天津开发区第二中学2021届高三第一学期数学期中考试试卷
开发区第二中学2020-2021学年度第一学期高三年级数学学科期中考试试卷 一. 选择题（每题5分，共45分）
1. sin570︒的值是（ ）
A. 12-
B. 12
C. 3
D. 3- 2. 曲线21
x y x =-在点(1,1)处的切线方程为（ ） A. 20x y --= B. 20x y +-=
C. 450x y +-=
D. 450x y --=
3. 函数3()1216f x x x =--的零点个数为（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
4. 已知a 为函数3()12f x x x =-的极小值点，则a =（ ）
A. 4-
B. 2-
C. 4
D. 2
5. 设函数()f x 在定义域R 上可导，其导函数为()f x '，若函数(1)()
y x f x '=-的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
A. 函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)f
B. 函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)f
C. 函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f -
D. 函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f
6. 对于函数sin(2)6
y x π=-，下列说法正确的是（ ） A. 函数图象关于点(,0)3
π对称 B. 函数图象关于直线56
x π=对称 C.将它的图象向左平移6π
个单位，得到sin 2y x =的图象
D. 将它的图象上各点的横坐标缩小为原来的12倍，得到sin()6
y x π=-的图象
7. 已知1cos()33πα+=-，则sin()6
πα-的值为（ ）
A. 13
B. 13
- C. 3 D. 3- 8. 若10x ke x --≥恒成立，则实数k 的取值范围是（ ）
A. (],1-∞
B. (]0,1
C. (0,)+∞
D. [)1,+∞
9. 已知450540α︒<<︒ ） A. sin 2α- B. cos 2α C. sin 2α D. cos 2
α- 二. 填空题：（每题5分，共30分）
10. 已知角θ的终边经过点(,3)P x （0x <）且cos 10
x θ=，则x = . 11. 已知2sin cos 0αα-=，则2sin 2sin cos ααα-= .
12.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >,0ω>,2
πϕ<
）的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式为 .
13. 已知函数32()245f x ax x x =+-+，当23
x =
时，函数()f x 有极值，则函数()f x 在[]3,1-上的最大值为 .
14. 计算：1cos10sin170-=︒︒ . 15. 已知函数31()2x x f x x x e e
=-+-，其中e 是自然对数的底数. 若2(1)(2)0f a f a -+≤，则实
数a 的取值范围是
. 三. 解答题（共75分）
16. 已知sin α=，13cos()14βα-=，且02
πβα<<<. （1）求tan 2α的值； （2）求β的值.
17. 已知函数()()x f x x k e =-.
（1）求()f x 的极值； （2）求()f x 在区间[]0,1上的最小值.
18. 已知函数()4cos sin()4
f x x x πωω=⋅+（0ω>）的最小正周期为π. （1）求ω的值； （2）讨论()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的单调性.
19.已知函数1()ln f x a x x
=-，a R ∈. （Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y +=垂直，求a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅲ）当1a =，且2x ≥时，证明：(1)25f x x -≤-.
20.设函数()(1)ln(1)f x x x x =-++
（1）求函数()f x 的极值；
（2）若方程()f x t =在1
,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
有两个实数解，求t 的取值范围； （3）证明：当0m n >>时，(1)(1)n m m n +<+.。
天津市部分区2021届高三上学期期中考试 数学 Word版含答案
天津市部分区2020－2021学年度第一学期期中练习高三数学第I卷(共45分)参考公式：球的表面积公式：S＝4πR2，其中R表示球的半径。
一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A＝{1，2，3，5，6，9}，B＝{x|2<x<10}，则A∩B中元素的个数为A.2B.3C.4D.52.设x∈R，则“|x|<1”是“x<1”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.函数y＝2x12x+的图象大致为4.设cosx＝－13，则cos2x＝A.13B.223C.79D.－795.将一个棱长为1cm的正方体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的表面积为3π2B.π cm2 C.43πcm2D.3π cm26.已知单位向量a，b的夹角为60°，a－k b与a垂直，则实数k＝A.1B.－1C.2D.－2－0.77.设a ＝(12)－0.7，b ＝20.6，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系为 A.b<a<c B.a<c<b C.c<b<a D.a<b<c8.已知两条平行直线l 1：2x －y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＝0(a ∈R)，则l 1与l 2间的距离为 A.15C.129.已知a>0，函数f(x)＝225x a x 02x x 0⎧+≤⎪⎨⎪->⎩，，，若关于x 的方程f(x)＝a(2－x)恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围为A.1<a<4B.2<a<4C.4<a<8D.2<a<8第II 卷(共105分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分。
10.函数f(x)＝xsinx 的导函数为 。
2021届天津市部分区高三上学期期中考试练习数学试卷(解析版)
天津市部分区2021届高三上学期期中考试练习数学试卷一､选择题：本大题共9小题，在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合}{1,2,3,5,6,9A =，}{210B x x =<<，则 A B ⋂中元素的个数为（ ） A. 2B. 3C. 4D. 5『答案』C 『解析』}{1,2,3,5,6,9A =，}{210B x x =<<， }{3,5,6,9A B ∴⋂=，A B ∴中元素的个数为：4.故选：C.2. 设x ∈R ，则“1x <”是“1x <”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件『答案』A 『解析』111x x -<<⇔<，1x ∴<能推出1x <，当1x <时，显然当2x =-时成立，但是||1x <不成立，1x ∴<不能推出1x <， 所以“||1x <”是“1x <”的充分不必要条件， 故选：A.3. 函数212x y x+=的图象大致为（ ）A. B.C. D.『答案』B『解析』因为函数212x y x+=，定义域为(,0)(0,)-∞+∞，关于原点对称， 又22()11()()2()2x x f x f x x x-++-==-=--，函数为奇函数，图像关于原点对称，排除A ，C ； 又当1x =时，11102y +=>=，排除选项D. 故选：B. 4. 设1cos 3x =-，则cos2x =（ ）A.13B.3C.79D. 79-『答案』D 『解析』1cos 3x =-，2212723cos 22cos 11199x x ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭∴=----故选：D.5. 将一个棱长为1cm 的正方体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的表面积为（ ）A.2 B. 2cm πC.243cm π D. 23cm π『答案』B『解析』由条件可知：球为正方体的内切球时，此时球最大，此时球的半径为正方体棱长的12即为12cm ，所以表面积为：22144cm 4S R =⨯=ππ=π， 故选：B.6. 已知单位向量,a b 的夹角为60︒，a kb -与a 垂直，则实数k =（ ） A. 1B.1-C. 2D. 2-『答案』C 『解析』单位向量,a b 的夹角为60︒，∴111cos 602a b ⋅=⨯⨯︒=，a kb -与a 垂直，2()102a b a k k a a b k ∴-⋅=-=-=⋅，解得2k =，故选：C ．7. 设0.712a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.62b =，3log 2c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. b a c <<B. a c b <<C. c b a <<D. a b c <<『答案』C『解析』0.70.7122a -⎛⎫== ⎪⎝⎭，又指数函数2xy =是单调递增函数，0.70.60222∴>>，即1a b >>对数函数3log y x =是单调递增函数，33log 2log 31c ∴=<=，即1c <c b a ∴<<，故选：C ．8. 已知两条平行直线1:210l x y -+=，()2:0l x ay a +=∈R ，则1l 与2l 间的距离为（ ）A.15B.C.12D.『答案』B『解析』因为直线1:210l x y -+=与()2:0l x ay a +=∈R 平行，所以1(1)20⨯--=a ，解得12a =-， 所以21:02l x y -=，即2:20l x y -=， 因此1l 与2l 的距离为5d ==. 故选：B ．9. 已知0a >，函数()225,0,2,0,x a x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪->⎩若关于x 的方程()()2f x a x =-恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围为（ ）A. 14a <<B. 24a <<C. 48a <<D. 28a <<『答案』D『解析』当0x =时，()502f a =，对于直线()2y a x =-，2y a =，因为0a >，所以无交点；当0x ≤时，()2f x x '=，令2x a =-，解得 2ax =-，要使方程()()2f x a x =-恰有2个互异的实数解，则252222a a a a ⎛⎫⎛⎫-+<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得 2a >； 当0x >时，()2f x x '=-，令2x a -=-，解得 2ax =，因为0x ≤时，方程()()2f x a x =-恰有2个互异的实数解，则0x >时，无交点， 则2222a a a ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得 8a <, 综上：a 的取值范围为28a << 故选：D.二､填空题：本大题共6小题.试题中包含两个空的. 10. 函数()sin f x x x =的导函数为___________.『答案』()sin cos f x x x x '=+ 『解析』因为函数()sin f x x x =，所以()sin cos f x x x x '=+， 故答案为：()sin cos f x x x x '=+11. 记n S 为等差数列}{n a 的前n 项和，若()22n S n n n *=-∈N，则9a=___________通项公式n a =_________________.『答案』 (1). 15 (2). 23n -『解析』因为998a S S =-，所以()()22992982815a =-⨯--⨯=；当2n ≥时，()()()221212123n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦，当1n =时，11121S a ==-=-，符合2n ≥的情况， 所以23n a n =-，故答案为：15；23n -.12. 在正三棱柱ABC A B C '''-中，D 为棱AC 的中点，AB AA '=，则直线B C '和BD 所成的角的余弦值为___________.