高中数学：空间向量运算的坐标表示
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高中数学第三章空间向量与立体几何1空间向量及其运算5空间向量运算的坐标表示3课件新人教A版选修2
变式训练
已知 a＝(1,2，12)，b＝(12，－12，1)，c＝(－2,3， －12)，d＝(1，－32，14)．
求证：a⊥b，c∥d.
证明： ∵ a＝ (1,2，12)， b＝ (12，－12，1)， ∴a·b＝1×12＋2×(－12)＋12×1＝0. ∴ a⊥ b. ∵ c＝ (－ 2,3，－12)， d＝ (1，－32，14)， ∴ c＝－ 2(1，－32，14)＝－ 2d. ∴ c∥ d.
(1)求证：EF⊥CF； (2)求E→F与C→G所成角的余弦值； (3)求 CE 的长． [分析] 可建立空间直角坐标系，利用向量的坐 标形式解题．
[解] 建立如图 3 所示的空间直角坐标系 D－xyz， 则 D(0,0,0)，E(0,0，12)，C(0,1,0)， F(12，12，0)，G(1,1，12)．
[解] (1)如图 1，以 D 为原点，DA，DC，DD1 所在的直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，设 AA1＝a，
则 B(4,4,0)，N(2,2，a)， A(4,0,0)，M(2,4，a2)，
图1
∴B→N＝ (－ 2，－ 2， a)， A→M＝ (－ 2, 4，a)，
2 由B→N⊥A→M得B→N·A→M ＝ 0， ∴4－8＋a2＝0，a＝2 2，
b32.
2．空间中向量的坐标及两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，设 A(a1，a2，a3)，B(b1， b2， b3)，则： (1)A→B＝ (b1－ a1， b2－ a2， b3－ a3)； (2)AB＝ |A→B|＝
b1－ a1 2＋ b2－ a2 2＋ b3－ a3 2.
如何理解空间向量的坐标运算与平面向量的坐 标运算间的关系？
|E→F|＝ |C→G|＝
空间向量及其运算的坐标表示_课件
数量积
a·
b
_____a_1_b__1＋__a__2b__2_＋_______ a3b3
已知a＝(1,-2,1)，a-b＝(-1,2,-1)，则b 等于（ ）
A.(2,-4,2)
B.(-2,4,-2)
C.(-2,0,-2)
D.(2,1,-3)
解析 依题意，得b＝a-(-1,2,-1)＝a＋(1,-2,1)＝2(1,-2,1) ＝(2,-4,245°）， ∠yOz=90°,如下图
空间直角坐标系
空间直角坐标系
坐标表示：对于空间任意一个向量p，存在有序实数组{x，y，z} ， 使得p＝xi＋yj＋zk，则把x，y，z称作向量p在单位正交基底i，j ， k下的坐标，记作p＝(x，y，z)，其中数x就叫做点P的横坐标，数 y就叫做点P的纵坐标，数z就叫做点P的竖坐标
在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是D1D ， B中D点的，中试点建，立点适G当在的棱坐CD标上系，，且写|C出GE|＝，F|，CDG|，，HH的坐 标.
解 建立如图所示的空间直角坐标系 . 点E在z轴上，它的横坐标、纵坐标均为0
， 而过EF作为FDMD⊥1的A中D点, F故N⊥其D坐C标, 由为平面几何知识 ，
空间向量运算的坐标表示
空间向量a，b，其坐标形式为a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，
b3). 向量运算
向量表示
坐标表示
加法 减法 数乘
a＋b a－b λa
(_a_1_＋__b__1，___a_2_＋__b_2_，__a_3_＋___ b_(_3a)_1_-_b__1，__a__2-_b__2，___a_3_-_b_3_)_ _____(λ__a_1_，__λ_a_2_，__λ_a__3)____
人教A版高中数学选择性必修一1.3.2空间向量运算的坐标表示课件
所以BE1
(0,
1 4
,1)，DF1
3
4
,1), D(0, 0, (0, 1 ,1)，
4
0),
F1(0,
1 4
,1)，
所以BE1
DF1
00 ( 1) 1 44
11 0 1 16
1 15， 16
D1 z F1
C1
A1
E1 B1
D A
M C y
B
BE1
02 ( 1 )2 12 4
17 ，同理可得
2.已知a (2, 1,3), b (4, 2, x),且a b，求x的值.
