 仰泳 蛙泳 自由泳
数学建模常用模型
模型Ⅰ：层次分析法
问题1 选择旅游地
现有三个旅游胜地可供选择，分别为苏杭、黄山、 桂林，下面将作出旅游地的选择。
面临各种各样的方案，要进行比较、判断、评价、最后 作出决策。这个过程主观因素占有相当的比重给用数学方法 解决问题带来不便。T.L.saaty等人20世纪在七十年代提出了 一种能有效处理这类问题的实用方法。
定义随机一致性指标 RI
随机构造500个成对比较矩阵
A1, A2 , , A500
则可得一致性指标
CI1, CI 2 , , CI500
RI
CI1 CI 2
CI 500
1 2
500
500
n
500
n 1
随机一致性指标 RI 的数值：
n 12 3
4
5
6
7
8
9
10 11
RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51
层次分析法（AHP）具体步骤：
✓明确问题 ✓递阶层次结构的建立 ✓建立两两比较的判断矩阵 ✓层次单排序 ✓层次综合排序
层次分析法的基本步骤
1 建立层次结构模型 一般分为三层，最上面为目标层，最下
面为方案层，中间是准则层或指标层。 若上层的每个因素都支配着下一层的所有因
素，或被下一层所有因素影响，称为完全层次结 构，否则称为不完全层次结构。
计算最下层对最上层总排序的权向量。 利用总排序一致性比率
CR a1CI1 a2CI 2 amCI m a1RI1 a2 RI 2 am RI m
CR 0.1
进行检验。若通过，则可按照总排序权向量表示的结果进行决策，否则需要重
新考虑模型或重新构造那些一致性比率
较大的成对比较矩阵。
CR
3 层次单排序及一致性检验
层次单排序：确定下层各因素对上层某因素影响程度的过程。
用权值表示影响程度，先从一个简单的例子看如何确定权值。
例如 一块石头重量记为1，打碎分成 各小块，各n块的重量
分别记为： w1, w2 , , wn
则可得成对比较矩阵
由右面矩阵可以看出，
wi wi wk
wj
wk w j
2,4,6,8 表示需要在上述两个标准之间拆衷时的标度
1/bij 两个元素的反比较
旅游问题中，第二层A的各因素对目标层Z的影响两两比较结果如 下：
Z A1 A2 A3 A4 A5
A1
1 1/2 4
3
3
A2
2 1 7 55
A3 1/4 1/7 1 1/2 1/3
A4 1/3 1/5 2
1
1
A5 1/3 1/5 3
w1, w2 , , wn
wi 表示下层第 个i因素对上层某因素影响程度的权值。
若成对比较矩阵不是一致阵，Saaty等人建议用其最大
n