苏科版九年级第五章 《二次函数》知识点
九年级数学下册第5章二次函数5.2二次函数的图像和性质教学课件(新版)苏科版
值，是
．
3．将二次函数y ＝6x2的图像向右平移1个单位长度后
得到函数
的图像，其顶点坐标是
，当x 时，
y随x的增大而增大；当x____时，y随x的增大而减小．
反思提升
这一节课我们一起学习了哪些知识和方法？ 你还有什么疑问吗？ 你认为还有继续探索的问题吗？
5.2 二次函数的图象和性质 课时3
复习回顾
一条直线． 二次函数 y＝ax2 ＋ k （ k ＜0）的图像是由二次函
数y＝ax2的图像沿 y 轴向＿下＿平移 ｜k｜ 个单位长
度得到的一条直线． 二次函数y＝ax2 ＋ k的顶点坐标是（＿0，＿k），对称轴是 ＿y轴＿．
探索发现 在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝ x2和y＝ (x＋3)2的
函数
y x2
图像特征 开口方向
对称轴
顶点坐标
函数的性质 最大（小）值
增减性
y x2
课堂练习
1、二次函数y=x2的图像开口 ，对称轴是
点是
。x取任何实数，对应的y值总是
，顶 数。
2、点A（2，-4）在函数y=-x2的图像上，点A在该图像上
的对称点的坐标是 。
3、二次函数y= 1 x 2 与 y= 1 x 2 的图像关于
，
你能将函数y＝ax2转＋b化x＋思c 转考化为y＝a(x＋m)2＋k的
形式吗？
解：y＝ax2＋bx＋c
＝
a
(x2＋
b a
x) ＋c
＝ a (x＋ 2 b a
) 2 ＋ c－
b2 4a
＝ a (x＋ 2 b a
)2
＋
4ac － 4a
b2
．
你知道函数 y＝ax2＋bx＋c的开口方向、 顶点坐标、对称轴、最大（或者最小）值？
初三苏教版数学下二次函数的图像和性质知识点
初三苏教版数学下二次函数的图像和性质知识
点
二次函数表达式为y=ax²+bx+c（且a≠0），它的定义是一个二次多项式（或单项式），查字典数学网为大家整理了二次函数的图像和性质知识点，希望对大家有帮助！知识点1二次函数的图像是一条抛物线。
2抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x=-b/2a。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y 轴(即直线x=0)。
3二次项系数a决定抛物线的开口方向。
当a>0时，抛物线向上开口;当a0)，对称轴在y轴左;当a与b 异号时(即ab0时，抛物线与x轴有2个交点;Δ=b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点;Δ=b^2-4ac1 C. x>- 4 D . -42.某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可售出400件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，如果提高售价，才能在半月内获得最大利润?答案：1、 A2、售价为35元时，在半月内可获得最大利润二次函数的图像和性质知识点的全部内容就是这些，不知道大家是否已经都掌握了呢？预祝大家以更好的学习，取得优异的成绩。
2020年苏科版九年级下册知识点归纳(最新最全)
苏科版九年级数学下册知识点总结第五章 二次函数一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置． ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结： 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数图像参考：十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少 十二、二次函数考查重点与常见题型2-32y=-2x 2y=3(x+4)22y=3x 2y=-2(x-3)21． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。
苏科版九年级数学下册_5.2.2二次函数y=ax2+k,y=a(x+ h)2,y=a(x+h)2+k
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2. 二次函数y=a(x+h)2的图像与性质
函数
y=a(x＋h)2(a>0)
知2－讲
y=a(x＋h)2(a<0)
图像
开口方向 顶点坐标
对称轴 顶点位置
增减性
向上
向下
(h，0)
直线x=h
当h>0 时，顶点在y 轴的左侧(即x 轴的负半轴上)； 当h<0 时，顶点在y 轴的右侧(即x 轴的正半轴上)
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特别解读：
知4－讲
①抛物线y=ax2，y=ax2+k，y=a(x＋h)2，y=a(x－h)2+k中a
值相等， 所以这四条抛物线的形状、大小完全一样，
故它们之间可互相平移得到.
②抛物线的平移规律是“左加右减，上加下减”，所不
同的是，左右平移时，只针对常数h进行变化，而上下
平移时，只针对常数k进行变化，可简记为左加右减自
当k为正数时，向上平移；“下减”表示当k为负数时，
向下平移；“纵变横不变”表示坐标的平移规律，即：
抛物线平移时其对应点的纵坐标改变而横坐标不变.