『答案』4『解析』取A C ''中点D ，连接,,DD B D CD ''''，如下图所示：因为//,DD BB DD BB ''''=，所以四边形D B BD ''为平行四边形，所以//DB D B ''， 所以直线B C '和BD 所成的角为CB D ''∠或其补角，不妨设2AB =，所以D B CD B C ''''=====所以222D B CD B C ''''+=，所以90B D C ''∠=︒，所以cos4CB D ''∠==，所以直线B C '和BD13. 若向量()3,4a =，则与a 平行的单位向量是___________.『答案』34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭或34,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭『解析』因为向量2345a =+=，所以与a 平行的单位向量是34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭或34,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故答案为：34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭或34,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭14. 圆x 2＋y 2－4＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦的长为___．『答案』『解析』圆2240x y +-=与圆2244120x y x y +-+-=的方程相减得：20x y -+=，由圆2240x y +-=的圆心()0,0，半径r 为2，且圆心()0,0到直线20x y -+=的距离d ==，则公共弦长为==故答案为．15. 已知0a >，0b >，且22a b +=，则21ab a b++的最小值为______. 『答案』92『解析』0a >，0b >，22a b ∴=+≥102ab <≤，当且仅当2a b =，即11,2a b ==时等号成立. 2122a b ab ab ab a b ab ab+++=+=+ 令2y t t =+，102t <≤，由对勾函数性质知2y t t =+在10,2⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减， 所以当12t =时，函数取得最小值，且min 2191222y =+=，即92y ≥ 所以21ab a b ++的最小值为92故答案为：92. 三､解答题：解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 16. 已知函数()22sin 2sin cos cos f x x x x x =+-.（1）求()f x 的最小正周期；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最小值.解：（1）由已知，有()22sin 2sin cos cos f x x x x x =+-sin 2cos2x x=-24x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以，()f x 的最小正周期22T =π=π. （2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，32,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦所以当244x ππ-=-，即0x =时，()f x 取得最小值1-. 所以，函数()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的最小值为1-.17. 设函数()31f x x mx =++，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行.（1）求实数m ； （2）求()f x 的单调区间.解：（1）因为()31f x x mx =++，所以()23f x x m ='+.又因为曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行， 所以()10f '=，即30m +=， 即3m =-.（2）由（1）可知()331f x x x =-+，()()()233311f x x x x ==+'--当()1,1x ∈-时，()0f x '<；当(),1x ∈-∞-，()1,+∞时，()0f x '>.所以()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和()1,+∞，单调递减区间为()1,1-.18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面P ABCD -中，底面ABCD 满足AB AD ⊥，AB BC ⊥，PA ⊥底面ABCD ，且2PA AB BC ===，1AD =.（1）证明：PB AD ⊥；（2）求平面PAB 与平面PCD 所成角正弦值. （1）证明：因为PA ⊥平面ABCD ，AB 平面ABCD ，所以PA AD ⊥又因为AB AD ⊥，PA ⊂平面PAB ，AB 平面PAB 且PA AB A =，所以AD ⊥平面PAB ， 又PB ⊂平面PAB . 所以AD PB ⊥.（2）解：因为AD ，AB ，AP 两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()0,2,0B ，()2,2,0C ，()1,0,0D ，()002P ,,. 由（1）知AD ⊥平面PAB ，所以平面PAB 的一个法向量为()1,0,0AD =()2,2,2PC =-，()1,0,2PD =-.设平面PCD 的一个法向量为(),,m x y z =，的则00m PC m PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2220,20x y z x z +-=⎧⎨-=⎩． 取1z =，则()2,1,1m =-， 所以cos m <，6m AD AD m AD⋅>===⋅ 即sinm <，33AD >=所以所求二面角的正弦值为3. 19. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知3sin tan b A a B =. （1）求cos B 的值； （2）求sin 26B π⎛⎫- ⎪⎝⎭值.解：（1）sin 3sin tan 3sin 3sin cos sin cos Bb A a B b A ab A B a B B=⇒=⇒= 在ABC 中，由正弦定理sin sin b aB A=得sin sin b A a B =， 3co sin s sin B a B a B ∴=，即3cos 1B =，1cos 3B ∴=.（2）由（1）可得sin 3B ==， 从而sin 22sin cos 9B B B ==，27cos 22cos 19B B =-=-，故71sin 2sin 2cos cos 2sin 666992B B B πππ⎛⎫-=-=+⨯= ⎪⎝⎭. 20. 已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列且公比大于0，11a =，12b =，()35425a a a =-，3542b b b =-.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设()()1*1411n n n n n n c n N a a b ++⎛⎫=--∈ ⎪⋅⎝⎭，记数列{}n c 的前n 项和为n S ，求n S .的解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q . 由11a =，()35425a a a =-，可得()1225a d d +=，解得2d =， 所以数列{}n a 的通项公式为21n a n =-.由12b =，3542b b b =-，可得220q q --=，又0q >，解得2q，所以数列{}n b 的通项公式为2nn b =.（2）由（1）可得()()()()11141411121212n n n n n n n n n c a a b n n +++⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪ ⎪⋅-⋅+⎝⎭⎝⎭()1111121212nn n n +⎛⎫⎛⎫=-++- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭记数列()11112121n n n +⎧⎫⎛⎫-+⎨⎬ ⎪-+⎝⎭⎩⎭的前n 项和为n T ，数列12n⎧⎫⎪⎪⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n P 则n n n S T P =+ 当()2n k k N*=∈时111111111121133557232121212121n n T n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++-⋅⋅⋅++-+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭当()21n k k N*=-∈时，1111111111221133557232121212121n n T n n n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++-⋅⋅⋅⋅⋅⋅-+++=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭又11121111111122122233212n n nn P +⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭=-+-+⋅⋅⋅+-==-+⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-- ⎪⎝⎭所以()()2111,22133222111,2121332nn nn n k k n S n n k k n **⎧⎛⎫-+⋅-=∈⎪⎪+⎪⎝⎭=⎨+⎛⎫⎪-+⋅-=-∈ ⎪⎪+⎝⎭⎩N N期中考试试题11。
天津市部分区2022-2023学年高三上学期期中数学试题含答案
2022~2023学年度第一学期期中练习高三数学一、选择题：本大题共9道小题，每小题5分，共45分.1.已知全集{}1,3,5,7,9U =，{}1,5,7A =，则U C A =（）A.{}1,3 B.{}3,7,9 C.{}3,9 D.{}3,5,92.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A.3y x =-，Rx ∈ B.sin y x =，R x ∈ C.y x =，Rx ∈ D.12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，Rx ∈3.若等差数列{}n a 的前三项和39S =，则2a 等于（）A.3B.4C.5D.64.已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3sin 5α=，则3tan 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭等于（）A.17 B.7C.17-D.－75.若()224ln f x x x x =--，则()0f x '>的解集为（）A.()0,+∞ B.()(),12,-∞-+∞ C.()2,+∞ D.(),1-∞-6.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知3432S a =-，2332S a =-，则公比q =（）A.3B.4C.5D.67.已知函数()sin (,0)4R f x x x πωω⎛⎫=+∈> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，将()y f x =的图象向左平移ϕ个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的一个值是（）A.8π B.2π C.38π D.4π8.设a ，b ，c 均为正数，且122log aa =，121log 2bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭.则（）A.b a c<< B.c b a<< C.c a b<< D.a b c<<9.已知点P 在曲线41xy e =+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（）A.0,4π⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.3,24ππ⎛⎤⎥⎝⎦二、填空题：本大题共6道小题，每小题5分，共30分，试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分.10.