二分图匹配――匈牙利算法和KM算法简介.
二分图的最大匹配、完美匹配和匈牙利算法
二分图的最大匹配、完美匹配和匈牙利算法August 1, 2013 / 算法这篇文章讲无权二分图（unweighted bipartite graph）的最大匹配（maximum matching）和完美匹配（perfect matching），以及用于求解匹配的匈牙利算法（Hungarian Algorithm）；不讲带权二分图的最佳匹配。
二分图：简单来说，如果图中点可以被分为两组，并且使得所有边都跨越组的边界，则这就是一个二分图。
准确地说：把一个图的顶点划分为两个不相交集U和V，使得每一条边都分别连接U、V中的顶点。
如果存在这样的划分，则此图为一个二分图。
二分图的一个等价定义是：不含有「含奇数条边的环」的图。
图 1 是一个二分图。
为了清晰，我们以后都把它画成图 2 的形式。
匹配：在图论中，一个「匹配」（matching）是一个边的集合，其中任意两条边都没有公共顶点。
例如，图3、图 4 中红色的边就是图 2 的匹配。
我们定义匹配点、匹配边、未匹配点、非匹配边，它们的含义非常显然。
例如图 3 中 1、4、5、7 为匹配点，其他顶点为未匹配点；1-5、4-7为匹配边，其他边为非匹配边。
最大匹配：一个图所有匹配中，所含匹配边数最多的匹配，称为这个图的最大匹配。
图 4 是一个最大匹配，它包含 4 条匹配边。
完美匹配：如果一个图的某个匹配中，所有的顶点都是匹配点，那么它就是一个完美匹配。
图 4 是一个完美匹配。
显然，完美匹配一定是最大匹配（完美匹配的任何一个点都已经匹配，添加一条新的匹配边一定会与已有的匹配边冲突）。
但并非每个图都存在完美匹配。
举例来说：如下图所示，如果在某一对男孩和女孩之间存在相连的边，就意味着他们彼此喜欢。
是否可能让所有男孩和女孩两两配对，使得每对儿都互相喜欢呢？图论中，这就是完美匹配问题。
如果换一个说法：最多有多少互相喜欢的男孩/女孩可以配对儿？这就是最大匹配问题。
基本概念讲完了。
二分图的最大匹配完美匹配和匈牙利算法
二分图的最大匹配完美匹配和匈牙利算法匈牙利算法是由匈牙利数学家Edmonds于1965年提出，因而得名。
匈牙利算法是基于Hall定理中充分性证明的思想，它是二部图匹配最常见的算法，该算法的核心就是寻找增广路径，它是一种用增广路径求二分图最大匹配的算法。
这篇文章讲无权二分图（unweighted bipartite graph）的最大匹配（maximum matching）和完美匹配（perfect matching），以及用于求解匹配的匈牙利算法（Hungarian Algorithm）；不讲带权二分图的最佳匹配。
二分图：简单来说，如果图中点可以被分为两组，并且使得所有边都跨越组的边界，则这就是一个二分图。
准确地说：把一个图的顶点划分为两个不相交集U 和V ，使得每一条边都分别连接U、V 中的顶点。
如果存在这样的划分，则此图为一个二分图。
二分图的一个等价定义是：不含有「含奇数条边的环」的图。
图 1 是一个二分图。
为了清晰，我们以后都把它画成图 2 的形式。
匹配：在图论中，一个「匹配」（matching）是一个边的集合，其中任意两条边都没有公共顶点。
例如，图3、图4 中红色的边就是图 2 的匹配。
我们定义匹配点、匹配边、未匹配点、非匹配边，它们的含义非常显然。
例如图 3 中1、4、5、7 为匹配点，其他顶点为未匹配点；1-5、4-7为匹配边，其他边为非匹配边。
最大匹配：一个图所有匹配中，所含匹配边数最多的匹配，称为这个图的最大匹配。