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知1－讲
例 1 [模拟·镇江] 将抛物线y=－2x2－1 向上平移 3个单位 长度后，得到的抛物线的表达式是__y_=_－__2_x_22_＋__12_____.
解题秘方：根据上加下减的规律，直接在函数表 达式上加 3 可得新函数的表达式. 2
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知1－讲
解：∵抛物线y=－2x2－1 向上平移 3 个单位长度，
∴ y=－2x2－1+
3 2
，即y=－2x2+
1 2
.
2
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知1－讲
九年级数学下册《二次函数》知识点总结苏教版
九年级数学下册《二次函数》知识点总结苏教版一、二次函数一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax ²+bx+c则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
二、二次函数的图像和性质二次函数的图像是一条抛物线。
抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x=-b/2a。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴。
二次项系数a决定抛物线的开口方向。
当a>0时，抛物线向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。
三、用待定系数法确定二次函数表达式待定系数法只是一种方法，是一套固定程序，并不是什么公式。
就比如说二次函数，有一种一般表达式y=ax²+bx+c，那么a、b、c叫做系数，它们未知，有待确定所以叫“待定系数法”。
待定系数法就是要想办法找出这个二次函数过的三个已知点，把它们代入表达式ax1²+by1+c=0ax2²+by2+c=0ax3²+by3+c=0解这三个方程可以求出a、b、c就算出了二次函数表达式。
有时候也不一定非要把这三个数都求出来，只是要它们之间的某些关系。
四、二次函数与一元二次方程一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
五、用二次函数解决问题利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：建立适当的平面直角坐标系;把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来;用待定系数法求出抛物线的关系式;利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.。
九下数学课件 二次函数y=ax^2+k的图像与性质 (课件)
(2) BF＝BC 理由：在y＝kx＋2中，令x＝0，得y＝2.∴ 点F的坐标为(0，2)．
∴ OF＝2.过点F作FH⊥BC，垂足为H.设点B的坐标为 t， 1 t2 + 1 ，
4
∵ 易知四边形OFHC为矩形，∴ OF＝CH，FH＝OC＝t，BC＝14t2＋1.
∴
BH
＝
BC
－
CH
＝
BC
－
OF
＝
1 4
当x＜0时，y随x增大而减小．
抛物线关于y轴对称．
图像有最低点，过（0,0） y有最小值．
当x＞0时，y随x增大而增大．
抛物线开口向上．
那么y＝x2＋1的图像与y＝x2的图像有什么关系？
在同一坐标系中画出函数y＝x2和y＝x2＋1的图像． （1）列表．
x
… －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y=x2 … 9
位置上下平移规律，即：抛物线y=ax2+k 是由抛物线 y=ax2 上下平移｜ k ｜个单位长度得到的，“上加”表 示当k 为正数时，向上平移；“下减”表示当k为负数时， 向下平移；
“纵变横不变”表示坐标的平移规律，即：抛物线平 移时其对应点的纵坐标改变而横坐标不变.
l 归纳：
2. 二次函数y=ax2+k 的图像
l 归纳：
3. 二次函数y=ax2+k 的性质 (1)当a>0时，函数有最小值k，当a<0时，函数有 最大值k； (2)如果a>0，当x<0时，y随x的增大而减小，当 x>0时，y随x的增大而增大；如果a<0，当x<0 时，y随x的增大而增大，当x>0时，y随x的增 大而减小.