3.如图，正方体OABC D ' A' B 'C '的棱长为a,点N, M 分别在AC，BC '
上，AN 2CN, BM 2MC ',
D'
C'
A'
B'
（1）求MN的长，
M
o
C
（2）求OC与MN所成角的余弦值.
A
NB
数乘：a (a1, a2 ), R 数量积：a b a1b1 a2b2
空间向量运算的坐标表示
设a (a1, a2 , a3), b (b1, b2, b3)
a b (a1 b1, a2 b2 , a3 b3 ) 对应坐标相加
a b (a1 b1, a2 b2 , a3 b3 ) 对应坐标相减
a (a1, a2 , a3), R
每个坐标乘 λ
a b a1b1 a2b2 a3b3
对应坐标乘积的和
下面我们证明空间向量数量积运算的坐标表示
设i, j,k为空间的一个单位正交基底，
则a a1i a2 j a3k, b b1i b2 j b3k, 所以a b (a1i a2 j a3k) (b1i b2 j b3k)
高中数学第三章空间向量与立体几何3空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示3-2第1课时空间向量运算
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)对于空间任意两个向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，若a与
1 2 3
b共线，则 ＝ ＝ .( × )
1
2
3
(2)若向量AB＝(x1，y1，z1)，则点B的坐标为(x1，y1，z1).( × )
(3)“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件．( √ )
列条件时，实数x的值．
行和垂直的条件，借助此条件可将立体几何中的
平行垂直问题转化为向量的坐标运算．在应用坐标形式下的平行条件
时，一定注意结论成立的前提条件，在条件不明确时要分类讨论．
跟踪训练2 已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，
写成a2－b2后计算．
跟踪训练1 已知在空间直角坐标系中A(1，－2，4)，B(－2，3，0)，
C(2，－2，－5).
(1)求AB＋CA，CB－2BA，AB·AC；
1
3
(2)若点M满足AM＝ AB＋ AC，求点M的坐标．
2
4
题型二 空间向量平行、垂直的坐标表示
例2 设向量a＝(1，x，1－x)，b＝(1－x2，－3x，x＋1)，求满足下
4)，设a＝AB，b＝AC.
(1)设|c|＝3，c∥BC，求c；
(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.
[课堂十分钟]
1．已知a＝(1，0，－1)，b＝(1，－2，2)，c＝(－2，3，－1)那么向
量a－b＋2c＝(
)
A．(0，1，2)
B．(4，－5，5)
C．(－4，8，－5) D．(2，－5，4)
所以(ka＋b)·b＝0，即－(k－1)＋4＝0，解得k＝5.
(1)对于空间任意两个向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，若a与
1 2 3
b共线，则 ＝ ＝ .( × )
1
2
3
(2)若向量AB＝(x1，y1，z1)，则点B的坐标为(x1，y1，z1).( × )
(3)“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件．( √ )
列条件时，实数x的值．
行和垂直的条件，借助此条件可将立体几何中的
平行垂直问题转化为向量的坐标运算．在应用坐标形式下的平行条件
时，一定注意结论成立的前提条件，在条件不明确时要分类讨论．
跟踪训练2 已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，
写成a2－b2后计算．
跟踪训练1 已知在空间直角坐标系中A(1，－2，4)，B(－2，3，0)，
C(2，－2，－5).