图 4 是一个最大匹配，它包含4 条匹配边。
完美匹配：如果一个图的某个匹配中，所有的顶点都是匹配点，那么它就是一个完美匹配。
图 4 是一个完美匹配。
显然，完美匹配一定是最大匹配（完美匹配的任何一个点都已经匹配，添加一条新的匹配边一定会与已有的匹配边冲突）。
但并非每个图都存在完美匹配。
举例来说：如下图所示，如果在某一对男孩和女孩之间存在相连的边，就意味着他们彼此喜欢。
是否可能让所有男孩和女孩两两配对，使得每对儿都互相喜欢呢？图论中，这就是完美匹配问题。
匈牙利算法和KM算法简介
KM算法
❖ 穷举旳效率－n！，我们需要愈加优异旳算法。 ❖ 定理： ❖ 设M是一种带权完全二分图G旳一种完备匹配，给
每个顶点一种可行顶标(第i个x顶点旳可行标用lx[i] 表达，第j个y顶点旳可行标用ly[j]表达)，假如对全 部旳边(i,j) in G,都有lx[i]+ly[j]>=w[i,j]成立(w[i,j]表达 边旳权)，且对全部旳边(i,j) in M,都有lx[i]+ly[j]=w[i,j] 成立，则M是图G旳一种最佳匹配。证明很轻易。
KM算法
❖ 对于任意旳G和M，可行顶标都是存在旳：
❖ l(x) = maxw(x,y)
❖ l(y) = 0 ❖ 欲求完全二分图旳最佳匹配，只要用匈牙利算法求
其相等子图旳完备匹配；问题是当标号之后旳Gl无 完备匹配时怎么办？1957年（居然比匈牙利算法 早？？？），Kuhn和Munkras给出了一种处理该问 题旳有效算法，用逐次修改可行顶标l(v)旳方法使相 应旳相等子图之最大匹配逐次增广，最终出现完备 匹配。
KM算法
❖ 修改措施如下：
❖ 先将一种未被匹配旳顶点u(u in {x})做一次增广路， 记下哪些结点被访问那些结点没有被访问。求出 d=min{lx[i]+ly[j]-w[i,j]}其中i结点被访问，j结点没有 被访问。然后调整lx和ly：对于访问过旳x顶点，将 它旳可行标减去d，对于全部访问过旳y顶点，将它 旳可行标增长d。修改后旳顶标仍是可行顶标，原 来旳匹配M依然存在，相等子图中至少出现了一条 不属于M旳边，所以造成M旳逐渐增广。
Empty Grass Wall
例题1 Place the Robots（ZOJ）
模型一
在问题旳原型中，草地，墙这些信 息不是我们所关心旳，我们关心旳 只是空地和空地之间旳联络。所以， 我们很自然想到了下面这种简朴旳 模型：
BipartiteGraph
1 2
5
3 4
1
2
3
4
由于每条边表示一个空地，有冲 突的空地之间必有公共顶点，所 以问题转化为二部图的最大匹配 问题。
1
2
3
4
例题1 Place the Robots（ZOJ）
小结
比较前面的两个模型：模型一过于简单，没有给问 题的求解带来任何便利；模型二则充分抓住了问题的内 在联系，巧妙地建立了二部图模型。为什么会产生这种 截然不同的结果呢？其一是由于对问题分析的角度不同： 模型一以空地为点，模型二以空地为边；其二是由于对 原型中要素的选取有差异：模型一对要素的选取不充分， 模型二则保留了原型中“棋盘”这个重要的性质。由此 可见，对要素的选取，是图论建模中至关重要的一步。
二分图匹配
匈牙利算法和KM算法简介
二分图的概念
二分图又称作二部图，是图论中的一种特殊
模型。 设G=(V,{R})是一个无向图。如顶点集V可分 割为两个互不相交的子集，并且图中每条边 依附的两个顶点都分属两个不同的子集。则 1 2 3 4 5 称图G为二分图。
1
2
3
4
最大匹配
给定一个二分图G，在G的一个子图M中，M
1
2 3
4
1 3 8 5 7 2
8 7 6 5
4
这是NP问题！