l 归纳：
4. 二次函数y=ax2+k 的图象的画法 (1)描点法：类比作二次函数y=ax2 图象的描点法，
苏科版初中九年级下册数学：第5章 二次函数
8、已知抛物线y=
线段OA，OB的长度之和是 2√3 。
9.某商场将进价40元一个的某种商品按50元一个售出时，能卖 出500个，已知这种商品每个涨价1元，销量减少10个，设每 个涨价x元，销售价可以表示为 (50+x)元 ，一个商品所获利 润可以表示为 (50+x-40)元 ，销售量可以表示为 _(5_0_0_-1_0_x)_个_， 利润可以为 (50+x-40)(500-10x) ，因此，定价是 70 元时， 最大利润是 9000 元。
一、选择题
1.在二次函数y=ax2+bx+c中，ac ＞0，则它的图像
与x轴的关系是( B )
A. 没有交点
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B. 有两个交点
C. 有一个交点
D. 不能确定
2.已知抛物线y=x2+px+q经过点(5，0)，(-5，0)，则 p+q=( C )
A. 0 B. 25 C. -25 D. 5
3.若二次函数 y=ax2 +bx+c 的图象如下，与x轴的一个
x2-2x-8=0 解方程得:x1=4， x2=-2
P
∴AB=4-(-2)=6 而P点坐标是(1，-9) ∴S△ABC=27
6、抛物线 y=-2x2+4x+6 顶点为A，与x轴交于B、C y 两点，与y轴交于D点，求四边形ABCD的面积。 D A
y=-2x2+4x+6=-2(x-1)2+8，图像如图
增大而增大。
而减小。
4、二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的三种 情况与一元二次方程根的关系：
二次函数 y=ax2+bx+c的 图象和x轴交点
苏科版九年级下第五章二次函数教案之七 二次函数知识点总复习
二次函数的概念和图像1、二次函数的概念一般地，如果特)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，特别注意a 不为零那么y 叫做x 的二次函数。
)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于abx 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。
3、二次函数图像的画法五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴 （2）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点：当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。
将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。
当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。
由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。
如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。
练习：1.判断：下列函数是否为二次函数，如果是，指出其中常数a.b.c 的值. (1) y ＝1— 23x (2)y ＝x(x －5) (3)y ＝x 21－23x ＋1 (4) y ＝3x(2－x)＋ 3x 2 (5)y ＝ 12312++x x (6) y ＝652++x x (7)y ＝ x 4＋2x 2－1 (8)y ＝ax 2＋bx ＋c2.m 取哪些值时，函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数？1、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象如图所示，则点A(ac ，bc)在（ ）．A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限O xy （3题图）O(第1题图)x y2题2、已知二次函数y ax bx c =++2的图象如图所示，对称轴是x =1，则下列结 论中正确的（ ） A ． a c >0B ． b <0C ．D ．3、二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则直线y bx c =+的图象不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4、已知二次函数的图象如图所示，则在“①a ＜0，②b ＞0，③c ＜ 0，④b 2－4ac ＞0”中，正确的判断是（ ） A ．①②③④ B ．④ C ．①②③ D ．①④5题 6题5、已知二次函数y = ax 2 + bx + c 的图象如图所示，下列结论中：① abc > 0；② b = 2a ；③ a + b + c ；④a – b + c ，正确的个数是（ ）.(A) 4个 (B) 3个 (C) 2个 (D) 1个6、二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图所示，则下列关于a 、b 、c 间的关系判断正确的是（ ）(A) ab < 0 (B) bc < 0 (C) a+b+c > 0 (D) a-b+c < 0二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：口诀----- 一般 两根 三顶点 （1）一般 一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，（2）两根 当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应二次好方程02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。
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第5章 《二次函数》知识点
康 进 成
一、二次函数的概念和一般式
1、概念： ；
2、一般式： ；
3、自变量的取值范围： ；
4、列实际问题的二次函数表达式 ；
二、二次函数y=ax 2
的图象特征和性质
1、特征：开口方向 、顶点坐标 、对称轴 ；
2、性质：
（1）增减性：
当a ＞0时
② ；
③ ；
④ .
当a ＜0时
② ；
② ；
③ .
（2）最值：
当a ＞0时，x= ，有最小值，y 最小值是 ；
当a ＜0时，x= ，有最大值，y 最大值是 .
三、二次函数2()y a x h k =-+的图像画法、平移规律、特征和性质
1、图像画法：列表（取五对数）、描点（描五个点）、连线
2、平移规律：左加右减、上加下减
3、特征：开口方向 、顶点坐标 、对称轴 .
4、性质：
（1）增减性：
当a ＞0时
② ；
③ ；
④ .
当a ＜0时
② ；
② ；
③ .
（2）最值：
当a ＞0时，x= ，有最小值，y 最小值是 ；
当a ＜0时，x= ，有最大值，y 最大值是 .