函数12()log f x x =的导数为_________；11.已知函数232,1(),1x x f x x ax x +<⎧=⎨+≥⎩，若()()04f f a =，则实数a =_________；12.函数()sin 2cos 2f x x x =+的最小正周期是_________；13.已知数列{}n a 的前n 项和29n S n n =-，第k 项满足58k a <<，则k =_________；14.定义在[]2,2-上的偶函数()f x 在[]2,0-上为增函数，若满足()()1f m f m -<，则m 的取值范围是_________；15.已知0a b >>，则211()a ab a a b ++-的最小值是_________；此时a ，b 的值分别为_________.三、解答题：本大题共6道小题，共75分.16.（本小题14分）已知函数()2sin 23x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.（1）令()3g x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，判断函数()g x 的奇偶性；（Ⅱ）求()f x 在区间20,3π⎡⎤⎢⎣⎦上的最值.17.（本小题15分）已知函数2()(0,)R af x x x a x=+≠∈.（Ⅰ）2a =时求函数()f x 的极值；（Ⅱ）若()f x 在区间[)2,+∞是增函数，求a 的取值范围.18.（本小题15分）设ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且6a c +=，2b =，7cos 9B =.（Ⅰ）求a ，c 的值；（Ⅱ）求()sin A B -的值.19.（本小题15分）已知等比数列{}n a 的首项为1，公比为q ，4a ，3a ，5a 依次成等差数列.（Ⅰ）求q 的值；（Ⅱ）当0a <时，求数列{}n na 的前n 项和n S ；（Ⅲ）当0q >时，求证：221234123ni i ia i a =<⎛⎫-- ⎪⎝⎭∑.20.（本小题16分）已知函数2()ln()3f x x x x a b =+-++在0x =处取得极值0.（Ⅰ）求实数a ，b 的值；（Ⅱ）若关于x 的方程()()0R f x m m -=∈在区间1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有2个不同的实数解，求m 的取值范围；（Ⅲ）设函数()()R x e h x n n x =+∈，若11,22x ⎡⎤∃∈-⎢⎥⎣⎦，21,22x ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦总有()()12f x h x ≤成立，求n 的取值范围.2022～2023学年度第一学期期中练习高三数学参考答案一、选择题二、10.2ln 1x -11.212.π13.814.),[211-15.4，212.三、解答题：16.解（Ⅰ）1ππ()2sin 233g x x ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦π2sin 22x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2cos 2x =..……………….4分()2cos 2cos ()22x x g x g x ⎛⎫-=-== ⎪⎝⎭.∴函数()g x 是偶函数.…………………………………6分题号123456789答案CA ADC BADC（Ⅱ）)(x f 在区间3,0[π上单调递增，在32,3[ππ单调递减，…………10分3)0(=f ，2)3(=πf ，3)32(=πf ……………………12分所以最大值为2，最小值为3.…………………14分17.解：（Ⅰ）当2=a 时，()xx x f 22+=，……………………2分22232)1)(1(22222)(x x x x x x x x x f ++-=-=-='……………………4分,0)(='x f 解得1=x x)0,(-∞)1,0(1),1(+∞)(x f '--+)(x f 递减递减极小值递增极小值为3)1(=f ，无极大值.……………………8分（Ⅱ）()22'xax x f -=，要使()x f 在区间[)+∞,2是增函数，只需当2≥x 时，()0'≥x f 恒成立，……………………10分即022≥-xax ，则[)+∞∈≤,1623x a 恒成立，……………………13分故当16≤a 时，()x f 在区间[)+∞,2是增函数.…………………15分18.解：（Ⅰ）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得()222(1cos )b ac ac B =+-+，……………………2分又6a c +=，2b =，7cos 9B =所以9ac =，………………………….4分解得3a =，3c =.…………………………….6分（Ⅱ）在△ABC 中，42sin 9B ==，………………….8分由正弦定理得sin sin 3a B Ab ==，………………………….12分因为a c =，所以A 为锐角，所以1cos 3A ==因此102sin()sin cos cos sin 27A B A B A B -=-=.…………….15分19.解：（Ⅰ）∵534,,a a a 依次成等差数列，∴5432a a a +=∵{}n a 是首项为1的等比数列，∴4322q q q +=……………2分∴022=-+q q ∴1=q 或2-=q .……………4分（Ⅱ）nn n naa n a a a S +-++++=-1321)1(32 ∴122)2()2()1()2(3)2(21---⋅+-⋅-++-⋅+-⋅+=n n n n n S ∴nn n n n S )2()2()1()2(2)2(1)2(12-⋅+-⋅-++-⋅+-⋅=-- 上式减下式得：n n n n S )2()2()2()2(1312-⋅--++-+-+=- 3)2)(13(1)2()2(1)2(1n nn n n -+-=-⋅-----=9)2)(13(1n n n S -+-=………………10分（Ⅲ）=--∑=ni i i a i a 1222)312(∑=--ni i 121)312(1=)32)(31(1411-+∑=i i ni ∑=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=ni i i 131132141…………………12分⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---++-+-=31132137134134131141n n 43311341<⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=n …………15分20.解：（Ⅰ）ax x x f +-+='112)(，------------------2分令⎩⎨⎧=='0)0(0)0(f f 解得0,1==b a ------------------4分（Ⅱ）)1ln()(2+-+=x x x x f ，由0)(=-m x f 得m x x x =+-+)1ln(2，由题意，曲线)(x f y =与直线m y =在区间]2,21[-上恰有2个交点.由1)32(1112)(++=+-+='x x x x x x f 知)(x f 在区间]0,21[-上是减函数，在区间]2,0[上是增函数，…………7分所以，3ln 6)2(,0)0(,2ln 4121(-==+-=-f f f ，又)2()21(f f <-，∴2ln 410+-≤<m .…………9分（Ⅲ）由]2,21[],2,21[21-∈∀-∈∃x x 总有)()(21x h x f ≤成立可知在区间]2,21[-上，min min )()(x h x f ≤…………11分由（Ⅱ）知在区间]2,21[-上，0)0()(min ==f x f ∵22)1()(x x e x e xe x h x x x -=-='，∴函数)(x h 在区间]1,21[-上是减函数，在区间]2,1[上是增函数，∴n e h x h +==)1()(min ∴e n -≥.…………16分。
天津市经济技术开发区第二中学2020_2021学年高一数学上学期期中试题含解析
所以不等式 即为 ，解得 ，
所以不等式的解集为 ；
（2）因为不等式 对任何实数 恒成立，
所以当 即 时，不等式为 ，不合题意；
当 时，则 ，解得 ，
综上，实数 的取值范围为 ；
（3）原不等式等价于 即 ，
又 ，所以原不等式的解集为 或 .
18.已知函数 .
（1）求 的值；
（2）画出函数的图象；
【解析】
【分析】
（1）令 可得 ，再令 运算即可得解；
（2）结合函数单调性的定义任取 ， ，证明 即可得证；
（3）由函数的性质转化条件为 ，先后令 、 即可得 ，结合函数单调性即可得解.
【详解】（1）令 ，则 ，所以 ，
令 ，则 ，
所以 ；
（2）证明：任取 ， ，设 ，
则 ，
因为 ，所以 ， ，
所以 即 ，
则 ，
所以 ；
（2）函数的图象如图所示：
（3）由函数的图象可知：函数的值域是 ，单调增区间是 ，单调减区间是 .
19.已知定义ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱR上的函数 ，满足对任意的实数 ， 总有 ，若 时， 且 .
（1）求 的值；
（2）求证 在定义域R上单调递减；
（3）若 时，求实数 的取值范围.
【答案】（1）0；（2）证明见解析；（3） .
设 ，则 ，所以 ，
所以 .
故答案为： .
14.已知函数 ，则 _________， 的最小值是_______.
【答案】(1). (2).
【解析】
【分析】
由分段函数的特点易得 的值；分别由二次函数和基本不等式可得各段的最小值，比较可得．
【详解】由题意可得 ，
∴ ；
∵当 时， ，由二次函数可知当 时，函数取最小值 ；
2021届天津市部分区普通高中高三年级上学期期中联考数学试题及答案
绝密★启用前天津市部分区县普通高中2021届高三年级上学期期中联合质量检测数学试题2020年11月第I卷(共45分)参考公式：球的表面积公式：S＝4πR2，其中R表示球的半径。
一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A＝{1,2,3,5,6,9},B＝{x|2<x<10},则A∩B中元素的个数为A.2B.3C.4D.52.设x∈R,则“|x|<1”是“x<1”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.函数y＝2x12x的图象大致为4.设cosx＝－13,则cos2x＝A.1322C.79D.－795.将一个棱长为1cm的正方体铁块磨制成一个球体零件,则可能制作的最大零件的表面积为2 B .π cm 2 C.43πcm 2 D .3π cm 2 6.已知单位向量a ,b 的夹角为60°,a －k b 与a 垂直,则实数k ＝A.1B.－1C.2D.－2－0.77.设a ＝(12)－0.7,b ＝20.6,c ＝log 32,则a,b,c 的大小关系为 A.b<a<c B.a<c<b C.c<b<a D.a<b<c8.已知两条平行直线l 1：2x －y ＋1＝0,l 2：x ＋ay ＝0(a ∈R),则l 1与l 2间的距离为 A.15129.已知a>0,函数f(x)＝225x a x 02x x 0⎧+≤⎪⎨⎪->⎩，，,若关于x 的方程f(x)＝a(2－x)恰有2个互异的实数解,则a 的取值范围为A.1<a<4B.2<a<4C.4<a<8D.2<a<8第II 卷(共105分)二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分。
试题中包含两个空的,答对1个的给3分,全部答对的给5分。
2021届天津市南开区高三上学期期中考试数学试题(解析版)