(1)求AB＋CA，CB－2BA，AB·AC；
1
3
(2)若点M满足AM＝ AB＋ AC，求点M的坐标．
2
4
题型二 空间向量平行、垂直的坐标表示
例2 设向量a＝(1，x，1－x)，b＝(1－x2，－3x，x＋1)，求满足下
4)，设a＝AB，b＝AC.
(1)设|c|＝3，c∥BC，求c；
(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.
[课堂十分钟]
1．已知a＝(1，0，－1)，b＝(1，－2，2)，c＝(－2，3，－1)那么向
量a－b＋2c＝(
)
A．(0，1，2)
B．(4，－5，5)
C．(－4，8，－5) D．(2，－5，4)
所以(ka＋b)·b＝0，即－(k－1)＋4＝0，解得k＝5.
空间向量运算的坐标表示(20张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册1
向量运算
向量表示
坐标表示
加法
a+b
减法
a—b
数乘
λa
λ∈R
数量积
空间向量的坐标运算a2,
知 识 点1设a=(a₁,
有
做一做：设{i,j,k} 是空间向量的一个单位正交基底，a= 2i—4j+5k,b=i+2j—3k, 则a+b 的坐标是(3,—2,2) _.
[解析] a=(2,—4,5),b=(1,2,—3),故a+b=(3,—2,2).
设P₁(x₁,y₁,z₁),P₂(x₂,y₂,z₂) 是空间中任意两点，则|P ₁ P₂ I=IP₁ P₂ I(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²+(z₂-z₁)² .思考2: 已知点A(x,y,z), 则 点A 到原点的距离是多少?提示：| OAI=10A|= √x²+y²+z.
(1)一个向量的坐标等于这个向量的终点的坐标减去起点的坐标.(2)空间向量的坐标运算法则类似于平面向量的坐标运算，牢记运算 公式是应用的关键.(3)运用公式可以简化运算：(a±b)²=a²± 2a.b+b²;(a+b)·(a—b)=a²—b2.
空间向量的坐标运算注意以下几点：
[规律方法]
[规律方法] 向量平行与垂直问题主要题型(1)平行与垂直的判断.(2)利用平行与垂直求参数或解其他问题，即平行与垂直的应用.解 题时要注意：①适当引入参数(比如向量a,b 平行，可设a=λb), 建立关 于参数的方程；②最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的.
第一章空间向量与立体几何
1.3 空间向量及其运算的坐标表示1.3.2 空间向量运算的坐标表示
课程目标1. 掌握空间向量的线性运算的坐标表示.2.掌握空间向量的数量积的坐标表示.教学目标1.会利用空间向量的坐标运算解决简单的运算问题. (数学运算)2.掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或 垂直. (逻辑推理、数学运算)3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，并能运用 这些公式解决简单几何体中的问题. (逻辑推理、数学运算)
向量表示
坐标表示
加法
a+b
减法
a—b
数乘
λa
λ∈R
数量积
空间向量的坐标运算a2,
知 识 点1设a=(a₁,
有
做一做：设{i,j,k} 是空间向量的一个单位正交基底，a= 2i—4j+5k,b=i+2j—3k, 则a+b 的坐标是(3,—2,2) _.
[解析] a=(2,—4,5),b=(1,2,—3),故a+b=(3,—2,2).
设P₁(x₁,y₁,z₁),P₂(x₂,y₂,z₂) 是空间中任意两点，则|P ₁ P₂ I=IP₁ P₂ I(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²+(z₂-z₁)² .思考2: 已知点A(x,y,z), 则 点A 到原点的距离是多少?提示：| OAI=10A|= √x²+y²+z.
(1)一个向量的坐标等于这个向量的终点的坐标减去起点的坐标.(2)空间向量的坐标运算法则类似于平面向量的坐标运算，牢记运算 公式是应用的关键.(3)运用公式可以简化运算：(a±b)²=a²± 2a.b+b²;(a+b)·(a—b)=a²—b2.