6
例题1 Place the Robots（ZOJ）
模型二
我们将每一行，每一列被墙隔开， 且包含空地的连续区域称作 “块”。显然，在一个块之中， 最多只能放一个机器人。我们把 这些块编上号。
1 2
5
3 4
同样，把竖直方向的块也编上号。
1
KM算法
数学建模匈牙利算法
数学建模匈牙利算法数学建模是一门重要的学科，它将数学方法应用于实际问题的解决。
匈牙利算法是一种经典的组合优化算法，常用于解决二分图最大匹配问题。
下面将介绍匈牙利算法的原理和应用，并探讨其在数学建模中的重要性。
匈牙利算法是二分图匹配问题的经典算法之一，它可用于解决寻找最大匹配的问题。
二分图是指一个图的顶点可以分为两个不相交的集合，并且图中的每条边都连接一对不同集合中的顶点。
在匈牙利算法中，我们需要找到一个最大的匹配，即找到尽可能多的边，使得这些边两端的顶点都不是同一个顶点的匹配。
匈牙利算法的基本思路是通过不断增加匹配的大小来找到最大匹配。
算法不断尝试将未匹配的顶点与相邻的未匹配的顶点相连，直到无法再增加匹配为止。
其核心思想是通过交替路径来增加匹配的大小，直到找到一个最大匹配。
具体来说，匈牙利算法的实现主要包括以下几个步骤：1. 初始化：将所有的匹配边置为0，标记顶点为未访问状态。
2. 从未匹配的左侧顶点开始，尝试匹配：对于每个未匹配的左侧顶点，开始一次深度优先搜索，尝试将其与相邻的未匹配的右侧顶点进行匹配。
如果找到一条匹配路径，则将路径上的所有边都进行匹配。
3. 如果存在未匹配的左侧顶点，则继续查找增广路径；否则算法结束，匹配完成。
匈牙利算法的时间复杂度为O(n^3)，其中n为顶点数。
虽然在理论上其时间复杂度较高，但在实际应用中，匈牙利算法通常能够在较短的时间内找到最大匹配。
在数学建模中，匈牙利算法常被应用于解决资源分配、作业调度、人员安排等问题。
在作业调度中，我们需要找到最优的作业分配方案，以最大化效率或最小化成本。
匈牙利算法可以帮助我们找到最优的作业调度方案，从而有效地利用资源和提高效率。
匈牙利算法是一种重要的组合优化算法，常用于解决二分图最大匹配等问题。
在数学建模中，它可以帮助我们解决各种资源分配和调度问题，提高效率和降低成本。
深入理解和掌握匈牙利算法对于数学建模领域具有重要意义。
二分图匹配--匈牙利算法
⼆分图匹配--匈⽛利算法⼆分图匹配--匈⽛利算法⼆分图匹配匈⽛利算法基本定义：⼆分图 —— 对于⽆向图G=(V,E)，如果存在⼀个划分使V中的顶点分为两个互不相交的⼦集，且每个⼦集中任意两点间不存在边 ϵ∈E,则称图G为⼀个⼆分图。
⼆分图的充要条件是，G⾄少有两个顶点，且所有回路长度为偶数。
匹配 —— 边的集合，其中任意两条边都不存在公共顶点。
匹配边即是匹配中的元素，匹配点是匹配边的顶点，同样⾮匹配边，⾮匹配点相反定义。
最⼤匹配——在图的所有匹配中，包含最多边的匹配成为最⼤匹配 完美匹配——如果在⼀个匹配中所有的点都是匹配点，那么该匹配称为完美匹配。
附注：所有的完美匹配都是最⼤匹配，最⼤匹配不⼀定是完美匹配。
假设完美匹配不是最⼤匹配，那么最⼤匹配⼀定存在不属于完美匹配中的边，⽽图的所有顶点都在完美匹配中，不可能找到更多的边，所以假设不成⽴，及完美匹配⼀定是最⼤匹配。
交替路——从⼀个未匹配点出发，依次经过⾮匹配边，匹配边，⾮匹配边…形成的路径称为交替路，交替路不会形成环。
增⼴路——起点和终点都是未匹配点的交替路。
因为交替路是⾮匹配边、匹配边交替出现的，⽽增⼴路两端节点都是⾮匹配点，所以增⼴路⼀定有奇数条边。