天津市南开区2021届高三上学期期中考试数学试题一､选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合{}1A x x =≥，{}3,1,1,3B =--，那么()RA B =（ ）A. ∅B. {}1,3C. {}3,1--D. {}3,1,1--『答案』C 『解析』{}1A x x =≥，{}1R A x x ∴=<，(){}3,1A B =∴--R .故选：C.2. 命题“0x ∃∈R ，200220x x ++≤”的否定是（ ） A. 0x ∃∉R ，200220x x ++≤B. 0x ∃∈R ，200220x x ++>C. x ∀∈R ，2220x x ++≤D. x ∀∈R ，2220x x ++>『答案』D『解析』命题“0x ∃∈R ，200220x x ++≤””的否定是“x ∀∈R ，2220x x ++>”，故选：D.3. 已知i 为虚数单位，复数77sin cos 66z i ππ=-，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限『答案』B『解析』由717sinsin()sin ,cos cos()cos 6662666ππππππππ=+=-=-=+=-=即复数771sincos 662z i ππ=-=-+，所以复数对应的点为1(,22-位于第二象限. 故选：B4. 设a ∈R ，则“290a a -<”是“9a <”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件『解析』由不等式29(9)0a a a a -=-<，解得09a <<，令{|09}A a a =<<，{|9}B a a =<，则A 是B 的真子集， 所以“290a a -<”是“9a <”的充分不必要条件. 故选：A.5. 函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为 A. B.C. D.『答案』B『解析』设32()22x x x y f x -==+，则332()2()()2222x x x xx x f x f x ----==-=-++，所以()f x 是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C ．又34424(4)0,22f -⨯=>+排除选项D ；36626(6)722f -⨯=≈+，排除选项A ，故选B ． 6. 已知32a log =，72b log =，20.5a c -=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. a b c << B. b a c <<C. c a b <<D. c b a <<『答案』B『解析』因为3223ln a log ln ==，7227ln b log ln ==，0237ln ln ln <<<，所以1b a <<，所以200.50.51a c -=>=，所以1b a c <<<7. 将函数()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上每一点的横坐标变为原来的2倍，再将图像向左平移3π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =图象的一个对称中心为（ ） A. ,012π⎛⎫⎪⎝⎭B. ,04π⎛⎫⎪⎝⎭C.(),0πD. 4,03π⎛⎫⎪⎝⎭『答案』D『解析』()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上每一点的横坐标变为原来的2倍,得到1sin 26x π⎛⎫+⎪⎝⎭再将图像向左平移3π个单位长度，得到函数()1sin +236g x x ππ⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象 ()1sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，403g π⎛⎫=⎪⎝⎭故选：D.8. 某食品的保鲜时间y (单位:小时)与储藏温度x (单位:℃)满足函数关系y=e kx+b (e=2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是（ ） A. 16小时 B. 20小时 C. 24小时D. 28小时『答案』C『解析』由题意得192b e =①，222248k b k b e e e +=⋅=②.将①代入②得2214ke=，则1112ke =， 当33x =时，333331192242+⎛⎫==⋅=⨯= ⎪⎝⎭k b k b y e e e .故选：C.9. 在ABC ∆中，3AB =，5AC = ，点N 满足2BN NC =，点O 为ABC ∆的外心，则AN AO ⋅的值为（ ）A. 17B. 10C.172D.596『答案』D『解析』取AB 的中点E ，连接OE ，因为O 为ABC ∆的外心，,0OE AB AB OE ∴⊥∴⋅=，22,3BN NC BN BC =∴=， 2212()3333AN AB BN AB BC AB AC AB AB AC ∴=+=+=+-=+，2119||222AO AB AB EO AB AB ⎛⎫∴⋅=+⋅== ⎪⎝⎭，同理可得21||2522AO AC AC ⋅==， 12121925933333232526AN AO AB AC AO AB AO AC AO ⎛⎫∴⋅=+⋅=⋅+⋅=⨯+⨯= ⎪⎝⎭故选：D.二､填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分. 10. 设43z i =-(i 是虚数单位)，则1z=________. 『答案』432525i - 『解析』由复数43z i =-，可得43z i =+，则()()1143434343432525i i z i i i -===-++-. 故答案为：432525i -. 11. 已知函数()f x =，则()f x 在2x =处的导数()2f '=________.『答案』2 『解析』()21f x x ==-，()()221f x x '∴=-，()22f '∴=.故答案为：2.12. 若sin 2cos 0αα+=，则tan α=________；tan2α=________.『答案』 (1). 2- (2).43『解析』由sin 2cos 0αα+=，则sin 2cos αα=-，所以sin tan 2cos ααα==-， 22tan 44tan 21tan 143ααα-===--. 故答案为：2-；4313. 已知平面向量a ，b 满足(1,2)=-a ，(3,)b t =-，且()a a b ⊥+，则b =________.『解析』()a a b ⊥+，∴()0a a b ⋅+=即20a a b +⋅=，又(1,2)=-a ，(3,)b t =-，∴225a a ==，1(3)(2)32a b t t ⋅=⨯-+-⨯=--， ∴5320t --=，1t ∴=，所以(3,1)b =-，2(3)b =-=14. 已知实数,a b 满足0ab >，则2a a a b a b-++的最大值为____________『答案』3-『解析』因为0ab >，所以20,0a bb a>>所以22(2)()2()(2)32a a a a b a a b ab a b a b a b a b a ab b +-+-==++++++ 123a bb a =++≤3==-2a bb a =，即a =时取等号所以2a aa b a b-++的最大值为3-故答案为：3- 15. 已知函数2,()24,x x mf x x mx m x m⎧≤=⎨-+>⎩，其中0m >.若()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，则m 的取值范围是________；若存在实数b ，使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根，则m 的取值范围是________.『答案』 (1). 03m <≤ (2). 3m > 『解析』根据分段函数的单调性，当0m >时若要()f x 在区间(0,)+∞上单调递增， 则224m m m m m m -⨯+≥=， 解得03m <≤.存在实数b ，关于x方程()f x b =有三个不同的根，224m m m m m m -⨯+<=，解得3m >.故答案为：03m <≤；3m >.三､解答题：本大题共5题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin :sin :sin 7:8:3A B C =. （1）求角A ；（2）求cos(2)B A -的值.解：（1）依题意，由正弦定理得::7:8:3a b c =， 可设7a k =，8b k =，3c k=，由余弦定理得222649491cos 2832k k k A k k +-==⋅⋅，因为0A π<<，所以3A π=.（2）由余弦定理得222499641cos 2737k k k B k k +-==-⋅⋅，所以sin B ==，所以sin 22sin cos B B B == 247cos 22cos 149B B =-=-， 所以cos(2)cos2cossin 233B A B B ππ-=⋅+⋅4717149298=-⋅-=-. 17. 已知函数()2|2|()f x x ax x =-+∈R . （1）若()3f a =，求实数a 的值；（2）若()f x 有最小值，求实数a 的取值范围；（3）设()g x 为定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()()g x f x =，求()g x 的解析式.解：（1）依题意，函数(2)4,2()(2)4,2a x x f x a x x -+<⎧=⎨+-≥⎩， 当2a <时，令()(2)43f a a a =-+=，解得1a =； 当2a ≥时，令()(2)43f a a a =+-=，解得a ∈∅. 综上可得，实数a 的值为1.（2）要使函数()f x 有最小值，则有2020a a +≥⎧⎨-≤⎩，解得22a -≤≤，即当[2,2]a ∈-时，()f x 有最小值.（3）因为()g x 为定义在R 上的奇函数，所以(0)0g =. 设0x >，则0x -<，所以()()(2)4g x g x a x =--=--，所以函数(2)4,0()0,0(2)4,0a x x g x x a x x -+<⎧⎪==⎨⎪-->⎩. 18.已知函数2()2sin )sin ()2f x x x x x ππ⎛⎫=+-+∈ ⎪⎝⎭R . （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 的单调递减区间； （3）求()f x 在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围. 解：（1）由已知可得()1cos 2cos f x x x x =-+2cos 21x x =-+2sin 216x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.所以()f x 的最小正周期为22T ππ==. （2）令26z x π=-，函数2sin 1y z =+的单调递减区间是32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .所以3222262k x k πππππ+≤-≤+，k ∈Z 得536k x k ππππ+≤≤+，k ∈Z . 所以()f x 的单调递减区间为5,36k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .（3）因为20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 所以1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以()[0,3]f x ∈， 即()f x 在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围是[0,3]. 19. 设函数32()23(1)6f x x a x ax b =-+++，其中,a b ∈R .（1）若曲线()y f x =在(1,(1))f --的切线方程为123y x =+，求a ，b 的值； （2）若()f x 在3x =处取得极值，求a 的值； （3）若()f x 在(,0)-∞上为增函数，求a 的取值范围. 解：（1）因为32()23(1)6f x x a x ax b =-+++， 所以2()66(1)6f x x a x a '=-++，由题设可得(1)121212f a '-=+=，(1)959f a b -=-+-=-， 解得0a =，4b =-.（2）因为()f x 在3x =取得极值， 所以(3)12360f a '=-+=，解得3a =.当3a =时，'2()624186(1)(3)f x x x x x =-+=--， 令'()0f x =，解得x=1或3，所以3x =为()f x 的极值点，故3a =满足题意.（3）令()6()(1)0f x x a x '=--=， 得1x a =，21x =. 当1a <时，若(,)(1,)x a ∈-∞+∞，则()0f x '>，所以()f x 在(,)a -∞和(1,)+∞上为增函数， 故当01a ≤<时，()f x 在(,0)-∞上为增函数恒成立. 当0a <时，()f x 在(,)a -∞上为增函数，不符合题意， 当1a ≥时，若(,1)(,)x a ∈-∞+∞，则()0f x '>，所以()f x 在(,1)-∞和(,)a +∞上为增函数， 从而()f x 在(,0)-∞上也为增函数，满足题意.综上所述，当[0,)a ∈+∞时，()f x 在(,0)-∞上为增函数.20. 设函数()xe f x x=，()1ln g x x x =+.（1）求()f x 的单调区间；（2）若直线()0x m m =>与曲线()y f x =和曲线()y g x =分别交于点P 和Q ，求PQ 的最小值；（3）设函数()()()F x xf x a g x =+⎡⎤⎣⎦，当()0,ln 2a ∈时，证明：()f x 存在极小值点o x ，且()00ln 0x ea x +<.解：（1）()()21x e x f x x-'=，()(),00,x ∈-∞+∞，当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x ∴在()1,+∞上为增函数； 当()(),00,1x ∈-∞时，()0f x '<，()f x ∴在(),0-∞和()0,1上为减函数.()f x ∴的单调递增区间为()1,+∞，单调递减区间为(),0-∞和()0,1.