空间向量的坐标运算注意以下几点：
[规律方法]
[规律方法] 向量平行与垂直问题主要题型(1)平行与垂直的判断.(2)利用平行与垂直求参数或解其他问题，即平行与垂直的应用.解 题时要注意：①适当引入参数(比如向量a,b 平行，可设a=λb), 建立关 于参数的方程；②最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的.
第一章空间向量与立体几何
1.3 空间向量及其运算的坐标表示1.3.2 空间向量运算的坐标表示
课程目标1. 掌握空间向量的线性运算的坐标表示.2.掌握空间向量的数量积的坐标表示.教学目标1.会利用空间向量的坐标运算解决简单的运算问题. (数学运算)2.掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或 垂直. (逻辑推理、数学运算)3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，并能运用 这些公式解决简单几何体中的问题. (逻辑推理、数学运算)
数学人教A版高中选择性必修一(2019新编)1-3-2 空间向量运算的坐标表示(课件)
课后作业
对应课后练习
a21＋a22＋a23
cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|
cos〈a，b〉＝
a1b1＋a2b2＋a3b3 a12＋a22＋a23 b21＋b22＋b32
自主学习
思考：已知点A(x，y，z)，则点A到原点的距离是多少？ OA＝|O→A|＝ x2＋y2＋z2．
小试牛刀
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(2)由(1)知A→B1＝( 3，1， 2)，B→C＝(－ 3，1，0)，因为|A→B1|＝ （ 3）2＋12＋（ 2）2＝ 6，|B→C|＝ （－ 3）2＋12＋02
＝2，A→B1·B→C＝( 3，1， 2)·(－ 3，1，0)＝－( 3)2＋1×1＝－2，
所以
cos〈A→B1，B→C〉＝||AA→→BB11|·|BB→→CC||＝
自主学习
二．空间向量的平行、垂直及模、夹角
设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
名称
向量表示形式
满足条件 坐标表示形式
a∥b a⊥b
模
夹角
a＝λb(λ∈R)
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)
a·b＝0
a·b＝ a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
|a|＝ a·a
|a|＝
解(1)设侧棱长为 b,则 A(0，－1，0)，B1( 3，0，b)，B( 3，0，0)，C1(0，1，b)，
所以A→B1＝( 3，1，b)，B→C1＝(－ 3，1，b).因为 AB1⊥BC1，所以A→B1·B→C1＝( 3，1，b)·(－ 3，1，b)＝－( 3)2＋12＋b2
＝0，解得 b＝ 2.故侧棱长为 2.
∴线段 BN 的长为 3 .
高中数学选择性必修一课件：1.3.2空间向量运算的坐标表示
课后提能训练
2．在空间直角坐标系中，已知 A(2,3,5)，B(3,1,4)，则 A，B 两点间
的距离为
()
A．6
B． 6
C． 30
【答案】B
D． 42
【解析】|AB|＝ 3－22＋1－32＋4－52＝ 6.
|自学导引|
|课堂互动|
|素养达成|
课后提能训练
3．若点 A(1,2，a)到原点的距离为 11，则 a 的值为________． 【答案】± 6 【解析】由已知得 12＋22＋a2＝ 11，所以 a2＝6，解得 a＝± 6.
|自学导引|
|课堂互动|
|素养达成|
课后提能训练
|课堂互动|
|自学导引|
|课堂互动|
|素养达成|
课后提能训练
题型1 空间向量的坐标运算
已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)，求a＋b，2a·(－b)，(a＋b)·(a－b)．
素养点睛：考查逻辑推理、数学运算的核心素养．
【答案】解：a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4)＝(2，－2,2)，
|自学导引|
|课堂互动|
|素养达成|
课后提能训练
1．向量夹角的计算步骤 (1)建系：结合图形建立适当的空间直角坐标系，建系原则是让尽可能多的点落到坐标轴上． (2)求方向向量：依据点的坐标求出方向向量的坐标． (3)代入公式：利用两向量的夹角公式将方向向量的坐标代入求出夹角． 2．求空间两点间的距离的关键及步骤 (1)求空间两点间的距离问题就是把点的坐标代入距离公式进行计算，其中确定点的坐标或合理设出 点的坐标是关键．
－x1，y2－y1，z2－z1)，|P→1P2|＝_____x2_－__x_1_2_＋___y2_－__y_1_2_＋___z2_－__z_1_2____.