⽽且增⼴路中的节点(除去两端节点)都是匹配点，所属的匹配边都在增⼴路径上，没有其他相连的匹配边，因此如果把增⼴路径中的匹配边和⾮匹配边的“⾝份”交换，就可以获得⼀个更⼤的匹配(该过程称为改进匹配)。
⽰例图Fig1_09_09.JPG注释：Fig3是⼀个⼆分图G=(V,E),V={1,2,3,4,5,6,7,8},E={(1,7),(1,5),(2,6),(3,5),(3,8),(4,5),(4,6)},该图可以重绘成Fig4，V可分成两个⼦集V={V1,V2},V1={1,2,3,4},V2={5,6,7,8}。
Fig4中的红⾊边集合就是⼀个匹配{(1,5),(4,6),(3,8)}Fig2中是最⼤匹配Fig1中红⾊边集合是完美匹配Fig1中交替路举例(4-6-2-7-1-5)Fig4中增⼴路(2-6-4-5-1-7)匈⽛利树匈⽛利树中从根节点到叶节点的路径均是交替路，且匈⽛利树的叶节点都是匹配点。
二分图的最大匹配—匈牙利算法
⼆分图的最⼤匹配—匈⽛利算法【基本概念】：⼆分图：⼆分图⼆分图⼜称作⼆部图，是图论中的⼀种特殊模型。
设G=(V,E)是⼀个⽆向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的⼦集(A,B)，并且图中的每条边（i，j）所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in B)，则称图G为⼀个⼆分图。
⽆向图G为⼆分图的充分必要条件是，G⾄少有两个顶点，且其所有回路的长度均为偶数。
最⼤匹配最⼤匹配：给定⼀个⼆分图G，在G的⼀个⼦图M中，M的边集中的任意两条边都不依附于同⼀个顶点，则称M是⼀个匹配. 选择这样的边数最⼤的⼦集称为图的最⼤匹配问题，如果⼀个匹配中，图中的每个顶点都和图中某条边相关联，则称此匹配为完全匹配，也称作完备匹配.最⼩覆盖：最⼩覆盖要求⽤最少的点（Ｘ集合或Ｙ集合的都⾏）让每条边都⾄少和其中⼀个点关联。
可以证明：最少的点（即覆盖数）＝最⼤匹配数最⼩路径覆盖：⽤尽量少的不相交简单路径覆盖有向⽆环图Ｇ的所有结点。
解决此类问题可以建⽴⼀个⼆分图模型。
把所有顶点i拆成两个：Ｘ结点集中的i 和Y结点集中的i',如果有边i->j，则在⼆分图中引⼊边i->j'，设⼆分图最⼤匹配为m,则结果就是n-m。
增⼴路（增⼴轨）：（增⼴轨）：增⼴路若P是图G中⼀条连通两个未匹配顶点的路径，并且属于M的边和不属于M的边(即已匹配和待匹配的边)在P上交替出现，则称P为相对于M的⼀条增⼴路径（举例来说，有A、B集合，增⼴路由A中⼀个点通向B中⼀个点，再由B中这个点通向A中⼀个点……交替进⾏）。
增⼴路径的性质：1 有奇数条边。
2 起点在⼆分图的左半边，终点在右半边。
3 路径上的点⼀定是⼀个在左半边，⼀个在右半边，交替出现。
（其实⼆分图的性质就决定了这⼀点，因为⼆分图同⼀边的点之间没有边相连，不要忘记哦。
）4 整条路径上没有重复的点。
5 起点和终点都是⽬前还没有配对的点，⽽其它所有点都是已经配好对的。
算法学习：图论之二分图的最优匹配(KM算法)
二分图的最优匹配（KM算法）KM算法用来解决最大权匹配问题：在一个二分图内，左顶点为X，右顶点为Y，现对于每组左右连接XiYj有权wij，求一种匹配使得所有wij的和最大。
基本原理该算法是通过给每个顶点一个标号（叫做顶标）来把求最大权匹配的问题转化为求完备匹配的问题的。
设顶点Xi的顶标为A[ i ]，顶点Yj的顶标为B[ j ]，顶点Xi与Yj之间的边权为w[i,j]。
在算法执行过程中的任一时刻，对于任一条边(i,j)，A[ i ]+B[j]>=w[i,j]始终成立。