（2）设函数()()()1ln x e h x f x g x x x x=-=--，()0,x ∈+∞，则()()()2221111x x x x e xe e h x x x x x---'=-+=， ()0,x ∈+∞，10x e ∴->，∴当()0,1x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增；()h x ∴在()0,∞+上有最小值()()min 11==-h x h e . 即当1x m ==时，PQ 的最小值为1e -.（3）()1ln x F x e a x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，()0,x ∈+∞， 则()2211121ln ln x x x F x e a x e e a x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=+++-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 0x e >，()F x '∴与221ln a x x x+-+同号. 设()221ln t x a x x x =+-+，()0,x ∈+∞，则()2322x x t x x-+'=， ∴对任意()0,x ∈+∞，都有()0t x '>，()t x ∴在()0,∞+单调递增.()0,ln 2a ∈，()110t a =+>，11ln 022t a ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭， ∴存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00t x =. 当01,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0F x '<，()F x 单调递减； 当()0,1x x ∈，()0F x '>，()F x 单调递增；∴若()0,ln 2a ∈，存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得0x 是()F x 的极小值点. 由()00t x =得：020021ln 0a x x x +-+=，即00220001212ln x a x x x x -+=-=，()00002012ln 0x x x e a x e x -∴+=⋅<.。
2021届天津开发区第二中学高三上学期数学期中试题
2021届天津开发区第二中学高三上学期数学期中试题一. 选择题〔每题5分，共45分〕1. sin570︒的值是〔 〕 A. 12- B. 12 C.3 D. 3-2. 曲线21xy x =-在点(1,1)处的切线方程为〔 〕A. 20x y --=B. 20x y +-=C. 450x y +-=D. 450x y --=3. 函数3()1216f x x x =--的零点个数为〔 〕A. 0B. 1C. 2D. 34. a 为函数3()12f x x x =-的极小值点，那么a =〔 〕A. 4-B. 2-C. 4D. 25. 设函数()f x 在定义域R 上可导，其导函数为()f x '，假设函数(1)()y x f x '=-的图象如下列图，那么以下结论中一定成立的是〔〕A. 函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)fB. 函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)fC. 函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f -D. 函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f6. 对于函数sin(2)6y x π=-，以下说法正确的选项是〔 〕A. 函数图象关于点(,0)3π对称 B. 函数图象关于直线56x π=对称 C.将它的图象向左平移6π个单位，得到sin 2y x =的图象D. 将它的图象上各点的横坐标缩小为原来的12倍，得到sin()6y x π=-的图象7. 1cos()33πα+=-，那么sin()6πα-的值为〔 〕A. 13B. 13- C. 3 D. 3- 8. 假设10x ke x --≥恒成立，那么实数k 的取值范围是〔 〕A. (],1-∞B. (]0,1C. (0,)+∞D. [)1,+∞9. 450540α︒<<︒ 〕 A. sin 2α- B. cos 2α C. sin 2α D. cos 2α- 二. 填空题：〔每题5分，共30分〕10. 角θ的终边经过点(,3)P x 〔0x <〕且cos 10x θ=，那么x = . 11. 2sin cos 0αα-=，那么2sin 2sin cos ααα-= .12.函数()sin()f x A x ωϕ=+〔0A >,0ω>,2πϕ<〕的局部图象如下列图，那么函数()f x 的解析式为 .13. 函数32()245f x ax x x =+-+，当23x =时，函数()f x 有极值，那么函数()f x 在[]3,1-上的最大值为 .14. 计算：1cos10sin170-=︒︒ . 15. 函数31()2x x f x x x e e=-+-，其中e 是自然对数的底数. 假设2(1)(2)0f a f a -+≤，那么实数a 的取值范围是. 三. 解答题〔共75分〕16. sin 7α=，13cos()14βα-=，且02πβα<<<. 〔1〕求tan 2α的值； 〔2〕求β的值.17. 函数()()x f x x k e =-.〔1〕求()f x 的极值； 〔2〕求()f x 在区间[]0,1上的最小值.18. 函数()4cos sin()4f x x x πωω=⋅+〔0ω>〕的最小正周期为π. 〔1〕求ω的值； 〔2〕讨论()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性.19.函数1()ln f x a x x=-，a R ∈. 〔Ⅰ〕假设曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y +=垂直，求a 的值； 〔Ⅱ〕求函数()f x 的单调区间；〔Ⅲ〕当1a =，且2x ≥时，证明：(1)25f x x -≤-.20.设函数()(1)ln(1)f x x x x =-++〔1〕求函数()f x 的极值；〔2〕假设方程()f x t =在1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦有两个实数解，求t 的取值范围； 〔3〕证明：当0m n >>时，(1)(1)n m m n +<+.。
天津市经济技术开发区第二中学2020-2021学年高一上学期期中模拟数学试题
天津市经济技术开发区其次中学2021-2021学年高一上学期期中模拟数学试题天津市经济技术开发区其次中学2021-2021学年高一上学期期中模拟数学试题学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________一、单选题1. 设，，，则（）A．B．C．D．2. 设，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3. 若不等式的解集是，则不等式的解集是.C．[-2，3] D．[-3，2] A．B．4. 若命题，则命题的否定为（）A．B．C．D．5. 对于幂函数①，②，③，④⑤，其中既是奇函数且在上又是增函数的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6. 下列不等式正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则7. 若，则的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．88. 已知偶函数在上是增函数，则下列关系是中成立的是（）A．B．C．D．9. 假如函数在区间上单调递增，那么实数的取值范围是（） A．B．C．D．10. 函数为上的减函数，则实数的取值范围（）A．B．C．D．二、填空题11. 已知函数，则______12. 函数的定义域为____________13. 函数在的最小值是_______14. 已知函数，则________.15. 已知，若，则实数的取值范围是________.16. 已知，使成立的的取值范围是________．三、解答题17. 已知不等式的解集为集合A,集合. （I）若，求；（II）若，求实数的取值范围.18. 已知.（1）当时，解关于的不等式；（2）当时，解关于的不等式.19. 已知函数，（1）在平面直角坐标系中画出函数的图象；（2）写出函数的单调区间和值域.20. 设函数.（1）证明函数在区间上单调递减；（2）求函数在区间得最大值和最小值.。
2021届天津市经济技术开发区第二中学高三上学期期中考试数学试卷(解析版)
天津市经济技术开发区第二中学2021届高三上学期期中考试数学试卷一. 选择题（每题5分，共45分） 1. sin570︒= ( )A. 12-B.12C. D.『答案』A『解析』()()1sin 570sin 360210sin 210sin 18030sin 302︒=+==+=-=-本题正确选项：A. 2. 曲线y=21xx -在点（1，1）处的切线方程为( ) A. x -y -2=0B. x +y -2=0C. x +4y -5=0D. x -4y -5=0『答案』B『解析』求导得斜率-1，代点检验即可选B.21120(21)y k x y x -'=∴=-∴+-=-，选B.3. 函数3()1216f x x x =--的零点个数为（ ） A. 0B. 1C.2 D. 3『答案』C『解析』由题得2()3123(2)(2)f x x x x '=-=+-，令()0f x '>得2x >或2x <-，令()0f x '<得22x -<<， 所以函数的单调递增区间为(,2),(2,)-∞-+∞，减区间为(2,2)-. 所以函数的极大值为(2)0f -=，极小值为(2)32f =-， 当x →-∞时，0,y <当x →+∞时，0,y > 所以函数的零点个数为2.故选：C.4. 已知a 为函数f （x ）=x 3–12x 的极小值点，则a =( ) A. –4B. –2C. 4D. 2『答案』D『解析』()()()2312322f x x x x ==+'--，令()0f x '=得2x =-或2x =，易得()f x 在()2,2-上单调递减，在()2,+∞上单调递增，故()f x 的极小值点为2，即2a =，故选D.5. 设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数(1)()y x f x '=-的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是( )A. 函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)fB. 函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)fC. 函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f -D. 函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f『答案』D『解析』()()2,10,10x x x f x --'->则()0f x '>函数()f x 增；()()21,10,10x x x f x -<--<'则()0f x '<函数()f x 减；()()12,10,10x x x f x <<--'则()0f x '<函数()f x 减；()()2,10,10x x x f x >-<-<'则()0f x '>函数()f x 增；选D.6. 对于函数sin(2)6y x π=-，下列说法正确的是( )A. 函数图象关于点(,0)3π对称B. 函数图象关于直线56x π=对称 C. 将它的图象向左平移6π个单位，得到sin 2y x =的图象 D. 将它的图象上各点的横坐标缩小为原来的12倍，得到sin()6y x π=-的图象 『答案』B 『解析』2362πππ⨯-=，所以点,03π⎛⎫⎪⎝⎭不是对称中心，对称中心需要满足整体角等于k π,k Z ∈,A 错．532662πππ⨯-=，所以直线56x π=是对称轴，对称轴需要满足整体角等于2k ππ+，k Z ∈，B 对．将函数向左平移6π个单位，得到2sin(2()),2sin(2)666y x y x πππ=+-=+的图像，C 错．将它的图像上各点的横坐标缩小为原来的12倍，得到sin(4)6y x π=-的图像，D 错，选B.7. 已知1cos 33πα⎛⎫+=-⎪⎝⎭,则sin 6πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为( )A.13 B. 13-C.3D. 『答案』A『解析』因为362πππαα⎛⎫⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1cos cos sin 32663ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=--=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以1sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故选A ． 