人教A版高中数学选修2-1课件-空间向量运算的坐标表示
＝12a2－12a2cos
60°＋a2cos
60°－12a2cos
60°
＝12a2－a42＋a22－a42＝a22．
又∵|A→N|＝|M→C|＝ 23a，
∴A→N·M→C＝|A→N||M→C|cos θ＝ 23a× 23a×cos θ＝a22．
∴cos θ＝23．
∴向量
A→N
②设P(x，y，z)，则A→P＝(x－2，y＋1，z－2)．
x－2＝3， ∵A→P＝12(A→B－A→C)＝3，32，－2，∴y＋1＝32，
z－2＝－2，
解得x＝5，y＝21，z＝0，则点P的坐标为5，12，0．
1．一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减 去起点坐标．
2．在确定了向量的坐标后，使用空间向量的加减、数乘、数量 积的坐标运算公式进行计算就可以了，但要熟练应用下列有关乘法 公式：(1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2．
m＋1＝3λ，
∴n－2＝－λ， －2＝λ，
解得λ＝－2，m＝－7，n＝4．
∴m＋n＝－3．]
4．已知a＝(－ 2，2， 3)，b＝(3 2，6,0)，则|a|＝________， a与b夹角的余弦值等于________．
3
6 9
[|a|＝ － 22＋22＋ 32＝ 9＝3，
cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝3× －36＋2122＋62＝ 96．]
(4)∵2a＝(4，－2，－4)， ∴2a·(－b)＝(4，－2，－4)·(0,1，－4) ＝4×0＋(－2)×1＋(－4)×(－4)＝14． (5)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝4＋1＋4－(0＋1＋16)＝－8．
利用向量的坐标运算解决平行、垂直问题
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a // b a1 b1,a2 b2,a3 b3( R) ; a1 / b1 a2 / b2 a2 / b2 .
a b a1b1 a2b2 a3b3 0 ;
二、距离与夹角
1.距离公式 （1）向量的长度（模）公式
| a |2 a a a12 a22 a32
| b |2 b b b12 b22 b32
F A1
C1 B1
E
D A
C B
练习三：
如图：直三棱柱ABC A1B1C1, 底面ABC中，
CA＝CB＝1，BCA＝90o，棱AA1＝2，M、
N分别为A1B1、AA1的中点，
C1
1)求BN的长；
A1
B1
M
2)求 cos BA1, CB1 的值； N
3)求证：A1B C1M。
C
A
B
思考题：
17 4 , | DF1 |
17 . 4 15
B
cos
BE1
,
DF1
|
BE1 DF1 BE1 | | DF1
|
16 15 . 17 17 17 44
练习二：
正方体A1B1C1D1－ABCD，E、F分别是C1C
D1A1的中点，1)求 AB, EF
2)求点A到直线EF的距离。 D1
(用向量方法）
Homework:
• P107：1 zxxkw
已知A（0,2,3)、B（ 2,1,6), C(1,1,5), 用向量 方法求ABC的面积S。
四、课堂小结：
1.基本知识： （1）向量的长度公式与两点间的距离公式； （2）两个向量的夹角公式。 2.思想方法：用向量计算或证明几何问题 时，可以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐 标化，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或 证明。
D1F1
A1B1 4
，求
BE1
与
DF1
所成的角的余弦值。
z
解：设正方体的棱长为1，如角坐标系 O xyz ，则
A1
E1 B1
B(1,1, 0)
,
E1 1 ,
3 4
, 1
,
D
O
A
x
Cy
D(0 , 0 , 0)
,
F1
0
,
1 4
，1 .