KM算法的正确性基于以下定理：若由二分图中所有满足A[ i ]+B[j]=w[i,j]的边(i,j)构成的子图（称做相等子图）有完备匹配，那么这个完备匹配就是二分图的最大权匹配。
首先解释下什么是完备匹配，所谓的完备匹配就是在二部图中，X点集中的所有点都有对应的匹配或者是Y点集中所有的点都有对应的匹配，则称该匹配为完备匹配。
这个定理是显然的。
因为对于二分图的任意一个匹配，如果它包含于相等子图，那么它的边权和等于所有顶点的顶标和；如果它有的边不包含于相等子图，那么它的边权和小于所有顶点的顶标和。
所以相等子图的完备匹配一定是二分图的最大权匹配。
初始时为了使A[ i ]+B[j]>=w[i,j]恒成立，令A[ i ]为所有与顶点Xi关联的边的最大权，B[j]=0。
如果当前的相等子图没有完备匹配，就按下面的方法修改顶标以使扩大相等子图，直到相等子图具有完备匹配为止。
我们求当前相等子图的完备匹配失败了，是因为对于某个X顶点，我们找不到一条从它出发的交错路。
这时我们获得了一棵交错树，它的叶子结点全部是X顶点。
现在我们把交错树中X顶点的顶标全都减小某个值d，Y顶点的顶标全都增加同一个值d，那么我们会发现：1）两端都在交错树中的边(i,j)，A[ i ]+B[j]的值没有变化。
也就是说，它原来属于相等子图，现在仍属于相等子图。
2）两端都不在交错树中的边(i,j)，A[ i ]和B[j]都没有变化。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
KM算法
对于任意的G和M，可行顶标都是存在的： l(x) = maxw(x,y) l(y) = 0 欲求完全二分图的最佳匹配，只要用匈牙利算法求 其相等子图的完备匹配；问题是当标号之后的Gl无 完备匹配时怎么办？1957年（居然比匈牙利算法 早？？？），Kuhn和Munkras给出了一个解决该问 题的有效算法，用逐次修改可行顶标l(v)的办法使对 应的相等子图之最大匹配逐次增广，最后出现完备 匹配。
二分图匹配
匈牙利算法和KM算法简介
二分图的概念
二分图又称作二部图，是图论中的一种特殊
模型。 设G=(V,{R})是一个无向图。如顶点集V可分 割为两个互不相交的子集，并且图中每条边 依附的两个顶点都分属两个不同的子集。则 1 2 3 4 5 称图G为二分图。
1
2
3
4
最大匹配
给定一个二分图G，在G的一个子图M中，M
的边集{E}中的任意两条边都不依附于同一个 顶点，则称M是一个匹配。 选择这样的边数最大的子集称为图的最大匹 配问题(maximal matching problem) 如果一个匹配中，图中的每个顶点都和图中 某条边相关联，则称此匹配为完全匹配，也 称作完备匹配。
匈牙利算法
求最大匹配的一种显而易见的算法是：先找出全部 匹配，然后保留匹配数最多的。但是这个算法的复 杂度为边数的指数级函数。因此，需要寻求一种更 加高效的算法。 增广路的定义(也称增广轨或交错轨)： 若P是图G中一条连通两个未匹配顶点的路径，并且 属M的边和不属M的边(即已匹配和待匹配的边)在P 上交替出现，则称P为相对于M的一条增广路径。
KM算法
穷举的效率－n！，我们需要更加优秀的算法。 定理： 设M是一个带权完全二分图G的一个完备匹配，给 每个顶点一个可行顶标(第i个x顶点的可行标用lx[i] 表示，第j个y顶点的可行标用ly[j]表示)，如果对所 有的边(i,j) in G,都有lx[i]+ly[j]>=w[i,j]成立(w[i,j]表示 边的权)，且对所有的边(i,j) in M,都有lx[i]+ly[j]=w[i,j] 成立，则M是图G的一个最佳匹配。证明很容易。