8. 若10x ke x --≥恒成立，则实数k 的取值范围是（ ） A. (],1-∞B. (]0,1C. ()0,∞+D. [)1,+∞『答案』D『解析』由题意得1x x k e +≥恒成立，设()1x x g x e +=，令()0xxg x e'=-=，则0x =，当0x <时，()0g x '>，此时函数()y g x =单调递增； 当0x >时，()0g x '<，此时函数()y g x =单调递减. 所以，()()max 01g x g ==，故1k .因此，实数k 取值范围是[)1,+∞.故选：D.9. 已知450540α<<，的值是( ) A. -sin2αB. cos2αC. sin2αD. -cos2α『答案』A =sin 2α====-，故本题选A. 二. 填空题：（每题5分，共30分）10. 已知角θ的终边经过点(,3)P x （0x <）且cos x θ=，则x =___________. 『答案』1-『解析』由余弦函数的定义可得cos 10x θ==， 解得0x =（舍去），或1x =（舍去），或1x =-，1x ∴=-.故答案为：1-.11. 已知2sin cos 0αα-=，则2sin 2sin cos ααα-=___________.『答案』35『解析』由2sin cos 0αα-=，得1tan 2α=， 的则有222222sin 2sin cos sin 2sin cos tan 2tan 1sin cos tan 1ααααααααααα---==++ 221123225112⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭==-⎛⎫+ ⎪⎝⎭；故答案为：35. 12. 已知函数()()sin (0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示：则函数()f x 的解析式为______．『答案』()84f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭『解析』由图象得到()f x16，且过点(所以A =，又216T πω==，所以8πω=，将点(代入()f x ，2πϕ<．得到4πϕ=，所以()84f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故答案为()84f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭：．13. 已知函数32()245f x ax x x =+-+，当23x =时，函数()f x 有极值，则函数()f x 在[]3,1-上的最大值为_________.『答案』13 『解析』()2344f x ax x '=+-，当23x =时，函数()f x 有极值， 2440333f a ⎛⎫'∴=-= ⎪⎝⎭，解得1a =，()()()2344322f x x x x x '∴=+-=-+，当()3,2x ∈--时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当22,3x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减， 当2,13x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增， ()f x ∴在2x =-处取得极大值()213f -=，且()38f -=，()14f =，∴()f x 在[]3,1-上的最大值为13.故答案为：13.14.1sin170=︒________.『答案』4- 『解析』由题意得112sin(1030)1sin170sin10sin202︒-︒=-==︒︒︒4sin(20)4sin20-︒==-︒．故答案为4-．15. 已知函数()3xx1f x =x 2x+e -e -，其中e 是自然数对数的底数，若()()2f a-1+f 2a 0≤，则实数a 的取值范围是_________．『答案』1[1,]2-『解析』因为31()2e ()ex x f x x x f x -=-++-=-，所以函数()f x 是奇函数，因为22()32e e 320x x f 'x x x -=-++≥-+≥，所以数()f x 在R 上单调递增， 又2(1)(2)0f a f a -+≤，即2(2)(1)f a f a ≤-，所以221a a ≤-，即2210a a +-≤， 解得112a -≤≤，故实数a 的取值范围为1[1,]2-． 三. 解答题（共75分）16. 已知sin α=13cos()14βα-=，且02πβα<<<．（1）求tan 2α的值； （2）求β的值．解：（1）由sin α=，02πα<<，得1cos 7α===，∴sin 7tan cos 1ααα===∴22tan tan 21tan 47ααα===--（2）由02πβα<<<，得02πβα-<-<，又∵13cos()14βα-=，∴sin()14βα-===-， 由()ββαα=-+得cos cos[()]ββαα=-+cos()cos sin()sin βααβαα=---=13111472⨯=，∴由02πβ<<得.3πβ=17. 已知函数()()x f x x k e =-.（1）求()f x 极值；（2）求()f x 在区间[]0,1上的最小值.解：（1）由()()x f x x k e =-可得()(1)xf x x k e '=-+，令()0f x '=，得1=-x k ，则，随x 变化，()f x 与()'f x 的情况如下：所以()f x 的单调递减区间是(),1k -∞-；单调递增区间是()1,k -+∞；所以()f x 有极小值1(1)k f k e --=-，无极大值；（2）当10k -≤，即1k ≤时，()(10)xf x x k e '=-≥+在[]0,1x ∈上恒成立，则函数()f x 在[]0,1上单调递增；所以()f x 在区间[]0,1上的最小值为(0)f k =-； 当011k <-<，即12k <<时；由（1）知()f x 在[0,1]k -上单调递减，在(1,1]k -上单调递增，所以()f x 在区间[]0,1上的最小值为1(1)k f k e --=-；当11k -≥，即2k ≥时，函数()f x 在[]0,1上单调递减， 所以()f x 在区间[]0,1上的最小值为(1)(1)f k e =-.综上，当1k ≤时，()f x 在区间[]0,1上的最小值为(0)f k =-；当12k <<时，()f x 在区间[]0,1上的最小值为1(1)k f k e --=-；的当2k ≥时，()f x 在区间[]0,1上的最小值为(1)(1)f k e =-. 18. 已知函数()()4cos sin 04f x x x πωωω⎛⎫=⋅+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π. （1）求ω的值；（2）讨论()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性.解：（1）()4cos sin 4cos sin cos cos sin 444f x x x x x x πππωωωωω⎛⎫⎛⎫=⋅+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭())2sin cos cos sin cos x x x x x x ωωωωωω=+=+=22x x ωω+2sin 24x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()f x 的最小正周期为π，且0ω>，从而2,12ππωω==.（2）由（1）知，()f x 2sin 24x πω⎛⎫++ ⎪⎝⎭0,2x π≤≤则52,444x πππ≤+≤当2,04428x x ππππ≤+≤≤≤时，()f x 递增，当52,24482x x πππππ≤+≤≤≤时，()f x 递减，所以()f x 在区间0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,82ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. 19. 已知函数1()ln f x a x x=-，a ∈R ． （1）若曲线()y f x =在点处的切线与直线20x y +=垂直，求a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）当1a =，且2x ≥时，证明：(1)25f x x -≤-． 解：（1）函数()f x 的定义域为{}0x x ，21()a f x x x '=+． 又曲线()y f x =在点处的切线与直线20x y +=垂直，所以(1)12f a '=+=，即1a =． （2）由于21()ax f x x='+．当0a ≥时，对于，有()0f x '>在定义域上恒成立，即()f x 在上增函数．当0a <时，由()0f x '=，得．当时，()0f x '>，()f x 单调递增；、当时，()0f x '<，()f x 单调递减．(3)当1a =时，1(1)ln(1)1f x x x -=---，．、令1()ln(1)251g x x x x =---+-． 2211(21)(2)()21(1)(1)x x g x x x x --=+-=----'． 当2x >时，()0g x '<，()g x 在单调递减． 又(2)0=g ，所以()g x 在恒为负．所以当时，()0g x ≤．即1ln(1)2501x x x ---+≤-． 故当1a =，且2x ≥时，(1)25f x x -≤-成立． 20. 设函数()(1)ln(1)f x x x x =-++ （1）求函数()f x 的极值； （2）若方程()f x t =在1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦有两个实数解，求t 的取值范围； （3）证明：当0m n >>时，(1)(1)n mm n +<+.（1）解：由()(1)ln(1)f x x x x =-++，定义域为()1,-+∞，()ln(1)f x x '=-+，()ln(1)00f x x x '=-+=⇒=，当10x -<<时，()()0,f x f x '>单调递增，是期中考试试卷11 当0x >时，()()0,f x f x '<单调递减，所以0x =为函数的极大值点，则函数()f x 的极值为(0)0(01)ln(01)0f =-++=. （2）解：由（1）知，()f x 在1[,0]2-上单调递增， 在(]0,1上单调递减， 又111(0)0,(1)1ln 4,()ln 2222f f f ==--=-+， ∴ 135(1)()ln 20222f f --=-<． ∴ 当11[ln 2,0)22t ∈-+时，方程()f x t =有两解． （3）证明：∵ 0m n >>.∴ 要证：(1)(1)n m m n +<+只需证ln(1)ln(1)n m m n +<+， 只需证：ln(1)ln(1)m n m n++<． 设ln(1)(),(0)x g x x x +=>， 则22ln(1)(1)ln(1)1()(1)x x x x x xg x x x x -+-+++=+'=． 由（1）知()(1)ln(1)f x x x x =-++在(0,)+∞单调递减， 又()00f =，∴ (1)ln(1)0x x x -++<，即()g x 是减函数，而m n >．∴ ()()g m g n <，故原不等式成立．。
【解析】天津市八校2021届高三上学期期中考试联考数学试卷