B
BE1
1 ,
3 4
, 1
(1,1,
0)
d A,B ( x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
2.两个向量夹角公式
cos a,b a b | a || b |
注意：
a1b1 a2b2 a3b3
;
a12 a22 a32 b12 b22 b32
（1）当 cos a , b 1 时，a 与 b 同向； （2）当 cos a , b 1 时，a 与 b 反向；
2.求下列两点间的距离：
(1) A(1,1, 0) , B(1,1,1) ;
(2) C(3 ,1, 5) , D(0 , 2 , 3) .
三、应用举例
例1 已知A(3 , 3 ,1)、B(1, 0 , 5) ，求：A （1）线段 zxxkw AB 的中点坐标和长度；
解：设 M(x , y , z) 是 AB的中点，则
（3）当cos a , b 0 时，a b 。
思考：当 0 cos a , b 1及 1 cos a , b 0时，
的夹角在什么范围内？
练习一：
1.求下列两个向量的夹角的余弦：
(1) a (2 , 3 , 3) , b (1, 0 , 0) ; (2) a (1, 1,1) , b (1, 0 ,1) ;
M
B
OM
1 2
(OA
OB)
1 2
(3
,
3
, 1)
1 ,
0
,
5
2
,
3 2
,
3
,
O
∴点 M的坐标是
2
,
3 2
,
3
.
dA,B (1 3)2 (0 3)2 (5 1)2 29 .
（2）到 A 、B两点距离相等的点 P(x , y , z) 的
坐标 x , y , z 满足的条件。
解：点P(x , y , z)到 A 、B 的距离相等，则
(x 3)2 ( y 3)2 (z 1)2 (x 1)2 ( y 0)2 (z 5)2 ,
化简整理，得 4x 6 y 8z 7 0 即到 A 、B 两点距离相等的点的坐标 (x , y , z) 满 足的条件是 4x 6 y 8z 7 0
例2 如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，B1E1
空间向量运算的坐标表示
一、向量的直角坐标运算
设a (a1, a2 , a3 ), b (b1, b2 , b3 )则 a b (a 1b1,a2 b2 ,a3 b3 ) ; a b (a1b1,a2 b2 ,a3 b3 );
a (a1,a2,a3),( R) ;
a b a1b1 a2b2 a3b3 ;
0
,
1 4
, 1
,
例2 如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，B1E1
D1F1
A1B1 4
，求
BE1
与
DF1 所成的角的余弦值。
z
D1
F1
C1
DF1
0
,
1 4
，1
(0
,
0
,
0)
0
,
1 4
，1 .
A1
E1 B1
BE1
DF1
0
0
1 4
1 4
11
15 16
,
D
O
A
x
C
y | BE1 |
注意：此公式的几何意义是表示长方体的对 角线的长度。
（2）空间两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，已知 A(x1 , y1 , z1) 、
B(x2 , y2 , z2 )，则 AB ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1)
| AB | AB AB (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
a b a1b1 a2b2 a3b3 0 ;
二、距离与夹角
1.距离公式 （1）向量的长度（模）公式
| a |2 a a a12 a22 a32
| b |2 b b b12 b22 b32
F A1
C1 B1
E
D A
C B
练习三：
如图：直三棱柱ABC A1B1C1, 底面ABC中，
CA＝CB＝1，BCA＝90o，棱AA1＝2，M、
N分别为A1B1、AA1的中点，
C1
1)求BN的长；
A1
B1
M
2)求 cos BA1, CB1 的值； N
3)求证：A1B C1M。
C
A
B
思考题：
17 4 , | DF1 |
17 . 4 15
B
cos
BE1
,
DF1
|
BE1 DF1 BE1 | | DF1
|
16 15 . 17 17 17 44
练习二：
正方体A1B1C1D1－ABCD，E、F分别是C1C
D1A1的中点，1)求 AB, EF
2)求点A到直线EF的距离。 D1
(用向量方法）
Homework:
• P107：1 zxxkw
已知A（0,2,3)、B（ 2,1,6), C(1,1,5), 用向量 方法求ABC的面积S。
四、课堂小结：
1.基本知识： （1）向量的长度公式与两点间的距离公式； （2）两个向量的夹角公式。 2.思想方法：用向量计算或证明几何问题 时，可以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐 标化，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或 证明。
D1F1
A1B1 4
，求
BE1
与
DF1
所成的角的余弦值。
z
解：设正方体的棱长为1，如角坐标系 O xyz ，则
A1
E1 B1
B(1,1, 0)
,
E1 1 ,
3 4
, 1
,
D
O
A
x
Cy
D(0 , 0 , 0)
,
F1
0
,
1 4
，1 .