匈牙利算法
for i:=1 to n do if (father[i]=0)and(a[queue[st],i]=1) then begin if match2[i]<>0 then begin inc(sf); queue[sf] := match2[i]; father[i] := queue[st]; end else
最佳匹配
如果边上带权的话，找出权和最大的匹配叫
做求最佳匹配。 实际模型：某公司有职员x1,x2,…,xn,他们去 做工作y1,y2,…,yn,每个职员做各项工作的效 益未必一致，需要制定一个分工方案，使得 人尽其才，让公司获得的总效益最大。 数学模型：G是加权完全二分图，求总权值 最大的完备匹配。
KM算法
上述算法的证明也很容易
Kuhn－Munkras算法流程： (1)初始化可行顶标的值 (2)用匈牙利算法寻找完备匹配 (3)若未找到完备匹配则修改可行顶标的值 (4)重复(2)(3)直到找到相等子图的完备匹配为
止
参考文献
王树禾《离散数学引论》
吴文虎
王建德《图论算法与程序设计》 刘汝佳 黄亮《算法艺术与信息学竞赛》 2002年冬令营论文－孙方成《偶图的算法及 应用》 2004年冬令营论文－黄源河《浅谈图论模型 的建立与应用》
匈牙利Βιβλιοθήκη 法begin j := queue[st]; while true do begin t := match1[j]; match1[j] := i; match2[i] := j; if t = 0 then break; i := t; j := father[t];
KM算法
修改方法如下： 先将一个未被匹配的顶点u(u in {x})做一次增广路， 记下哪些结点被访问那些结点没有被访问。求出 d=min{lx[i]+ly[j]-w[i,j]}其中i结点被访问，j结点没有 被访问。然后调整lx和ly：对于访问过的x顶点，将 它的可行标减去d，对于所有访问过的y顶点，将它 的可行标增加d。修改后的顶标仍是可行顶标，原 来的匹配M仍然存在，相等子图中至少出现了一条 不属于M的边，所以造成M的逐渐增广。
匈牙利算法
程序清单： Function find(k:integer):integer; var st,sf,i,j,t:integer; queue,father:array[1..100] of integer; begin queue[1] := k; st := 1; sf := 1; fillchar(father,sizeof(father),0); repeat
匈牙利算法
end;
find := 1; exit; end; end; inc(st); until st>sf; find := 0; end;
匈牙利算法
在主程序中调用下面的程序即可得出最大匹
配数。 Bmatch := 0; For I:=1 to n do Bmatch := Bmatch + find(i); Writeln(Bmatch); 一个关于二分图的性质： 最大匹配数＋最大独立集＝X＋Y
匈牙利算法
由增广路的定义可以推出下述三个结论：
1－P的路径长度必定为奇数，第一条边和最
后一条边都不属于M。 2－P经过取反操作可以得到一个更大的匹配 M’。 3－M为G的最大匹配当且仅当不存在相对于 M的增广路径。
匈牙利算法
用增广路求最大匹配(称作匈牙利算法，匈牙
利数学家Edmonds于1965年提出) 算法轮廓： (1)置M为空 (2)找出一条增广路径P，通过取反操作获得 更大的匹配M’代替M (3)重复(2)操作直到找不出增广路径为止