2020～2021学年度第一学期期中八校联考高三数学一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合2{|log 0}=>A x x ，{}21xB x =>，则（ ）A. {}1A B x x ⋂=> B. A B R = C. {}1A B x x ⋃=> D. AB =∅【答案】A 【分析】先求出集合B ，然后再分别求出集合A 与B 的交集和并集，即可得到答案. 【详解】因为2log 0x >，所以1x >，{|1}A x x => 因为21x >，即022x >，所以0x >，{}0B x x =>；{}1A B x x ⋂=>，故A 正确，D 错误； {}0A B x x ⋃=>，故B 、C 错误.故选:A.【点睛】本题主要考查了集合的交集、并集运算，属于基础题. 2. 已知向量(1,2),(2,1)a x b =-=,则a b ⊥充要条件是 （ ）A. 12x =-B. 1x =-C. 5x =D. 0x =【答案】D因为向量(1,2),(2,1)a x b =-=,则2(1)200a b x x ⊥⇔-+=⇔=，故其充要条件是选D3. 在ABC ∆中，M 是BC 的中点.若AB a =，CA b =，则AM ＝（ ）A.1()2a b + B.1()2a b - C.12a b + D. 12a b +【答案】B 【分析】由于AM AB BM =+，AM AC CM =+，从而得2AM AB AC BM CM =+++，而由M 是BC 的中点，可得0BM CM +=，进而可得结果 【详解】解：因为AM AB BM =+，AM AC CM =+， 所以2AM AB AC BM CM =+++， 因为M 是BC 的中点，所以0BM CM +=， 所以2AM AB AC a b =+=+， 所以1()2AM a b =+， 故选：B4. 已知3log 5a =，0.23b -=， 1.23c =，则（ ） A. b c a << B. b a c <<C. a c b <<D. a b c <<【答案】B 【分析】利用对数函数和指数函数单调性与特殊值比较大小，再比较,,a b c大小.【详解】∵3331log log 5lo 392g =<<=，0.2031-<<， 1.233>， ∴b a c <<. 故选：B .【点睛】本题考查利用利用对数函数和指数函数单调性比较大小，先判断正负，再看具体情况与特殊值比较，考查运算求解能力，是基础题.5. 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为 2，这个球的表面积为6π，则这个正四棱柱的体积为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【分析】首先由球的表面积求出球的半径，再由棱柱的对角线等于外接球的直径，即可解出棱柱的底面边长，从而可计算出棱柱的体积.【详解】解：由题可知，正四棱柱的高为 2，球的表面积为6π， 设球的半径为r ，则246r ππ=，则264r =，所以2r =，∴球的直径为2r =设正四棱柱的底面边长为a 解得：1a =，∴正四棱柱的体积为222V a =⋅=.故选：B.【点睛】本题考查正四棱柱的性质和棱柱的体积，以及棱柱外接球的性质和外接球的表面积公式，属于基础题. 6. 已知0x >，0y >，若2282y xm m x y+>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A. 4m ≥或2m ≤- B. 2m ≥或4m ≤- C. 42m -<< D. 24m -<<【答案】C 【分析】 利用基本不等式求28y xx y+的最小值为8，由恒成立得到228m m +<，解不等式得到m 的范围.【详解】因为288y x x y+≥=，等号成立当且仅当2x y =， 所以228m m +<，解得：42m -<<.【点睛】利用基本不等式求最值，注意“一正、二定、三等”三个条件，要确保等号能取到.7. 设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，22()log (1)1f x x ax a =++-+（a 为常数），则不等式(35)2f x +>-的解集为（ ） A. (,1)-∞- B. (1,)-+∞ C. (,2)-∞- D. (2,)-+∞【答案】D 【分析】由定义在R 上的奇函数的性质，可得(0)0f =，求出1a =，于是可得()f x 在0x ≥时的解+析式22()log (1)(0)f x x x x =+≥+，由解+析式结合增函数+增函数=增函数，可得函数()f x 在[)0,+∞上单调递增，再由()f x 为定义在R 上的奇函数，可知()y f x =在R 上单调递增，注意到(1)(1)2f f -=-=-，利用函数单调性即可解决．【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，解得1a =， 所以，当0x ≥时，()()22log 1f x x x =++．当[0,)x ∈+∞时，函数2log (1)y x =+和2y x 在[0,)x ∈+∞上都是增函数，所以()f x 在[0,)x ∈+∞上单调递增；由奇函数的性质可知，()y f x =在R 上单调递增，因为(1)2(1)2f f =-=-，， 故()(35)2(35)1f x f x f +>-⇔+>-，即有351x +>-，解得2x >-． 故选:D ．【点睛】本题主要考查函数性质的应用，利用函数的奇偶性、单调性解不等式，意在考查学生的基本的转化能力．8. 将函数()sin f x x =的图像先向右平移3π个单位，再把所得函数图像横坐标变为原来的1(0)ωω>，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像，若函数()g x 在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上没有零点，则ω的取值范围是（ ） A. (0,1]B. 20,9⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 2280,,939⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦D.280,,199⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【答案】C 【分析】先由图象的变换求出()g x 的解+析式，再由定义域求出3x πω-的范围，再利用正弦函数的图象和性质，求得ω的取值范围.【详解】函数()sin f x x =的图象先向右平移3π个单位长度，可得sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再将图象上每个点的横坐标变为原来的1ω(0)>ω倍(纵坐标不变)，得到函数()sin 3g x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，∴周期2T πω=，由3,22x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，则3(,)32323x πωππωππω-∈--， 若函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，结合正弦函数sin y x =的图象观察则3(,)(,)2323k k ωππωπππππ--⊆+ ∴ 323232T ωππωπππω⎛⎫⎛⎫---≤=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，21ω∴≤，解得01ω<≤，又23323 kkωπππωππππ⎧≤-⎪⎪⎨⎪+≥-⎪⎩，解得3412323kωω-≤≤-，当0k=时，解2839ω≤≤，当1k=-时，01ω<≤，可得29ω<≤，ω∴∈228(0,][,]939.故选：C.【点睛】本题考查正弦型的图象变换及零点问题，此类问题通常采用数形结合思想，构建不等关系式求解，属于较难题.9. 已知定义在R上的函数()2ln,1,1x xf xx x x>⎧⎪=⎨-⎪⎩，若函数()()k x f x ax=-恰有2个零点，则实数a的取值范围是（）A. ()1,11,0e⎛-⎫⎪⎝⎭B. ()1,1,1e⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C. (){}1,1,10e⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D. (){}11,00,1e⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【分析】把函数交点有两个零点转化为函数图象与直线有两个交点，作出对应函数图象和直线，利用导数求出相应切线的斜率，由图象观察出a的范围．【详解】()0f x ax-=()f x ax⇒=，所以函数()y f x=的图象与直线y ax=有两个交点，作出函数()2ln,1,1x xf xx x x>⎧⎪=⎨-≤⎪⎩的图象，如下图，由()lnf x x=得1()f xx'=，设直线y ax=与()lnf x x=图象切点为00(,)P x y，则00000ln 1y x a x x x ===，0x e =，所以011a x e ==． 由2()f x x x =-得()12f x x '=-，(0)1f '=，y ax =与2yx x 在原点相切时，1a =， 由2()f x x x =-得()21f x x '=-，(0)1f '=-，y ax =与2yx x 在原点相切时，1a =-，所以直线y x =，y x =-，1ey x =与曲线()f x 相切， 由直线y ax =与曲线()y f x =的位置关系可得： 当(){}1,1,10e a ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时有两个交点，即函数()y k x =恰有两个零点.故选：C .【点睛】本题考查函数零点个数问题，解题方法是把函数零点转化为方程的解的个数，再转化为函数图象与直线交点个数，作出函数图象与直线通过数形结合思想求解．二、填空题（本题6小题，每题5分，共30分，双空题答对一个空得3分）10. 设函数()122,11log ,1x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，则()4f f =⎡⎤⎣⎦______.【答案】4 【分析】根据分段函数定义域，代入4x =可求得()4f ，根据()4f 的值再代入即可求得()()4f f 的值． 【详解】因()122,11log ,1x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩所以()241log 41f =-=- 所以()()()114124f f f --=-==⎡⎤⎣⎦故答案为:411. 设曲线()ln 1y ax x =-+在点()0,0处的切线方程为30x y -=，则a =________. 【答案】4【分析】先对函数求导，再由题意可知在0x =处的导数值为3，从而可求得a 的值 【详解】解：由()ln 1y ax x =-+，得'11y a x =-+， 因为曲线()ln 1y ax x =-+在点()0,0处的切线方程为30x y -=， 所以1301a -=+，解得4a =， 故答案为：412. 底面边长和高都为2的正四棱锥的表面积为____________. 【答案】445+ 【分析】求出斜高，计算各面的面积，求和可得正四棱锥的表面积. 【详解】如图所示，2,1PO OH ==，则5PH =，12552PCD S =⨯⨯=△，故正四棱锥的表面积为2245445⨯+=+. 故答案为：445+【点睛】本题考查了求正四棱锥的表面积，属于基础题.13. 设ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 若2sin cos sin A B C =，则ABC 的形状为________. 【答案】等腰三角形 【分析】由()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B π=-+=+⎡⎤⎣⎦，整理可得角的关系即可.【详解】由ABC 的内角,,A B C 知，()C A B π=-+，所以 ()sin sin sin cos cos sin 2sin cos C A B A B A B A B π=-+=+=⎡⎤⎣⎦，sin cos cos sin 0A B A B -=，()sin 0A B -=，又()()()0,π,0,π,π,πA B A B ∈∈-∈-所以A B =，ABC 为等腰三角形. 故答案为:等腰三角形.【点睛】此题考查两角和与差的正弦公式的正向和逆向使用，属于基础题.14. 已知,a b 均为正实数，且1a b +=，则281a ab+的最小值为__________，此时a 的值为__________.【答案】 (1). 8 (2). 14【分析】由1a b +=，得()21a b +=，则222818()a a a b ab ab+++=，化简后利用基本不等式可求得其最小值【详解】解：因为,a b 均为正实数，且1a b +=，所以()21a b+=，所以22222222818()8292a a a b a a ab b a b ab ab ab ab++++++++===+992228a b a b b a b a=++≥⋅+=， 当且仅当9a b b a=，即13,44a b ==时取等号，所以281a ab+的最小值为8，故答案为：8；14【点睛】关键点点睛：此题考查利用基本不等式求最值，解题的关键是对1a b +=两边平方，得()21a b+=，然后巧妙利用1的代换，考查计算能力，属于中档题15. 如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ︒∠=，AB=AD 1=.若点E 为DC 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为______.【答案】2116【分析】建立直角坐标系，得出(1,)AE t =-，33,22BE t ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，利用向量的数量积公式即可得出23322AE BE t t ⋅=-+，结合[0,3]t ∈，得出AE BE ⋅的最小值. 【详解】因为AD CD ⊥，所以以点D 为原点，DA 为x 轴正方向，DC 为y 轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，因为1AD AB ==，所以(1,0)A ，又因为120DAB ︒∠=，所以直线AB 3，易得332B ⎛ ⎝⎭，因为AB BC ⊥，所以直线BC 的斜率为3所以直线BC 的方程为32y x ⎫=-⎪⎝⎭，令0x =，解得y =C ，设点E 坐标为(0,)E t ，则t ∈，则(1,)AE t =-，3,2BE t ⎛=- ⎝⎭，所以23312222AE BE t t t ⎛⎫⎛⎫⋅=-⨯-+⋅-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又因为t ∈，所以当4t =时，AE BE ⋅取得最小值为2116． 