B
BE1
1 ,
3 4
, 1
(1,1,
0)
d A,B ( x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
2.两个向量夹角公式
cos a,b a b | a || b |
注意：
a1b1 a2b2 a3b3
;
a12 a22 a32 b12 b22 b32
（1）当 cos a , b 1 时，a 与 b 同向； （2）当 cos a , b 1 时，a 与 b 反向；
2.求下列两点间的距离：
(1) A(1,1, 0) , B(1,1,1) ;
(2) C(3 ,1, 5) , D(0 , 2 , 3) .
三、应用举例
例1 已知A(3 , 3 ,1)、B(1, 0 , 5) ，求：A （1）线段 zxxkw AB 的中点坐标和长度；
解：设 M(x , y , z) 是 AB的中点，则
（3）当cos a , b 0 时，a b 。
思考：当 0 cos a , b 1及 1 cos a , b 0时，
的夹角在什么范围内？
练习一：
1.求下列两个向量的夹角的余弦：
(1) a (2 , 3 , 3) , b (1, 0 , 0) ; (2) a (1, 1,1) , b (1, 0 ,1) ;
M
B
OM
1 2
(OA
OB)
1 2
(3
,
3
, 1)
1 ,
0
,
5
2
,
3 2
,
3
,
O
∴点 M的坐标是
2
,
3 2
,
3
.
dA,B (1 3)2 (0 3)2 (5 1)2 29 .
（2）到 A 、B两点距离相等的点 P(x , y , z) 的
坐标 x , y , z 满足的条件。
解：点P(x , y , z)到 A 、B 的距离相等，则
(x 3)2 ( y 3)2 (z 1)2 (x 1)2 ( y 0)2 (z 5)2 ,
化简整理，得 4x 6 y 8z 7 0 即到 A 、B 两点距离相等的点的坐标 (x , y , z) 满 足的条件是 4x 6 y 8z 7 0
例2 如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，B1E1
空间向量运算的坐标表示
一、向量的直角坐标运算
设a (a1, a2 , a3 ), b (b1, b2 , b3 )则 a b (a 1b1,a2 b2 ,a3 b3 ) ; a b (a1b1,a2 b2 ,a3 b3 );
a (a1,a2,a3),( R) ;
a b a1b1 a2b2 a3b3 ;
0
,
1 4
, 1
,
例2 如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，B1E1
D1F1
A1B1 4
，求
BE1
与
DF1 所成的角的余弦值。
z
D1
F1
C1
DF1
0
,
1 4
，1
(0
,
0
,
0)
0
,
1 4
，1 .
A1
E1 B1
BE1
DF1
0
0
1 4
1 4
11
15 16
,
D
O
A
x
C
y | BE1 |
注意：此公式的几何意义是表示长方体的对 角线的长度。
（2）空间两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，已知 A(x1 , y1 , z1) 、
B(x2 , y2 , z2 )，则 AB ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1)
| AB | AB AB (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2