四、二次函数2
()y a x h k =-+中a 、h 、k 的意义
（1）a 决定 ，
（2）h ① ；② ；③ ，
（3）k ① ；② ；③ . 五、二次函数一般式2
y ax bx c =++对应的顶点式2
24()24b ac b y a x a a -=++、特征、性质 1、转化：2
y ax bx c =++2
24()24b ac b a x a a -=++. 2、特征：开口方向、顶点坐标（2b a -，244ac b a -）、对称轴是直线2b x a
=-. 3、性质
（1）增减性：
当a ＞0时
② ；
③ ；
④ .
当a ＜0时
② ；
② ；
③ .
（2）最值：
当a ＞0时，x= ，有最小值，y 最小值是 ；
当a ＜0时，x= ，有最大值，y 最大值是 .
注：由一般式回答图像特征和性质的思路：
（1）直接通过计算相关代数式（如2b a
-，244ac b a -）的值后解决问题. （2）将一般式转化成顶点式：2
24()24b ac b y a x a a
-=++，结合顶点式来解决问题. 六、二次函数一般式2y ax bx c =++中a 、b 、c 符合和一些重要代数式的符合的确定
1、a 看 而确定符合；b 看 而确定符合；c 看 而确定符合；
2、2a b +看2b a -与 而确定符合，2a b -看2b a
-与 而确定符合， 24b ac -看 而确定符合.
3、a b c ++ 而确定符合，
a b c -+ 而确定符合， 42a b c ++ 而确定符合，42a b c -+ 而确定符合.
七、二次函数的对称规律
1、二次函数一般式2y ax bx c =++的对称规律
（1）关于x 轴对称的表达式为：2y ax bx c -=++，即：2y ax bx c =---
（2）关于y 轴对称的表达式为：()()2
y a x b x c =-+-+ 即：2y ax bx c =-+ （3）关于原点轴对称的表达式为：()()2
y a x b x c -=-+-+即：2y ax bx c =-+- 2、二次函数顶点式2
()y a x h k =-+的对称规律
（1）关于x 轴对称的表达式为：2()y a x h k =---
（2）关于y 轴对称的表达式为：2()y a x h k =++
（3）关于原点轴对称的表达式为：2()y a x h k =-+-
八、二次函数的三种形式和用待定系数法确定函数表达式
1、一般式：2y ax bx c =++，已知条件 ，设为一般式求出待定系数的值确定表达式.
2、顶点式：2()y a x h k =-+，已知条件 ，设为顶点式求出待定系数的值确定表达式.
3、交点式：12()()y a x x x x =--，已知条件 ，设为交点式求出待定系数的值确定表达式.
九、二次函数与一元二次方程
1、二次函数的图像与x 轴的交点情况与相应的一元二次方程的根的情况的关系.
2、由24b ac -的符合确定二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴的交点情况.
3、求二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴、y 轴的交点坐标.
4、确定（求出）二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴的交点坐标，结合图像由y 值的符合确定x 的取值范围.
5、由x 值的取值范围值，结合图像根据x 值的取值范围与抛物线对称轴的位置关系（有三种情况：对称轴在x 值的取值范围右边、之间、左边），而确定y 值的取值范围.
6、利用图像由二次函数值与一次函数值、二次函数值与反比例函数值的大小关系确定x 的取值范围（关键是组成方程组，解出方程组的解而确定交点坐标，然后看图像而确定x 的取值范围）.
7、利用图像（或表格）确定相应的一元二次方程的近似解.
十、二次函数与几何图形的综合
1、这类问题的三大特点：一数形结合、二分类讨论、三运动.
2、抓住二次函数的性质和一些几何图形的性质
3、几何图形有等腰三角形、直角三角形、平行四边形（菱形、正方形）、相似三角形、圆，并注意这些几何图形性质的灵活应用，如等腰三角形中等边对等角，直角三角形中勾股定理，平行四边形（菱形、正方形）中对边平行且相等，由相似三角形得比例式，圆中有圆周角定理、切线长定理的应用等等
4、如有求值必找等式，用方程思想解决问题、设动点横坐标，代入函数关系式表示出纵坐标，再写成坐标便于解决问题、注意数值与线段长度的区别
十一、用二次函数解决问题
1、用二次函数知识解决“数”的问题
列二次函数解决问题与列整式方程解决问题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．
常见的问题主要是解决最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)问题.
2、用二次函数的图像解决“形”问题
把涵洞、桥梁、抛物体等“抛物线形”建立在适当地直角坐标系中，转化为二次函数图像而解决问题常见的问题主要是解决涵洞、桥梁、抛物体等“抛物线形”的实际问题.。