【点睛】本题主要考查平面向量基本定理及坐标表示、平面向量的数量积以及直线与方程．三、解答题（本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16. 已知()f x a b →→=⋅，其中()2cos ,2a x x →=，()cos ,1b x →=，x ∈R ．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，()1f A =-，a =量()3,sin m B →=与()2,sin n C →=共线，求边长b 和c 的值．【答案】（1）,()63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦;（2）3,2b c ==．【分析】（1）化简()f x 得，()12cos 23f x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭，整体代换结合余弦函数的单调性，即可得出结论；（2）由()1f A =-求出A ，()3,sin m B →=与()2,sin n C →=共线,结合余弦定理，建立,b c 关系，即可求解.【详解】（1）()22cos 21cos22x x f x x x ==+12cos 23x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭, cos y x =在[]()2,2k k k Z πππ-∈上单调递增,∴令222()3k x k k Z ππππ-≤+≤∈, 得2()36k x k k Z ππππ-≤≤-∈, ()f x ∴的单调递增区间()2,36k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦. （2）()12cos 213f A A π⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭， cos 213A π⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭，又72333A πππ<+<, 23A ππ∴+=，即3A π=. 7a =,由余弦定理得()22222cos 3a b c bc A b c bc =+-=+-.因为向量()3,sin m B →=与()2,sin n C →=共线, 所以2sin 3sin B C =,由正弦定理得23b c =，3,2b c ∴==.【点睛】本题主要考查了三角恒等变形，向量的数量积，正弦定理，余弦定理，考查了运算能力，属于中档题.17.设数列{}n a 的前n 项和为22n S n ＝，{}n b 为等比数列，且11a b ＝，2211()b a a b －＝． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设n n na cb =，求数列{}nc 的前n 项和n T ． 【答案】（1）42n a n =-，124n n b -=；（2）255)4399n n T n ∴-⋅+＝(【分析】（1）由已知利用递推公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩， 可得n a ，代入分别可求数列n b 的首项1b ，公比q ，从而可求n b .（2）由（1）可得()1214n n c n -=-⋅，利用乘“公比”错位相减法求和．【详解】解：(1)当2n ≥时，22122142()n n n a S S n n n ==-=----，当1n =时，112a S ==满足上式，故{}n a 的通项式为42n a n =-．设{}n b 的公比为q ，由已知条件2211()b a a b -=知，12b =，122112b b a a ==-，所以2114a q a ==， 111124n n n b b q --∴==⨯，即124n n b -=． (2)()114221424n n n n n a n c n b ---===-， 12112134542()]1[4n n n T c c c n ∴⋯⨯⨯⋯－＝＋＋＋＝＋＋＋＋－221[()()41434542]34214n n n T n n ⨯⨯⨯⋯－＝＋＋＋＋－＋－两式相减得：1231()553124444214(43)2)3n n n n T n n ⋯-⋅+－＝－－＋＋＋＋＋－＝( 255)4399n n T n ∴-⋅+＝( 【点睛】本题考查等差数列、等比数列的求法，错位相减法求数列通项，属于中档题. 18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，其中//AD BC ，AB AD ⊥，122AB AD BC ===，4PA =，E 为棱BC 上的点，且14BE BC =．（1）求证：DE ⊥平面PAC ；（2）求二面角A PC D --的余弦值；（3）设Q 为棱CP 上的点（不与C ，P 重合），且直线QE 与平面PAC 5，求CQ CP 的值． 【答案】（1）证明见解+析；（225；（3）23CQ CP =.【分析】 （1）建立适当的空间直角坐标系，确定各点坐标，得到0DE AC ⋅=，0DE AP ⋅=，根据线面垂直的判定定理，即可证明.（2）由（1）可知，平面PAC 的法向量(2,1,0)m =-，确定平面PCD 的法向量(2,2,1)n =-，根据cos ,||||m n m n m n ⋅〈〉=⋅，求解即可. （3）设(01)CQ CPλλ=<<，确定(22,44,4)Q λλλ=--，(2,43,4)QE λλλ=--，根据直线QE 与平面PAC 5，求解λ，即可. 【详解】（1）因为PA ⊥平面ABCD ，AB平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD所以PA AB ⊥，PA AD ⊥因为AB AD ⊥ 则以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.由已知可得(0,0,0)A ，()2,0,0B ，(2,4,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,4)P ，(2,1,0)E .所以(2,1,0)DE =-，(2,4,0)AC =，(0,0,4)AP =.因为221400DE AC ⋅=⨯-⨯+=，0DE AP ⋅=.所以DE AC ⊥，DE AP ⊥又AP AC A ⋂=，AP ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC .所以DE ⊥平面PAC ．（2）设平面PAC 的法向量m ，由（1）可知，(2,1,0)m DE ==-设平面PCD 的法向量(,,)n x y z =因为(0,2,4)PD =-，(2,4,4)PC =-.所以00n PD n PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2402440y z x y z -=⎧⎨+-=⎩ 不妨设1z =，得(2,2,1)n =-． 222225cos ,||||2(1)(2)21m n m n m n ⋅〈〉===⋅+-⨯-++ 所以二面角A PC D --25． （3）设(01)CQ CPλλ=<<，即(2,4,4)CQ CP λλλλ==--. 所以(22,44,4)Q λλλ=--，即(2,43,4)QE λλλ=--.因为直线QE 与平面PAC所以2||cos ,5||||2QE m QE m QE m ⋅〈〉===⋅+∣ 3=解得23λ=即23CQ CP =． 【点睛】本题考查空间向量在立体几何中的应用，考查综合分析求解与论证能力，属于较难题.19. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，*1128,,8n n S a n n N a +=+-∈=，设2n n b a =-. （1）证明：{}n b 是等比数列；（2）设()()1(1)2121n nn n n a c +=-++，求{}n c 的前n 项和n T ，若对于任意*,n n N T λ∈恒成立，求λ的取值范围.【答案】（1）证明见解+析；（2）29λ-.【分析】（1）根据,n n a S 的关系，即可容易证明，注意分1,2n n =≥两种情况；（2）根据（1）中所求n a ，用裂项求和法求得n T ，再根据n T 的单调性求得n T 的最大值，则问题得解.【详解】（1）当1n =时，214a =，当*2,n n N ≥∈时，1128,210n n n n S a n S a n +-=+-=+-，所以122n n a a +=-，即()1222n n a a +-=-，即12(2)n nb n b +=≥， 又∵2211222b a b a -==-， ∴{}n b 是首项16b =，公比为2的等比数列．（2）由（1）知1262n n a --=⋅，即322n n a =⋅+，所以()()()()11132211(1)(1)(1)212121212121n n n n nn n n n n n n a c +++⋅+⎡⎤=-=-=-+⎢⎥++++++⎣⎦ 22334111111111(1)2121212121212121n n n n T +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-+++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴111(1)321nn n T +=-+-+ 当n 为偶数时，111(1)321n n n T +=-+-+是递减的， 此时当2n =时，n T 取最大值29-，则29λ-≥. 当n 为奇数时，111(1)321n n n T +=-+-+是递增的， 此时13n T <-，则13λ-≥. 综上，λ的取值范围是29λ-≥. 【点睛】本题考查利用递推关系证明数列是等比数列，以及利用裂项求和法求数列的前n 项和，涉及求利用数列的单调性求最值，属综合中档题.20. 已知函数()ln 1f x x x ax =++，a R ∈.（1）当时0x >，若关于x 的不等式()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；（2）当(1,)x ∈+∞时，证明：(1)ln x e x x e-<2x x <-. 【答案】（1）[1,)-+∞；（2）见解+析试题分析：（1）分离参数法，转化为min 1ln a x x ⎛⎫-≤+ ⎪⎝⎭.（2））由（1）得，当1a =-时，有ln 1x x x ≥-，即1ln x x x -≥.所以只需证明()11x e x x e x--<，即证1x e e x <，1x >.构造函数()()1x G x e ex x =-≥可证．右边构造函数()()2ln 1H x x x x x =-+≥可证．试题详细分析：（1）由()0f x ≥，得ln 10x x ax ++≥ (0)x >.整理，得1ln a x x -≤+恒成立，即min 1ln a x x ⎛⎫-≤+ ⎪⎝⎭. 令()1ln F x x x =+.则()22111'x F x x x x-=-=. ∴函数()F x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增.∴函数()1ln F x x x=+的最小值为()11F =. ∴1a -≤，即1a ≥-.∴a 的取值范围是[)1,-+∞.（2）由（1），当1a =-时，有ln 1x x x ≥-，即1ln x x x-≥. 要证()1ln x e x x e -<，可证()11x e x x e x--<，1x >， 即证1x e e x<，1x >. 构造函数()()1x G x e ex x =-≥.则()'xG x e e =-. ∵当1x >时，()'0G x >.∴()G x 在[)1,+∞上单调递增.∴()()10G x G >=在()1,+∞上成立，即x e ex >，证得1x e e x <. ∴当()1,x ∈+∞时，()1ln xe x x e -<成立. 构造函数()()2ln 1H x x x x x =-+≥.则()1'21H x x x =-+ ()221x x x---= ()()211x x x -+-=. ∵当1x >时，()'0H x <，∴()H x 在[)1,+∞上单调递减.∴()()10H x H <=，即2ln 0(1)x x x x -+<>. ∴当()1,x ∈+∞时，2ln x x x <-成立.综上，当()1,x ∈+∞时，有()21ln x e x x x x e -<<-.【点睛】解题时要学会用第一问己得到的结果或结论，如本题证明左边可由（1），当1a =-时，有ln 1x x x ≥-，即1ln x x x -≥.要证()1ln x e x x e-<，只需证()11x e x x e x --<，1x >，即证1x e e x<，1x >. 同时证明不等式恒成立时，要适当的为不等式变形．。